1. Zdefiniuj Doświadczenie Losowe D.
Kontrolowane postępowanie, którego wynik nie może być przewidziany z całkowitą pewnością
2. Zdarzeniem elementarnym nazywamy:
Każdy wynik doświadczenia losowego.
3. Zdefiniuj Przestrzeń Zdarzeń Elementarnych W�.
Wszystkie możliwe wyniki doświadczenia losowego
4. Co to jest Zdarzenie Losowe?
Podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych
5. Zdarzeniem pewnym nazywamy taki podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych:
który stanowi całą przestrzeń zdarzeń elementarnych
6. Mówimy że zaszło zdarzenie A, kiedy w toku doświadczenia losowego:
D zaszło którekolwiek (ale tylko 1) ze zdarzeń elementarnych składających się na zdarzenie A.
7. Zdefiniuj Alternatywę Zdarzeń.
A,B��Z, C=A �� B, ��� C =� A�� Bó�{���W�;���A �� ���B}
8. Zdefiniuj Koniunkcję Zdarzeń.
A,B��Z, C=AB, ��� C =� A�� Bó�{���W�;���A)"���B}
9. Różnicą zdarzeń C =� (A \ B) nazywamy zbiór zd.elem. � Ź W� takich że:
��� C =� A \ Bó�{���W�;���A)"���B}
10. Zdarzenie B jest następstwem zdarzenia A (A pociąga B) jeżeli zd.elem. � ��W� które należą do A:
Należą również do B. A,B��Z, C=A �� B, ���C=A �� Bó�{�=W�:���A=>���B}
11. Zdefiniuj Negację Zdarzeń.
A��Z , C=A , ���A ó�{���C;���A}
12. Kiedy mówimy o Rozłączności Zdarzeń?
Wykluczanie się. A,B��Z, A)"B=zbiór pusty
13. Co to jest Podział Przestrzeni Zdarzeń Elementarnych?
Podział Przestrzeni Zdarzeń Elementarnych W� Rodzina zdarzeń {At} t��T skończony lub przeliczany jest
podziałem W� jeżeli: 1) At )" At =zbiór pusty (są rozłączne) t `"t ,2)
1 2 1 2
��At=W�
t��T
14. Podaj Aksjomaty Prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P przyporządkowującą każdemu zdarzeniu A��Z liczbę P(A)
zgodnie z warunkami: 1) P(A)e"0, 2) P(W�)=1, 3) jeżeli dla każdego "� i`"j, Ai Ł� Aj=zbiór pusty to P( ��
Ai)="P(Ai)
15. P(f�) =� 0
16. P(A) +� P(A') =� 1
17. P(A �� B) =� P(A)+P(B)-P(A)"B)
18. P(A \ B) =� P(A)- P(A)"B) lub P(A �� B) -P(B)
19. Na czym polega Interpretacja Klasyczna Prawdopodobieństwa
P zajścia zdarzenia A można wyrazić wzorem P(A)=m/n, m-liczba zdarzeń elem. Sprzyjających zajściu
zdarzenia A, n-liczba wszystkich możliwych zdarzeń elem. Int. Klas.P. stosujemy 1)kiedy zd.elem. są
jednakowo prawdopodobne, 2)ilość zdarzeń elem. Jest skończona
20. Na czym polega Interpretacja Statystyczna Prawdopodobieństwa.
Doświadczenie losowe D powtarzamy n-krotnie jeżeli zd.A zostało zrealizowane m-razy to P(A)=m/n
21. Poprzez trójkę: (W�,Z,P) definiujemy:
Pojęcie przestrzeni pro balistycznej (trójka-kompletny obraz zd.losowego)
22. P(A��B)=P(A)"B)/P(B)
23. Kiedy zdarzenia A i B są niezależne?
Mówimy że A oraz B��Z są niezależne gdy P(A)"B)=P(A)*P(B)
24. Zdefiniuj Niezależność Zespołową n Zdarzeń.
Mówimy że A ,A & .An są zespołowo niezależne jeśli dla dowolnej sekwencji wskaz
ników k ,k ,& ks
1 2 1 2
takich że 1d"k d"k d"& d"ksd"n zachodzi P(Ak )" Ak )"& .. )"Aks)=P(Ak )*P(Ak )*& . P(Aks)
1 2 1 2 1 2
25. Zdefiniuj wzorem Niezależność Parami n Zdarzeń
Mówimy że A ,A & .An są niezależne parami gdy każde 2 różne zdarzenia spośród nich są niezależne
1 2
P(Ai)"Aj)=P(Ai)*P(Aj) ;i`"j ;i,j=1,2,..n
26. Sformułuj Twierdzenie O Prawdopodobieństwie Zupełnym
Jeżeli rodzina{Ai}, i=1,2,& n jest podziałem � i wszystkie P(Ai)>0 to dla każdego zd.B zachodzi
"n ( | )
P(B)= P B Ai " P(Ai)
i=1
27. Sformułuj Twierdzenie Bayesa
Jeżeli B jest dowolnym zd P(B)>0 a rodzina{Ai} jest podziałem � i wszystkie P(Ai)>0 to
P(B%Ak)P(Ak)
P(A %B)=
k
"n P(B|Ai)"P(Ai)
