1

Piotr LUDWIKOWSKI

2008/2009 Fizyka

22 kwietnia 2009

Środa, 17:15

dr I. Mróz

WYZNACZANIE WZGLĘDNEJ GĘSTOŚCI CIECZY I CIAŁ STAŁYCH

Waga Mohra (w pierwszym, nagłówkowym

wierszu tabeli, zapisano liczbowo pozycję

na których znalazły się koniki):
Woda (1), Alkohol (2)
Położenie koników:

Lp.

3

4

5

6

1

-

1A

0,1A

1A

2

1A

0,1A

1A

-

Prawo Hooke’a:
Początkowe położenie wskazówki:

x

01

=17,4 cm, u(x) = 0,1 cm

Lp.

Masa

m/g

Położenie x

1

/cm

(obciążenie rosnące)

Położenie x

2

/cm

(obciążenie rosnące)

1

1

17,7

17,7

2

2

18,0

18,0

3

3

18,2

18,2

4

4

18,5

18,5

5

5

18,8

18,8

6

6

19,1

19,1

7

7

19,4

19,4

8

8

19,7

19,7

9

9

20,0

20,0

10

10

20,2

20,2

Waga Jolly’ego:
Początkowe położenie wskazówki:

x

02

= 17,0 cm, u(x) = 0,1 cm

Lp.

„ciężarek”

Położenie x

3

(w „powietrzu”)/cm

Położenie x

4

(w „wodzie”)/cm

1

m

1

19,1

18,9

2

m

2

22,6

22,1

3

m

3

19,1

18,4

4

m

4

25,7

24,2

Początkowe położenie wskazówki:

x

03

= 17,1 cm, u(x) = 0,1 cm

Lp.

„ciężarek”

Położenie x

5

(w „powietrzu”)/cm

Położenie x

6

(w „alkoholu”)/cm

1

m

1

19,1

19,0

2

m

2

22,6

22,2

3

m

3

18,8

18,5

4

m

4

25,3

24,5

Uwagi:
Dla ułatwienia, masy badane w doświadczeniu otrzymały nadane przeze mnie nazwy, które jednak należy dokładnie

wyjaśnić. Zrobię to za pomocą rysunków:

- m

1

- m

2

- m

3

- m

4

Dokładność pomiarów położenia wskazówki wyniosła: 0,1 cm.

30

2

TEORIA:

Gęstość ciał, a ich ciężar właściwy. Zależność gęstości od temperatury.

Gęstość to masa jednostki objętości, dla substancji jednorodnych określana jako stosunek masy m do

objętości V:

Prawo Archimedesa i związane z nim metody wyznaczania gęstości ciał.

Gęstość ciał stałych można wyznaczyć bezpośrednio, odwołując się do prawa Archimedesa, i

mierząc siłę wyporu, która jest równa ciężarowi cieczy w objętości zanurzonego ciała. Ciało zawieszone na

drucie/lince umocowane na belce wagi ważymy dwukrotnie, raz w powietrzu, a drugi raz po całkowitym
zanurzeniu w wodzie. Nad szalką wagi umieszczona jest podstawka, na której ustawia się zlewkę z wodą.

Masę drucika zaniedbuje się, jeśli jest mniejsza od czułości wagi. W pomiarach uzyskujemy ciężary
odpowiednio m

1

g i m

2

g. Ponieważ siła wyporu daje się przedstawić za pomocą wzoru:

możemy wypisać dwa równania:

Nie znamy masy ciała, m i objętości V. Po rozwiązaniu równania względem m i V uzyskujemy gęstość

bryłki

W pierwszym przybliżeniu możemy przyjąć, że ρ

w

= 1 g/cm

3

. Niemniej można zmierzyć temperaturę

wody i odszukać, w tablicach wielkości fizycznych, gęstość wody w temperaturze, przy której wykonywano
eksperyment. Można też uwzględnić parcie powietrza.

