6. Ocena jakości sterowania
Jakość określana jest za pomocą wskazników tworzących kryteria, które są definiowane w
stanach ustalonych lub też w stanach nieustalonych układów sterowania. Podstawowymi strukturami
układów sterowania są: sprzężenia zwrotne i obwód kompensacji zakłóceń. Układ z jednym
sprzężeniem zwrotnym, nazywanym układem regulacji, w postaci ogólnej uwzględniającej zewnętrzne
zakłócenia lub obciążenia, przedstawia się w sposób pokazany na rys.1.
Z(s)
XN(s) G2(s)
Y(s)
Y0(s)
+
GA(s) GR(s) G0(s)
GH(s)
Rys.1. Schemat blokowy układu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym (układu regulacji)
Rozwiązanie przedstawione na rys.1 stosowane jest w różnych układach technicznych dla
utrzymania wielkoÅ›ci regulowanej 5ØfÜ(5ØaÜ) w pobliżu wartoÅ›ci zadanej 5ØfÜ0(5ØaÜ) lub też tworzy autonomiczny
obwód bardziej złożonych systemów sterowania. Zadawalającą metodą analizy i projektowania tego
rodzaju układów jest metoda transmitancji operatorowych, bazująca na zależnościach skalarnych
wyrażonych w dziedzinie zmiennej zespolonej 5Ø`Ü (po wczeÅ›niejszym dokonaniu przeksztaÅ‚ceÅ„ Laplace a).
Zadaniem regulatora 5Ø:Ü5ØEÜ(5Ø`Ü) jest wygenerowanie sygnaÅ‚u sterujÄ…cego 5ØKÜ5ØAÜ(5Ø`Ü) takiego, by wielkość
sterowana 5ØLÜ(5Ø`Ü) byÅ‚a równoważna wartoÅ›ci zadanej 5ØLÜ0(5Ø`Ü):
5ØLÜ0(5Ø`Ü) a" Y(s) (1)
WielkoÅ›ciÄ… wejÅ›ciowÄ… do regulatora 5Ø:Ü5ØEÜ(5Ø`Ü) jest sygnaÅ‚ bÅ‚Ä™du 5Ø8Ü(5Ø`Ü), nazywany też uchybem. Dla 5Ø:Ü5ØEÜ(5Ø`Ü) =
1 i 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü) = 1, uchyb 5Ø8Ü(5Ø`Ü) wynosi:
5Ø8Ü(5Ø`Ü) = 5ØLÜ0(5Ø`Ü) - 5ØLÜ(5Ø`Ü) (2)
Obiekt sterowany opisany jest za pomocÄ… transmitancji 5Ø:Ü0(5Ø`Ü). ZewnÄ™trzne zakłócenia lub
obciążenia sÄ… przedstawione za pomocÄ… sygnaÅ‚u 5ØMÜ(5Ø`Ü) a ich przetwarzanie w jednostkach wielkoÅ›ci
sterujÄ…cej 5ØKÜ5ØAÜ(5Ø`Ü), przedstawia transmitancja 5Ø:Ü5ØMÜ(5Ø`Ü). WpÅ‚yw zakłóceÅ„ 5ØMÜ(5Ø`Ü) powoduje, że w ukÅ‚adzie
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
1
ciÄ…gle zmienia siÄ™ sygnaÅ‚ 5Ø8Ü(5Ø`Ü) a regulator 5Ø:Ü5ØEÜ(5Ø`Ü) generuje kolejne nowe wartoÅ›ci sygnaÅ‚u
nastawiajÄ…cego obiekt 5ØKÜ5ØAÜ(5Ø`Ü).
