1

Zmienne losowe (wykład 2, poprawiony)

Przez zmienną losową można rozumieć taką zmienną, która w wyniku doświadczenia przyjmuje różne wartości

z określonym prawdopodobieństwem. Zmienne losowe oznacza się wielkimi literami, np. X, Y, Z.

Rozróżnia się dwa typy zmiennych losowych: zmienne losowe skokowe (dyskretne) i zmienne losowe ciągłe.

Zmienna losowa X jest typu skokowego, jeśli może przyjmować tylko skończoną lub co najwyżej przeliczalną

liczbę wartości. Zmienna losowa X jest typu ciągłego, jeśli możliwe jej wartości należą do przedziału ze zbioru liczb

rzeczywistych. Zbiór możliwych wartości zmiennej losowej ciągłej jest nieskończony i nieprzeliczalny.

Tabela. Przykłady zmiennych losowych skokowych i zmiennych losowych ciągłych

Zmienne losowe skokowe

Zmienne losowe ciągłe



miesięczna liczba urodzeń i zgonów w Jeleniej
Górze,



liczba synów w rodzinie mającej czworo dzieci,



liczba zgonów, urodzeń, małżeństw w Polsce,



liczba koni w poszczególnych gospodarstwach na
terenie Dolnego Śląska,



liczba chłopców wśród stu noworodków.



temperatura jakiegoś ciała,



czas przeznaczony na wyprodukowanie sztuki wyrobu przez
pracowników pewnej fabryki,



czas bezawaryjnej pracy jakiegoś urządzenia (np. czas
świecenia żarówki),



wzrost, waga, wiek poszczególnych osób,



zużycie wody w Wałbrzychu w określonym dniu.

Rozkłady zmiennej losowej skokowej

Przypuśćmy, że zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartości x

1

,x

2

,… z prawdopodobieństwami,

odpowiednio, p

1

,p

2

,…. Prawdopodobieństwa p

1

,p

2

,… spełniają równość:

,

1

1







n

i

i

p

gdy zmienna losowa X przyjmuje skończoną liczbę n wartości

lub równość:

,

1

1









i

i

p

w przypadku nieskończonej liczby wartości zmiennej losowej X.

Funkcję przyporządkowującą wartościom x

i

zmiennej losowej X odpowiadające im prawdopodobieństwa nazywa

się funkcją rozkładu prawdopodobieństwa tej zmiennej lub krótko: rozkładem prawdopodobieństwa.

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa może być określona za pomocą wzoru, tabelki lub wykresu.

Funkcja F(x) = P(X<x) nazywa się dystrybuantą zmiennej losowej X. Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą,

.

1

)

(

,

0

)

(









F

F

Przykład 1. Wykonujemy rzut kostką sześcienną. Zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór wszystkich możliwych

wyników rzutu kostką.

Jeśli każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkujemy liczbę oczek na ściance kostki, to określimy w ten

sposób zmienną losową X, która przyjmie wartości 1,2,3,4,5,6 z prawdopodobieństwami wynoszącymi

,

6

1

)

(





i

x

X

P

dla x

i

=1,2,3,4,5,6, czyli (…).

2

Przykład 2

1

. Wyprodukowanie określonej liczby wyrobów przez jednego robotnika w ciągu godziny jest zmienną

losową X o następującym rozkładzie prawdopodobieństwa:

Liczba wyrobów X=x

i

2

3

4

5

6

7

8

Prawdopodobieństwo p

i

0,02

0,18

0,28

0,22

0,16

0,08

0,06

Wykreślić funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

1. Rozkład jednopunktowy

Zmienna losowa X posiada rozkład jednopunktowy, jeżeli istnieje taki punkt x

0

, że P(X=x

0

)=1.

2. Rozkład dwupunktowy

Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeżeli z dodatnimi prawdopodobieństwami przyjmuje jedynie dwie

wartości x

1

i x

2

.

P(X=x

1

)=p

P(X=x

2

)=q=1–p.

Często dla wygody przyjmuje się, że x

1

=1, x

2

=0 (wartościom x

1

i x

2

przyporządkowuje się liczby 1 i 0), stąd też

rozkład ten bywa nazywany rozkładem zero-jedynkowym. Wtedy:

P(X=1)=p

P(X=0)=q=1–p.

