Piotr LUDWIKOWSKI
2008/2009 Fizyka	22 kwietnia 2009
Środa, 17:15	dr I. Mróz

Wyznaczanie WZGLĘDNEJ GĘSTOŚCI CIECZY I CIAŁ STAŁYCH

Waga Mohra (w pierwszym, nagłówkowym
wierszu tabeli, zapisano liczbowo pozycję
na których znalazły się koniki):

Woda (1), Alkohol (2)

Położenie koników:

Lp.	3	4	5	6
1	-	1A	0,1A	1A
2	1A	0,1A	1A	-

Prawo Hooke’a:

Początkowe położenie wskazówki:
x₀₁ =17,4 cm, u(x) = 0,1 cm

Lp.	Masa m/g	Położenie x1/cm (obciążenie rosnące)	Położenie x2/cm (obciążenie rosnące)
1	1	17,7	17,7
2	2	18,0	18,0
3	3	18,2	18,2
4	4	18,5	18,5
5	5	18,8	18,8
6	6	19,1	19,1
7	7	19,4	19,4
8	8	19,7	19,7
9	9	20,0	20,0
10	10	20,2	20,2

Waga Jolly’ego:

Początkowe położenie wskazówki:
x₀₂ = 17,0 cm, u(x) = 0,1 cm

Lp.	„ciężarek”	Położenie x3 (w „powietrzu”)/cm	Położenie x4 (w „wodzie”)/cm
1	m1	19,1	18,9
2	m2	22,6	22,1
3	m3	19,1	18,4
4	m4	25,7	24,2

Początkowe położenie wskazówki:
x₀₃ = 17,1 cm, u(x) = 0,1 cm

Lp.	„ciężarek”	Położenie x5 (w „powietrzu”)/cm	Położenie x6 (w „alkoholu”)/cm
1	m1	19,1	19,0
2	m2	22,6	22,2
3	m3	18,8	18,5
4	m4	25,3	24,5

Uwagi:

Dla ułatwienia, masy badane w doświadczeniu otrzymały nadane przeze mnie nazwy, które jednak należy dokładnie wyjaśnić. Zrobię to za pomocą rysunków:

- m₁ - m₂ - m₃ - m₄

Dokładność pomiarów położenia wskazówki wyniosła: 0,1 cm.

TEORIA:

Gęstość ciał, a ich ciężar właściwy. Zależność gęstości od temperatury.

Gęstość to masa jednostki objętości, dla substancji jednorodnych określana jako stosunek masy m do objętości V:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

Prawo Archimedesa i związane z nim metody wyznaczania gęstości ciał.

           Gęstość ciał stałych można wyznaczyć bezpośrednio, odwołując się do prawa Archimedesa, i mierząc siłę wyporu, która jest równa ciężarowi cieczy w objętości zanurzonego ciała. Ciało zawieszone na drucie/lince umocowane na belce wagi ważymy dwukrotnie, raz w powietrzu, a drugi raz po całkowitym zanurzeniu w wodzie. Nad szalką wagi umieszczona jest podstawka, na której ustawia się zlewkę z wodą. Masę drucika zaniedbuje się, jeśli jest mniejsza od czułości wagi. W pomiarach uzyskujemy ciężary odpowiednio m₁g i m₂g. Ponieważ siła wyporu daje się przedstawić za pomocą wzoru:

F_w = ρ_wVg

możemy wypisać dwa równania:

mg = m₁g

mg − ρ_wVg = m₂g

Nie znamy masy ciała, m i objętości V. Po rozwiązaniu równania względem m i V uzyskujemy gęstość bryłki

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{m_{1}}{m_{1} - m_{2}}\rho_{w}$$

W pierwszym przybliżeniu możemy przyjąć, że ρ_w = 1 g/cm³. Niemniej można zmierzyć temperaturę wody i odszukać, w tablicach wielkości fizycznych, gęstość wody w temperaturze, przy której wykonywano eksperyment. Można też uwzględnić parcie powietrza.

