Do najczęściej wykorzystywanych miar do opisu 1.Srednia geometryczna wychodzi równa zero gdy Dominanta jest to ta wartość cechy, która
zbiorowości statystycznej należą: jedna z obserwacji jest równa zero. występuje w zbiorowości statystycznej
żð Wskaz
niki struktury 2.Średnia geometryczna może być wartością najczęściej.
żð Wskaz
niki natężenia W szeregu szczegółowym obliczamy ją z definicji,
1 2 2
żð Miary opisujÄ…ce tendencjÄ™ centralnÄ…, czyli = (x + ...+ ) natomiast w szeregu rozdzielczym z przedziaÅ‚ami
x x
k 1 n
N
miary średnie klasowymi z następującego wzoru:
żð Miary dyspersji, czyli rozproszenia, urojonÄ… gdy choć jedna z obserwacji jest
zróżnicowania, rozrzutu wartością ujemną.
-
n n
żð Miary asymetrii 3.Stosujemy jÄ… gdy wartoÅ›ci wyrażajÄ… zmiany D D- 1
= +
D x h
stosunkowe. 0 0 D
- + -
żð Miary koncentracji
n n n n
Åšrednia harmoniczna  stosujemy jÄ… dla D D- 1 D D+ 1
Wskaz
nik struktury  mówi jaki jest udział
wielkości stosunkowych.
wyróżnionej zbiorowości w całej zbiorowości
1
=
x
n n H
i i 1 1 1 Wzór ten stosujemy gdy jest jeden przedział
= =
+ + ... +
W i
dominujący; rozpiętości przedziału dominanty
N
" x x x
n 1 2 N
i
poprzedniego oraz następnego są równe.
ni  liczba jednostek charakteryzujących się i-tym Własności dominanty:
wariantem, Rozkład cechy musi posiadać jedną wyraz
nie
Przykład :
wartością cechy. zaznaczoną wartość dominującą w przeciwnym
Samochód z miasta A do B jechał z prędkością
N-liczba jednostek zbiorowości razie mówimy o szeregach wielo modalnych.
50km/h natomiast z miasta B do C 70km/h jeżeli
Inaczej wskaz
nik struktury nazywa się odsetkiem, Szereg nie może być skrajnie asymetryczny z
odległość między tymi miastami jest równa
otwartym przedziałem dominującym (nie można
średnią prędkość na tej trasie należy liczyć jako
wtedy w ogóle obliczać dominanty).
= 1; " 0,1
" średnią harmoniczną i otrzymamy taką samą
W W Miary dyspersji i asymetrii:
i i
i wartość jak wtedy gdybyśmy przejechaną
Dyspersja  to inaczej rozproszenie,
odległość na całej trasie podzielili przez czas
frakcjÄ…, procentem.
zróżnicowanie, rozrzut, zmienność.
przejazdu na całej trasie.
Do porównania rozkładu tej samej cechy w dwóch
Przykład ilustrujący potrzebę stosowania miar
różnych zbiorowościach statystycznych stosuje się
dyspersji:
Åšrednia kwadratowa
wskaz
nik podobieństwa struktur.
Rozważmy 2 grupy 10-cio osobowe o
Im wskaz
nik Wp bliższy jest jedności tym bardziej
następujących wartościach wieku:
Używana jest rzadko np. stosujemy ją we wzorze
podobne do siebie są rozkłady cech w tych
I) 16,18,19,19,20,20,21,21,23,23
na odchylenia standardowe.
zbiorowościach.
II) 4,6,8,10,19,20,29,30,40,42
= min(W W ); " 0,1
" Średnie klasyczne charakteryzują się tym, że
W p 1i, 2i p
W
i
obliczane są ze wszystkich wartości cechy.
w obydwu grupach średnia wieku jest w
przybliżeniu równa 20 lat, lecz obydwie grupy
Klasyczne miary średnie: średnia arytmetyczna,
różnią się rozkładem wieku bardzo istotnie.
