ÿþS t a t y s t y k a t o d y s c y p l i n a n a u k i p r z e c i t n e k w a d r a t o w e o d c h y l e n i e p r a w d o p o d o b i e Ds t w a z m i e n n e j
z a j m u j c a s i p o s z c z e g ó l n y c h w y n i k ó w o d i c h l o s o w e j .
m e t o d a m i z b i e r a n i a , [r e d n i e j T f u n k c j o z n a c z a m y f ( x ) i m a o n a
o p r a c o w y w a n i a i a n a l i z y d a n y c h o - O d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e n a s t p u j c e w Ba s n o [c i :
z j a w i s k a c h - O d c h y l e n i e p r z e c i t n e
- f ( x ) ³ð0 , d l a k a |d e g o x
m a s o w y c h j e s t [r e d n i a r y t m e t y c z n
- p r a w d o p o d o b i e Ds t w o , |e X p r z y j m i e
C e l e m j e s t : b e z w z g l d n y c h r ó |n i c p o m i d z y
w a r t o [ m i d z y a i b j e s t r ó w n e m i e r z e
* z n a l e z i e n i e p r a w i d Bo w o [c i p o s z c z e g ó l n y m i w a r t o [c i a m i c e c h y a
p o l a p o d k r z y w f ( x ) p o m i d z y
k s z t a Bt u j c y c h z j a w i s k a : w a r t o [c i [r e d n i
p u n k t a m i a i b
- b a d a n i e s t r u k t u r y
- c a Be p o l e p o d k r z y w f ( x ) j e s t r ó w n e
k o s z t ó w p r o d u k c j i P o r ó w n a n i e s t o p n i a z r ó |n i c o w a n i a 1
- b a d a n i e z m i a n w d w ó c h z b i o r o w o [c i : p o s Bu g u j e m y s i
R o z k Ba d d w u m i a n o w y z a k Ba d a
p o z i o m i e i s t r u k t u r z e l u d n o [c i n a w z g l d n y m i m i e r n i k a m i
p r z e p r o w a d z e n i e e k s p e r y m e n t u
o k r e [l o n e j p r z e s t r z e n i i c z a s i e s t o w s p ó Bc z y n n i k i z m i e n n o [c i i c h
p o l e g a j c e g o n a w y k o n a n i u c i g u
- b a d a n i e z w i z k u w a r t o [ w y z n a c z a m y j a k o s t o s u n e k
i d e n t y c z n y c h d o [w i a d c z e D
p o m i d z y s t a |e m p r a c y a w y d a j n o [c i o d c h y l e n i a s t a n d a r d o w e g o l u b
s p e Bn i a j c y c h n a s t p u j c e w a r u n k i :
n
p r a c o w n i k ó w p r z e c i t n e g o d o w a r t o [c i [r e d n i e j
- S d w a m o |l i w e w y n i k i k a |d e g o
x i -ð x
åð
- r e k l a m a o b r o t a m i a r y t m e t y c z n e j p o m n o |o n y p r z e z 1 0 0
d o [w i a d c z e n i a , n a z y w a n e s u k c e s e m i
i =ð1
D m =ð
P o p u l a c j a ( z b i o r o w o [ s t a t y s t y c z n a )
p o r a |k . W y n i k i t e w y k l u c z a j s i i
n
j e s t r o z u m i a n a j a k o z b i ó r w y n i k ó w d o p e Bn i a j .
w s z y s t k i c h e l e m e n t ó w , k t ó r e p o d l e g a j M i a r y a s y m e t r i i ( s k o [n o [c i ) - P r a w d o p o d o b i e Ds t w o s u k c e s u
b a d a n i u z p u n k t u w i d z e n i a o k r e [l o n e g o J e |e l i d l a t e g o s a m e g o z b i o r u d a n y c h
o z n a c z a n e p r z e z p , p o z o s t a j e t a k i e
s
k r y t e r i u m . o b l i c z a m y [r e d n i a r y t m e t y c z n ,
s a m o o d d o [w i a d c z e n i a d o
V s =ð ·ð1 0 0
P r ó b a j e s t p o d z b i o r e m p o p u l a c j i . m e d i a n i d o m i n a n t t o p o m i d z y n i m i
x d o [w i a d c z e n i a . P r a w d . p o r a |k i
C z [ p o p u l a c j i , k t ó r a j e s t a n a l i z o w a n a m o |e z a c h o d z i j e d n a z t r z e c h r e l a c j i
o z n a c z a n e p r z e z q , j e s t r ó w n e 1 - p .
