32 Â

WIAT

N

AUKI

Styczeƒ 1998

W

czerwcu ub. r. 500 matematy-
ków zebranych w Wielkiej
Auli Uniwersytetu w Getyn-

dze w Niemczech by∏o Êwiadkami uro-
czystoÊci, na której Andrew J. Wiles
z Princeton University odbiera∏ presti-
˝owà nagrod´ Wolfskehla. WartoÊç na-
grody – ustanowionej w 1908 roku dla
osoby, która poda dowód s∏ynnego
ostatniego twierdzenia Pierre’a de Fer-
mat – poczàtkowo równa∏a si´ 2 mln dzi-
siejszych dolarów, ale hiperinflacja i ko-
lejne dewaluacje marki okroi∏y jà do
drobnych 50 tys. dolarów. Nie o pienià-
dze jednak chodzi∏o. Rozwiàzanie tej
XVII-wiecznej zagadki by∏o dla Wilesa
urzeczywistnieniem marzenia z dzieciƒ-
stwa i koƒcem dekady ogromnego wy-
si∏ku. Dla zebranych goÊci dowód Wile-
sa stanowi∏ zapowiedê nadchodzàcej
rewolucji w matematyce.

W istocie, do swych z górà stustroni-

cowych obliczeƒ Wiles potrzebowa∏ nie
tylko oparcia w ju˝ istniejàcych, ale roz-
wini´cia wielu nowych idei matematycz-
nych. Przede wszystkim musia∏ zmierzyç
si´ z hipotezà Shimury-Taniyamy, b´dà-
cà wa˝nym wk∏adem XX-wiecznej mate-
matyki zarówno do geometrii algebraicz-
nej, jak analizy zespolonej. W ten sposób
przerzuci∏ pomost pomi´dzy tymi wielki-
mi dzia∏ami matematyki i sprawi∏, ˝e od-
krycia w jednym z nich z pewnoÊcià za-
inspirujà nowe kierunki badaƒ w drugim.
A byç mo˝e w konsekwencji ujawnione
zostanà nowe zwiàzki mi´dzy innymi od-
leg∏ymi dziedzinami matematyki.

Ksià˝´ amatorów

Pierre de Fermat urodzi∏ si´ 20 sierp-

nia 1601 roku w Beaumont-de-Lomagne,
ma∏ym miasteczku w po∏udniowo-za-
chodniej Francji. Pracowa∏ w lokalnej ad-

ministracji i sàdownictwie. Aby zapew-
niç s´dziom niezale˝noÊç i bezstronnoÊç,
odradzano im wówczas utrzymywanie
kontaktów towarzyskich, dlatego te˝
wi´kszoÊç wieczorów Fermat sp´dza∏
w zaciszu gabinetu, oddajàc si´ swemu
hobby – matematyce. Mimo i˝ by∏ w tej
dziedzinie amatorem, dzi´ki talentowi
dokona∏ znaczàcych odkryç torujàcych
drog´ teorii prawdopodobieƒstwa i ra-
chunkowi ró˝niczkowemu. Isaac New-
ton, uwa˝any za ojca wspó∏czesnego
rachunku ró˝niczkowego, wyzna∏, ˝e
prac´ swojà opar∏ na „metodzie kreÊlenia
stycznych Monsieur Fermata”.

Fermat by∏ przede wszystkim mi-

strzem w teorii liczb – badaniu liczb ca∏-
kowitych i ich zale˝noÊci. Pisywa∏ cz´-
sto do innych matematyków o swej
pracy nad jakimÊ szczegó∏owym proble-
mem z zapytaniem, czy majà doÊç po-
mys∏owoÊci, aby dorównaç jego rozwià-
zaniu. Te wyzwania, a szczególnie fakt,
˝e nigdy nie ujawnia∏ w∏asnych metod
obliczeƒ, wielokrotnie wywo∏ywa∏y
w innych poczucie frustracji. René Des-
cartes, w matematyce najbardziej znany
dzi´ki algebraizacji geometrii przez
wprowadzene do niej wspó∏rz´dnych,
nazwa∏ Fermata pysza∏kiem, a matema-
tyk angielski John Wallis wyrazi∏ si´
o nim kiedyÊ: „ten przekl´ty Francuz”.

Fermat zapisa∏ swoje najwi´ksze od-

krycie, tzw. Wielkie (lub Ostatnie) Twier-
dzenie, przy okazji lektury Arytmetyki
autorstwa staro˝ytnego matematyka
greckiego Diofantosa z Aleksandrii.
W ksià˝ce omawiane by∏y dodatnie ca∏-
kowitoliczbowe rozwiàzania równania
a

2

+ b

2

= c

2

pochodzàcego od wzoru Pita-

gorasa opisujàcego zwiàzek mi´dzy d∏u-
goÊciami boków trójkàta prostokàtnego.
To równanie ma nieskoƒczenie wiele
rozwiàzaƒ b´dàcych liczbami natural-
nymi, zwanych trójkami pitagorejskimi.
Fermat zrobi∏ nast´pny krok i stwierdzi∏,
˝e nie ma nietrywialnych rozwiàzaƒ dla
ca∏ej rodziny podobnych równaƒ o po-
staci a

n

+ b

n

= c

n

, gdzie n jest dowolnà licz-

bà ca∏kowità wi´kszà od 2.