i=1
28. Co to jest Dystrybuanta Zmiennej Losowej?
Dystrybuanta zmiennej losowej X nazywamy funkcje F określoną na zbiorze liczb rzeczywistych wzorem:
F(x)=P(X29. Podaj Własności Dystrybuanty.
( ) (-5�[�5�V�5�R�5�`�5�X� = 0, lim 5�9� 5�e� = 5�9� +5�[�5�V�5�R�5�`�5�X� = 1, 3)F(x)
1)0d"F(x)d"1 ,x��R, 2) lim 5�9� 5�e� = 5�9� ) ( ) ( )
5�e��'-5�[�5�V�5�R�5�`�5�X�. 5�e��'+5�[�5�V�5�R�5�`�5�X�.
-
f.niemalejaca x 1 2 1 2 0 0
x�'xo-(x+
5)P(ad"Xd"b)=F(b)-F(a), 6) P(X=x )=F(x )-F(x )
0 0 0
30. Kiedy mówimy, że Zmienna Losowa jest typu Dyskretnego?
Jeżeli istnieje skończony lub przeliczalny zbiór Wx={x ,x ,& xn,& .} wartości tej zmiennej losowej, takie że
1 2
"5�[�(5�[�5�V�5�R�5�`�5�X�)
P(X=xi)=pi>0 oraz 5�]�5�V� = 1
5�V�=1
31. Co to jest funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
p = p(x )=P(X=x )  jest to f. rozkładu prawdop.
i i i
32. Jaką zmienną losową nazywamy ciągłą
Zmienną losową ciągłą nazywamy zmienną losową x przyjmującą wszystkie wartości z tego przedziału x dla
której istnieje nieujemna f, taka że dystrybuanta F tej zmiennej losowej może być przedstawiona w postaci
5�e�
F(x) = 5�S�(5�a�)5�Q�5�a� x"R
+"-"
33. Co to jest funkcja gęstości
34. Kiedy mówimy że został zdefiniowany rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej
35. Zdefiniuj wartość oczekiwaną (wartość przeciętną)
�� xi pi dla dysk.
��
��xi��Wx
��
E(X ) =�
x
��
��
x f x dx dla ciaglej
(� )�
��
��-�Ą�
��
36. E(3*(X-3))=3*(EX-3)
37. E((1X)3) =(1)3 * E(x3) , bo E((cxk)) = ck * E(xk)
3 3
38. Co to jest mediana  wartość środkowa
5�e�5�[�+1
5�T�5�Q�5�f� 5�[�- 5�[�5�V�5�R�5�]�5�N�5�_�5�g�.
2
Wzrór 1: m ={
e 1
5�[� 5�[�
(5�e� + 5�e� )5�T�5�Q�5�f� 5�[� - 5�]�5�N�5�_�5�g�5�f�.
+1
2
2 2
Wzór 2: m =x +5�[�! (5�[�-5�[�5�Z� - "5�Z�-1 5�[�5�W�)
e m
5�W�=1
2
5�Z�
39. Zdefiniuj kwantyl rzędu 0,75 dla zmiennej losowej ciągłej
F(x )= 0,75
0,75
40. Zdefiniuj mode dla zmiennej losowej dyskretnej
Jest to punkt skoku dla którego prawdopodobieństwo P(x ) osiąga maksimum absolutne ( bez punktów
k
brzegowych wzór??
