1) Materialny i przestrzenny opis ruchu ośrodka ciągłego (współrzędne materialne Lagrange'a i
przestrzenne Eulera), gradienty deformacji.
a) Materialny opis ruchu Lagrange'a
Równanie ruchu:
x x X, t (jak zmienia się położenie cząstki w czasie?)
odpowiedzią jest położenie danej cząstki po zadanym czasie => badany jest ruch
X - współrzędne materialne Lagrange'a
b) Przestrzenny opis ruchu Euler'a
X X x, t
x - współrzędne przestrzenne
Śledzony jest dany punkt : odpowiedzią jest cząstka (X) która w danym czasie t pojawi się w
analizowanym punkcie (Jaka cząstka o jakich współrzędnych X )
i
c) Materialny gradient deformacji
Najbardziej ogólna miara deformacji ośrodka
"
" "X
"X
" F "X
"
F
"X
d) Przestrzenny gradient deformacji
(odwzorowanie aktualnego w prototyp)
F "dX dx
dX F dx
dX
F
dx
2) Twierdzenie o biegunowym rozkładzie gradientów deformacji F. (algorytm, wartości R i U,
interpretacja geometryczna twierdzenia).
Założenie - Deformacja jest nieosobliwa (odcinek deformuje się w odcinek, powierzchnia w
powierzchnię) : det(F)`"0
Teza - Istnieją takie tensory U i V symetryczne i dodatnio określone oraz R ortogonalny, taki że:
F R"U V"R
U i V - tensory wydłużenia
R - tensor obrotu
Algorytm
1) C F "F
2) C U => C C => U , => U , U
3) R F "U
4) V F "R
Role tensorów U,R
- niech dX będzie równy N (wektor własny tensora)
i
- U "dX "dX dY , tensor U wydłuża lub skraca wektor dX
- R "dY dZ ; tensor R obraca wektor dY
- dx g R U "dX lub dx g V R "dX
3) Jak liczymy (dl)2 - (dL)2 w opisie materialnym a jak w przestrzennym?
a) opis materialny
2E dX dX
dl dL notacja macierzowa i indeksowa
2E dX dX
b) opis przestrzenny
2e dx dx
dl dL 2e dx dx
e - tensor odkształcenia Almansiego Hamela
ij
1 1
e c e 1 c
2 2
1 1
E C E C 1
2 2
4) Definicja tensorów C, E, c, e.
W opisie materialnym:
"
F
"X
C F "F - tensor deformacji Green'a
E C 1 - tensor odkształcenia Green'a de saint Venanta
W opisie przestrzennym:
c F "F - tensor deformacji Cauchy'ego
e 1 c - tensor odkształcenia Almansiego - Hanela
5) Podać sens geometryczny elementów E i E tensora E na gruncie teorii małych odkształceń.