Ostatni

bastion Fermata

Przez ponad 300 lat jego niezwyk∏e twierdzenie

opiera∏o si´ wszelkim próbom przeprowadzenia

dowodu, podejmowanym zarówno

przez amatorów, jak i profesjonalistów

Simon Singh i Kenneth A. Ribet

PIERRE DE FERMAT, XVII-wieczny mistrz teorii
liczb, cz´sto prowokowa∏ innych matematyków li-
stownym pytaniem, czy potrafià dorównaç mu po-
mys∏owoÊcià. Najs∏awniejszym z jego problemów
okaza∏ si´ ten, który póêniej nazwano Wielkim
Twierdzeniem, a który Fermat sformu∏owa∏ pod-
czas lektury Arytmetyki Diofantosa z Aleksandrii.
Fermat stwierdzi∏, ˝e nie ma nietrywialnych roz-
wiàzaƒ dla równania o postaci a

n

+ b

n

= c

n

, gdzie

n reprezentuje dowolnà liczb´ ca∏kowità wi´kszà
od 2. Na marginesie egzemplarza Arytmetyki Fer-
mat skreÊli∏ uwag´, która nie dawa∏a spokoju ma-
tematykom przez trzy stulecia: „Znalaz∏em napraw-
d´ zadziwiajàcy dowód tego faktu, lecz margines
ten jest zbyt wàski, by go zmieÊciç.”

GRANGER COLLECTION; BROWN UNIVERSITY LIBRARY; SLIM FILMS

(grafika komputerowa)

Â

WIAT

N

AUKI

Styczeƒ 1998 33

Wydaje si´ zadziwiajàce, ˝e choç ist-

nieje nieskoƒczenie wiele trójek pitago-
rejskich, w ogóle nie ma trójek Fermata.
Mimo to Fermat by∏ przekonany, ˝e zna-
laz∏ dla swojego twierdzenia przekony-
wajàcy dowód. Na marginesie egzem-
plarza Arytmetyki przekorny geniusz
skreÊli∏ uwag´, która nie dawa∏a spoko-
ju wielu pokoleniom matematyków:
„Znalaz∏em naprawd´ zadziwiajàcy do-
wód tego faktu, lecz margines ten jest
zbyt wàski, by go zmieÊciç.” Fermat zo-
stawi∏ wiele takich intrygujàcych nota-
tek, które jego syn w∏àczy∏ do opubli-
kowanego po Êmierci ojca wydania
Arytmetyki Diofantosa. Wszystkie twier-
dzenia zosta∏y kolejno dowiedzione, po-
zosta∏o tylko jedno – ostatnie.

Liczni matematycy zmagali si´ bez-

skutecznie z tym wyzwaniem. Leonhard
Euler, najwi´kszy XVIII-wieczny znawca
teorii liczb, by∏ tak sfrustrowany niemo˝-
noÊcià wykazania tego twierdzenia, ˝e
w roku 1742 poprosi∏ przyjaciela o prze-
szukanie domu Fermata w nadziei, ˝e
uda si´ odnaleêç jakiÊ skrawek papieru
zawierajàcy kluczowà wskazówk´.* W
XIX wieku Sophie Germain, która wsku-

tek uprzedzeƒ dotyczàcych zajmowania
si´ matematykà przez kobiety prowadzi-
∏a swe badania jako Monsieur Leblanc,
dokona∏a wy∏omu. Udowodni∏a ogólne
twierdzenie w istotny sposób przybli˝a-
jàce rozwiàzanie równania Fermata dla
wartoÊci n b´dàcych takimi liczbami
pierwszymi wi´kszymi od 2, ˝e 2n + 1
jest tak˝e liczbà pierwszà. (Przypomnij-
my, ˝e liczbà pierwszà jest liczba podziel-
na jedynie przez 1 i przez samà siebie.)
Jednak˝e Germain nie uda∏o si´ znaleêç
pe∏nego dowodu dla takich czy innych
wyk∏adników.

Na poczàtku XX wieku Paul Wolfskehl,

niemiecki przemys∏owiec, przeznaczy∏
100 tys. marek dla tego, kto skutecznie
stawi czo∏o wyzwaniu Fermata. Niektó-
rzy historycy twierdzà, ˝e Wolfskehl
w pewnym momencie by∏ bliski samo-
bójstwa, lecz ogarni´ty obsesjà udowod-
nienia twierdzenia Fermata porzuci∏ ten
zamiar. W rezultacie zmieni∏ swój testa-
ment i ustanowi∏ nagrod´ za rozwiàza-
nie zagadki, która ocali∏a mu ˝ycie.

Jak na ironi´ – nagroda Wolfskehla

rozpala∏a entuzjazm amatorów poszu-
kujàcych dowodu, natomiast zawodo-
wi matematycy zdawali si´ traciç zapa∏.
Gdy zapytano wielkiego niemieckiego
matematyka Davida Hilberta, dlaczego
nigdy nie usi∏owa∏ udowodniç Wielkie-
go Twierdzenia Fermata, ten odpar∏:
„Zanim bym zaczà∏, musia∏bym poÊwi´-

ciç najmniej trzy lata na intensywne stu-
dia, a ja nie mam tyle czasu do zmarno-
wania na prawdopodobne niepowodze-
nie.” Sam problem zajmowa∏ ciàgle
szczególne miejsce w sercach specjali-
stów teorii liczb, lecz patrzyli naƒ tro-
ch´ jak chemicy na alchemi´ – szalona,
romantyczna mrzonka z dawno minio-
nej przesz∏oÊci.

Marzenie dzieciƒstwa

Dzieci bez wàtpienia uwielbiajà ro-

mantyczne marzenia. I tak w roku 1963
dziesi´cioletni wówczas Wiles rozkocha∏
si´ w Wielkim Twierdzeniu Fermata.
Przeczyta∏ o nim w miejskiej bibliotece
w Cambridge w Anglii i obieca∏ sobie,
˝e pewnego dnia znajdzie dowód. Na-
uczyciele w szkole odradzali mu tracenie
czasu na coÊ niewykonalnego. Wyk∏a-
dowcy uniwersyteccy równie˝ próbo-
wali odwieÊç go od tego zamiaru, a˝
wreszcie promotor jego rozprawy dok-
torskiej z University of Cambridge skie-
rowa∏ go w stron´ g∏ównego strumienia
matematyki wspó∏czesnej, a mianowi-
cie do obiecujàcej dziedziny badaƒ nad
krzywymi eliptycznymi. Staro˝ytni Gre-
cy tak˝e studiowali krzywe eliptyczne,
m.in. odnaleêç je mo˝na w Arytmetyce.
Wiles nie zdawa∏ sobie sprawy z tego,
˝e te studia doprowadzà go z powrotem
do Wielkiego Twierdzenia Fermata.

