1.Materialny i przestrzenny opis ruchu ośrodka 4. Definicja tensorów C,E, c, e
ciągłego (współrzędne materialne Lagrange a a) w opisie materialnym
i przestrzenne Eulera), gradienty deformacji.
a) materialny opis ruchu Lagrange a
Równanie ruchu:
b) w opisie przestrzennym
Jak zmienia się położenie
9. Wyprowadzić prawo transformacji elementu
czÄ…stki w czasie?
powierzchniowego (wzór Nansena)
OdpowiedziÄ… jest
5.Podać sens geometryczny elementów E11 i E12
położenie danej cząstki
tensora E na gruncie teorii małych odkształceń.
po zadanym czasie ->
badany jest ruch
X  współrzędne materialne Lagrange a
b) przestrzenny opis ruchu Eulera
x  współrzędne
przestrzenne
10. Pochodna materialna w opisie:
- materialnym:
Åšledzony jest dany
punkt: odpowiedziÄ…
Na gruncie teorii małych odkształceń odkształcenie
jest czÄ…stka (dX),
podniesione do kwadratu oraz pomnożone przez ½
która w danym czasie
daje wartość pomijalnie maÅ‚Ä…, dlatego E H" µ
- przestrzennym:
t pojawi siÄ™ w
analizowanym punkcie (Jaka czÄ…stka o jakich
współrzędnych Xi)
c) materialny gradient deformacji
Najbardziej ogólna
miara deformacji
ośrodka:
11. Prawo zachowania masy (w opisie materialnym)
mianownik  wartość bardzo mała, pomijalne na
gruncie małych odkształceń
d) przestrzenny gradient deformacji
odwzorowanie aktualnego w  prototyp
6.Definicja pola przemieszczeń u i tensorów
gradientów H i H-1
- globalnie
2. Twierdzenie o biegunowym rozkładzie gradientu
deformacji F (algorytm, własności R i U,
Opis materialny:
interpretacja geometryczna twierdzenia)
lokalnie
Definicja:
Założenie: Deformacja jest nieosobliwa (odcinek
deformuje siÄ™ w odcinek, powierzchnia w
12. Obliczyć pochodną
powierzchniÄ™): det(F)`"0
Teza: IstniejÄ… takie tensory U i V symetryczne
i dodatnio określone oraz R ortogonalny, takie że:
materialny gradient przemieszczeń H
Opis przestrzenny:
przestrzenny gradient pola przemieszczeń H-1
7.Jak wyrażają się tensory C, E, c, e przez pole u
13. Postulaty ruchu (zasada pędu, zasada krętu)
(1) Zasada pędu
(2) Kręt: moment pędu
3. Jaki liczymy dl2  dL2 w opisie:
Zasada pędu:
8. Wyprowadzić prawo transformacji elementu
a) materialnym
objętościowego.
- sześcian zbudowany na dX1,
dX2, dX3
b) przestrzennym
- konfiguracja poczÄ…tkowa:
eij - tensor odkształcenia Almansiego - Hamela
Zasada krętu:
- konfiguracja aktualna:
14. Tensor naprężeń Cauchy ego 17. Twierdzenie Cayley'a Hamiltona (znaczenie 22. Równanie płyty i warunki brzegowe dla brzegu
praktyczne tego twierdzenia). swobodnie podpartego i zamocowanego.
każdy tensor
3 2
spełnia swoje
A -ð I1×ðA +ð I2×ðA -ð I3×ð 1 0
równania
Warunki brzegowe:
-ð 1 1 2
wiekowe, majÄ…c i wyliczymy
A A A 1.Krawędz
swobodna: qx=0 i mn=0
3 2 -ð 1
II
A -ð I1×ðA +ð I2×ðA -ð I3×ð1 0 A
każdy tensor jest
2 -ð 1
A I1×ðA -ð I2×ð1 +ð I3×ðA pierwiastkiem swojego
2.Krawędz
wolnopodparta: w=0 i mn=0
równania wiekowego
t1, t2, t3  wektory naprężeń na ściankach
równoległych do osi z1, z2, z3
18. Materiał hipersprężysty (Green'a) - postać
t1, t2, t3  wersory układu z1, z2, z3
związków fizycznych
tn  naprężenia na powierzchni deltaS
3. Utwierdzenie
wð eðij að×ðeðij×ðeðij +ð bð×ðeðkk×ðsðij
(ð )ð
d
að G
wð 2×ðað×ðeðij +ð 2×ðbð×ðeð 2×ðbð lð
kk×ðsðij
deð
ij
prawo
sðij 2×ðG×ðeðij +ð lð×ðsðij×ðeðkk
sðij d wð(eð )
23. Definicje m.x i m.xy. Jak te wielkości wyrażają
deðij Hooke a
Z warunku zerowania momentu wynika symetria
się jako funkcje ugięcia płyty?
macierzy naprężeń:
h
h h
d
rð +ð div(rðv) 0 óð óð
lokalne prawo zachowania masy óð 2 2
2
ôð ôð
ôð
dt
my :ð=ð sðy×ðzdz
ôð mxy :ð=ð tð
mx :ð=ð ôð sðx×ðz dz ôð
xy×ðzdz
ôð
ôð ôð
19. Komplet równaÅ„ LTS wraz z warunkami õð-ð h
õð-ð h õð-ð h
2
brzegowymi dla statyki. (oo - druga pochodna) 2 2
oo
rð×ð u 0 rð×ðbi fi
i Funkcje ugięcia:
Istnieje związek pomiędzy wektorem naprężeń na
1. Równania geometryczne (6):
płaszczyz
nie dowolnie nachylonej i płaszczyznach
1
prostopadłych do osi układu. Ta zależność dowodzi
eð ×ð ui.j +ð uj.i
(ð )ð
ij
2
faktu istnienia tensora naprężenia zwanego
tensorem naprężeń rzeczywistych Cauchy ego
2. Równania równowagi (3):
15. Równanie ruchu ośrodka ciągłego.
Naviera
24. Narysować siły wewnętrzne działające na
sðij.j +ð fi 0
myślowo wycięty element płyty.