z e w z g l d u n a u s t a l o n c h a r a k t e r y s t y k ( z a l e |n o [c i ) :
- D o [w i a d c z e n i a s n i e z a l e |n e o d
w c e l u w y c i g n i c i a w n i o s k ó w d l a - x = M e = D ( w y s t p u j e w s z e r e g u
s i e b i e
c a Be g o z b i o r u ( p o p u l a c j i ) . s y m e t r y c z n y m )
D w u m i a n o w y r o z k Ba d
C e c h a s t a t y s t y c z n a - w Ba s n o [ - x < M e < D ( s k o [n o [ u j e m n a ;
p r a w d o p o d o b i e Ds t w a :
j e d n o s t k i ; e l e m e n t y w c h o d z c e w s k Ba d l e w o s t r o n n a )
n
æð öð n !
P ( x ) =ð çð ÷ð p x q n -ðx =ð p x q n -ðx
p o p u l a c j i m a j w Ba s n o [c i w s p ó l n e o r a z - D < M e < x ( s k o [n o [ p r a w o s t r o n n a ,
çð
x ÷ð x ! ( n -ð x ) !
èð øð
t a k i e , k t ó r e r ó |n i c u j t e j e d n o s t k i d o d a t n i a )
mð =ð E ( X ) =ð n p
m i d z y s o b . M i a r a s y m e t r i i j e s t w s p ó Bc z y n n i k
Z b i ó r d a n y c h m o |e b y a s y m e t r i i W A S 2
sð =ð V ( X ) =ð n p q
x -ð D
r o z p a t r y w a n y :
W A S =ð
s
* z p u n k t u w i d z e n i a :
- o p i s o w e g o Z m i e n n e l o s o w e i i c h r o z k Ba d y
R o z k Ba d P o i s s o n a
- w n i o s k o w a n i a s t a t y s t y c z n e g o - j e s t t o f u n k c j a , k t ó r a p r z y z a j [c i u
R o z k Ba d t e n j e s t d o b r y m p r z y b l i |e n i e m
P o d z i a B c e c h s t a t y s t y c z n y c h : k a |d e g o z d a r z e n i a l o s o w e g o w
r o z k Ba d u d w u m i a n o w e g o , p r z y
J e d n y m z w i e l u p o d z i a Bó w c e c h j e s t : p r z y j m u j e k o n k r e t n w a r t o [ x ( w ) , c o
z a Bo |e n i u , |e l i c z b a d o [w i a d c z e D n j e s t
* M i e r z a l n e
z a p i s u j e m y : X : w àð x ( w ) R d u |a ( n > 2 0 ) , a p r a w d o p o d o b i e Ds t w o
- w a r t o [c i d a j s i w y r a z i z a p o m o c
Z m i e n n a l o s o w a m o |e b y : s u k c e s u j e s t m a Be ( p < 0 , 0 5 )
l i c z b s k o k o w e
* s k o k o w a ( d y s k r e t n a ) , Z n a j d u j e z a s t o s o w a n i e w u s t a l a n i u
- w y r a |o n e w r ó |n y c h j e d n o s t k a c h : z B,
g d y m o |e p r z y j m o w a w a r t o [c i z e p r a w d o p o d o b i e Ds t w a w a d l i w o [c i
t o n a c h , s z t u k a c h , i t d . . . c i g Be
z b i o r u p r z e l i c z a l n e g o . R o z k Ba d e m p r o d u k c j i l u b a w a r y j n o [c i m a s z y n
* N i e m i e r z a l n e
p r a w d o p o d o b i e Ds t w a z m i e n n e j l o s o w e j
x
mð e -ðmð
- n i e d a j s i z m i e r z y n o m i n a l n e , n p .
s k o k o w e j j e s t t a b l i c a , w z ó r l u b w y k r e s ,
P ( x ) =ð
p Be , z a w ó d , k o l o r . .
k t ó r y p r z y p o r z d k o w u j e
x !