Krzywe eliptyczne nie sà elipsami. Na-

zywajà si´ tak dlatego, ˝e opisywane sà
przez równania szeÊcienne podobne do
tych, których u˝ywa si´ do obliczania ob-
wodu elipsy. Ogólne równanie szeÊcien-
ne krzywej eliptycznej ma postaç y

2

= x

3

+ ax

2

+ bx + c, gdzie a, b, c sà liczbami ca∏-

kowitymi spe∏niajàcymi pewne proste
warunki. Równania takie nazywa si´ sze-
Êciennymi, poniewa˝ najwy˝szà wyst´-
pujàcà w nich pot´gà jest szeÊcian.

Badacze teorii liczb zazwyczaj starajà

si´ dla danego równania wyznaczyç licz-
b´ tzw. rozwiàzaƒ wymiernych, tj. wy-
ra˝onych w postaci liczb ca∏kowitych
lub wymiernych (u∏amków). Równania
liniowe lub kwadratowe, odpowiednio
stopnia 1 lub 2, albo nie majà rozwiàzaƒ
wymiernych wcale, albo majà ich nie-
skoƒczenie wiele i ∏atwo stwierdziç,
z którym z tych przypadków ma si´ do
czynienia. Dla skomplikowanych rów-
naƒ, zwykle stopnia 4 lub wy˝szego,
liczba rozwiàzaƒ jest zawsze skoƒczona
– ten fakt nazywa si´ hipotezà Mordel-
la, a zosta∏ udowodniony przez niemiec-
kiego matematyka Gerda Faltingsa
w 1983 roku. Jednak˝e krzywe eliptycz-
ne stanowià wyjàtek: mogà mieç skoƒ-
czonà lub nieskoƒczonà liczb´ rozwià-
zaƒ i trudno rozstrzygnàç, który przy-
padek akurat zachodzi.

ANDREW J. WILES z Princeton University prze-
prowadzi∏ dowód s∏ynnego Wielkiego Twierdze-
nia Fermata w 1994 roku, po 10 latach wyt´˝onej
pracy. Aby zakoƒczyç swoje stustronicowe oblicze-
nia, musia∏ wykorzystaç, a niejednokrotnie tak˝e
rozwinàç wiele idei wspó∏czesnej matematyki. W
szczególnoÊci konieczne by∏o udowodnienie hipo-
tezy Shimury-Taniyamy dla podzbioru krzywych
eliptycznych, obiektów opisanych przez równanie
y

2

= x

3

+ ax

2

+ bx + c.

GAMMA LIAISON; SLIM FILMS

W celu uproszczenia problemów do-

tyczàcych krzywych eliptycznych ma-
tematycy stosujà cz´sto arytmetyk´
modularnà. Strategia ta polega na dzie-
leniu x i y w równaniu szeÊciennym
przez liczb´ pierwszà p i zachowaniu je-
dynie reszty. Ta uproszczona wersja
równania jest z nim równowa˝na „mod
p”. Nast´pnie powtarza si´ to dzielenie
z innà liczbà pierwszà, potem jeszcze
innà itd., notujàc za ka˝dym razem licz-
b´ rozwiàzaƒ dla ka˝dego pierwszego
dzielnika. Ta procedura generuje ciàg
∏atwiejszych problemów analogicznych
do wyjÊciowego.

Wielkà zaletà arytmetyki modularnej

jest to, ˝e maksymalne wartoÊci x oraz y
sà efektywnie ograniczone przez p i w
ten sposób problem staje si´ w pewnym
sensie skoƒczony. Aby uchwyciç go
w wyjÊciowej, nieskoƒczonej formie, ma-
tematyk obserwuje, w jaki sposób liczba
rozwiàzaƒ zmienia si´ wraz ze zmianà
p. Informacja jest kodowana w postaci
tzw. L-szeregu krzywej eliptycznej. Ta-
ki L-szereg jest w istocie nieskoƒczonym
szeregiem pot´gowym, a wspó∏czynni-
ki przy ka˝dej z p-pot´g sà wyznaczone
przez liczb´ rozwiàzaƒ modulo p. Tak-
˝e innym obiektom matematycznym,
zwanym formami modularnymi, mo˝na
przypisaç L-szeregi. Form modularnych
nie nale˝y myliç z arytmetykà modular-
nà. Sà one pewnym rodzajem funkcji za-
le˝nych od liczb zespolonych postaci
(x + iy), gdzie x oraz y sà rzeczywiste,
a i jest jednostkà urojonà (równà pier-
wiastkowi kwadratowemu z –1).

U˝ytecznà w∏asnoÊcià form modular-

nych jest to, i˝ nie zmieniajà one swej

wartoÊci przy ró˝nych przekszta∏ceniach
liczby zespolonej. Ta w∏asnoÊç form mo-
dularnych jest czymÊ wyjàtkowym, choç
nieco przypomina zachowanie funkcji
trygonometrycznych. Dla tych ostatnich
bowiem mo˝na zmieniç wartoÊç kàta,
dodajàc do niej p, a wartoÊç funkcji nie
ulegnie zmianie: sin q = sin (q + 2p). Ta
cecha jest nazywana niezmienniczoÊcià
i w pewnym ograniczonym zakresie
przys∏uguje tak˝e funkcjom trygonome-
trycznym. W przeciwieƒstwie do nich
formy modularne wykazujà ogromny
zakres symetrii, tak wielki, ˝e kiedy
wszechstronny francuski matematyk
Henri Poincaré odkry∏ pierwsze formy
modularne w póênych latach XIX wie-
ku, d∏ugo nie móg∏ dojÊç do ∏adu z ich
w∏asnoÊciami symetrii. Opowiada∏ kole-
gom, jak dzieƒ po dniu przez dwa ty-
godnie budzi∏ si´ rano i szuka∏ b∏´du
w swoich rachunkach. W koƒcu musia∏
daç za wygranà i pogodziç si´ z wszech-
stronnà symetrià form modularnych.