3. Równania fizyczne  prawo Hooke a (6):
sðij 2×ðG×ðeðij +ð lð×ðsðij×ðeðkk
+ kinematyczne warunki brzegowe na S.u + statyczne
warunki brzegowe na S.sigma
ui hi(x)
qi sðij×ðnj
20. Komplet równań płaskiego zadania LTS. Jak
rozróżniamy PSN od PSO?
Płaskiemu stanowi naprężenia (PSN) nie odpowiada
25. Definicja KDPP i SDPN, wariacje tych pól.
płaski stan odkształcenia (PSO) !!!
KDPP  kinematyczne dopuszczalne pole przemieszczeń
1) Równania równowagi (2):
dðij.j +ð fi 0 i,ð ðj 1,ð ð2 q sð
i ij×ðn j
2) Równania geometryczne (3):
SDPN  statyczne dopuszczalne pole przemieszczeń
16. Wektory i tensory naprężenia Pioli  Kirchoffa;
ich związek z wektorem i tensorem naprężenia
3) Równania fizyczne (3):
Cauchy ego. Pokazać rysunek i odpowiednie wzory.
Wariacje:
Tensor i wektor PK-I przyrost przemieszczeń
generuje przyrost odkształceń
zeruje siÄ™ na zadanych
warunkach brzegowych
26. Zasady wariacyjne w TS (ZPW, Zasada
Lagrange a)
8 niewiadomych  8 równań
Zasada prac wirtualnych (ZPW)
Wariacja musi być kinematycznie dopuszczalna na
Su=0 na SÃ`"0. Praca rzeczywistego pola naprężeÅ„ na
odpowiedniej wariacji i odkształceniu. Jeżeli ze stanu
równowagi u nadamy polu przemieszczeń pewną
21. ZaÅ‚ożenia teorii pÅ‚yt cienkich Kirchoff a wariacjÄ™ Ãu to praca siÅ‚ zewnÄ™trznych na wariacji i
Tensor PK-II (w drugÄ… stronÄ™)
polu przemieszczeń równa będzie pracy naprężeń na
a) naprężenie jest tak małe w
odpowiadającej wariacji odkształceń.
porównaniu z pozostałymi składowymi tensora
Zasada Lagrange a o minimum energii potencjalnej
naprężeń, że dla wszystkich punktów można przyjąć
W zbiorze wszystkich KDPP {Vu} rzeczywiste
przemieszczenie u minimalizuje funkcjonał energii
b) odcinek prostopadły prostoliniowy do potencjalnej J(u)=min J(u) i v " Vu
nieodkształconej powierzchni środkowej pozostaje
prostoliniowy, prostopadły i niewydłużony w
stosunku do odkształconej powierzchni środkowej
c) zmiana długości włókien w powierzchni środkowej
jest pomijalna w porównaniu z taką zmianą na
powierzchniach skrajnych
27. Zagadnienie Flamanta (+ zadanie klina i 28. Dla zadanej deformacji (np. x1 = X1 + X2; x2 = -2X1 33. Dla zadane tarczy i w zadanym punkcie
sztywnego stempla) + 2X2) dokonać biegunowego rozkładu gradientu wyznaczyć MRS naprężenia główne i ich kierunki.
Zagadnienie Flamanta deformacji F 34. Mając daną funkcję naprężeń Airy ego
wyznaczyć w zadanym punkcie tensor naprężenia
oraz obciążenie wskazanego odcinka brzegu tarczy.
tensor naprężenia
Wyznaczenie obciążenia q na dowolnym brzegu:
29. WykorzystujÄ…c wyniki z zadania 28 na wektorze
dX = [1,1]T pokazać rachunkowo i graficznie FdX
i R[UdX]
Po przeliczeniu do układu osi x1 i x2:
35. Dla zadanej płyty MRS wyznaczyć funkcję ugięcia
i tensor naprężeń
36. Dla zadanej deformacji (np. z zadania 28) i
zadanego tensora naprężeń Cauchy ego (np. z
zadania 31) wyznaczyć tensory PKI i PKII
37. W ramach LTS dla zadanego pola przemieszczeń
wyznaczyć tensory odkształcenia i naprężenia
symetria:
Z równań równowagi:
30. Dla zadanej deformacji ( np. x1=X1+X2 , x2=-
2X1+2X2 ) wyznaczyć znane miary deformacji w
opisie materialnym: F, C, E, u , H , i przestrzennym
F-1, c, e , u , H-1
38. Korzystając z metod wariacyjnych wyznaczyć siłę
krytycznÄ… zadanej belki
Otrzymujemy:
antysymetria
Z równań równowagi:
Otrzymujemy:
31. Dla tensora naprężeń Cauchy ego T wyznaczyć
wartości i kierunki własne. Pokazać interpolację
geometryczną tensora w układzie wyjściowym i
własnym.
32. Jak są definiowane wektory i tensory naprężenia
P-K I i P-K II. Pokazać rysunek i odpowiednie wzory.
Odpowiedz
w pytaniu 16