41. Co to jest wariancja  miara rozproszenia rozkładu X
D2(X)= E((X-EX)2)
"5�e�5�V�"5�J�5�e�
D2X = (5�e�5�V� - 5�8�5�K�)25�]�5�V� dla ZLD
"
D2X= (5�e� - 5�8�5�K�)2 5�S�(5�e�)5�Q�5�e� dla ZLC
+"-"
42. D2(3*(X-3))= 32-D2X
43. Zdefiniuj moment zwykły rzędu r dla zmiennej losowej ciągłej
"
ąr +"-"
=EXr = 5�e�5�_� " 5�S�(5�e�)5�Q�5�e� dla ZLC
44. Zdefiniuj moment centralny rzędu r dla zmiennej losowej dyskretnej
"5�e�5�V�"5�J�5�K�
� =E((x-EX)r)= (5�e�5�V� - 5�8�5�K�)5�_� " 5�]�5�V� dla ZLD
r
45. Zdefiniuj rozkład dwumianowy (rozkład bernoulli ego)
5�[�)
P(K=k,n,p)=( 5�]�5�X�(1 - 5�]�)5�[�-5�X�
5�X�
EK=np, D�K=npq
46. Jeśli P(K;n,p)=P(K;12,0.7), podaj EK=, D2K=, k =
0
k =Int((n+1)p) (n+1)p nienależy N
0
EK= n*p=12*0,7=8,4
D2K= n*p*q=12*0,7*0,3=2,5
q= 1-p=1-0,7=0,3
47. Zdefiniuj rozkład Poissona
Zmienna losowa K ma nieskończenie wiele różnych wartości, k=0,1,2,3,& n
5�X�
P(K=k;)=5�� 5�R�-5��
5�X�!
48. Dla n>50 i np<10 wyraz
prawodopodobieństwo P(k;n,p) z rozkładu bernoulliego przez
prawdopodobieństwo z rozkładu Poissona
P(k;n,p)=P(k,=np)
49. .Podaj funkcję gęstości dla rozkładu normalnego o parametrach �,�
1
2
-
2 (5�e�-�)
1
5��2
Rozkład normalny: f(x, �,�)= " 5�R� x"(-",")
5�� 25�ń�
"
50. Podaj funkcję gęstości dla standaryzowanego rozkładu normalnego
1
2
1
�(x)="25�ń� " 5�R�25�e� x"(R)
51. Jakiej transformacji używamy aby przejść od rozkładu normalnego do rozkładu normalnego
standaryzowanego
(�,�) ą� (0,1)
1 5�e�-�
2
-
1
2 (5�e�-�) 2
" " 1 " 1
5��
5�b� =
f(x, �, �)dx= " 5�R� 5�Q�5�e� = # +"-" "25�ń�
+"-" +"-" 5��"25�ń� 5��2 #= " 5�R�25�b� du
1
5�Q�5�b� = 5�Q�5�e�
5��
52. Podaj EX= oraz D2X= dla rozkładu normalnego N(-1,4)
-1=� ,4=�
EX= �=-1 ; D2X=�=42=16
53. Podaj funkcję gęstości dla rozkładu logarytmiczno-normalnego
1(5�Y�5�[�5�e�-�)^2
1
2 5��2
5�R�- 5�e� > 0|
F (x;�,�)=|
LN 5�e�5�� 25�ń�
"
0 5�e� d" 0
54. Jakiej transformacji używamy aby przejść od rozkładu logarytmicznego normalnego do rozkładu
normalnego standaryzowanego?
55. Podaj funkcję gęstości dla rozkładu gamma(rozładu pearsona III typu)
5���5��
5�e�5��-15�R�-5�Q�5�e� 5�Q�5�Y�5�N� 5�e� > 0|
f (x;ą,)=|(5��)

0 5�e� d" 0
56. Podaj EX = oraz D2X = dla rozkładu gamma o parametrach (ą,)= (2,3)
5�� 3 5�� 3
EX= 5��� = , D2X= 5���2 =
2 4
57. Co to jest populacja
Zbiór mający przynajmniej 1 własność wspólną dla wszystkich elem. Kwalifikujących je do teog zbioru oraz
przynajmniej 1 własność ze względu na która elementy tego zbioru mogą różnić się miedzy sobą.
58. Co to jest próba losowa
podzbiór populacji podlegającej bezpośredniemu badaniu
59. Jakie własności ma próba losowa prosta
Próba losowa wylosowana z populacji w taki sposób że przed jej popraniem każdy podzbiór składający się z
n elementów populacji ma takie same szanse wylosowania
Własności: - ten sam rozkład
- są niezależne zespołowo
.
60. Co to jest statystyka?
-funkcja z próby
61. Kiedy Próbę Losową nazywamy Dużą?
Z dużą dokładnością można zastosowac rozkład graniczny
62. Kiedy Próbę Losową nazywamy Małą?
-potrzebny rozkład cechy x populacji
63. Zdefiniuj Dystrybuantę Empiryczną?
�� Niech (x1,x2& ,xn będzie realizacją prostej próby losowej, wtedy:
Femp(x)=5�Y�.5�R�5�Y�5�R�5�Z�.5�e�5�V� 5�]�5�_�ó5�O�5�f�<5�e�
5�[�
�� X1d"x2...d"xn
Femp(x)=0, x=k/n, xk=1, x>xn
64. Skomentuj słowami, jak rozumiemy Twierdzenie Gliwienki-Cantelliego.
-Jesteśmy przekonani że w miarę wzrostu liczebności próby n powiększa się nasza wiedza o
rozkładzie Fx(x) co wyraża się mniejszą odległością pomiędzy dystrybuantami emp Femp(x) a
rzeczyw dystr Fx(x) przy czym odległośc ta Zded jest jako największa odl pomiędzy tymi
dystrybuantami
65. Która funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zachowuje więcej informacji o wylosowanej próbie:
Dystrybuanta Empiryczna czy Histogram?