Zmienną losową zero-jedynkową posługujemy się wtedy, gdy w doświadczeniu spodziewamy się tylko dwóch

wyników. Jeden z nich nazywamy sukcesem. Spodziewamy się go z prawdopodobieństwem p i przyporządkowujemy mu
wartość 1. Drugi wynik, który nazywamy niepowodzeniem, jest oczekiwany z prawdopodobieństwem q=1–p i
przyporządkowujemy mu wartość 0. Prawdopodobieństwo p nazywamy prawdopodobieństwem sukcesu.

Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej X o rozkładzie zero-jedynkowym są odpowiednio równe

2

:

E(X)=1∙p+0∙q=p; D

2

(X)=1

2

∙p+0

2

∙q–p

2

=p–p

2

=p(1–p)=pq.

Przykład 3

3

. Z rozkładem dwupunktowym mamy do czynienia przy jednorazowym rzucie monetą (na przykład gdy

sędziowie sportowi ustalają, drogą losowania, rozpoczynającego grę). Jeśli zdarzeniu polegającemu na wyrzuceniu

orła przyporządkujemy liczbę 1 (zajście tego zdarzenia można nazwać „sukcesem”), a wyrzuceniu reszki – liczbę 0

(zajście tego zdarzenia można nazwać „niepowodzeniem”), wówczas

2

1

)

1

(





X

P

oraz

2

1

)

0

(





X

P

.

Przykład 4

4

. Rzucamy jeden raz kością do gry. Interesuje nas wyrzucenie sześciu oczek. Prawdopodobieństwo

sukcesu wynosi

6

1 , natomiast prawdopodobieństwo niepowodzenia

6

5 . Oznaczając sukces liczbą 1, a

niepowodzenie liczbą 0 otrzymamy rozkład zero-jedynkowy. Zmienna losowa X przybiera wartość 1 z

prawdopodobieństwem

6

1

, 0 z prawdopodobieństwem

6

5

.

3. Rozkład dwumianowy

1

J. Bielecki, B. Jurkiewicz, Z. Szymanowska, Zbiór zadań ze statystyki ogólnej i matematycznej, PWN, Warszawa 1978, s. 29.

2

S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka, Statystyka. Elementy teorii i zadania, Książka Ekonomiczna, Wrocław 1997, s. 135.

3

M. Krzysztofiak, D. Urbanek, Metody statystyczne, PWN, Warszawa 1975, s. 131; M. Maliński, Weryfikacja hipotez statystycznych wspomagana komputerowo, Gliwice 2004, s. 7.

4

Z. Hellwig, Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993, s. 69-70.

3

Zmienną losową o rozkładzie dwumianowym otrzymuje się w schemacie doświadczeń zwanym schematem

Bernoulliego.

Eksperyment polega na tym, że przeprowadzamy n (n≥2) niezależnych doświadczeń. Wynikiem każdego

doświadczenia może być tylko jeden z dwu możliwych stanów: sukces lub porażka.
1. Prawdopodobieństwo stanu, który został uznany jako sukces, jest takie samo w kolejnych doświadczeniach.

Prawdopodobieństwo sukcesu oznaczamy symbolem p, a prawdopodobieństwo niepowodzenia symbolem q. Między
prawdopodobieństwami p i q zachodzi związek p + q = 1.

2. Doświadczenia są niezależne, tzn. wynik poprzedniego doświadczenia nie ma wpływu na wynik następnego

5

.

Dokonujemy n doświadczeń losowych. W rezultacie każdego doświadczenia może zajść zdarzenie A z

prawdopodobieństwem p i zdarzenie przeciwne

A

z prawdopodobieństwem q = 1–p, przy czym wyniki n

doświadczeń są niezależne. Przyporządkujmy zdarzeniu A liczbę 1 i zdarzeniu przeciwnemu liczbę 0. W rezultacie n

doświadczeń losowych zdarzenie A może nastąpić 0, 1, 2, ..., n razy. Wobec tego zmienna losowa X może przybierać

wartości k=0, 1, 2, ..., n, przy czym równość X=k oznacza, że w n doświadczeniach zdarzenie A zaszło dokładnie k

razy.

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa takiej zmiennej opisana jest wzorem:

.

,...,

2

,

1

,

0

,

1

,

)

(

n

k

p

q

q

p

k

n

q

p

C

k

X

P

k

n

k

k

n

k

k

n





























Symbol

k

n

C

zastępuje się najczęściej symbolem Newtona













k

n

gdzie:

)!

(

!