Gęstość nieregularnego ciała znajdujemy dzięki wadze elektronicznej. Ważymy samą bryłkę uzyskując masę. Potem ważymy zlewkę z wodą Ilość wody i objętość naczynia należy tak dobrać, aby można było dokonać pomiaru ciężaru bryłki zanurzonej całkowicie w wodzie, wraz ze zlewką i wodą. Jeśli zaniedbamy masę linki możemy wyznaczyć objętość bryłki, korzystając z prawa Archimedesa:

$$m_{2}g = m_{1}g + mg - \left( mg - \rho_{w}\text{Vg} \right) \Rightarrow V = \frac{m_{2} - m_{1}}{\rho_{w}}$$

W pomiarze a wyznaczamy masę bryłki, co umożliwia wyznaczenie jej gęstości:

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{m_{1}}{m_{2} - m_{1}}\rho_{w}$$

W przypadku cieczy jest podobnie, ale nie identycznie. Ciało zważone w powietrzu i w wodzie ważymy w badanej cieczy. Siła wyporu wynosi teraz:

F_wcieczy = ρ_cVg

możemy wypisać dodatkowe równanie:

$$mg - \rho_{c}Vg = m_{3}g \Rightarrow \rho_{c} = \frac{m_{1} - m_{3}}{V}$$

Objętość wypartej cieczy jest taka sama jak uprzednio:

$$V = \frac{m_{1} - m_{3}}{\rho_{w}}$$

co oznacza, że gęstość cieczy można wyznaczyć ze wzoru:

$$\rho_{c} = \frac{m_{1} - m_{3}}{m_{1} - m_{2}}\rho_{w}$$

Należy przypomnieć, że gęstość cieczy silnie zależy od temperatury, dlatego w celu dokładnego określenia gęstości ciała ρ niezbędna jest znajomość temperatury cieczy w czasie pomiaru.

Odkształcenia sprężyste - prawo Hooke’a.

Prawo Hooke'a to prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Stwierdza ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na niego siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Wzór na względną gęstość ciała stałego wyznaczoną za pomocą wagi Jolly’ego.

Opieramy się definicji gęstości bezwzględnej ciała:

$$d = \frac{m}{V}$$

gdzie: d – gęstość bezwzględna, m – masa ciała, V – jego objętość.

Po znalezieniu pozycji zerowej wagi (a), przeprowadzamy dwa ważenia: jedno z ciałem zawieszonym na sprężynie i umieszczonym w powietrzu (b), drugie z ciałem umieszczonym w wodzie(c). W pierwszym przypadku sile rozciągająca stanowi ciężar ciała w powietrzu, w drugim – siłą rozciągającą jest różnica ciężaru ciała i siły wyporu równej ciężarowi wypartej przez ciało wody. Na podstawie prawa Hooke’a możemy napisać dwa równania:

mg = k(b − a)

mg − m_wg = k(c − a)

gdzie odpowiednio: m – masa ciała w powietrzu, mw – masa wypartej wody, g – przyspieszenie ziemskie, k – współczynnik proporcjonalności. Teraz wyrazimy ciężar wody mw przez jej objętość V i gęstość dw, to otrzymamy wzór na gęstość ciała:

$$\frac{m}{V} = \frac{b - a}{b - c}d_{w}$$

W obliczeniach należy przyjąć, że gęstosć wody w temperaturze pokojowej wynosi 1g/cm³.

Wzór na gęstość względną cieczy wyznaczoną wagą Mohra.