Najczęściej transmitancja w sprzężeniu zwrotnym 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü) = 1 i wówczas okreÅ›la siÄ™, że ukÅ‚ad ma
peÅ‚ne (sztywne) sprzężenie zwrotne. W torze głównym ukÅ‚adu, prócz regulatora 5Ø:Ü5ØEÜ(5Ø`Ü), może być
umiejscowiony dodatkowy korektor 5Ø:Ü5Ø>Ü(5Ø`Ü). Podstawowe zależnoÅ›ci sÄ… rozpatrywane w sposób ogólny
dla ukÅ‚adu gdy: 5Ø:Ü5Ø4Ü(5Ø`Ü) = 1, 5Ø:Ü5Ø>Ü(5Ø`Ü) = 1 i 5Ø:Ü5Ø4Ü(5Ø`Ü) = 1. Gdy wielkoÅ›ci 5Ø:Ü5ØEÜ, 5Ø:Ü5Ø>Ü i 5Ø:Ü5Ø;Ü nie sÄ… równe jednoÅ›ci, to
rozpatrywane zależności należy odpowiednio zmodyfikować. Rozpatrywane wskazniki jakości są
również aktualne dla jawnych struktur sterowania niż przedstawiona na rys.1, przy czym niektóre z nich
należy dostosować do rozpatrywanego rozkładu.
Wskazniki jakoÅ›ci sÄ… tworzone na podstawie wyjść 5ØLÜ(5Ø`Ü) i 5Ø8Ü(5Ø`Ü) dla wejść 5ØLÜ0(5Ø`Ü) i 5ØMÜ(5Ø`Ü), które,
które są obliczane z transmitancji określonych na podstawie rys.1.
·ð transmitancja ukÅ‚adu wzglÄ™dem wartoÅ›ci zadanej:
5ØLÜ(5Ø`Ü) 5Ø:Ü5ØEÜ(5Ø`Ü)"5Ø:Ü0(5Ø`Ü)
5Ø:Ü5ØLÜ/5ØLÜ0(5Ø`Ü) = = , (3)
5ØLÜ0(5Ø`Ü) 1+5Ø:Ü5ØEÜ(5Ø`Ü) 5Ø:Ü0(5Ø`Ü)
·ð transmitancja zakłóceniowa ukÅ‚adu:
5ØLÜ(5Ø`Ü)
5Ø:Ü5ØLÜ/5ØMÜ(5Ø`Ü) = = 5Ø:Ü5ØMÜ(5Ø`Ü) 1+5Ø:Ü5Ø:Ü0(5Ø`Ü) , (4)
5ØMÜ(5Ø`Ü) (5Ø`Ü) 5Ø:Ü0(5Ø`Ü)
5ØEÜ
·ð transmitancja odchyÅ‚kowa wzglÄ™dem wartoÅ›ci zadanej:
1
5Ø:Ü5Ø8Ü/5ØLÜ0(5Ø`Ü) = , (5)
1+5Ø:Ü5ØEÜ(5Ø`Ü) 5Ø:Ü0(5Ø`Ü)
·ð transmitancja odchyÅ‚kowa wzglÄ™dem zakłócenia:
5Ø:Ü0(5Ø`Ü)
5Ø:Ü5Ø8Ü/5ØMÜ(5Ø`Ü) = 5Ø:Ü5ØMÜ(5Ø`Ü) . (6)
1+5Ø:Ü5ØEÜ(5Ø`Ü) 5Ø:Ü0(5Ø`Ü)
Odpowiedzi ukÅ‚adu 5ØLÜ(5Ø`Ü) i 5Ø8Ü(5Ø`Ü) wynoszÄ…:
5ØLÜ(5Ø`Ü) = 5ØLÜ0(5Ø`Ü) " 5Ø:Ü5ØLÜ/5ØLÜ0(5Ø`Ü) + 5ØMÜ(5Ø`Ü) " 5Ø:Ü5ØLÜ/5ØMÜ(5Ø`Ü) , (7)
5Ø8Ü(5Ø`Ü) = 5ØLÜ0(5Ø`Ü) " 5Ø:Ü5Ø8Ü/5ØLÜ0(5Ø`Ü) + 5ØMÜ(5Ø`Ü) 5Ø:Ü5Ø8Ü/5ØMÜ(5Ø`Ü) . (8)
Zgodnie z rys.1, dla 5Ø:Ü5Ø4Ü(5Ø`Ü) = 1 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü) = 1 , zależność 5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) :
5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) = 5Ø:Ü5ØEÜ(5Ø`Ü) 5Ø:Ü0(5Ø`Ü) , (9)
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
2
nazywa siÄ™ transmitancjÄ… ukÅ‚adu otwartego. Transmitancja 5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) wystÄ™puje w transmitancjach (3),
(4), (5) i (6) a zależność:
5Ø@Ü5ØHÜ5ØMÜ(5Ø`Ü) = 1 + 5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) = 0 , (10)
jest równaniem charakterystycznym układu zamkniętego.