Mniej wi´cej 10 lat przedtem zanim

Wiles dowiedzia∏ si´ o Fermacie, dwaj
m∏odzi japoƒscy matematycy: Goro Shi-
mura i Yutaka Taniyama, rozwin´li
pewnà koncepcj´ dotyczàcà form mo-
dularnych, która mia∏a si´ w przysz∏oÊci
okazaç kamieniem w´gielnym w dowo-
dzie Wilesa. Otó˝ byli oni przekonani,
˝e formy modularne i krzywe eliptycz-
ne sà w zasadniczy sposób powiàzane
– i to na przekór oczywistemu wra˝e-
niu, ˝e krzywe eliptyczne nale˝à do ca∏-
kiem innej ga∏´zi matematyki. W szcze-
gólnoÊci – poniewa˝ formom modular-
nym tak˝e odpowiadajà L-szeregi, choç
dochodzi si´ do tego w ca∏kiem inny

34 Â

WIAT

N

AUKI

Styczeƒ 1998

LEONHARD EULER, najwi´kszy znawca teorii liczb XVIII wieku,
tak by∏ sfrustrowany Wielkim Twierdzeniem Fermata, ˝e w roku
1742 poprosi∏ przyjaciela o przeszukanie domu Fermata w celu od-
nalezienia choçby skrawka papieru z pozostawionà wskazówkà.

sposób ni˝ w przypadku krzywych elip-
tycznych – zaproponowali, aby powià-
zaç ka˝dà krzywà eliptycznà z formà
modularnà tak, by ich L-szeregi by∏y
zgodne.

Shimura i Taniyama domyÊlali si´, ˝e

ich hipoteza b´dzie mia∏a dalekosi´˝ne
konsekwencje, jeÊli oka˝e si´ prawdzi-
wa. Po pierwsze, matematycy na ogó∏
wiedzà wi´cej o formach modularnych
ni˝ o krzywych eliptycznych. A zatem
nie by∏oby potrzebne obliczanie L-sze-
regu dla krzywej eliptycznej, poniewa˝
by∏by on identyczny z szeregiem odpo-
wiedniej formy modularnej. Teoretycz-
nie stworzenie takiego pomostu mi´dzy
dwiema dotychczas uwa˝anymi za nie-
zale˝ne ga∏´ziami matematyki mog∏oby
wp∏ynàç na nie pozytywnie – ka˝da
z nich sta∏aby si´ bogatsza, wch∏aniajàc
w siebie wiadomoÊci ju˝ zebrane w ob-
r´bie drugiej.

Tzw. hipoteza Shimury-Taniyamy,

sformu∏owana przez Shimur´ we wcze-
snych latach szeÊçdziesiàtych, orzeka,
˝e ka˝dej krzywej eliptycznej mo˝na
przypisaç jednà form´ modularnà i od-
wrotnie; innymi s∏owy, ka˝da krzywa
eliptyczna jest modularna. I choç nikt
nie wiedzia∏, jak udowodniç to przy-
puszczenie, stawa∏o si´ ono w miar´
up∏ywu lat coraz bardziej znaczàce. Cz´-
stokroç na przyk∏ad w latach siedem-
dziesiàtych matematycy wyprowadzali
nowe rezultaty z za∏o˝enia o prawdzi-
woÊci hipotezy Shimury-Taniyamy.
W efekcie wytworzy∏a si´ sytuacja, w
której los wielu nowych odkryç zale˝a∏
od prawdziwoÊci lub fa∏szywoÊci tej hi-
potezy. Tragicznym zrzàdzeniem losu
jeden z ludzi, który by∏ jej inspiratorem,
nie do˝y∏ momentu ostatecznego tryum-
fu. 17 listopada 1958 roku Yutaka Tani-
yama odebra∏ sobie ˝ycie.

Brakujàce ogniwo

Jesienià 1984 roku w czasie sympo-

zjum w Oberwolfach w niemieckim
Schwarzwaldzie Gerhard Frey z Univer-
sität des Saarlandes wyg∏osi∏ referat, któ-
ry wskazywa∏ nowà strategi´ „ataku”
na Wielkie Twierdzenie Fermata. Jak
wiemy, orzeka ono, ˝e równanie Ferma-
ta nie ma rozwiàzaƒ b´dàcych liczbami
naturalnymi. W podobnych sytuacjach
matematycy przyjmujà, ˝e dane stwier-
dzenie jest fa∏szywe, i badajà konsek-
wencje tego przypuszczenia. Powie-
dzieç, ˝e twierdzenie Fermata jest fa∏-
szywe, to przyjàç istnienie dwóch do-

GRANGER COLLECTION; BROWN UNIVERSITY LIBRARY; SLIM FILM

skona∏ych n-tych pot´g, których suma
jest tak˝e n-tà pot´gà.

Pomys∏ Freya przedstawia∏ si´ nast´-

pujàco: przypuÊçmy, ˝e A i B sà dosko-
na∏ymi n-tymi pot´gami, których suma
A + B jest tak˝e n-tà pot´gà – innymi
s∏owy, ˝e sà one rozwiàzaniem równa-
nia Fermata. Mo˝na ich u˝yç jako
wspó∏czynników do konstrukcji szcze-
gólnej krzywej eliptycznej: y

2

= x(x –

A)(x + B). WielkoÊcià, którà rutynowo
si´ bada, studiujàc krzywe eliptyczne,
jest tzw. wyró˝nik krzywej, w tym przy-
padku A

2

B

2

(A + B)

2

. Poniewa˝ A i B

tworzà rozwiàzanie równania Fermata,
wyró˝nik jest doskona∏à n-tà pot´gà.