66. Co to jest Szereg Rozdzielczy?
-jest statystycznym sposobem prezentacji rozkładu empirycznego
67. Którą ze średnich jest Wartość Średnia z Próby?
68. Jak wyznaczamy Medianę dla próby?
-wartośc środkowa lub drugi kwantyl
69. Jak zdefiniowana jest wariancja z próby?
"( )2
ZLD D�X= 5�e�5�V� - 5�8�5�K� 5�]�5�V�
5�[�5�V�5�R�
( )2 ( )
ZLC D�X= 5�e� - 5�8�5�K� 5�S� 5�e� 5�Q�5�e�
+"-5�[�5�V�5�R�
70. Jak definiuje się Modę dla próby?
5�[�5�Z�+1-5�[�5�Z�-1
mo=�m-5�N�5�Y�5�S�5�N� "
2 25�[�5�Z�-1-5�[�5�Z�+1-5�[�5�Z�-1
71. Do czego służy Teoria Estymacji?
- opisuje ile wynosi wartośc nieznanego parametru populacji na podstawie próby.
72. Kiedy mówimy o Estymacji Punktowej?
gH"%1ń
73. Kiedy mówimy o Estymacji Przedziałowej?
g�(%1ń5�4�, %1ń") z ufnością 1-ą
74. Zdefiniuj Estymator Parametru g.
75. Kiedy Estymator nazywamy Zgodnym?
jeśli: lim 5�C�(5�<�
5�[� - 5�T�5�<� < 5�8�) = 1
5�[�5�[�5�V�5�R�5�`�
76. Kiedy Estymator nazywamy Nieobciążonym?
E(
n)=g
77. Jak porównuje się Względną Efektywność Estymatorów?
-nie było czegoś takiego
78. Zdefiniuj Przedział Ufności dla wartości oczekiwanej m� populacji, gdy cecha X populacji ma
rozkład N(m�,s�) o znanym Odchyleniu Standardowym s�.
�

�-�(1-ą/2)"5�[�<�<�+�(1-ą/2)
79. Zdefiniuj Przedział Ufności dla wartości oczekiwanej m� populacji, gdy cecha X populacji ma
rozkład dowolny o nieznanych parametrach a Próba jest Duża.
2
80. Zdefiniuj Przedział Ufności dla wariancji s� populacji, gdy cecha X populacji ma rozkład N(m�,s�) o
nieznanych parametrach a Próba jest Mała.
81. Co to jest Hipoteza Statystyczna?
- każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji.
82. Na czym polega Weryfikacja Hipotezy Statystycznej?
- Polega na podjęciu decyzji o jej prawdziwości lub fałszywości w oparciu o wybraną
próbę.
83. Zdefiniuj pojęcie Testu Statystycznego.
- met postępowania która każdej możliwej realizacji próby losowej przyporządkowuje z
ustalonym prawdop. Decyzje przyjęcia lub odrzucenia hipotezy
84. Na czym polega Błąd I Rodzaju przy testowaniu hipotez statystycznych?
-Hipoteza prawdziwa ale decyzje odrzucamy
85. Na czym polega Błąd II Rodzaju przy testowaniu hipotez statystycznych?
-Hipoteza fałszywa ale decyzje przyjmujemy
86. Co to jest Hipoteza Alternatywna?
- hipoteza jaką jesteśmy w stanie przyjąc gdy odrzucamy hipoteze główną
87. Podaj Statystykę Testową dla Testu Istotności dotyczącego wartości oczekiwanej m� populacji, gdy
badana cecha X ma rozkład normalny o nieznanych parametrach.
2
88. Podaj Statystykę Testową dla Testu Istotności dotyczącego wariancji s� populacji, gdy badana
cecha ma rozkład normalny o nieznanych parametrach a Próba jest Duża
89. Co to jest Test Zgodności?
-można odrzucic hipoteze ale przyjąc jej nie wolno
2
90. Podaj Przedział Krytyczny dla Testu c� Pearsona.
91. Zdefiniuj Statystykę Testową dla Testu Zgodności Kołmogorowa.