Projekt „Informatyka – inwestycją w przyszłość”

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Biuro Projektu:

Politechnika Radomska im. Kazimierza Pułaskiego

26-600 Radom, ul. Chrobrego 27, pok. nr 44, tel. [phone]

www.zamawiane.pr.radom.pl; e-mail: [e-mail]

Zajęcia wyrównawcze z fizyki -Zestaw 7 -Teoria

Oddziaływania grawitacyjne. Prawo powszechnego ciążenia, prędkości kosmiczne, prawa Keplera.

Prawo powszechnego ciążenia:

Każde dwa ciała o masach m

1

i m

2

przyciągają się wzajemnie siłą grawitacji wprost proporcjonalną do

iloczynu ich mas, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi.

G jest to stała grawitacyjna wynosząca G = 6.67·10

-11

Nm

2

/kg

2

.

Natężenie pola grawitacyjnego:

Natężenie pola grawitacyjnego



jest to wielkość wektorowa, będąca miarą pola grawitacyjnego. Jest

to wektor, którego wartość jest równa wartości siły działającej w danym punkcie przestrzeni na
umieszczone ta

m ciało o masie m, podzielonej przez wartość tej masy m.

Natężenie pola grawitacyjnego na powierzchni Ziemi wynosi w

przybliżeniu g = 9,81 m/s

2

.

Wykres przedstawiający wartość natężenia pola grawitacyjnego
wytwarzanego przez jednorodną kule o masie M i promieniu R, w
funkcji odległości r od środka tej kuli.

Odległości r<R oznaczają położenie wewnątrz kuli,

r>R

–na zewnątrz kuli.

2

2

1

r

m

m

G

F



2

2

1

r

M

G

r

Mm

G

m

m

F











Projekt „Informatyka – inwestycją w przyszłość”

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Biuro Projektu:

Politechnika Radomska im. Kazimierza Pułaskiego

26-600 Radom, ul. Chrobrego 27, pok. nr 44, tel. [phone]

www.zamawiane.pr.radom.pl; e-mail: [e-mail]

Energia potencjalna w polu grawitacyjnym centralnym:

(M

jest masą ciała wytwarzającego pole grawitacyjne, m masą ciała umieszczonego w tym polu)

Energia potencjalna w polu grawitacyjnym jednorodnym:

Praca w polu grawitacyjnym centralnym:

Pr

aca, jaką należy wykonać, aby ruchem jednostajnym (ze stałą prędkością) przenieść nieruchomy

obiekt o masie m z odległości początkowej r

1

na odległość końcową r

2

od ciała o masie M

wytwarzającego pole grawitacyjne:

Prędkości kosmiczne:

Pierwsza prędkość kosmiczna to najmniejsza pozioma prędkość, jaką należy nadać ciału względem
przyciągającego je ciała niebieskiego, aby ciało to poruszało się po zamkniętej orbicie. Z tak
określonych warunków wynika, że dla ciała niebieskiego o kształcie kuli, orbita będzie orbitą kołową o
promieniu równym promieniowi planety. Ciało staje się wtedy satelitą ciała niebieskiego.

Pierwszą prędkość kosmiczną można wyznaczyć zauważając, że podczas ruchu orbitalnego po
orbicie kołowej siła grawitacji stanowi siłę dośrodkową.

, stąd

Dla Ziemi I prędkość kosmiczna przyjmuje wartość

.

Druga prędkość kosmiczna to prędkość, jaką należy nadać obiektowi, aby opuścił pole grawitacyjne
Ziemi (lub innego ciała niebieskiego) . Obliczamy ją porównując energię obiektu znajdującego się na
powierzchni oraz w nieskończoności. Energia w nieskończoności równa jest 0 (zarówno kinetyczna,
jak i potencjalna grawitacyjna), zatem na powierzchni sumaryczna energia też musi się równać 0.

r

Mm

G

E

p





mgh

E

p











































2

1

1

2

1

1

r

r

GMm

r

Mm

G

r

Mm

G

E

W

p

R

GM

v

I



R

mv

R

Mm

G

2

2



s

km

v

I

91

,

7



Projekt „Informatyka – inwestycją w przyszłość”

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Biuro Projektu:

Politechnika Radomska im. Kazimierza Pułaskiego

26-600 Radom, ul. Chrobrego 27, pok. nr 44, tel. [phone]

www.zamawiane.pr.radom.pl; e-mail: [e-mail]

Stąd wynika

Dla Ziemi II prędkość kosmiczna przyjmuje wartość

.

Prawa Keplera

–są to odkryte przez Keplera na początku XVII wieku prawa rządzące ruchem planet.

1.

Pierwsze prawo Keplera: Każda planeta krąży wokół Słońca po orbicie eliptycznej, a Słońce
znajduje się w jednym z ognisk tej elipsy.

2. Drugie prawo Keplera (prawo

równych pól): Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe

pola w równych odstępach czasu.

3.

Trzecie prawo Keplera: Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się do
siebie jak kwadraty ich okresów obiegu (półoś wielka jest połową najdłuższej cięciwy elipsy).

Trzecie prawo Keplera możemy zapisać w sposób następujący: dla dwóch dowolnych planet
krążących wokół Słońca jest spełniona zależność:

Newton pokazał, że prawa Keplera można wyprowadzić z zasad dynamiki. Pokazał na przykład, że
tylko wtedy, gdy siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości to spełnione są pierwsze i
trzecie prawo Keplera.

Z kolei drugie prawo Keplera wynika bezpośrednio z zasady zachowania

momentu pędu.

2

2

3

2

2

1

3

1

T

R

T

R



R

Mm

G

mv

E





2

2

I

II

v

R

GM

v

2

2





s

km

v

II

19

,

11