11 12
Wychodząc od deformacji odkształcenia liniowego
dl dL dl C dX dX
1 1
dL dL dX dX
C dX dX
1 C 1
dX dX
1 C
1 C 2E 1
(E C 1 )
2 1 2E 1
1
E
2
Na gruncie teorii małych odkształceń odkształcenie podniesione do kwadratu oraz podzielone przez 2
daje wartość pomijalnie małą , Dlatego E
Dla elementu E :
12
dX dX , 0,0
dX 0, dX , 0
C dX dX
cos
C dX dX C dX dX
C 2E
C C 2E 1 2E 1
mianownik - wartość bardzo mała (pomijalna na gruncie małych odkształceń)
cos 2E
sin 2
cos
E
2 2
6) Definicja pola przemieszczeń u i tensorów H, H 1
~
~
]"
~ ~ ~ ~
~ ~
OPIS MATERIALNY
Definicja : ~
~ \
~ ~
1
~
1 1 1
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
OPIS PRZESTRZENNY
1
~ ~ \ ~
~ ~ ~
1
~
~ ~
7) Jak wyrażają się tensory C E c e przez pole u
, " , , , , ,
, , , " ,
1 1
, , , " ,
2 2
1
, , , " ,
2
, " , , , , ,
, , , " ,
1 1
, , , " ,
2 2
1
, , , " ,
2
8. Wyznaczyć prawo transformacji elementu objętościowego
- sześcian zbudowany na dX dX dX
1 2 3
- konfiguracja początkowa
|
|
" ; "
- konfiguracja aktualna
"
" , , , , |
"
wyznacznik A to objętość zbudowanej bryły
wyznacznik B to objętość zbudowanej bryły
" ; "
9. Wyznaczyć prawo transformacji elementu powierzchniowego
" ;
"
" " "
" " "
" " " "
" " " 0 "
" " 0
wzór NANSENA: " "
- konfiguracja aktualna
"
" , , , , |
"
wyznacznik A to objętość zbudowanej bryły
wyznacznik B to objętość zbudowanej bryły
" ; "
10. Pochodna materialna w opisie:
(10.1) MATERIALNYM
,
,
|
(10.2) PRZESTRZENNYM
, " "
,
1
, ,
lim " "
"
1
,
lim " " "
,
"
" " " i wszystko skracamy w nawiasie zostaje
"
11. PRAWO ZACHOWANIA MASY
ó ó ó
m = R dVR = dV = J dVR --- Globalnie
V
V
V
R
R
ó
d
=> |
dVR = 0 R = J
( - J)
R
dt
V
R
o
0 = (J) --- Lokalnie
ó
d
12. OBLICZYĆ POCHODN
dV
dtV
o
o
ćó
ó
o
dV = ćó
J dVR
= (J) dVR =
V
V V
Ł ł
R R
Ł ł
ó
0
ó
o
o(J) + (J)oł
= (J) dVR = dVR
V V
R R
( )
J = 0
ćó
ó
o o
d dV = ó
(J) dVR = J dV
V
V
V
dt
Ł ł
R
(J)dVR = dV
13. POSTULATY RUCHU
(1) ZASADA PDU
ó
P^o = S Pęd : P = V dV (p = mV)
V
(2) KRT MOMENT PDU
Ko = p AO = p (-r) = r p
ó
Ko = r V dV
V = f
V
ó ó
Siły :
S = b dV + t dS
V S
siły masowe brzegowe
ZASADA PDU
ZASAD KRTU
ó ó ó
o
Ko = Mo Ko = x y dV Mo = x b dV + x t dS
V V S
ó
ó ó
o o
Mo = Ko = (x y) dV = x b dV + x t dS
V V S
14. TENSOR NAPRŻENIA CAUCHY'EGO
(t.1,t.2,t.3) - wektory napr. na ściankach równoległych do osi z1,z2,z3
- wersory układu z1,z2,z3
(e , e2 , e3)
1
tn = t1e1 + t2e2 + t3e3
t1 =
ti = jinj
( )
11, 12, 13
t2 = t2 = nT
( )
21, 22, 23
t3 =
( )
31, 32, 33
Z warunku zerowania momentu wynika symetria macierzy naprężeń
ć11 12 13
T
T = T ji = ij T =
( ) 21
22 23
Ł31 32 33 ł
t2 = , n2 , n3 1
= t
(n )
(t , t2 , t3)
1
Istnieje związek pomiędzy wektorem napr. na płaszczyznie o normalnej n i wektorami naprężen na płaszcz. prostopadłych do
osi układu.