- o p i s a n e n a s k a l i n o m i n a l n e j
p r a w d o p o d o b i e Ds t w a k a |d e j m o |l i w e j R o z k Ba d n o r m a l n y ( G a u s s a )
p o r z d k o w e
w a r t o [c i z m i e n n e j . - R o z k Ba d n o r m a l n y j e s t r o z k Ba d e m , d o
M i a r y s t a t y s t y c z n e : R o z k Ba d p r a w d . z m i e n n e j l o s o w e j k t ó r e g o d |y m . i n . r o z k Ba d
- m i a r y p o Bo |e n i a
s k o k o w e j s p e Bn i a w a r u n k i : d w u m i a n o w y g d y l i c z b a d o [w i a d c z e D
- m i a r y r o z p r o s z e n i a
n w z r a s t a
- P ( X = x ) = P ( x ) ³ð 0 d l a k a |d e g o x
- m i a r y a s y m e t r i i
- O k a z u j e s i , |e r o z k Ba d n o r m a l n y j e s t
- S P ( x i ) = 1
- m i a r y k o n c e n t r a c j i
r o z k Ba d e m g r a n i c z n y m w i e l u i n n y c h
D y s t r y b u a n t a z m i e n n e j l o s o w e j
M i a r y p o Bo |e n i a ( t e n d e n c j i r o z k Ba d ó w , w s y t u a c j a c h g d y u j a w n i a j
s k o k o w e j :
c e n t r a l n e j ) : s i s k u t k i r ó |n y c h p r z y p a d k o w y c h
F ( x ) =ð p ( x i )
åð
- P - p e r c e n t y l e m w z b i o r z e l i c z b
c z y n n i k ó w p o c h o d z c y c h z r ó |n y c h
x i <ðx
( u p o r z d k o w a n y c h w e d Bu g w i e l k o [c i )
zr ó d e B
m i e r z y s k u p i e n i e s i j e d n o s t e k w
F u n k c j a g s t o [c i :
W Ba s n o [c i d y s t r y b u a n t y z m i e n n e j
z n a c z e n i u p r o c e n t o w y m ; m o |e m y
s k o k o w e j :
( x -ðmð) 2
-ð
1 2
o k r e [l i p r o c e n t z b i o r o w o [c i
- F ( x ) j e s t n i e m a l e j c a 2 sð
f ( x ) =ð e
z n a j d u j c y s i p o n i |e j d a n e j
- F ( x ) j e s t l e w o s t r o n n i e c i g Ba
sð 2 pð
o b s e r w a c j i . S z c z e g ó l n e p e r c e n t y l e :
S t a n d a r y z o w a n y r o z k Ba d n o r m a l n y
- p r z y x àðn i e s k o Dc z o n o [c i F ( x ) àð 1
m e d i a n a i k w a r t a l e ,
- P o n i e w a | i s t n i e j e n i e s k o Dc z e n i e w i e l e
* c i g Ba , g d y p r z y j m u j e w a r t o [c i z
- D o m i n a n t a ( w a r t o [ m o d a l n a , m o d a
n o r m a l n y c h z m i e n n y c h l o s o w y c h ,
d o w o l n e g o p r z e d z i a Bu l i c z b o w e g o .
) j e s t w a r t o [, k t ó r a w t y m z b i o r z e
j e d n z n i c h w y b i e r a m y a b y s Bu |y Ba
M o |l i w e w a r t o [c i t a k i e j z m i e n n e j
w y s t p u j e n a j c z [c i e j
j a k o p e w i e n s t a n d a r d .