Idealne sterowanie dla 5Ø:Ü5Ø4Ü(5Ø`Ü) = 1 , 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü) = 1, tj. gdy:
5ØLÜ0(5Ø`Ü) a" 5ØLÜ(5Ø`Ü) lub 5Ø:Ü5ØLÜ/5ØLÜ0(5Ø`Ü) = 1,
} (11)
5Ø8Ü(5Ø`Ü) = 0,
dla wszystkich 5ØLÜ0(5Ø`Ü) i 5ØMÜ(5Ø`Ü) można osiÄ…gnąć, jeżeli ukÅ‚ad zachowa stabilność oraz wzmocnienie
regulatora 5Ø:Ü5ØEÜ(5Ø`Ü) bÄ™dzie nieskoÅ„czenie duże:
| |
5Ø:Ü5ØEÜ(5Ø`Ü) " , 5ØXÜ " . (12)
Dla granicy (12) pomijane jest 1 w równaniu charakterystycznym.
Spełnienie tego warunku w praktyce nie jest możliwe, ponieważ każdy układ techniczny po
osiÄ…gniÄ™ciu pewnego wzmocnienia 5ØXÜ5Ø>Ü5ØEÜ staje siÄ™ niestabilny z powodu wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci powodujÄ…cych
przesuniÄ™cie fazowe miÄ™dzy 5ØLÜ(5Ø`Ü) i 5ØLÜ0(5Ø`Ü). Zatem synteza sterowania polega na znalezieniu kompromisu
między dokładnością sterowania a stabilnością, przez kompensację inercji lub właściwości
oscylacyjnych obiektu. Stabilność układu jest podstawowym wymogiem, który musi być bezwzględnie
spełniony.
6.1. Stabilność układu
Pierwiastki równania charakterystycznego (10) nazywają się biegunami układu zamkniętego.
Wartości biegunów decydują o stabilności układu. Dlatego też równanie charakterystyczne ma
podstawowe znaczenie w syntezie układów ze sprzężeniem zwrotnym.
UkÅ‚ad liniowy o parametrach skupionych, opisany za pomocÄ… transmitancji 5Ø:Ü5ØHÜ5ØBÜ(5Ø`Ü) o postaci:
5ØOÜ5ØZÜ5Ø`Ü5ØZÜ+5ØOÜ5ØZÜ-1 5Ø`Ü5ØZÜ-1+ ... +5ØOÜ15Ø`Ü+5ØOÜ0
5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) = 5Ø:Ü5ØEÜ(5Ø`Ü) 5Ø:Ü0(5Ø`Ü) = , 5Ø[Ü e" 5ØZÜ , (13)
5ØNÜ5Ø[Ü5Ø`Ü5Ø[Ü+5ØNÜ5Ø[Ü-1 5Ø`Ü5Ø[Ü-1+ ... +5ØNÜ15Ø`Ü+5ØNÜ0
Dla wartości własnych rzeczywistych wielomianu licznika i mianownika, można zapisać w
postaci czynnikowej w sposób:
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
3
0
(5Ø`Ü-5Ø`Ü5ØWÜ )
5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) = 5Ø>Ü , (14)
(5Ø`Ü-5Ø`Ü5ØVÜ)
gdzie:
5ØOÜ5ØZÜ
5Ø>Ü = - wzmocnienie ukÅ‚adu otwartego,
5ØNÜ5Ø[Ü
5Ø`Ü5ØVÜ, 5ØVÜ = 1, 2, . . . , 5Ø[Ü - bieguny (rzeczywiste) transmitancji ukÅ‚adu otwartego,
5Ø`Ü5ØWÜ0 , 5ØWÜ = 1, 2, . . . , 5ØZÜ - zera (rzeczywiste) transmitancji ukÅ‚adu otwartego.
Jeżeli zera i bieguny są zespolone, to występują parami jako sprzężone i są przedstawiane w ogólnej
postaci w sposób:
5Ø`Ü5ØVÜ = -5ØüÞ Ä… 5ØWÜ5ØżÞ
5Ø`Ü5ØWÜ0 = -5ØüÞ0 Ä… 5ØWÜ5ØżÞ0} , (15)
gdzie:
5ØüÞ, 5ØüÞ0, 5ØżÞ, 5ØżÞ0 - rzeczywiste i 5ØżÞ, 5ØżÞ0 > 0 .