Gęstość nieregularnego ciała znajdujemy dzięki wadze elektronicznej. Ważymy samą bryłkę uzyskując

masę. Potem ważymy zlewkę z wodą Ilość wody i objętość naczynia należy tak dobrać, aby można było

dokonać pomiaru ciężaru bryłki zanurzonej całkowicie w wodzie, wraz ze zlewką i wodą. Jeśli zaniedbamy
masę linki możemy wyznaczyć objętość bryłki, korzystając z prawa Archimedesa:

W pomiarze a wyznaczamy masę bryłki, co umożliwia wyznaczenie jej gęstości:

W przypadku cieczy jest podobnie, ale nie identycznie. Ciało zważone w powietrzu i w wodzie

ważymy w badanej cieczy. Siła wyporu wynosi teraz:

możemy wypisać dodatkowe równanie:

Objętość wypartej cieczy jest taka sama jak uprzednio:

co oznacza, że gęstość cieczy można wyznaczyć ze wzoru:

Należy przypomnieć, że gęstość cieczy silnie zależy od temperatury, dlatego w celu dokładnego

określenia gęstości ciała ρ niezbędna jest znajomość temperatury cieczy w czasie pomiaru.

3

Odkształcenia sprężyste - prawo Hooke’a.

Prawo Hooke'a to prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Stwierdza

ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na niego siły jest wprost proporcjonalne do tej siły.
Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem)

sprężystości.

Wzór na względną gęstość ciała stałego wyznaczoną za pomocą wagi Jolly’ego.

Opieramy się definicji gęstości bezwzględnej ciała:

gdzie: d – gęstość bezwzględna, m – masa ciała, V – jego objętość.
Po znalezieniu pozycji zerowej wagi (a), przeprowadzamy dwa ważenia: jedno z ciałem zawieszonym

na sprężynie i umieszczonym w powietrzu (b), drugie z ciałem umieszczonym w wodzie(c). W pierwszym
przypadku sile rozciągająca stanowi ciężar ciała w powietrzu, w drugim – siłą rozciągającą jest różnica

ciężaru ciała i siły wyporu równej ciężarowi wypartej przez ciało wody. Na podstawie prawa Hooke’a
możemy napisać dwa równania:

gdzie odpowiednio: m – masa ciała w powietrzu, mw – masa wypartej wody, g – przyspieszenie

ziemskie, k – współczynnik proporcjonalności. Teraz wyrazimy ciężar wody mw przez jej objętość V i

gęstość dw, to otrzymamy wzór na gęstość ciała:

W obliczeniach należy przyjąć, że gęstosć wody w temperaturze pokojowej wynosi 1g/cm

3

.

Wzór na gęstość względną cieczy wyznaczoną wagą Mohra.

Jeśli na prawym ramieniu o długości l zawiesimy (w powietrzu) specjalny wypornik, to znajduje się

ona w równowadze. Jeśli wypornik zanurzymy całkowicie w cylindrze miarowym z badaną cieczą, to w celu
zrównoważenia siły wyporu musimy prawe ramię obciążyć dodatkowo masą mx. Możemy zatem napisać

równanie sił:

Tutaj V oznacza objętość wypornika. Ponieważ gęstość cieczy ρ

c

spełnia zależność:

otrzymamy:

Powyższy wzór pozwala określić ρ

c

w g/cm

3

, po podstawieniu masy m

x

wyrażonej w gramach. Do

wagi dołączone są odważniki, które możemy zawieszać na specjalnych

wieszakach w odległościach

4

od punktu podparcia belki wagi. Masa m odważnika zawieszonego w odległości ln musi być odniesiona

do odległości końcowej l = 10l. Jeśli dla masy m

(i)

(„i”) oznacza numer kolejnego odważnika) masę zastępczą

oznaczymy przez

, to z przyrównania równoważnych momentów sił wynika zależność:

Stąd:

Np. dla odważnika 10g na trzecim wieszaku, masa zastępcza wynosi 0,3∙10 g = 3 g.
Jeżeli w celu zrównoważenia wagi zawiesiliśmy kilka odważników w różnych odległościach od osi

obrotu belki, to podstawiamy sumę mas zastępczych wszystkich odważników:

Przedstawiona waga cechowana jest w temperaturze 20°C. Przy bardzo dokładnych pomiarach należy

uwzględnić siłę wyporu powietrza — do wyniku uzyskanego na podstawie wzoru na gęstość dodajemy
wartość 0,0012 g/cm

3

.

Moment siły.
Moment siły to wektor osiowy

, gdzie r – promień wodzący zaczepiony w pewnym

wybranym punkcie (względem tego punktu wyznacza się moment siły), F - wektor działającej siły, znak

oznacza iloczyn wektorowy. Wypadkowy moment siły działający na ciało równy jest ich sumie wektorowej.
Skutkiem działania na ciało wypadkowego niezerowego momentu siły jest ruch obrotowy.

Tekst na podstawie

H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, oraz wiedzy własnej.