Jeśli na prawym ramieniu o długości l zawiesimy (w powietrzu) specjalny wypornik, to znajduje się ona w równowadze. Jeśli wypornik zanurzymy całkowicie w cylindrze miarowym z badaną cieczą, to w celu zrównoważenia siły wyporu musimy prawe ramię obciążyć dodatkowo masą mx. Możemy zatem napisać równanie sił:

m_xg = gρ_c

Tutaj V oznacza objętość wypornika. Ponieważ gęstość cieczy ρ_c spełnia zależność:

ρ_c = m_x/V

otrzymamy:

ρ_c = 0, 1m_x

Powyższy wzór pozwala określić ρ_c w g/cm³, po podstawieniu masy m_x wyrażonej w gramach. Do wagi dołączone są odważniki, które możemy zawieszać na specjalnych

wieszakach w odległościach

$l_{n} = n\frac{l}{10}$ n = 1,  2,  3…

od punktu podparcia belki wagi. Masa m odważnika zawieszonego w odległości ln musi być odniesiona do odległości końcowej l = 10l. Jeśli dla masy m⁽ⁱ⁾ („i”) oznacza numer kolejnego odważnika) masę zastępczą oznaczymy przez m_x⁽ⁱ⁾, to z przyrównania równoważnych momentów sił wynika zależność:

m⁽ⁱ⁾l_n = m_x⁽ⁱ⁾l

Stąd:

$$m_{x}^{(i)} = \frac{l_{n}}{l}m^{(i)} = \frac{n}{10}m^{(i)}$$

Np. dla odważnika 10g na trzecim wieszaku, masa zastępcza wynosi 0,3∙10 g = 3 g.

Jeżeli w celu zrównoważenia wagi zawiesiliśmy kilka odważników w różnych odległościach od osi obrotu belki, to podstawiamy sumę mas zastępczych wszystkich odważników:

$$m_{x} = \sum_{i = 1}^{n}m_{x}^{(i)}$$

Przedstawiona waga cechowana jest w temperaturze 20°C. Przy bardzo dokładnych pomiarach należy uwzględnić siłę wyporu powietrza — do wyniku uzyskanego na podstawie wzoru na gęstość dodajemy wartość 0,0012 g/cm³.

Moment siły.

Moment siły to wektor osiowy M = F  ×  r, gdzie r – promień wodzący zaczepiony w pewnym wybranym punkcie (względem tego punktu wyznacza się moment siły), F - wektor działającej siły, znak × oznacza iloczyn wektorowy. Wypadkowy moment siły działający na ciało równy jest ich sumie wektorowej. Skutkiem działania na ciało wypadkowego niezerowego momentu siły jest ruch obrotowy.

Tekst na podstawie H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, oraz wiedzy własnej.

OPRACOWANIE WYNIKÓW:

Waga Mohra:

Najpierw wyznaczymy gęstość względną alkoholu d_a/d_w. skorzystamy przy tym ze schematu:

m = 1A • a + 0, 1A • b = 0, 01A • c

gdzie a, b, c - położenia koników na ramieniu wagi.

Dla wody:

m_w = 1A • 4 + 0, 1A • 5 + 0, 01A • 6 = 4, 56 A

zatem:

d_w = 0, 1m_w = 0, 456 A/cm³

Dla alkoholu;

m_a = 1A • 3 + 0, 1A • 4 + 0, 01A • 5 = 3, 45A

zatem:

d_a = 0, 1m_a = 0, 345 A/cm³

a więc:

$$\frac{d_{a}}{d_{w}} = \frac{0,345\frac{A}{\text{cm}^{3}}}{0,456\frac{A}{\text{cm}^{3}}} = 0,757$$

Niepewność maksymalna policzona za pomocą programu MS Excel:

$$u\left( \frac{d_{a}}{d_{w}} \right) = 0,52$$

Waga Jolly’ego:

Ciała ważone w wodzie.

Aby wyznaczyć gęstość względną ciała skorzystamy z wzoru:

$$\frac{d_{c}}{d_{w}} = \frac{x_{3} - x_{02}}{x_{3} - x_{4}}$$

gdzie d_w –przyjmujemy 1 g/cm³.