Ta zależność dowodzi faktu istnienia tensora naprężenia zwanego tensorem naprężeń rzeczywistych Cauchy'ego
15. RÓWNANIE RUCHU OŚRODKA CIGAEGO
ó
ó ó
o
V dV = b dV + ti dS
V V
S
ó
ti = jinj = ji.j dV
V
ó
o
ćb
+ ji.j - vi dV = 0
i
Ł ł
V
o o oo
bi + ji.j = vi vi = ai = ui
oo
W zapisie tensorowym
divT + b = u
16. WEKTORY I TENSORY NAPRŻENIA PIOLI - KIRHOFFA, ICH
ZWIZEK Z WEKTOREM I TENSOREM NARPEŻENIA
CAUCHY'EGO
Tensor i wektor PK - I
T
R R T
( )
T NdA = t dA = f = tda = T nda =
T
ł
- 1
T - T T - T ćF
ęT ś
= JF NdA = JT F NdA = J T dA
Ł ł
- 1
R
tensor PK-I
T = JF T
Tensor PK - II
- w drugą stronę
- 1 - 1 - 1
* * T
f = t dA = F f = F tda = F T nda =
T
- 1 - 1 - 1
T - T T - T ćF - T
= F T JF NdA = JF T F dA = J TF dA
Ł ł
- 1
- T
- tensor PK - II
S = JF TF
17. Twierdzenie Cayley'a Hamiltona (znaczenie praktyczne tego twierdzenia).
3 2
każdy tensor spełnia swoje równania wiekowe
A - I1A + I2A - I31 0
- 1 1 2
mają c i wyliczymy
A A A
3 2 - 1
||
A - I1A + I2A - I31 0 A
2 - 1
każdy tensor jest pierwiastkiem swojego równania wiekowego
A I1A - I21 + I3A
18. Materiał hipersprężysty (Green'a) postać zw. fizycznych.
w eij aeijeij + bekksij
( )
d
w 2aeij + 2bekksij
a G 2b l
deij
sij d w(e )
prawo Hooke'a
sij 2Geij + lsijekk
deij
d
lokalne prawo zachowania masy
r + div ( r v) 0
dt
19. Komplet równań LTS wraz z warunkami brzegowymi dla statyki.
oo - druga pochodna
oo
rui 0
rbi fi
1). Równania geometryczne (6):
1
eij ui.j + uj.i
()
2
2) Równania równowagi (3):
Naviera
sij.j + fi 0
3) Fizyczne - prawo Hooke'a (6):
sij 2Geij + lsijekk
+ kinematyczne warunki brzegowe na S.u + statyczne warunki brzegowe na S.sigma
ui hi(x) qi sijnj
20. Komplet równań płaskiego stanu LTS. Jak rozróżniamy PSN od PSO?
Płaskiemu stanowi naprężenia (PSN) nie odpowiada płaski stan odkształcenia (PSO) !!!
1) Równania równowagi (2):
+ SWB
dij.j + fi 0 i, j 1, 2 qi sijnj
2) Równania geometryczne (3):
1
+ KWB
eij ui.j + uj.i i, j 1, 2 ui ui(zdaszkiem)
()
2
3) Równania fizyczne (3):
dla PSN
'
1 E E
ćs '
e11 - s22
11
Ł ł
'
E
'
E
dla PSO
E
2
1
ćs ' 1 -
e22 - s11
22
Ł ł
'
'
E
dla PSN
'
1 +
'
e12 s12 v
( )