" " "
x
harmoniczna, geometryczna i kwadratowa. x x xgdyN - nieparzyste
H G K
ńł N + 1 Miary zróżnicowania służą do tego by ocenić w
X
Średnia arytmetyczna jest to suma wartości
jakim stopniu poszczególne wartości cechy
2
ôÅ‚
cechy mierzalnej dla wszystkich jednostek
koncentrują się wokół wartości średniej (jakie jest
Me =
òÅ‚
statystycznych podzielna przez liczbÄ™. 1 ëÅ‚ zróżnicowanie cechy w danej zbiorowoÅ›ci).
öÅ‚
ôÅ‚ ìÅ‚ N + N N - parzyste
÷Å‚
Miary dyspersji informują jak duże jest odchylenie
X X + 1
_ 2 2 2 Å‚Å‚
íÅ‚
ół pomiędzy poszczególnymi wartościami cechy, a
1
X = wartością przeciętną.
Åšrednie miary pozycyjne:
"
x
i
N
Mediana (wartość topologiczna)  to wartość
Klasyczne miary dyspersji to:
jednostki statystycznej położonej w zbiorowości w
W przypadku szeregów rozdzielczych z ten sposób, że liczba jednostek mających wartość - odchylenie przeciętne,
- wariomcja,
przedziałami klasowymi umownym niemniejszą od mediany równa jest liczbie
- odchylenie standardowe.
reprezentantem każdego przedziału jest środek jednostek mających wartość niewiększą od
mediany.
_
1 Przydatne wzory i ich interpretacja:
Własności mediany:
X =
ŚREDNIA ARYTMETYCZNA  przeciętnie
" 1. Nie zależy ona od wartości krańcowych.
x n
i i
N
każde z (jedn. Stat.) ma ......
2. Można ją wyznaczyć gdy wszystkie
_ liczebności nie są dokładnie znane,
1
1
=
wystarczy znać liczebność zbiorowości i "
i i
X = x x n
"
x n N
i i
jednostkę środkową.
N
N
3. Medianę można policzyć wtedy gdy nie
tego przedziału. W związku z tym średnia
NrMe = numer mediany
można obliczyć średniej arytmetycznej.
2
arytmetyczna może być nieco zniekształcona.
Medianę można policzyć na skali
MEDIANA  połowa (nazwa zbiorow.)
Własności średniej arytmetycznej:
porządkowej (wtedy nie można obliczyć
1.Åšrednia arytmetyczna jest wypadkowÄ…
Å„Å‚ N + 1 gdyN - nieparzyste
X
N + 1 N
_ 2
ôÅ‚
NrMe = lub NrMe = gdyN = dużu
Me =
d" d" òÅ‚
X X X 1 ëÅ‚ öÅ‚
min max 2 2
ôÅ‚ ìÅ‚ N + N N - parzyste
÷Å‚
X X + 1
wszystkich wartości badanej cechy w związku z
średniej arytmetycznej, harmonicznej, ani
2 2 2 Å‚Å‚
ół íÅ‚
tym
geometrycznej)
ma (cecha stat.) nieprzekraczajÄ…cÄ… ....., a
2.
połowa niemniejszą
3.
Me- 1
ëÅ‚ N öÅ‚
W szeregu rozdzielczym z przedziałami h
Me
Me = + ìÅ‚ - ÷Å‚
_ x " n
0 i
klasowymi:
2
íÅ‚ i= 1 Å‚Å‚
_ n
Me
N X =
1
"" " Jest to wzór interpolacyjny wyprowadzony przy
x
i
= =
X x n x W
i i i i założeniu, że przedziale mediany cecha zachowuje
N
KWARTYL PIERWSZY  jedna czwarta
(nazwa zbior.) ma (cecha) niewiększą
Me1--1
Q 1
4. öÅ‚öÅ‚
N
h niż& .., a ¾ niemniejszÄ…
MQ1
Me = + -- ni
Q= h ëÅ‚ ëÅ‚N4 ni÷Å‚÷Å‚
"
"
xx+ n ìÅ‚ ìÅ‚2 Å‚Å‚Å‚Å‚ Q1- 1
0 0 ÷Å‚
1
ëÅ‚ N öÅ‚
h
Q1
_ íÅ‚
íÅ‚ i=
n
öÅ‚ MQ1 i= 11 = + ìÅ‚ - ÷Å‚
Q " n
x
0 ìÅ‚ i ÷Å‚
1
(x - X