Lp.	„ciężarek”	gęstość wzgl.	niepewność całk.
1	m1	10,5	u(dc) = 10, 5
2	m2	11,2	u(dc) = 4, 48
3	m3	3,0	u(dc) = 0, 86
4	m4	5,8	u(dc) = 0, 77

Całkowita niepewność pomiarowa wyliczona za pomocą programu MS Excel jest sumą niepewności z tabeli powyżej i wynosi:

u(d_c) = 16, 61

Ciała ważone w alkoholu:

Ponownie korzystamy z powyższego wzoru; jednak tym razem uwzględniamy inne dane, więc przyjmuje on postać (d_a = 0,757 g/cm³):

$$\frac{d_{c}}{d_{a}} = \frac{x_{5} - x_{03}}{x_{5} - x_{6}}$$

Otrzymujemy:

Lp.	„ciężarek”	gęstość wzgl.	Niepewność całk.
1	m1	15,1	u(dc) = 10, 5
2	m2	10,4	u(dc) = 6, 88
3	m3	4,3	u(dc) = 3, 78
4	m4	7,8	u(dc) = 2, 56

Całkowita niepewność pomiarowa wyliczona za pomocą programu MS Excel jest sumą niepewności z tabeli powyżej i wynosi:

u(d_c) = 23, 72

PRAWO HOOKE’A:

Narysujemy teraz wykres zależności wydłużenia sprężyny od obciążenia. W tym celu potrzebujemy znać średnie wydłużenie przy obciążeniu rosnącym i malejącym, jednak wskazania dla obu przypadków były identyczne.

Z wykresu odczytujemy wartość współczynnika k, który jest jednocześnie czułością wagi Jolly’ego.

$$k = 0,284\ \frac{N}{m}$$

Niepewność policzona za pomocą programu MS Excel wynosi: $u\left( k \right) = 0,004\ \frac{N}{m}$

WNIOSKI:

Waga Mohra:

Wynik doświadczenia pokazuje gęstość względną alkoholu 0,757. Niepewność wyniosła 0,52. Wynik wpasowuje się wraz z niepewnością do wartości tablicowych. Waga Mohra okazuje się zatem bardzo precyzyjnym urządzeniem.

Waga Jolly’ego:

W przypadku ciała m₁, w naszych obliczeniach gęstości względne wyniosły 10,5 i niepewności 10,5 oraz 15,1 i niepewności 10,5 . W obu przypadkach niepewności są rzędu ponad 50%, co moim zdaniem oznacza, że pomiar został wykonany nieprawidłowo.

W przypadku ciała o masie m₂, w naszych obliczeniach gęstości względne wyniosły 11,2 i niepewności 4,48 oraz 10,4 i niepewności 6,88. W pierwszym przypadku niepewność jest znacznie mniejsza, ale w drugim nadal niezadowalająca.

W przypadku trzeciego ciała (m₃), naszych obliczeniach wyniosły one 3,0 i niepewności 0,76 oraz 4,3 i niepewności 3,78. W pierwszym przypadku ponownie niepewność jest znacznie mniejsza. Niestety w drugim znów niepewność jest wysoce niezadowalająca.

W przypadku czwartego ciała (m₄), w naszych obliczeniach wyniosły one 5,8 i niepewności 0,77 oraz 7,8 i niepewności 2,56. Tym razem woda destylowana wypada lepiej na tle alkoholu w odniesieniu do niepewności pomiarowych.

Przy powyższych wynikach trudno stwierdzić jak najlepiej wyznaczać gęstość ciał przy wadze Jolly’ego. Niemniej właściwszą substancją wydaje się woda destylowana, choć nie zawsze.

Prawo Hooke’a:

Wykorzystanie wagi Jolly’ego przy sprawdzaniu prawa Hooke’a okazało się dobrym sposobem, a wyniki wiarygodne. Trudno rozważać w tym przypadku coś więcej, gdyż stała k zależy jedynie od ciężaru (masy) jak i siły. Natomiast umieszczony wcześniej wykres przedstawia funkcję liniową, a właśnie taka jest zależność dla stałej k.