t w o r z z b i ó r n i e p r z e l i c z a l n y . C i g Ba
- Zr e d n i a a r y t m e t y c z n a ( [r e d n i a
P r a w d o p o d o b i e Ds t w a z w i z a n e z
z m i e n n a l o s o w a t o t a k a z m i e n n a
k l a s y c z n a ) z w a n t a k |e p r z e c i t n j e s t
w a r t o [c i a m i p r z y j m o w a n y m i p r z e z
l o s o w a , k t ó r a m o |e p r z y j m o w a
t o s u m a w a r t o [c i w s z y s t k i c h w y n i k ó w
z m i e n n n o r m a l n s t a n d a r y z o w a n
d o w o l n e w a r t o [c i z p e w n e g o
p o d z i e l o n a p r z e z i c h l i c z b
z o s t a By s t a b l i c o w a n e
p r z e d z i a Bu n i e p r z e l i c z a l n e g o
P r a w d o p o d o b i e Ds t w a z w i z a n e z c i g B - o z n a c z a m y : N ( 0 , 1 )
M i a r y z r ó |n i c o w a n i a :
z m i e n n l o s o w X s w y z n a c z a n e
- R o z s t p - - W a r i a n c j a - w z b i o r z e
p r z e z f u n k c j g s t o [c i
w y n i k ó w w a r i a n c j n a z y w a m y
R o z k Ba d t - S t u d e n t a R o z k Ba d c h i - k w a d r a t * A n a l i z a e f e k t ó w z m i a n w a r t o [c i
J e |e l i m a m y d w i e z m i e n n e l o s o w e : - R o z k Ba d t e n p o d o b n i e j a k r o z k Ba d t , p o j e d y n c z y c h z m i e n n y c h
- U o r o z k Ba d z i e n o r m a l n y m c h a r a k t e r y z u j e s i l i c z b a s t o p n i o b j a [n i a j c y c h .
s t a n d a r y z o w a n y m o r a z s w o b o d y , d f ( d f = n - 1 ) * P r o g n o z a w a r t o [c i z m i e n n e j
- c 2 o [r e d n i e j r ó w n e j k o r a z - W p r z e c i w i e Ds t w i e d o r o z k Ba d u t , o b j a [n i a n e j d l a d a n e g o z e s t a w u
o d c h y l e n i u s t a n d a r d o w y m r o z k Ba d c h i - k w a d r a t n i e j e s t w a r t o [c i z m i e n n y c h o b j a [n i a j c y c h .
t o z m i e n n a l o s o w a : s y m e t r y c z n y * B a d a n i e , c z y j a k a k o l w i e k z m i e n n a
- R o z k Ba d c h i - k w a d r a t j e s t r o z k Ba d e m o b j a [n i a j c a m a i s t o t n y w p By w n a
p r a w d o p o d o b i e Ds t w a s u m y k w a d r a t ó w z m i e n n o b j a [n i a n .
n i e z a l e |n y c h , s t a n d a r y z o w a n y c h , K o r e l a c j a w y r a |a s t o p i e D p o w i z a n i a
n o r m a l n y c h z m i e n n y c h l o s o w y c h . p o m i d z y z m i e n n y m i l o s o w y m i
S t o s u j e s i d w i e g r u p y t e s t ó w : - K o r e l a c j a p o m i d z y d w o m a
R o z k Ba d t - S t u d e n t a t o r o z k Ba d p a r a m e t r y c z n e i n i e p a r a m e t r y c z n e z m i e n n y m i l o s o w y m i X i Y
c h a r a k t e r y s t y c z n y d l a p r ó b e k o m a Be j - s t o s o w a n i e p i e r w s z y c h w y m a g a - w a n a l i z i e k o r e l a c j i b a d a c z
l i c z n o [c i ( o z n . n ) . p r z y j c i a z a Bo |e D o p o s t a c i r o z k Ba d u j e d n a k o w o t r a k t u j e o b i e z m i e n n e :
R o z k Ba d t c h a r a k t e r y z u j e s i s t o p n i a m i t e s t o w a n e j z m i e n n e j l o s o w e j o r a z z a l e |n i n i e z a l e |n
s w o b o d y o z n a c z a n y m i j a k o k l u b d f . z n a j o m o [c i w y b r a n y c h s t a t y s t y k - p o k a z u j e o n a , n a i l e o b i e z m i e n n e
W a r t o [ p r z e c i t n a r o z k Ba d u t - S t u d e n t a - t e s t y n i e p a r a m e t r y c z n e t a k i c h z a Bo |e D z m i e n i a j s i r ó w n o c z e [n i e w s p o s ó b
j e s t r ó w n a z e r o , a j e g o w a r i a n c j a p r z y n i e w y m a g a j , a l e n i e s t a k m o c n e j a k l i n i o w y
d f > 2 j e s t r ó w n a d f / ( d f - 2 ) . W m i a r j a k p a r a m e t r y c z n e - k o r e l a c j a m i d z y X i Y j e s t t a k a s a m a
l i c z b a d f w z r a s t a , w a r i a n c j a r o z k Ba d u t H i p o t e z y s t a t y s t y c z n e j a k m i d z y Y i X
z b l i |a s i d o j e d n o [c i , t j . d o w a r i a n c j i H i p o t e z a s t a t y s t y c z n a t o k a |d e - K o r e l a c j a m i d z y d w i e m a l o s o w y m i
p r z y p u s z c z e n i e d o t y c z c e r o z k Ba d u z m i e n n y m i X i Y j e s t m i a r s i By
r o z k Ba d u N ~ð( 0 , 1 ) .