Dla wartości własnych (15), zespolonych sprzężonych, czynnikowa postać kanoniczna
transmitancji układu otwartego (14) przedstawia się następująco:
2 2
0 0 0
(5Ø`Ü-5Ø`Ü5ØWÜ ) [(5Ø`Ü+5ØüÞ5ØWÜ ) +(5ØżÞ5ØWÜ ) ]
5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) = 5Ø>Ü . (16)
[( )2 ( )2]
(5Ø`Ü-5Ø`Ü5ØVÜ) 5Ø`Ü+5Ø`Ü5ØVÜ + 5ØżÞ5ØVÜ
Podstawiając zależność (13) do równania (10) otrzyma się następujące równanie
charakterystyczne ukÅ‚adu zamkniÄ™tego 5Ø@Ü5ØHÜ5ØMÜ(5Ø`Ü):
( ) ( )
5Ø@Ü5ØHÜ5ØMÜ(5Ø`Ü) = 5ØNÜ5Ø[Ü5Ø`Ü5Ø[Ü + 5ØNÜ5Ø[Ü-15Ø`Ü5Ø[Ü-1+ . .. +5ØNÜ1 + 5ØNÜ0 + 5ØOÜ5ØZÜ5Ø`Ü5ØZÜ + 5ØOÜ5ØZÜ-15Ø`Ü5ØZÜ-1+ . .. +5ØOÜ15Ø`Ü + 5ØOÜ0 = 0
(17)
Równanie (17) może posiadać wartości własne (bieguny układu zamkniętego) rzeczywiste lub
zespolone sprzężone i może być przedstawione w sposób:
( ) [( )2 2]
5Ø@Ü5ØHÜ5ØMÜ(5Ø`Ü) = 5Ø`Ü - 5Ø]Ü5ØVÜ 5Ø`Ü + 5Øß5ØVÜ + 5Øß5ØVÜ , (18)
gdzie:
5Ø]Ü5ØVÜ - bieguny ukÅ‚adu zamkniÄ™tego o wartoÅ›ciach rzeczywistych,
5Øß5ØVÜ - część rzeczywista biegunów zespolonych ukÅ‚adu zamkniÄ™tego,
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
4
5Øß5ØVÜ > 0 - część urojona biegunów zespolonych sprzężonych ukÅ‚adu zamkniÄ™tego.
Liniowy układ regulacji, o parametrach skupionych, stacjonarny, jest asymptotycznie stabilny
wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny rzeczywiste 5Ø]Ü5ØVÜ i wszystkie części rzeczywiste 5Øß5ØVÜ biegunów
zespolonych sprzężonych są ujemne:
5Ø]Ü5ØVÜ < 0 ,
5Øß5ØVÜ < 0 . } (19)
Na rys.2 przedstawione zostaÅ‚y odpowiedzi ukÅ‚adów niestabilnych, tj. gdy 5Ø]Ü5ØVÜ > 0 i 5Øß5ØVÜ > 0, na
wymuszenie skokowe.