Kluczowym punktem taktyki Freya

jest spostrze˝enie, ˝e gdyby Wielkie
Twierdzenie Fermata by∏o fa∏szywe, to
jego ca∏kowitoliczbowe rozwiàzania
mog∏yby zostaç u˝yte do konstrukcji
krzywej eliptycznej, której wyró˝nik jest
doskona∏à n-tà pot´gà. A zatem dowód
faktu, ˝e wyró˝nik krzywej eliptycznej
nie mo˝e byç n-tà pot´gà liczby natu-
ralnej, zawiera∏by implicite dowód
Wielkiego Twierdzenia Fermata. Choç
Frey nie widzia∏ sposobu skonstruowa-
nia takiego dowodu, przeczuwa∏, ˝e

krzywa eliptyczna, której wyznacz-
nik by∏by doskona∏à n-tà pot´gà, nie
mog∏aby byç krzywà modularnà.
Innymi s∏owy, taka krzywa elip-
tyczna stanowi∏aby zaprze-
czenie hipotezy Shimury-
Taniyamy. Gdyby wi´c,
dedukowa∏ Frey, ktoÊ
móg∏ udowodniç przy-
puszczenie Shimury-Ta-
niyamy i jednoczeÊnie
wykaza∏, ˝e równanie eli-
ptyczne y

2

= x(x – A)(x + B)

o tej w∏asnoÊci nie jest modu-
larne, to udowodni∏by tym sa-
mym, ˝e takie równanie nie istnieje.
A zatem równanie Fermata nie ma roz-
wiàzania, co ostatecznie dowodzi∏oby
Wielkiego Twierdzenia Fermata.

Wielu matematyków bada∏o t´ zale˝-

noÊç mi´dzy Fermatem i Shimurà-Ta-
niyamà. Ich pierwszym zamiarem by∏o
wykazanie, ˝e istotnie krzywa eliptycz-
na Freya, y

2

= x(x – A)(x + B), nie jest

modularna. Jean-Pierre Serre z Coll•ge
de France i Barry Mazur z Harvard Uni-
versity wnieÊli tu powa˝ny wk∏ad, ale
pe∏ne rozwiàzanie poda∏ dopiero jeden
z nas (Ribet) w czerwcu 1986 roku. Nie
jest mo˝liwe przytoczenie w tym arty-
kule ca∏ej argumentacji, mo˝na jedynie
opisaç kilka kluczowych idei.

Dowód Ribeta w pierwszym rz´dzie

polega na pewnej geometrycznej meto-
dzie „dodawania” dwóch punktów
krzywej eliptycznej [dolna ilustracja na
stronie 36]. Mówiàc obrazowo, jeÊli prze-
d∏u˝ymy lini´ ∏àczàcà par´ ró˝nych roz-

wiàzaƒ, P

1

i P

2

, to przetnie ona krzy-

wà w trzecim punkcie, który na-

zwiemy umownie sumà P

1

i P

2

.

Bardziej skomplikowanà, ale jed-

noczeÊnie przydatniejszà formà

tego dzia∏ania jest dodanie

dwóch punktów wed∏ug tego

przepisu, a nast´pnie odbicie

ich sumy P

3

w osi x w celu

uzyskania ostatecznego

wyniku, powiedzmy – Q.

T´ specjalnà form´ dodawa-

nia mo˝na zastosowaç dla dowol-

nej pary punktów nale˝àcych do nie-
skoƒczonego zbioru punktów krzywej
eliptycznej, a jej wyjàtkowe znaczenie
zwiàzane jest z faktem istnienia szcze-
gólnych skoƒczonych zbiorów punk-
tów krzywej, takich, ˝e suma dowol-
nych dwóch punktów zbioru nale˝y
tak˝e do niego. Te skoƒczone zbiory
tworzà grup´: zbiór wyposa˝ony w
dzia∏anie podlegajàce kilku prostym
aksjomatom. Okazuje si´, ˝e jeÊli krzy-
wa eliptyczna jest modularna, to t´ w∏a-
snoÊç majà tak˝e punkty nale˝àce do
ka˝dej ze skoƒczonych grup tej krzy-
wej. Natomiast Ribet udowodni∏, ˝e
pewna szczególna skoƒczona grupa
krzywej Freya nie mo˝e byç modular-
na, wykluczajàc w ten sposób modular-
noÊç samej krzywej.

Siedem lat w ukryciu

Przez trzy i pó∏ wieku Wielkie Twier-

dzenie Fermata jawi∏o si´ jako problem
wyizolowany – ciekawa, lecz niemo˝liwa
do rozwiàzania zagadka spoza g∏ównego
nurtu matematyki. W 1986 roku Ribet,
opierajàc si´ na pracy Freya, wprowa-
dzi∏ je na sam Êrodek sceny. Wykazanie
twierdzenia okaza∏o si´ mo˝liwe przez
podanie dowodu hipotezy Shimury-Ta-

Â

WIAT

N

AUKI

Styczeƒ 1998 35

GORO SHIMURA I YUTAKA TANIYAMA (odpowiednio u góry i na dole)
przedstawili w latach pi´çdziesiàtych ide´, która umo˝liwi∏a Wilesowi skon-
struowanie dowodu. Hipoteza ta dotyczy∏a poj´cia form modularnych – funk-
cji operujàcych liczbami zespolonymi postaci (x + iy), gdzie x oraz y sà liczba-
mi rzeczywistymi, i zaÊ jest liczbà urojonà (równà pierwiastkowi kwadratowemu
z –1). Zaproponowali oni, ˝eby ka˝dej krzywej eliptycznej przypisaç pewnà
form´ modularnà w taki sposób, by ich L-szeregi by∏y zgodne. Niestety Tani-
yama nie doczeka∏ sukcesu Wilesa. 17 listopada 1958 roku odebra∏ sobie ˝ycie.