z m i e n n e j l o s o w e j w e r y f i k o w a n e n a ( s t o p n i a ) l i n i o w e g o z w i z k u m i d z y
E S T Y M A C J A
p o d s t a w i e n - k r o t n e j r e a l i z a c j i t e j t y m i z m i e n n y m i
Z p r ó b r e p r e z e n t a t y w n y c h o b l i c z a m y
z m i e n n e j - S i l n i e s k o r e l o w a n e z m i e n n e
w i e l k o [c i s t a t y s t y k , k t ó r e s
W y r ó |n i a m y : z a c h o w u j s i t a k , j a k g d y b y
e s t y m a t o r a m i o k r e [l o n y c h p a r a m e t r ó w
- H i p o t e z y r ó w n o c z e [n i e s i p o r u s z a By
p o p u l a c j i .
p a r a m e t r y c z n e i n i e p a r a m e t r y c z n e - k o w a r i a n c j a p a r a m e t r
W y r ó |n i a s i d w a r o d z a j e e s t y m a c j i :
p r o s t e i z Bo |o n e c h a r a k t e r y z u j c y z a l e |n o [c i p o m i d z y
- e s t y m a c j p u n k t o w :
- H i p o t e z z e r o w , o z n a c z o n p r z e z z m i e n n y m i X i Y
c z y l i m e t o d s z a c u n k u , z a p o m o c
H 0 , j e s t h i p o t e z a w w a r t o [c i j e d n e g o z
k t ó r e j j a k o w a r t o [ p a r a m e t r u
p a r a m e t r ó w p o p u l a c j i ( l u b w i e l u ) .
z b i o r o w o [c i g e n e r a l n e j p r z y j m u j e s i
T h i p o t e z t r a k t u j e m y j a k o
k o n k r e t n w a r t o [ e s t y m a t o r a
p r a w d z i w , d o p ó k i n i e u z y s k a m y
w y z n a c z o n e g o n a p o d s t a w i e n -
i n f o r m a c j i s t a t y s t y c z n y c h
e l e m e n t o w e j p r ó b y ( z a k Ba d a m y , |e
d o s t a t e c z n y c h d o z m i a n y n a s z e g o
w a r t o [ s t a t y s t k i z p r ó b y l e |y b l i s k o
s t a n o w i s k a
w a r t o [c i p a r a m e t r u p o p u l a c j i )
- H i p o t e z a l t e r n a t y w n , o z n a c z o n
- e s t y m a c j p r z e d z i a Bo w :
p r z e z H 1 , j e s t h i p o t e z a p r z y p i s u j c a
z a p o m o c k t ó r e j w y z n a c z a s i
p a r a m e t r o w i ( p a r a m e t r o m ) p o p u l a c j i
p r z e d z i a B l i c z b o w y , k t ó r y z u s t a l o n y m
w a r t o [ i n n n i | p o d a j e t o h i p o t e z a
p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m z a w i e r a
z e r o w a
n i e z n a n w a r t o [ s z a c o w a n e g o
M o c t e s t u h i p o t e z y s t a t y s t y c z n e j j e s t
p a r a m e t r u z b i o r o w o [c i g e n e r a l n e j .