a) b)
t t
y y
y(t) y(t)
t t
a
Rys.2. Odpowiedzi układów niestabilnych asymptotycznie na wymuszenie skokowe; a) o dominującym
modzie wykÅ‚adniczym (5Ø]Ü5ØVÜ > 0) , b) o dominujÄ…cym modzie oscylacyjnym
(5Øß5ØVÜ > 0)
6.2. Wskazniki jakości określane na podstawie odpowiedzi skokowej
Odpowiedz układu stabilnego, o biegunach pojedynczych, składa się z następujących,
zanikających modułów:
5ØRÜ5Ø]Ü5ØVÜ5ØaÜ, 5ØRÜ5Øß5ØVÜ5ØaÜ5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü 5Øß5ØVÜ5ØaÜ . (20)
Mody zanikajÄ… wykÅ‚adniczo z prÄ™dkoÅ›ciÄ… proporcjonalnÄ… do wartoÅ›ci 5Ø]Ü5ØVÜ lub 5Øß5ØVÜ . Dla biegunów
(-5Ø]Ü5ØVÜ
)
rzeczywistych ich ujemne odwrotnoÅ›ci 1/ sÄ… staÅ‚ymi czasowymi 5ØGÜ5ØVÜ. Ujemne odwrotnoÅ›ci części
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
5
(-5Øß5ØVÜ
)
rzeczywistej 1/ biegunów zespolonych sprzężonych są równoważnymi stałymi czasowymi
odpowiedzi oscylacyjnej. W każdym układzie występują bieguny dominujące, tj. te o najmniejszych
wartościach rzeczywistych i ich mody zanikają wolniej od pozostałych, związanych z biegunami o
wartościach rzeczywistych dalej położonych na płaszczyznie zespolonej od osi urojonej. Do oceny
jakoÅ›ci ukÅ‚adu może być wykorzystywana odpowiedz 5ØfÜ(5ØaÜ) powodowana skokowÄ… zmiennÄ… wartoÅ›ci
zadanej 5ØfÜ0 lub skokowÄ… zmianÄ… zakłócania 5ØgÜ(5ØaÜ). W drugim przypadku nieco inaczej definiuje siÄ™
niektóre wskazniki.
Dla ogólnej postaci zamkniętego układu o transmitancji:
2
1 5Øß0 5Øß2+5Øß2
5Ø:Ü5ØHÜ5ØMÜ(5Ø`Ü) = = = , (21)
2
( )2
5ØGÜ25Ø`Ü2+25Øß 5ØGÜ 5Ø`Ü+1 5Ø`Ü2+25Øß 5Øß0+5Øß0 5Ø`Ü+5Øß +5Øß2
gdzie:
5Øß = 5Øß0 "1 - 5Øß2 ,
5Øß = 5Øß 5Øß0 ,
odpowiedz wyjÅ›cia 5ØfÜ(5ØaÜ) na skokowÄ…, jednostkowÄ… zmianÄ™ wartoÅ›ci zadanej 5ØfÜ0(5ØaÜ) = 5ØÏß(5Ø•Ü), , wynosi:
5Øß
5ØfÜ(5ØaÜ) = 1 - 5ØRÜ5Øß 5ØaÜ (5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü 5Øß5ØaÜ + 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü 5Øß5ØaÜ) . (22)
5Øß
Przebieg tej odpowiedzi 5ØfÜ(5ØaÜ) ma charakter oscylacyjny - rys.3.
W przypadku ogólnym, dla transmitancji (16), otrzyma się nieco inną postać odpowiedzi wyjścia
5ØfÜ(5ØaÜ) na skokowÄ… zmianÄ™ wartoÅ›ci zadanej. Można zapisać jÄ… nastÄ™pujÄ…co:
tM
y2
est
eð
y1
eð
ymax yst
tN
tR
Rys.3. Typowa odpowiedz ukÅ‚adu regulacji 5ØfÜ(5ØaÜ) na wymuszenie skokowe wartoÅ›ci zadanej 5ØfÜ0(5ØaÜ)
[ ]
5ØfÜ(5ØaÜ) = 5Ø?Ü-1 5ØLÜ(5Ø`Ü) = 5Ø?Ü-1[5ØLÜ0(5Ø`Ü) " 5Ø:Ü5ØLÜ/5ØLÜ0(5Ø`Ü)] = 5Ø?Ü-1 [1 5Ø:Ü5ØLÜ/5ØLÜ0(5Ø`Ü)] , (23)
5Ø`Ü
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
6
5Ø4Ü0 5Ø4Ü15Ø`Ü+5Ø4Ü2
{
5ØLÜ(5Ø`Ü) = + + wyrazy dla reszty biegunów ukÅ‚adu zamkniÄ™tego , ((24)
( )2 ( )2
5Ø`Ü 5Ø`Ü+5Øß1 + 5Øß1
W zależność (24) przedstawiono jawnie tylko znaczenie biegunów dominujących, tworzących
( )
oscylacje tÅ‚umione dominujÄ…cego modu 5ØRÜ5Øß15ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü 5Øß15ØaÜ + 5Øß1 . Przebieg 5ØfÜ(5ØaÜ) ma postać przedstawionÄ…
na rys.3. Przebieg ten charakteryzują następujące wielkości:
·ð czas narastania 5ØaÜ5ØAÜ,
·ð czas regulacji (ustalania siÄ™) 5ØaÜ5ØEÜ,
·ð przeregulowanie 5Ø7Ü,
·ð wartość koÅ„cowa uchybu (bÅ‚Ä…d statyczny) 5ØRÜ5ØFÜ5ØGÜ,
·ð maksymalne odchylenie 5ØfÜ5ØZÜ5ØNÜ5ØeÜ.