dla PSO
' 1 -
E
8 niewiadomych - 8 równań
u1, u2, e11, e22, e12, s11, s22, s12 niewiadome
w PSN tensor płaski nie jest tensorem płaskim
Ts Te
ćs11 s12 0 će11 e12 0
s21 s22 0 e21 e22 0
0 0 0 0 0 e33
Ł ł Ł ł
w PSO tensor płaski nie jest tensorem płaskim
Te Ts
21. Założenie teorii płyt cienkich Kirchoff'a.
sz tzx tzy
a) naprę ż nie
jest tak małe w porównaniu z pozostałymi składowymi tensora naprężeń, że dla wszystkich punktów
można przyjąć
sz tzx tzy 0
b) odcinek prostopadły prostoliniowy do nieodkształconej powierzchni środkowej pozostaje
prostoliniowy, prostopadły i niewydłużony w stosunku do odkształconej powierzchni środkowej
c) zmiana długości włókien w powierzchni środkowej jest pomijalna w porównaniu z taką zmianą
na powierzchniach skrajnych
27. Zagadnienie Flamanta
2PcosĆ
2ą sin2Ą r
2PcosĆ 2PcosĆ
lim
Ą
Ąrh
2 sinĄ rh
2
0
0
0
T
0 0
Po przeliczeniu do układu osi x i x :
1 2
2P x x
Ąh x x
2P x
Ąh x x
2P x x
Ąh x x
T
Zadanie
A Ć
r
A Ć 1 1
2 A Ć A Ć 0
r r r
1
A Ć C sinĆ C cos Ć C sinĆ C cosĆ
r
C cosĆ
r
Symetria
C cosĆ
r
Z równań równowagi:
x 0
x 0
M 0
Otrzymujemy:
2PcosĆ
2ą sin2Ą r
0
0
Asymetria
C sinĆ
r
"
Z równań równowagi : x 0
x 0
M 0
Otrzymujemy
2PcosĆ
2ą sin2Ą r
0
0
28.Dla zadanej deformacji (np. x =X +X , x = 2X +2X ) dokonań biegunowego rozkładu gradientu
1 1 2 2 1 2
deformacji F.
(1)F
(2) C=FTF
(3) u c ; c > c^ > c=u=u 1 > u, u 1
" "
(4) R=F*u 1
(5)V=F*RT
W drugą stronę:
(1) F
(2) C F F
30. Dla zadanej deformacji ( np. x =X +X , x = 2X +2X ) wyznaczyć znane miary deformacji w opisie materialnym: F, C, E, u , H , i przestrzennym F 1, c, e , u , H 1.
1 1 2 2 1 2
Materialny
(1)
dx
F
dX
(2) C F F
|
(3)E C 1
(4) u=x X
(5) H=
Przestrzeny
(1) F
(2) C F F
|
(3)e 1 c
(4)u=x X
(5)H
5 2
31. Dla tensora naprężenia Cauchy ego T wyznaczyć wartości i kierunki własne.
2 1
5 2
2 1
, /
2 2
tgą
32. Jak są definiowane wektory i tensory naprężenia P KI i P KII. Pokazać rysunek i odpowiednie
wzory.
Pk I i PK II > 16
33. Dla zadanej tarczy i w zadanym punkcie wyznaczyć MRS naprężenia główne i ich kierunki.
34. Mając daną funkcję naprężeń Airy ego wyznaczyć w zadanym punkcie tensor naprężenia oraz
obciążenie wskazanego odcinka brzegu tarcałcenia i naprężenia.
F x , x x x x x x
Tensor naprężenia
d F
dx
d F
dx
d F
dx dx
Wyznaczenie obciążenia q na dowolnym brzegu:
(1) n nsiną
n ncosą
q n n
n n
Równanie odcinkowe prostej: 1 => x zależne od x
2 1
,
35. Dla zadanej płyty MRS wyznaczyć funkcję ugięcia i tensor momentów
36. Dla zadanej deformacji (np. z zad. 28) i zadanego tensora naprężeń Cauchy ego (np. z zad.31)
wyznaczyć tensory PKI i PKII
Deformacja : 2 2
1 1
3 2
T=
2 1
PKII >
F=2 2
1 1
J=detF=2"1 2 " 1 4
przekształcenie na
37. W ramach LTS dla zadanego pola przemieszczeń wyznaczyć tensory odkształcenia i naprężenia.
, " 2
, "2 "
PSO
2
1 2 1
2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
tsip sciaga teoriaSciaga pl Podział drukarek komputerowychdydaktyka egzamin sciagaŚciąganie drążka wyciągu górnego do klatki na maszynieściąga kol 1 statasciaga napedyściaga PRDMK Ściąga na egzaminPodstawy Systemów Okrętowych Ściaga PytaniamiŚCIĄGAściaga analizaBadanie Maszyn ściąga 1cisco kolos sciaga labkiwięcej podobnych podstron