Zagadnienia z teorii (II sem. analizy dla WMS AGH)

(Dodałem parę uwag na końcu 2. strony!)

1. Definicja całki Riemanna, przykład f niecałkowalnej ograniczonej, ograniczoność funkcji cał-

kowalnych, sumy całkowe Darboux (dolne i górne), ich zachowanie po rozdrobnieniu podziału.

2. Definicja całki dolnej (i górnej), twierdzenie Darboux o sumach dolnych dla ciągu normalnego

podziałów, kryterium Darboux i kryterium Riemanna całkowalności f ograniczonej.

3. Dowód całkowlaności funkcji ciągłych. Całkowalność sumy i iloczynu funkcji całkowalych

4. Pierwsze twierdzenie o wartości średniej dla całek, tw. Newtona-Leibniza

5. Kryterium porównawcze zbieżności całki niewłaściwej.

6. Kryterium całkowe zbieżności szeregów.

7. Drugie tw. o wartości średniej (wzór Bonneta), kryterium Dirichleta dla całek

8. Tw. o przyrostach dla funkcji o wartościach wektorowych f : [a, b] → R

n

, wzór na pochodną

długości łuku krzywej, wzór na długość łuku krzywej. Przykład krzywej nieprostowalnej.

9. Wahanie całkowite, krzywe prostowalne, norma przestrzeni BV [a, b], oszacowanie wahania dla

funkcji monotonicznych i dla funkcji klasy C

1

, lub spełniających warunek Lipschitza. Definicja

całki Riemanna-Stieltjesa.

10. Iloczyn skalarny hf, gi zdefiniowany dla f, g ∈ R(a, b) przez całkę. Porównanie norm kf k

1

:=

R

b

a

|f (t)| dt, kf k

2

:=

q

R

b

a

|f (t)|

2

dt oraz kf k

[a,b]

:= sup

[a,b]

|f |, ciągłość funkcjonału f 7→

R

b

a

f (t) dt względem tych norm. Całkowanie szeregów wyraz-po wyrazie.

11. Zupełność przestrzeni C[a, b] oraz M (Ω) z normą supremową.

12. Zbieżność szeregów bezwzględnie zbieżnych w przestrzeni Banacha, „Test majorant” Weier-

stassa.

13. Twierdzenie o zbieżności jednostajnej wraz z pochodnymi (zupełność przestrzeni C

1

[a, b])

14. Szereg potęgowy -promień i koło zbieżności, zbieżność jednostajna wraz z pochodnymi na

zwartych podzbiorach koła zbieżności.

15. Twierdzenie Abela o szeregach potęgowych zbieżnych na końcu przedziału zbieżności, zastoso-

wanie do przedstawienia ln 2 jako

P

∞
1

(−1)

n+1

n

.

16. Definicja zbiorów zwartych, charakteryzacja zwartych podzbiorów w R

n

, ”warunek pokryć

skończonych” -jego dowód dla [a, b] ⊂ R, ograniczoność i osiąganie maksimum przez funkcje
ciągłe na zbiorach zwartych w R

n

.

17. Definicje: pochodnej zespolonej, funkcji analitycznej, całki z funkcji zmiennej zespolonej wzdłuż

krzywej, krzywej Jordana, orientacji dodatniej.

18. Twierdzenie (bez dowodu) o warunkach równoważnych analityczności, twierdzenie Liouville’a

(bez dow.). Zasadnicze Twierdzenie Algebry (zarys dowodu, że wynika ono z tw. Liouville’a).

19. Twierdzenie Pitagorasa dla normy określonej przez iloczyn skalarny. Definicja rzutu prostopa-

dłego P

M

x, równoważność [dla podprzestrzeni wektorowej M i dla y ∈ M ] warunku minimalnej

odległości kx − yk = dist(x, M ) z warunkiem prostopadłości x − y ⊥ M . (w przestrzeni rzeczy-
wistej Hilberta)

20. Nierówność Bessela dla układów ortogonalnych.

21. Ortogonalność układu trygonometrycznego (rzeczywistego i w postaci zespolonej), szereg Fo-

uriera - wzory na współczynniki, tw. Dirichleta bez dow.

22. Twierdzenie Fej´

era, zupełność układu trygonometrycznego.

23. Zbieżność szeregu Fouriera S[f ] (średniokwadratowa). Tożsamość Parsevala.

24. Granice iterowane, tw. o granicy podwójnej, jakiś przykład braku równości granic iterowanych

w odmiennej kolejności.

25. Pochodne cząstkowe a różniczkowalność funkcji n zmiennych (Tw.:ciągłość ∂f /∂x

j

⇒ różnicz-

kowalność f), definicja przestrzeni C

1

(Ω) (pewnych funkcji na zbiorze Ω ⊂ R

n

).