Wymienione wielkoÅ›ci: 5ØaÜ5ØAÜ, 5ØaÜ5ØEÜ, 5Ø7Ü, 5ØRÜ5ØFÜ5ØGÜ sÄ… wskaznikami jakoÅ›ci ukÅ‚adu regulacji.
Czas narastania 5ØaÜ5ØAÜ okreÅ›la poczÄ…tkowÄ… szybkość wzrostu odpowiedzi skokowej ukÅ‚adu. Czas 5ØaÜ5ØAÜ może
być definiowany w sposób pokazany na rys.3, gdy pierwszy raz 5ØfÜ(5ØaÜ) = 5ØfÜ0(5ØaÜ) lub też jest to czas wzrostu
5ØfÜ(5ØaÜ) w przedziale wartoÅ›ci 0,1 5ØfÜ0 ÷ 0,9 5ØfÜ0. Dla ukÅ‚adu 5Ø:Ü5ØHÜ5ØMÜ(5Ø`Ü) o postaci (21), (o zerowych wartoÅ›ciach
wÅ‚asnych licznika transmitancji) dla Å›redniej wartoÅ›ci wzglÄ™dnego współczynnika tÅ‚umienia 5Øß = 0,5,
Å›redni czas narastania 5ØaÜ5ØAÜ od wartoÅ›ci 0,1 5ØfÜ do 0,9 5ØfÜ może być aproksymowany zależnoÅ›ciÄ…:
1,8 0,9
5ØaÜ5ØAÜ E" = , (25)
5Øß0 5Øß
W wielu innych przypadkach wyznaczanie czasu 5ØaÜ5ØAÜ jest zadaniem bardziej zÅ‚ożonym, tym
niemniej uśredniona zależność (25) daje wystarczające przybliżenie dla zastosowań praktycznych.
Czas regulacji 5ØaÜ5ØEÜ jest to okres od momentu wprowadzenia wymuszenia do chwili, gdy odpowiedz
pozostaje trwale w obrÄ™bie Ä…5Øß od swojej wartoÅ›ci koÅ„cowej 5ØfÜ5ØFÜ5ØGÜ. Za typowÄ… wartość 5Øß przyjmuje siÄ™
5% i z tego powodu czas regulacji 5ØaÜ5ØEÜ oznaczany bywa w sposób 5ØaÜ5ØEÜ (95). Dla jednoznacznoÅ›ci definicji
czas regulacji 5ØaÜ5ØEÜ okreÅ›la siÄ™ dla obwiedni zanikajÄ…cych oscylacji (rys.3). Dla wartoÅ›ci 5Øß = 1%, dla
składnika wykładniczego w zależności (22), można zapisać zależność:
5ØRÜ5Øß 5ØaÜ5ØEÜ = 5ØRÜ5Øß 5Øß05ØaÜ5ØEÜ = 0,01 , (26)
skÄ…d otrzyma siÄ™:
5Øß 5Øß05ØaÜ5ØEÜ = 4,6 ,
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
7
4,6 4,6
5ØaÜ5ØEÜ = = . (27)
5Øß 5Øß0 5Øß
Przeregulowanie 5Ø7Ü jest wyrażone w procentach okreÅ›lajÄ…cych stosunek amplitudy 5ØfÜ1 do wartoÅ›ci 5ØfÜ5ØFÜ5ØGÜ
5ØfÜ1 5ØfÜ5ØZÜ5ØNÜ5ØeÜ-5ØfÜ5ØFÜ5ØGÜ
5Ø7Ü = 100% = 100% . (28)
5ØfÜ5ØFÜ5ØGÜ 5ØfÜ5ØFÜ5ØGÜ
Amplituda 5ØfÜ1 okreÅ›lona jest przez czas 5ØaÜ5Ø@Ü - rys.3. Czas 5ØaÜ5Ø@Ü można obliczyć z zależnoÅ›ci (22) wyznaczajÄ…c
ekstremum tej funkcji. Dla ułatwienia obliczeń wygodnie jest wykorzystać następującą tożsamość
trygonometrycznÄ…:
5Ø4Ü 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü 5ØüÞ + 5ØÅ¼Þ 5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü (5ØüÞ - 5ØżÞ),
} (29)
5Ø4Ü
5Ø6Ü = "5Ø4Ü2 + 5ØżÞ2 5ØÅ¼Þ = 5ØaÜ5ØTÜ-1 (5Ø5Ü),
5Ø4Ü = 5Øß/5Øß0 , 5ØÅ¼Þ = 1, 5ØüÞ = 5Øß05ØaÜ ,
na podstawie której zależność (22) przedstawi się do postaci:
5Øß2
"
5ØfÜ(5ØaÜ) = 1 - 5ØRÜ5Øß 5ØaÜ 1 + 5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü (5Øß 5ØaÜ - 5ØżÞ) . (30)
5Øß2
PrzyrównujÄ…c pierwszÄ… pochodnÄ… 5ØfÜ (5ØaÜ) do zera otrzyma siÄ™:
5Øß
(-5Øß 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü 5Øß5ØaÜ + 5Øß 5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü 5Øß5ØaÜ = 0 ,
5ØfÜ (5ØaÜ) = 5Øß 5ØRÜ5Øß 5ØaÜ (5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü 5Øß5ØaÜ + 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü 5Øß5ØaÜ) - 5ØRÜ5Øß 5ØaÜ )
5Øß
2
5ØfÜ (5ØaÜ) = 5ØRÜ5Øß 5ØaÜ (5Øß 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü 5Øß5ØaÜ + 5Øß 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü 5Øß5ØaÜ) = 0 .
5Øß
Dla 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü 5Øß5ØaÜ = 0 ,
5Øß5ØaÜ = 5Øß .
Wobec czego
5Øß
5ØaÜ5Ø@Ü = . (31)
5Øß
Wartość funkcji 5ØfÜ(5ØaÜ5Ø@Ü) wyniesie:
5Øß
5ØfÜ(5ØaÜ5Ø@Ü) = 1 + 5ØfÜ1 = 1 - 5ØRÜ5Øß 5Øß/5Øß (5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü 5Øß + 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü 5Øß)
5Øß
} (32)
5Øß
5ØfÜ(5ØaÜ5Ø@Ü) = 1 + 5ØRÜ5Øß 5Øß/5Øß.
5Øß
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
8
Wynika z tego:
5ØfÜ1 = 5ØRÜ5Øß 5Øß/"1-5Øß2 , 0 d" 5Øß < 1 . (33)
Dla wymuszenia jednostkowego 5ØfÜ0(5ØaÜ) = 5ØÏß , przedstawiona na rys.3 wartość 5ØfÜ5ØFÜ5ØGÜ = 1, a
zależność (28) wynosi:
5ØfÜ1
5Ø7Ü = 100% = 5ØfÜ1 " 100% . (34)
1
Na rys.4 przedstawiona zostaÅ‚a zależność przeregulowania 5Ø7Ü od wzglÄ™dnego współczynnika
tÅ‚umienia 5Øß .
100
90
cð%
80
70
60
50
40
30
16%
20
5%
10
0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Rys.4. Zależność przeregulowania 5Ø7Ü od wzglÄ™dnego współczynnika tÅ‚umienia 5Øß
W praktyce najczęściej używa siÄ™ przeregulowane 5Ø7Ü o wartoÅ›ciach:
5Ø7Ü = 0,16 dla 5Øß = 0,5
lub } . (35)
5Ø7Ü = 0,05 dla 5Øß = 0,7
Wartości te zostały zaznaczone na rys.4.