SOPHIE GERMAIN z powodu uprzedzeƒ wobec kobiet matematyczek prowadzi∏a swe
badania jako Monsieur Leblanc. Jej zas∏ugà jest pierwszy wy∏om, który nastàpi∏ w XIX
wieku – wykazanie twierdzenia znacznie zbli˝ajàcego rozwiàzanie równania Fermata
dla wartoÊci n b´dàcych liczbami pierwszymi wi´kszymi od 2 i takimi, dla których 2n + 1
jest tak˝e liczbà pierwszà. Jednak nie uda∏o si´ jej znaleêç pe∏nego dowodu.

Za zgodà PRINCETON UNIVERSITY; SLIM FILMS

STEVE MUREZ

Black Star;

SLIM FILMS

niyamy. Wiles, który by∏ ju˝ wówczas
profesorem w Princeton, nie traci∏ czasu.
Przez siedem lat pracowa∏ w ca∏kowi-
tej tajemnicy, nie tylko by uniknàç pu-
blicznego zainteresowania, ale tak˝e po
to, by uniemo˝liwiç kopiowanie swo-
ich pomys∏ów innym badaczom. W tym
okresie jedynie ˝ona dowiedzia∏a si´
o jego obsesji – w czasie miodowego
miesiàca!

Wiles musia∏ pozbieraç w ca∏oÊç wie-

le g∏ównych odkryç XX-wiecznej teorii
liczb, a gdy okazywa∏y si´ one niewy-
starczajàce, sam wymyÊla∏ nowe sposo-
by i techniki. Swoje doÊwiadczenia w
uprawianiu matematyki porównuje do
zwiedzania nieznanego, pogrà˝onego
w ciemnoÊciach starego pa∏acu: „Wcho-
dzisz do pierwszego pokoju, w którym
jest kompletnie ciemno. Kr´cisz si´ po
nim w kó∏ko, potràcajàc meble, a˝ stop-
niowo nauczysz si´, gdzie co stoi.

W koƒcu, po mniej wi´cej szeÊciu mie-
siàcach, odnajdujesz kontakt, przekr´-
casz go i nagle wszystko widaç. Mo˝esz
dok∏adnie zobaczyç, gdzie si´ znalaz∏eÊ.
A potem wchodzisz do nast´pnego po-
koju i znowu sp´dzasz tam szeÊç mie-
si´cy w ciemnoÊciach. Ka˝dy z tych
prze∏omów, które czasem sà krótkie,
a niekiedy trwajà dzieƒ lub dwa, jest
kulminacjà poprzedzajàcych go wielu
miesi´cy krà˝enia w ciemnoÊciach i nie
móg∏by bez nich zaistnieç.”

Jak si´ okaza∏o, Wiles nie potrzebo-

wa∏ dowodziç hipotezy Shimury-Tani-
yamy w ca∏ej ogólnoÊci. Wystarczy∏o
mu wykazanie, ˝e pewien szczególny
podzbiór krzywych eliptycznych – ten,
który zawiera∏by hipotetycznà krzywà
eliptycznà zaproponowanà przez Freya,
gdyby okaza∏o si´, ˝e ta istnieje – jest
modularny. Nie by∏o to jednak znaczà-
ce uproszczenie. Ten podzbiór jest bo-
wiem w dalszym ciàgu nieskoƒczony
i zawiera wi´kszoÊç interesujàcych przy-
padków. Strategia Wilesa wykorzysty-
wa∏a t´ samà metod´, którà wczeÊniej
zastosowa∏ Ribet, oraz wiele innych po-
mys∏ów. Tak jak w przypadku argu-
mentu Ribeta mo˝emy podaç w tym
miejscu tylko ogólny zarys dowodu.

G∏ównà trudnoÊcià by∏o oczywiÊcie

wykazanie, ˝e ka˝da krzywa nale˝àca

do zbioru Wilesa jest modularna. Aby
tego dokonaç, Wiles pos∏u˝y∏ si´ w∏a-
snoÊcià grupowà punktów na krzywej
eliptycznej i skorzysta∏ z twierdzenia
wykazanego przez Roberta P. Langland-
sa z Institute for Advanced Study w
Princeton (New Jersey) i Jerrolda Tun-
nella z Rutgers University. Dowiedli oni,
˝e dla ka˝dej krzywej eliptycznej w kla-
sie Wilesa pewna szczególna grupa
punktów krzywej jest modularna. To
stwierdzenie jest konieczne, ale niewy-
starczajàce do wykazania, ˝e sama krzy-
wa eliptyczna jest modularna.

Grupa, o której mowa, ma tylko 9 ele-

mentów, mo˝e si´ wi´c zdawaç, ˝e po-
twierdzenie jej modularnoÊci jest jedynie
bardzo ma∏ym krokiem w kierunku wy-
kazania modularnoÊci ca∏kowitej. Aby
wype∏niç t´ luk´, Wiles postanowi∏ zba-
daç grupy rosnàcych rozmiarów, prze-
chodzàc od grup o 9 elementach do ta-
kich o 9

2

elementach (tj. 81-elemen-

towych), potem o 9

3

(729) elementach itd.

Gdyby uda∏o si´ mu osiàgnàç grup´ nie-
skoƒczonà i wykazaç, ˝e tak˝e ona jest
modularna, by∏oby to równowa˝ne wy-
kazaniu modularnoÊci samej krzywej.

Ten cel uda∏o si´ Wilesowi zrealizo-

waç dzi´ki metodzie opartej z grubsza
na indukcji. Musia∏ pokazaç, ˝e jeÊli ja-
kaÊ grupa by∏a modularna, to taka musia-

36 Â

WIAT

N

AUKI

Styczeƒ 1998

GERHARD FREY wskaza∏ w 1984 roku nowà strategi´ ataku na Wielkie Twierdzenie Ferma-
ta: „Za∏ó˝my, ˝e A i B sà doskona∏ymi n-tymi pot´gami, których suma A + B jest tak˝e dosko-
na∏à n-tà pot´gà – innymi s∏owy, ˝e sà one rozwiàzaniem równania Fermata. Mo˝na ich u˝yç
jako wspó∏czynników do konstrukcji szczególnej krzywej eliptycznej: y

2

= x(x –A)(x + B).