÷Å‚ 4
" íÅ‚ Å‚Å‚
i= 1
i się w sposób liniowy. n
Q1
Å‚Å‚
KWARTYL TRZECI  tak samo jak pierwszy
2
_ Q3- 1
Q3- 1
öÅ‚ 3 öÅ‚ ëÅ‚ 3 öÅ‚
h ëÅ‚ h
Q3 Q3
(x - X = min = + ìÅ‚ N - ÷Å‚
÷Å‚
" = + N - ni ÷Å‚ Q " n
ìÅ‚
0 ìÅ‚ i÷Å‚
i Q x
" 3
x ÷Å‚
0
3 4
i= 1
Å‚Å‚ n íÅ‚ Å‚Å‚
4 Q3
íÅ‚ i= 1 Å‚Å‚
n
Q3
ODCHYLENIE ĆWIARTKOWE  (cecha)
(jednostka) odchyla się średnio od
mediany o & , czyli o & tej średniej
1
5.Suma kwadratów odchyleń poszczególnych
= ( )
Q Q - Q
3 1
wartości badanej cechy od średniej arytmetycznej Najprostsza skala nazywa się skalą nominalną, 2
jest najmniejsza. Oznacza to, że średnia np. ktoś jest protestantem, a ktoś katolikiem (nie
Q
arytmetyczna jest najlepszą miarą średnią pod wiemy kto jest lepszy).
=
v
wieloma względami. Następna jest skala porządkowa, czyli jakaś Me
Me
Średnia arytmetyczna ma również wady: hierarchia, np. wykształcenie wyższe jest lepsze
DOMINANTA  dominujÄ… (jednostki) o
Jest bardzo wrażliwa na wartości nietypowe niż średnie, a średnie lepsze niż zawodowe.
(cecha) &
cechy, gdy takie wartości występują w szeregu to Skala interwałowa  możemy na niej liczyć
średniej arytmetycznej nie należy liczyć. odległości między wartościami, ale nie posiada -
n n
D D- 1
= +
x h
Przez obserwację nietypową rozumiemy ona zera bezwzględnego. D0 0 D
- + -
n n n n
D D- 1 D D+ 1
obserwację skrajną, ale występującą w niewielkiej Skala ilorazowa  posiada odległości i ma zero
ODCHYLENIE STANDARDOWE  (cecha)
ilości mniej niż 10%. bezwzględne.
(jednostka) odchyla się średnio od średniej
Średniej arytmetycznej nie liczymy również gdy Następnymi miarami pozycyjnymi są kwartyle:
arytmetycznej średnio o & , czyli o & tej
skrajne przedziały klasowe są otwarte, chyba że Kwartyl pierwszy jest równy wartości cechy
średniej
można je w sensowny sposób domknąć. takiej, że ź zbiorowości ma wartości nie
ÅšredniÄ… geometrycznÄ… liczymy wtedy gdy w przekraczajÄ…ce tej cechy, a ¾ zbiorowoÅ›ci ma
1 2 2
wartości niemniejsze od tej cechy.
à = -
"
x n x
N i i
Kwartyl trzeci analogicznie, tzn. jest to taka
N
N
= = N
x2...x
wartość cechy, że ¾ zbiorowoÅ›ci ma wartoÅ›ci nie
x x " x
G 1 i
N
i= 1
przekraczajÄ…ce tej cechy. Ã
szeregu występują znaczne różnice między =
Mediana jest drugim kwartylem.
v
x
obserwacjami.
x
WSPÓA
CZYNNIK SKOÅšNOÅšCI  ile
Często stosuje się postać logarytmiczną.
jednostek (większość, mniejszość) ma
wartość cechy mniejszą (większą) od
1
log = (log + ... + log ) Dominanta zwana wartością najczęstszą (zwana
średniej arytmetycznej.
x x x
G 1 n
N
modą, wartością modalną, typową).
Własności średniej geometrycznej:
1
1
= ( )
Q Q - Q
3 1
2
x - 3(x - Me)
D
0
= E"
W s
à Ã
ASYMETRIA  jaki rodzaj asymetrii
wskazuje >0  prawostronna ; <0 -
lewostronna
Q - 2Me +
Q
3 1
=
A
s
2Q
2