Projekt „Informatyka – inwestycją w przyszłość”  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 

 

Biuro Projektu:

 

Politechnika Radomska im. Kazimierza Pułaskiego 

26-600 Radom, ul. Chrobrego 27, pok. nr 44, tel. 48 361 78 50, 48 361 70 81 

www.zamawiane.pr.radom.pl; e-mail: informatyka@pr.radom.pl 

Zajęcia wyrównawcze z fizyki     -Zestaw 7   -Teoria      

  

Oddziaływania grawitacyjne. Prawo powszechnego ciążenia, prędkości kosmiczne, prawa Keplera.  

Prawo powszechnego ciążenia: 

Każde dwa ciała o masach m

1

 i m

2

 

przyciągają się wzajemnie siłą grawitacji wprost proporcjonalną do 

iloczynu ich mas, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi. 

 

 

G jest to stała grawitacyjna wynosząca G = 6.67·10

-11

 Nm

2

/kg

2

. 

Natężenie pola grawitacyjnego: 

Natężenie pola grawitacyjnego 



 

jest to wielkość wektorowa, będąca miarą pola grawitacyjnego. Jest 

to  wektor,  którego  wartość  jest  równa  wartości  siły  działającej  w  danym  punkcie  przestrzeni  na 
umieszczone ta

m ciało o masie m, podzielonej przez wartość tej masy m. 

 

 

 

 

 

Natężenie pola grawitacyjnego na powierzchni Ziemi wynosi w 

przybliżeniu g = 9,81 m/s

2

. 

 

 

 

 

 

Wykres  przedstawiający  wartość  natężenia  pola  grawitacyjnego 
wytwarzanego przez jednorodną kule o masie M i promieniu  R,  w  
funkcji odległości r od środka tej kuli. 

Odległości r<R oznaczają położenie wewnątrz kuli,  

r>R 

–na zewnątrz kuli. 

 

 

2

2

1

r

m

m

G

F



2

2

1

r

M

G

r

Mm

G

m

m

F











 

 

Projekt „Informatyka – inwestycją w przyszłość”  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 

 

Biuro Projektu:

 

Politechnika Radomska im. Kazimierza Pułaskiego 

26-600 Radom, ul. Chrobrego 27, pok. nr 44, tel. 48 361 78 50, 48 361 70 81 

www.zamawiane.pr.radom.pl; e-mail: informatyka@pr.radom.pl 

 

Energia potencjalna w polu grawitacyjnym centralnym:  

(M 

jest masą ciała wytwarzającego pole grawitacyjne, m masą ciała umieszczonego w tym polu) 

 

 

Energia potencjalna w polu grawitacyjnym jednorodnym:  

 

 

Praca w polu grawitacyjnym centralnym:  

Pr

aca,  jaką  należy  wykonać,  aby  ruchem  jednostajnym  (ze  stałą  prędkością)  przenieść  nieruchomy 

obiekt  o  masie  m  z  odległości  początkowej  r

1

 

na  odległość  końcową  r

2 

od  ciała  o  masie  M 

wytwarzającego pole grawitacyjne: 

 

 

 

Prędkości kosmiczne: 

 
Pierwsza prędkość kosmiczna to najmniejsza pozioma prędkość, jaką należy nadać ciału względem 
przyciągającego  je  ciała  niebieskiego,  aby  ciało  to  poruszało  się  po  zamkniętej  orbicie.  Z  tak 
określonych warunków wynika, że dla ciała niebieskiego o kształcie kuli, orbita będzie orbitą kołową o 
promieniu równym promieniowi planety. Ciało staje się wtedy satelitą ciała niebieskiego. 

Pierwszą  prędkość  kosmiczną  można  wyznaczyć  zauważając,  że  podczas  ruchu  orbitalnego  po 
orbicie kołowej siła grawitacji stanowi siłę dośrodkową. 

 

, stąd 

 

Dla Ziemi I prędkość kosmiczna przyjmuje wartość   

. 

 

Druga prędkość kosmiczna to prędkość, jaką należy nadać obiektowi, aby opuścił pole grawitacyjne 
Ziemi (lub innego ciała niebieskiego) . Obliczamy ją porównując  energię obiektu znajdującego się na 
powierzchni  oraz  w  nieskończoności.  Energia  w  nieskończoności  równa  jest  0  (zarówno  kinetyczna, 
jak i potencjalna grawitacyjna), zatem na powierzchni sumaryczna energia też musi się równać 0. 

r

Mm

G

E

p





mgh

E

p











































2

1

1

2

1

1

r

r

GMm

r

Mm

G

r

Mm

G

E

W

p

R

GM

v

I



R

mv

R

Mm

G

2

2



s

km

v

I

91

,

7



 

 

Projekt „Informatyka – inwestycją w przyszłość”  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 

 

Biuro Projektu:

 

Politechnika Radomska im. Kazimierza Pułaskiego 

26-600 Radom, ul. Chrobrego 27, pok. nr 44, tel. 48 361 78 50, 48 361 70 81 

www.zamawiane.pr.radom.pl; e-mail: informatyka@pr.radom.pl 

 

Stąd wynika 

 

Dla Ziemi II prędkość kosmiczna przyjmuje wartość 

. 

 

Prawa Keplera 

–są to odkryte przez Keplera na początku XVII wieku prawa rządzące ruchem planet. 

 

1. 

Pierwsze prawo Keplera: Każda planeta krąży wokół Słońca po orbicie eliptycznej, a Słońce 
znajduje się w jednym z ognisk tej elipsy.  

2.  Drugie  prawo  Keplera  (prawo 

równych  pól):  Linia  łącząca  Słońce  i  planetę  zakreśla  równe 

pola w równych odstępach czasu.  

 

 

 

 

 

 

 

 

3. 

Trzecie prawo Keplera: Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się  do 
siebie jak kwadraty ich okresów obiegu (półoś wielka jest połową najdłuższej cięciwy elipsy).  

Trzecie  prawo  Keplera  możemy  zapisać  w  sposób  następujący:  dla  dwóch  dowolnych  planet 
krążących wokół Słońca jest spełniona zależność: 

 

 

 

Newton  pokazał,  że  prawa  Keplera  można  wyprowadzić  z  zasad  dynamiki.  Pokazał  na  przykład,  że 
tylko wtedy, gdy siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości to spełnione są pierwsze i 
trzecie  prawo  Keplera. 

Z  kolei  drugie  prawo  Keplera  wynika  bezpośrednio  z  zasady  zachowania 

momentu pędu. 

 

 

2

2

3

2

2

1

3

1

T

R

T

R



R

Mm

G

mv

E





2

2

I

II

v

R

GM

v

2

2





s

km

v

II

19

,

11