26. Różniczka złożenia i jej postać macierzowa. Dowód „Reguły Łańcucha”.

27. Pochodne kierunkowe (jednostronne), ich związki z gradientem, twierdzenie o wartości średniej

i o przyrostach.

28. Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu (=do powierzchni {(x, y, z) ∈ R

3

: z = f (x, y), (x, y) ∈

Ω}) -szkic uzasadnienia. Wektor normalny.

29. Otwartość zbioru macierzy nieosobliwych i ciągłość operacji odwracania macierzy (względem

normy operatorowej).

30. Tw. o lokalnej odwracalności (*dow. fragmentu o lokalnej injektywności i o różniczkowalnosci

(f |

U

)

−1

) pewnej kuli).

31. Tw. o funkcjach uwikłanych (dow. dla przypadku 2 zmiennych, lub ogólnym). Pochodne funkcji

uwikłanej

32. Druga różniczka, macierz Hessego, szkic dowodu twierdzenia o symetrii drugiej różniczki funkcji

klasy C

2

.

33. Wzór Taylora z resztą Lagrange’a (wyprowadzenie dla rzędu 2, w przypadku 2 zmiennych).

34. Warunki na istnienie ekstremów lokalnych (przypadek maksimum) dla f ∈ C

2

(Ω).

35. Warunek wystarczający dla istnienia ekstremum lok. funkcji uwikłanej konieczny -dla ekstre-

mum warunkowego (mnożniki Lagrange’a). Uzasadnienie dla ekstremum f(x,y) przy warunku
g(x,y)=0 (x, y) ∈ R

2

).

36. Twierdzenie Borela-Lebesgue’a dla zbiorów domkniętych, ograniczonych w R

n

, zastosowanie

dla zwartych zbiorów miary Lebesgue’a zero .

37. Całka Riemanna po obszarze zwartym, jej istnienie dla f ciągłej.

38. Twierdzenie o równości całki po prostokącie z całką iterowaną dla f ciągłej

39. Całkowanie po obszarze normalnym, twierdzenie o zmianie zmiennych (bez dow.)

UWAGA: Parę zagadnień nie zdążyłem (celowo, lub nie) przedstawić do końca na wykładzie. W p. 23 ”tożsa-

mość Parsevala” nie będzie wymagana z dowodem. (To jest w pewnym sensie ”twierdzenie Pitagorasa
dla nieskończenie wielu składników wzajemnie ortogonalnych” i bardzo prosto wynika ze zwykłego
tw. Pitagorasa dla n-tej sumy częściowej S

n

[f ] szeregu Fouriera dla f , jeśli już wiemy, że dla normy

średniokwadratowej k k

2

mamy kf − S

n

[f ]k

2

→ 0 przy n → ∞. Z ciągłości normy, kS

n

[f ]k

2

→ kf k

2

,

po podniesienu do kwadratu, zastosowaniu tw. Pitagorasa i przejściu granicznym -mamy tezę.)

Pnukt 10 traktuję jako zadnie dla Państwa. Wskazówka: całkę z f (odpowiedniom z |f |) można potraktować

jako iloczyn skalarny z funkcją stałą =1. Moduł iloczynu skalarnego potrafimy oszacować... .

Punkt 29. przedstawiłem na wykładzie częściowo -jako lemat przed dowodem tw. o lokalnej odwracalności

: kT − Ik < 1, gdzie I= identyczność, T = operator liniowy ciągły ⇒ ∃T

−1

=

P

∞
0

(I − T )

n

.

Gdy teraz jakiś operator A jest odwracalny, to odwracalność B jest równoważna odwracalności
operatora T zdefiniowanego jako A

−1

B, dla którego można stosować nasz lemat, gdyż kA

−1

B − Ik =

kA

−1

B − A

−1

Ak ¬ kA

−1

k · kB − Ak (tu kropka oznacza iloczyn liczb ). Prawa strona jest < 1 dla B

dostatecznie bliskich A. Ponieważ tu mówimy jedynie o macierzach, jest bardziej elemantarny dowód:
tu odwracalność = niezerowanie się wyznacznika, który jest funkcją ciągłą na zbiorze macierzy n × n
z (jakąkolwiek) normą. Dla takich funkcji ostre nierówności (tu -względem 0) przenoszą się na pewne
otoczenie (otaczenie macierzy A. )

W p. 30 usunęliśmy z wymagań dość żmudny dowód otwartości obrazu pewnego otoczenia...
Dla ułatwienia orientacji we własnościach funkcji ciągłych wielu zmiennych przedstawię krótki tekst na tej

stronie internetowej za najpóźniej 2 dni.