!

k

n

k

n

k

n

















.

k

n

C

– liczba k elementowych kombinacji utworzonych z n elementów (liczba podzbiorów k-elementowych zbioru n-

elementowego), n – liczba doświadczeń, k – liczba sukcesów, p – prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym

doświadczeniu, q – prawdopodobieństwo porażki w pojedynczym doświadczeniu.

Rozpatrzmy następujące przykłady

6

:

a. Rzucamy cztery razy monetą. Niech H oznacza liczbę wyrzuconych reszek.
b. Wiadomo, że w pewnym mieście 30% mieszkańców woli korzystać z komunikacji miejskiej, niż z własnego

samochodu. Wybrano próbę dwudziestoosobową. Niech T będzie liczbą mieszkańców w próbie, którzy wolą
korzystać z komunikacji miejskiej.

c. Wiadomo, że pewna maszyna produkuje 15% wyrobów wadliwych. Wybrano losowo próbę dwunastoelementową.

Niech D oznacza liczbę wyrobów wadliwych w próbie.
Wszystkie wymienione zmienne losowe (H, T i D) podlegają rozkładowi prawdopodobieństwa zwanemu rozkładem

dwumianowym.

Przykład 5. Rzucono 2 razy monetą. Przedstawić w postaci tablicy rozkład zmiennej losowej X – liczby rzutów, w

których wypadł orzeł.

5

S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka, Statystyka. Elementy teorii i zadania, Książka Ekonomiczna, Wrocław 1997, s. 136.

6

A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, s. 129-131.

4

Przykład 6

7

. Obliczyć prawdopodobieństwa odpowiadające poszczególnym wartościom zmiennej losowej, którą jest

liczba białych kul wyciągniętych z urny, jeśli ciągniemy kolejno 5 kul i każdorazowo, po obejrzeniu barwy,

wkładamy kule z powrotem do urny oraz jeśli frakcja białych kul w urnie wynosi 1/3. Podać rozkład dwumianowy

zmiennej losowej X.

Przykład 7

8

. Z urny zawierającej sześć kul białych i cztery czarne losuje się ze zwracaniem 6 kul. Znaleźć rozkład

prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, określającej liczbę kul białych w próbce.

Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym wynosi E(X)=np.

Wynik ten jest intuicyjnie zrozumiały: jeżeli prawdopodobieństwo realizacji pewnego zdarzenia losowego w
pojedynczym doświadczeniu jest równe p, to średnio przy n doświadczeniach liczba realizacji powinna być równa np.
Przykład: stwierdzono, że prawdopodobieństwo popełnienia błędu przez kontrolera jakości kontrolującego zgodność
faktycznych wymiarów pewnych detali stalowych ze standardami technicznymi w pewnej fabryce przemysłu
maszynowego jest równe 0,02. Ile średnio błędów będzie popełniał dziennie kontroler, któremu przedstawia się do
sprawdzenia 200 sztuk detali?
Odpowiedź: Średnio kontroler popełnia 4 błędy dziennie. Można bowiem przyjąć, że liczba popełnionych przez
kontrolera błędów ma rozkład dwumianowy o parametrach n = 200 oraz p = 0,02. Korzystając ze wzoru E(X)=np
znajdujemy

9

, że E(X) = 200∙0,02 = 4.

Wariancja zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym wynosi D

2

(X)=npq=np(1–p).

4. Rozkład Poissona

Zmienna losowa X ma rozkład Poissona, jeżeli jej rozkład prawdopodobieństwa jest określony wzorem:











e

k

k

X

P

k

!

)

(

gdzie: λ>0, e≈2,718.

Rozkład Poissona daje na ogół dostatecznie dobre przybliżenie rozkładu dwumianowego, gdy:

1)

liczba doświadczeń jest duża (n>20),

2)

prawdopodobieństwo sukcesu w każdym doświadczeniu jest małe (p<0,2).

Iloczyn np jest wartością stałą, a mianowicie np=λ.

Przy stosowaniu rozkładu Poissona można korzystać z tablic, w których dla danej wartości np i wybranej

wartości k można odczytać P(X≤k).

Wartość oczekiwana i wariancja tej zmiennej są odpowiednio równe: E(X)=λ, D

2

(X)=λ.