Tzw. wyró˝nik krzywej eliptycznej A

2

B

2

(A + B)

2

jest wtedy równie˝ doskona∏à n-tà pot´gà.

Frey zwróci∏ uwag´, ˝e taka krzywa eliptyczna nie mog∏aby byç krzywà modularnà. Innymi
s∏owy – rozumowa∏ Frey – gdyby mo˝na by∏o udowodniç hipotez´ Shimury-Taniyamy, tj. wy-
kazaç, ˝e wszystkie krzywe eliptyczne sà modularne, da∏oby si´ dowieÊç, ˝e równanie elip-
tyczne y

2

= x (x – A)(x + B) nie istnieje. W takim przypadku nie istnia∏oby rozwiàzanie rów-

nania Fermata, co stanowi∏oby dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata.

KENNETH A. RIBET podà˝y∏ w kieunku wskazanym przez Freya
i w czerwcu 1986 roku wykaza∏, ˝e ˝adna krzywa eliptyczna nie mo˝e
byç modularna, jeÊli jej wyró˝nik jest doskona∏à n-tà pot´gà. Podany
przez niego dowód opiera si´ na geometrycznej metodzie „dodawania”
punktów na krzywej eliptycznej. Mówiàc obrazowo, idea polega na
przed∏u˝eniu linii ∏àczàcej par´ ró˝nych punktów le˝àcych na krzywej
eliptycznej, P

1

i P

2

, a˝ do przeci´cia przez nià krzywej w trzecim punk-

cie, P

3

. Nast´pnie dokonujemy odbicia tego nowego punktu w osi x i tak

uzyskany punkt Q nazywamy sumà P

1

i P

2

. Chocia˝ zbiór punktów na-

le˝àcych do krzywej eliptycznej jest nieskoƒczony, zawiera ona tak˝e
skoƒczone zbiory o tej w∏asnoÊci, ˝e suma dowolnych dwóch punktów
zbioru nale˝y równie˝ do niego. Takie skoƒczone zbiory podlegajà pew-
nym aksjomatom, dzi´ki czemu tworzà tzw. grup´
skoƒczonà. JeÊli krzywa eliptyczna jest modu-
larna, to t´ w∏asnoÊç majà tak˝e punkty
nale˝àce do ka˝dej ze skoƒczonych
grup tej krzywej. Ribet wykaza∏,
˝e szczególna skoƒczona gru-
pa krzywej Freya nie mo˝e
byç modularna, wyklucza-
jàc w ten sposób modular-
noÊç samej krzywej.

Za zgodà GERHARDA FREYA; SLIM FILMS

CATHERINE KARNOW; SLIM FILMS

∏a te˝ byç nast´pujàca po niej wi´ksza
grupa. Metoda przypomina zabaw´
w przewracanie klocków domino; aby
przewróciç nieskoƒczonà liczb´ takich
klocków, trzeba jedynie zadbaç o to, aby
ka˝dy z nich przy przewracaniu pocià-
gnà∏ za sobà nast´pny. W koƒcu Wiles
doszed∏ do przekonania, ˝e jego dowód
jest kompletny i 23 czerwca 1993 roku
sam og∏osi∏ swój wynik na konferencji
w Isaac Newton Mathematical Sciences
Institute w Cambridge. Jego trzymany
w tajemnicy program badawczy si´ po-
wiód∏, a spo∏ecznoÊç matematyczna oraz
prasa Êwiatowa by∏y zaskoczone i za-
chwycone rezultatem. Z pierwszej stro-
ny New York Timesa krzycza∏ nag∏ówek:
„Nareszcie zabrzmia∏o «Eureka!» wobec
odwiecznej tajemnicy matematycznej”.

JednoczeÊnie z rosnàcym zgie∏kiem

prasowym rozpoczà∏ si´ proces oficjal-
nego recenzowania pracy. Prawie na-
tychmiast Nicholas M. Katz z Princeton
odkry∏ podstawowy i druzgoczàcy b∏àd
na jednym z etapów dowodu. W swym
indukcyjnym podejÊciu Wiles pos∏u˝y∏
si´ opracowanà przez Victora A. Kolyva-
gina z Johns Hopkins University i Mat-
thiasa Flacha z California Institute of
Technology metodà do wykazania, ˝e da-
na grupa jest modularna. Ale teraz
okaza∏o si´, ˝e w tym przypadku metoda
ta nie mo˝e zostaç u˝yta. Dzieci´ce ma-
rzenie Wilesa przerodzi∏o si´ w koszmar.

W poszukiwaniu ∏aty

Wiles odsunà∏ si´ od Êwiata na 14

miesi´cy i o b∏´dzie dyskutowa∏ jedy-
nie ze swym by∏ym studentem Richar-
dem Taylorem. Wspólnie zmagali si´
z problemem, usi∏ujàc naprawiç metod´
zastosowanà przez Wilesa za pomocà
sposobów, które poprzednio odrzuci∏,
a˝ doszli do punktu, w którym wyda-
wa∏o si´, ˝e nie pozostaje nic innego, jak
tylko przyznaç si´ do pora˝ki i opubli-
kowaç dowód zawierajàcy luk´, dajàc
innym szans´ na jej wype∏nienie. I wte-
dy niespodziewanie 19 wrzeÊnia 1994

roku uda∏o im si´ znaleêç w∏aÊciwà „∏a-
t´”. Wiele lat wczeÊniej Wiles rozwa˝a∏
mo˝liwoÊç alternatywnego podejÊcia
opartego na tzw. teorii Iwasawy, ale
zawiod∏a go i musia∏ jà porzuciç. Tym
razem uÊwiadomi∏ sobie, ˝e dok∏adnie
to, co uniemo˝liwia∏o zastosowanie me-
tody Kolyvagina-Flacha, sprawia, ˝e po-
dejÊcie oparte na teorii Iwasawy prowa-
dzi do po˝àdanego wyniku.