p r a w d o p o d o b i e Ds t w o o d r z u c e n i a
W Ba s n o [c i e s t y m a t o r ó w :
h i p o t e z y z e r o w e j , g d y j e s t o n a
- E s t y m a t o r j e s t n i e o b c i |o n y , j e |e l i
f a Bs z y w a . m o c t e s t u = 1 - ²
j e g o w a r t o [ o c z e k i w a n a j e s t r ó w n a
W Ba s n o [c i m o c y t e s t u :
p a r a m e t r o w i p o p u l a c j i , d o o s z a c o w a n i a
- M o c z a l e |y o d o d l e g Bo [c i m i d z y
k t ó r e j s Bu |y
w a r t o [c i p a r a m e t r u z a k Ba d a n w
- E s t y m a t o r a j e s t e f e k t y w n y , j e |e l i m a
h i p o t e z i e z e r o w e j a p r a w d z i w
n i e w i e l k w a r i a n c j ( a t y m s a m y m
w a r t o [c i p a r a m e t r u . I m w i k s z a
n i e w i e l k i e o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e )
o d l e g Bo [ t y m w i k s z a m o c .
- E s t y m a t o r j e s t z g o d n y , j e |e l i
- M o c z a l e |y o d w i e l k o [c i o d c h y l e n i a
p r a w d o p o d o b i e Ds t w o , |e j e g o w a r t o [
s t a n d a r d o w e g o w p o p u l a c j i . I m
b d z i e b l i s k a w a r t o [c i s z a c o w n e g o
m n i e j s z e o d c h y l e n i e t y m w i k s z a m o c .
p a r a m e t r u , w z r a s t a w r a z z e w z r o s t e m
- M o c z a l e |y o d l i c z e b n o [c i p r ó b y . I m
l i c z e b n o [c i p r ó b y .
l i c z n i e j s z a p r ó b a , t y m w i k s z a m o c .
- M o c z a l e |y o d p o z i o m u i s t o t n o [c i
t e s t u . I m n i |s z y p o z i o m i s t o t n o [c i t y m
P r z e d z i a Be m u f n o [c i n a z y w a m y
m n i e j s z a m o c t e s t u
p r z e d z i a B l i c z b o w y , o k t ó r y m
T e s t y n i e p a r a m e t r y c z n e
p r z y p u s z c z a m y , z o k r e [l o n y m
p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m , |e m i e [c i s i w - t e s t z g o d n o [c i c h i - k w a d r a t , p o p u l a c j a
m a o k r e [l o n y t y p r o z k Ba d u
n i m n i e z n a n y p a r a m e t r p o p u l a c j i
- t e s t s e r i i , s p r a w d z e n i e c z y p r ó b a j e s t
C e n t r a l n e t w i e r d z e n i e g r a n i c z n e -
l o s o w a ?
J e |e l i p o b i e r a m y p r ó b z p o p u l a c j i o
- t e s t r a n g o w a n y c h z n a k ó w , c z y d w i e
[r e d n i e j ¼ i s k o Dc z o n y m o d c h y l e n i u
p r ó b y p o c h o d z z t e j s a m e j p o p u l a c j i ?
s t a n d a r d o w y m à , t o r o z k Ba d [r e d n i e j z
R e g r e s j a t o
p r ó b y , d |y d o r o z k Ba d u
* m o d e l o w a n i e z w i z k u p o m i d z y
n o r m a l n e g o o [r e d n i e j ¼ i o d c h y l e n i u ,
d w o m a z m i e n n y m i : z a l e |n Y o r a z
g d y l i c z e b n o [ p r ó b y w z r a s t a
n i e z a l e |n X
n i e o g r a n i c z e n i e , c z y l i d l a
- r e g r e s j a l i n i o w a : m o d e l l i n i o w y
d o s t a t e c z n i e d u |y c h n .
- r e g r e s j a w i e l o r a k a : m o d e l n i e l i n i o w y
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