Przykład 8

10

. W pewnym przedsiębiorstwie zaobserwowano, że w ciągu miesiąca zdarzają się średnio 2 wypadki i że

rozkład liczby wypadków może być opisany za pomocą rozkładu Poissona. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w

losowo wybranym miesiącu:

a) będą 3 wypadki,

b) nie będzie wypadków,

c) liczba wypadków nie przekroczy 2.

7

Z. Hellwig, Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993, s. 72-73.

8

C. Platt, Problemy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1974, s. 45-46.

9

Z. Pawłowski, Wstęp do statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1966, s. 133.

10

S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka, Statystyka. Materiały do ćwiczeń, Książka Ekonomiczna, Wrocław 1994, s. 141.

5

Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej dyskretnej

Najpełniejsze informacje o rozkładzie zmiennej losowej daje jej dystrybuanta bądź też jej funkcja rozkładu

prawdopodobieństwa lub – w przypadku zmiennych losowych ciągłych – funkcja gęstości prawdopodobieństwa.
Niezależnie od tego w wielu sytuacjach zachodzi potrzeba scharakteryzowania rozkładu zmiennej losowej za
pomocą jednej lub paru liczb wyrażających najistotniejsze własności rozkładu rozpatrywanej zmiennej losowej

11

.

Najważniejszymi parametrami zmiennych losowych są: wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej X

12

.

Charakterystyki liczbowe rozkładu

13

Wartość oczekiwana E(X)=m jest to wartość, wokół której skupiają się realizacje zmiennej losowej uzyskiwane

w wyniku wielokrotnie powtarzanego eksperymentu.

Wartość oczekiwana (przeciętna) zmiennej losowej skokowej X jest określona za pomocą jednego z wzorów:

,

)

(

1







n

i

i

i

p

x

X

E

gdy zmienna X przyjmuje n wartości;

,

)

(

1









i

i

i

p

x

X

E

gdy zmienna X przyjmuje przeliczalnie wiele wartości.

Wariancja zmiennej losowej X jest to miara rozproszenia wartości zmiennej wokół wartości średniej. Im

wariancja jest mniejsza, tym bardziej wartości zmiennej skupiają się wokół wartości przeciętnej E(X).

Wariancja zmiennej losowej X jest określona za pomocą jednego z następujących wzorów:

2

2

)]

(

[

)

(

)

(

X

E

X

E

X

V

X

D







2

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(

X

E

X

E

X

V

X

D







Do obliczeń wariancji można wykorzystać następujące wzory:





i

n

i

i

p

X

E

x

X

V

X

D











1

2

2

)

(

)

(

)

(

lub











n

i

i

i

X

E

p

x

X

V

X

D

1

2

2

2

))

(

(

)

(

)

(

Gdy zmienna losowa X przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, wówczas po prawej stronie powyższych wzorów

występuje suma nieskończona.

Odchylenie standardowe zmiennej losowej X jest to pierwiastek z jej wariancji:

.

)

(

2

X

D





Przykład 9

14

. Niech X będzie liczbą oczek wyrzuconych w rzucie kostką. Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i

odchylenie standardowe zmiennej losowej X.

Przykład 10

15

. Prawdopodobieństwo zachorowania na chorobę zakaźną Z w n-tym dniu od chwili zetknięcia się z

chorym ma następujący rozkład:

Dzień zachorowania od chwili
zetknięcia się z chorym (X=x

i

)

0

1

2

3

4

5

Prawdopodobieństwo p(x

i

)

0,10

0,25

0,30

0,20

0,10

0,05

Obliczyć następujące parametry rozkładu: wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe.

Przykład 11

16

. Znaleźć wartość oczekiwaną liczby zajścia zdarzenia A w jednym doświadczeniu, jeżeli

prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe p.

11

Z. Pawłowski, Wstęp do statystyki matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1969, s. 82.

12

S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka, Statystyka. Elementy teorii i zadania, Książka Ekonomiczna, Wrocław 1997, s. 122.

13

S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka, Statystyka. Elementy teorii i zadania, Książka Ekonomiczna, Wrocław 1997, s. 122-123.

14

Matematyka. Encyklopedia szkolna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1990, s. 179; S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka, Statystyka. Elementy teorii i zadania, Książka Ekonomiczna, Wrocław 1997, s. 125-128.

15

J. Bielecki, B. Jurkiewicz, Z. Szymanowska, Zbiór zadań ze statystyki ogólnej i matematycznej, PWN, Warszawa 1978, s. 33.

16

W. Gmurman, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1975, s. 83.