Wiles wspomina swojà reakcj´ na to

odkrycie: „To by∏o nieopisanie pi´kne,
tak proste i eleganckie. Pierwszej nocy
wróci∏em do domu i przespa∏em si´
z problemem. Sprawdzi∏em to znowu
nast´pnego ranka i schodzàc na dó∏, po-
wiedzia∏em do ˝ony: «Mam, wydaje mi
si´, ˝e znalaz∏em.» To by∏o takie zaska-
kujàce, tak niespodziewane, ˝e ona po-
myÊla∏a, i˝ mówi´ o zabawce dla dziec-
ka lub czymÊ podobnym, i spyta∏a: «Co
znalaz∏eÊ?» A ja na to: «Znalaz∏em spo-
sób za∏atania dowodu. Uda∏o mi si´.»”

Zdobycie nagrody Wolfskehla ozna-

cza∏o dla Wilesa koniec trwajàcego po-

nad 30 lat obsesyjnego zaanga˝owania.
„Rozwiàzanie problemu z pewnoÊcià
przynios∏o mi poczucie wolnoÊci. By-
∏em nim tak poch∏oni´ty, ˝e przez 8 lat
o niczym innym nie myÊla∏em – od
chwili przebudzenia si´ rano a˝ do wie-
czora, gdy k∏ad∏em si´ spaç. Ta szcze-
gólna odyseja jest za mnà. Mój umys∏
ju˝ odpoczywa.”

Dla innych matematyków bez wàt-

pienia pozosta∏y jeszcze do rozstrzy-
gni´cia istotne kwestie. W szczególnoÊci
ta oczywista dla wszystkich: ˝e dowód
Wilesa jest zbyt skomplikowany i no-
woczesny, aby byç tym, który Fermat
mia∏ na myÊli, zapisujàc swà uwag´ na
marginesie. Albo wi´c Fermat si´ my-
li∏, a jego dowód, jeÊli istnia∏, mia∏ bra-
ki, albo te˝ prosty i zr´czny dowód cze-
ka na odkrycie.

T∏umaczy∏

Aleksander Strasburger

* W rzeczywistoÊci Euler wykaza∏ prawdziwoÊç

przypuszczenia Fermata w przypadku wartoÊci

n=3 (przyp. t∏um.).

Â

WIAT

N

AUKI

Styczeƒ 1998 37

Informacja o autorach

SIMON SINGH i KENNETH A. RIBET podzielajà ˝ywe

zainteresowanie Wielkim Twierdzeniem Fermata. Singh,

który zosta∏ telewizyjnym dziennikarzem naukowym,

jest specjalistà w dziedzinie fizyki czàstek elementar-

nych. Napisa∏ ksià˝k´ Zagadka Fermata (uka˝e si´ wio-

snà tego roku w serii „Na Êcie˝kach nauki” w wydaw-

nictwie Prószyƒski i S-ka) i zosta∏ wspó∏producentem

filmu dokumentalnego na ten temat. Ribet jest profe-

sorem matematyki w University of California w Ber-

keley, a jego badania dotyczà teorii liczb i arytmetycz-

nej geometrii algebraicznej. Za udowodnienie, ˝e

hipoteza Shimury-Taniyamy implikuje Wielkie Twier-

dzenie Fermata, Ribet wraz ze swym kolegà Abbasem

Bahrim pierwsi zdobyli Prix Fermat.

Literatura uzupe∏niajàca

YUTAKA TANIYAMA AND HIS TIME: VERY PERSONAL RECOLLECTIONS FROM SHIMURA

. Goro Shi-

mura, Bulletin of the London Mathematical Society, vol 21, ss. 186-196, 1989.

FROM THE TANIYAMA-SHIMURA CONJECTURE TO FERMAT’S LAST THEOREM

. Kenneth A. Ri-

bet, Annales de la Faculté des Sciences de l’Université de Toulouse, vol. 11, nr 1, ss. 115-

139,1990.

MODULAR ELLIPTIC CURVES AND FERMAT’S LAST THEOREM

. Andrew Wiles, Annals of Mathe-

matics, vol. 141, nr 3, ss. 443-551, V/1995.

RING THEORETIC PROPERTIES OF CERTAIN HECKE ALGEBRAS

. Richard Taylor i Andrew Wi-

les, Annals of Mathematics, vol. 141, nr 3, ss. 553-572, V/1995.

NOTES ON FERMAT’S LAST THEOREM

. A. J. van der Poorten; Wiley Interscience, 1996.

WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

. W. Narkiewicz, WiadomoÊci Matematyczne, t. XXX/1,

ss. 1-17, 1993; (Uzupe∏nienie), ibidem, XXXI, s. 54, 1995.

ZAGADKA FERMATA

. Simon Singh; Wydawnictwo „Prószyƒski i S-ka”, seria „Na Êcie˝-

kach nauki” (w druku).

„EUREKA!” – krzycza∏ nag∏ówek New York Timesa po og∏oszeniu przez Wilesa podczas wy-
k∏adu w czerwcu 1993 roku pierwszego dowodu Ostatniego Twierdzenia Fermata. Jednak
nied∏ugo potem recenzenci znaleêli w dowodzie powa˝nà luk´. Wiles omawia∏ b∏àd je-
dynie ze swym dawnym studentem Richardem Taylorem. Wspólnie starali si´ za∏ataç
w nim dziur´, wykorzystujàc metod´ u˝ytà przez Wilesa i adaptujàc poprzednio odrzu-
cone sposoby. W koƒcu 19 wrzeÊnia 1994 roku uda∏o si´ im trwale wype∏niç luk´.

CATHERINE KARINOW; SLIM FILMS