Dynamika układów hamiltonowskich

UKŁAD DYNAMICZNY

Z punktu widzenia fizyki N-wymiarowym układem dynamicznym jest każdy układ fizyczny,

którego:

1. stan opisany jest N zmiennymi

− oznaczmy je x

1

, x

2

, ..., x

N

(UWAGA! W tym momencie

nie mówimy nic o fizycznym sensie zmiennych x

1

, x

2

, ..., x

N

. Jak pokażemy dalej rozważając

na przykład dynamikę cząstki w wielowymiarowej jamie potencjału, jedne z tych zmiennych

będą składowymi położenia, a inne składowymi pędu tej cząstki. W innych układach mogą to

być zupełnie inne wielkości fizyczne np. temperatura, ciśnienie, ładunek itp.)

2. ewolucja, w więc czasowe zmiany zmiennych determinujących stan, opisana jest układem

N równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego:

dx

1

/dt = f

1

(x

1

, x

2

, ..., x

N

),

(1.)

dx

2

/dt = f

2

(x

1

, x

2

, ..., x

N

),

...

dx

N

/dt = f

N

(x

1

, x

2

, ..., x

N

),

UKŁAD HAMILTONOWSKI

Wśród układów dynamicznych jednymi z najstarszych i najlepiej zbadanych są układy

hamiltonowskie.

Dla układów tych N jest parzyste: N=2n; gdzie n jest dowolną liczbą naturalną.

n zmiennych, oznaczanych zazwyczaj jako q

1

, q

2

, ..., q

n

, określanych jest jako położenia.

uogólnione.

n pozostałych zmiennych, oznaczanych jako p1, p2, ..., pn, określanych jest jako pędy

uogólnione.

Ewolucja układu hamiltonowskiego opisana jest N równaniami, mającymi postać:

dq

1

/dt =

∂H(q

1

, q

2

, ...q

n

, p

1

, p

2

, ..., p

n

)/

∂p

1

(2.)

dq

2

/dt =

∂H(q

1

, q

2

, ...q

n

, p

1

, p

2

, ..., p

n

)/

∂p

2

...

dq

n

/dt =

∂H(q

1

, q

2

, ...q

n

, p

1

, p

2

, ..., p

n

)/

∂p

n

dp

1

/dt =

− ∂H(q

1

, q

2

, ...q

n

, p

1

, p

2

, ..., p

n

)/

∂q

1

dp

2

/dt =

− ∂H(q

1

, q

2

, ...q

n

, p

1

, p

2

, ..., p

n

)/

∂q

2

...

dp

n

/dt =

− ∂H(q

1

, q

2

, ...q

n

, p

1

, p

2

, ..., p

n

)/

∂q

n

Mamy tu więc n równań opisujących ewolucję położeń i n równań opisujących ewolucję

pędów.

Funkcja H(q

1

, q

2

, ..., q

n

, p

1

, p

2

, ...,p

n

), której znajomość pozwala na sformułowanie równań

ruchu układu, nazywana jest jego hamiltonianem.

Zmienne q

k

i p

k

nazywane są w skrócie zmiennymi sprzężonymi.

CZĄSTKA W TRÓJWYMIAROWEJ JAMIE POTENCJAŁU

Rozważmy najprostszy przykład hamiltonowskiego układu dynamicznego. Jest nim cząstka o

masie m poruszająca się bez tarcia w 3-wymiarowej jamie potencjału:

(.3.)

U(q

1

, q

2

, q

3

),

gdzie q

1

, q

2

, q

3

oznaczają współrzędne kartezjańskie (x, y, z) położenia cząstki, a U oznacza

jej energię potencjalną. Sprawdźmy, że istotnie równania ruchu można w tym przypadku

sprowadzić do podanej wyżej postaci.

Siła F

r

działająca na cząstkę związana jest z funkcją energii potencjalnej U równaniem:

(.4.)

U

grad

F

−

=

r

Napiszmy równanie to nieco dokładniej:

k-ta składowa siły działającej na cząstkę równa jest:

(5.)

F

k

=

− ∂U/∂q

k

.

Tak więc

k-tą składową newtonowskiego równania ruchu:

(6.)

m a

k

=

F

k

gdzie

a

k

= d

v

k

/d

t oznacza k-tą składową przyspieszenia, można zapisać jako:

(7.)

m dv

k

/d

t =

− ∂U/∂q

k.

Jeśli przypomnimy sobie, że związek między pędem a prędkością dany jest wzorem:

(8.) m

v

k

=

p

k

to równanie to przechodzi w

(9.) d

p

k

/d

t =

− ∂U/∂q

k

Energia kinetyczna cząstki wynosi:

(10.)

K = mv

1

2

/2 +

mv

2

2

/2 +

mv

3

2

/2

co można zapisać jako:

(11.)

K(p

1

,

p

2

,

p

3

) =

p

1

2

/2

m + p

2

2

/2

m + p

3

2

/2

m,

skąd

k-tą składową prędkości cząstki można określić jako:

(12.) d

q

k

/d

t = p

k

/

m=

∂K/dp

k

.

Podsumowując powyższe fakty łatwo zauważyć, że jeśli zdefiniujemy funkcję Hamiltona

H(q

1

,

q

2

,

q

3

,

p

1

,

p

2

,

p

3

) jako:

(13.)

H(q

1

,

q

2

,

q

3

,

p

1

,

p

2

,

p

3

) =

K(p

1

,

p

2

,

p

3

) +

U(q

1

,

q

2

,

q

3

),

a więc jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej cząstki, to równania (9) i (12) można

zapisać jako:

(14.) d

q

k

/d

t =

∂H/∂p

k

,

d

p

k

/d

t =

− ∂H/∂q

k

,

k = 1, 2, 3,

a więc mają one żądaną postać charakterystyczną dla układów hamiltonowskich.

CAŁKI RUCHU UKŁADÓW HAMILTONOWSKICH

Cechą układów hamiltonowskich jest to, iż podczas ich ewolucji określonej równaniami

ruchu wartość funkcji Hamiltona

H(q

1

,

q

2

, ...

q

n

,

p

1

,

p

2

, ...,

p

n

) pozostaje stała. Aby przekonać

się o tym, sprawdźmy wartość jej pochodnej po czasie:

(15.) d

H/dt =

∑(∂H/∂q

k

)(d

q

k

/d

t) +

∑(∂H/∂p

k

)(d

p

k

/d

t) =

∑(∂H/∂q

k

)(

∂H/∂p

k

) +

∑ (∂H/∂p

k

)(-

∂H/∂q

k

) = 0.

Jeśli więc, tak jak jest to w przypadku cząstki w jamie potencjału, funkcja Hamiltona oznacza

całkowitą energię układu, to podczas ewolucji określonej równaniami ruchu energia ta

pozostaje stała

− jest całką ruchu. Z fizycznego punktu widzenia, jeśli funkcja Hamiltona

układu jest jego całkowitą energią, to układ podczas swej ewolucji zachowuje jej wartość, jest

więc, jak mówimy, układem zachowawczym.