OPRACOWANIE WYNIKÓW:
Waga Mohra:

Najpierw wyznaczymy gęstość względną alkoholu d

a

/d

w

. skorzystamy przy tym ze schematu:

gdzie a, b, c - położenia koników na ramieniu wagi.
Dla wody:

zatem:

Dla alkoholu;

zatem:

a więc:

Niepewność maksymalna policzona za pomocą programu MS Excel:

5

Waga Jolly’ego:
Ciała ważone w wodzie.
Aby wyznaczyć gęstość względną ciała skorzystamy z wzoru:

gdzie d

w

–przyjmujemy 1 g/cm

3

.

Lp. „ciężarek” gęstość wzgl.

niepewność całk.

1

m

1

10,5

2

m

2

11,2

3

m

3

3,0

4

m

4

5,8

Całkowita niepewność pomiarowa wyliczona za pomocą programu MS Excel jest sumą

niepewności z tabeli powyżej i wynosi:

Ciała ważone w alkoholu:
Ponownie korzystamy z powyższego wzoru; jednak tym razem uwzględniamy inne dane, więc

przyjmuje on postać (d

a

= 0,757 g/cm

3

):

Otrzymujemy:

Lp. „ciężarek”

gęstość wzgl.

Niepewność całk.

1

m

1

15,1

2

m

2

10,4

3

m

3

4,3

4

m

4

7,8

Całkowita niepewność pomiarowa wyliczona za pomocą programu MS Excel jest sumą

niepewności z tabeli powyżej i wynosi:

PRAWO HOOKE’A:

Narysujemy teraz wykres zależności wydłużenia sprężyny od obciążenia. W tym celu potrzebujemy

znać średnie wydłużenie przy obciążeniu rosnącym i malejącym, jednak wskazania dla obu przypadków

były identyczne.

Z wykresu odczytujemy wartość współczynnika k, który jest jednocześnie czułością wagi Jolly’ego.

Niepewność policzona za pomocą programu MS Excel wynosi:

6

F = 0,284x

-0,3

-3,1E-15

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

2,4

2,7

3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

wyd

łu

ze

n

ie

x

/cm

masa m/g

Zależność wydłużenia sprężyny od masy ciężarków

Zależność wydłużenia
sprężyny od masy
ciężarków

0

7

WNIOSKI:
Waga Mohra:

Wynik doświadczenia pokazuje gęstość względną alkoholu 0,757. Niepewność

wyniosła 0,52. Wynik wpasowuje się wraz z niepewnością do wartości tablicowych. Waga

Mohra okazuje się zatem bardzo precyzyjnym urządzeniem.
Waga Jolly’ego:

W przypadku ciała m

1

, w naszych obliczeniach gęstości względne wyniosły 10,5 i

niepewności 10,5 oraz 15,1 i niepewności 10,5 . W obu przypadkach niepewności są rzędu

ponad 50%, co moim zdaniem oznacza, że pomiar został wykonany nieprawidłowo.
W przypadku ciała o masie m

2

, w naszych obliczeniach gęstości względne wyniosły 11,2 i

niepewności 4,48 oraz 10,4 i niepewności 6,88. W pierwszym przypadku niepewność jest
znacznie mniejsza, ale w drugim nadal niezadowalająca.

W przypadku trzeciego ciała (m

3

), naszych obliczeniach wyniosły one 3,0 i

niepewności 0,76 oraz 4,3 i niepewności 3,78. W pierwszym przypadku ponownie
niepewność jest znacznie mniejsza. Niestety w drugim znów niepewność jest wysoce
niezadowalająca.

W przypadku czwartego ciała (m

4

), w naszych obliczeniach wyniosły one 5,8 i

niepewności 0,77 oraz 7,8 i niepewności 2,56. Tym razem woda destylowana wypada
lepiej na tle alkoholu w odniesieniu do niepewności pomiarowych.

Przy powyższych wynikach trudno stwierdzić jak najlepiej wyznaczać gęstość ciał

przy wadze Jolly’ego. Niemniej właściwszą substancją wydaje się woda destylowana, choć
nie zawsze.

Prawo Hooke’a:

Wykorzystanie wagi Jolly’ego przy sprawdzaniu prawa Hooke’a okazało się dobrym

sposobem, a wyniki wiarygodne. Trudno rozważać w tym przypadku coś więcej, gdyż
stała k zależy jedynie od ciężaru (masy) jak i siły. Natomiast umieszczony wcześniej
wykres przedstawia funkcję liniową, a właśnie taka jest zależność dla stałej k.