Wartość koÅ„cowa uchybu (bÅ‚Ä…d statyczny) 5ØRÜ5ØFÜ5ØGÜ jest miarÄ… dokÅ‚adnoÅ›ci statycznej ukÅ‚adu i wyraża jÄ…
różnica miÄ™dzy wartoÅ›ciÄ… 5ØfÜ5ØFÜ5ØGÜ a wartoÅ›ciÄ… zadanÄ… 5ØfÜ0:
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
9
[ ]
5ØRÜ5ØFÜ5ØGÜ = lim 5ØRÜ(5ØaÜ) = lim 5ØfÜ0(5ØaÜ) - 5ØfÜ(5ØaÜ) = 5ØfÜ0 - 5ØfÜ5ØFÜ5ØGÜ . (36)
5ØaÜ" 5ØaÜ"
Maksymalne odchylenie 5ØšÜ5ØŽÜ5Ø‚Ü5Ø™Ü (odchylenie dynamiczne) jest najwiÄ™kszÄ… amplitudÄ… wahniÄ™cia 5ØfÜ(5ØaÜ) od
stanu ustalonego 5ØfÜ5ØFÜ5ØGÜ zgodnie z rys.3,
5ØfÜ5ØZÜ5ØNÜ5ØeÜ = 5ØfÜ5ØFÜ5ØGÜ + 5ØfÜ1 . (37)
Wymienione wskazniki mogÄ… być obliczane analitycznie na podstawie odpowiedzi ukÅ‚adu 5ØfÜ(5ØaÜ).
W przypadku gdy odpowiedz układu posiada przebieg aperiodyczny. Wyznaczanymi
wskaznikami sÄ…:
·ð czas regulacji 5ØaÜ5ØEÜ ,
·ð wartość koÅ„cowa uchybu (bÅ‚Ä…d statyczny) 5ØRÜ5ØFÜ5ØGÜ .
Czas regulacji, dla układu który może być zamodelowany za pomocą inercji pierwszego rzędu,
oblicza siÄ™ na podstawie staÅ‚ej czasowej 5ØGÜ5ØHÜ :
5ØaÜ5ØEÜ (95)~3 5ØGÜ5ØHÜ . (38)
6.3. BÅ‚Ä…d statyczny
W ukÅ‚adzie regulacji przedstawionym na rys.1, dla 5Ø:Ü5Ø4Ü(5Ø`Ü) = 1, bÅ‚Ä…d regulacji 5ØRÜ(5ØaÜ) wynosi:
5ØRÜ(5ØaÜ) = 5ØfÜ0(5ØaÜ) - 5ØfÜ(5ØaÜ) , (39)
i może być powodowany zmianami wartoÅ›ci zadanej 5ØfÜ0(5ØaÜ) lub zakłóceniem 5ØgÜ(5ØaÜ). Wartość statyczna
bÅ‚Ä™du 5ØRÜ(5ØaÜ) obliczana jest z twierdzenia o wartoÅ›ci koÅ„cowej:
5ØRÜ5ØFÜ5ØGÜ = lim 5ØRÜ(5ØaÜ) = lim 5Ø`Ü 5Ø8Ü(5Ø`Ü) . (40)
5ØaÜ" 5Ø`Ü0
TransformatÄ™ bÅ‚Ä™du 5Ø8Ü(5Ø`Ü) okreÅ›la zależność (8):
5Ø8Ü(5Ø`Ü) = 5ØLÜ0(5Ø`Ü) 5Ø:Ü5Ø8Ü/5ØLÜ0(5Ø`Ü) + 5ØMÜ(5Ø`Ü) 5Ø:Ü5Ø8Ü/5ØMÜ(5Ø`Ü) = 5Ø8Ü5ØLÜ0(5Ø`Ü) + 5Ø8Ü5ØMÜ(5Ø`Ü) . (41)
1
5Ø8Ü5ØLÜ0(5Ø`Ü) = 5ØLÜ0(5Ø`Ü) 1+5Ø:Ü (5Ø`Ü) "5Ø:Ü0(5Ø`Ü) , (42)
5ØEÜ
5Ø8Ü5ØMÜ(5Ø`Ü) = 5ØMÜ(5Ø`Ü) " 5Ø:Ü5ØMÜ(5Ø`Ü) 1+5Ø:Ü 5Ø:Ü0(5Ø`Ü) . (43)
(5Ø`Ü) "5Ø:Ü0(5Ø`Ü)
5ØEÜ
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
10
Rozpatrzona zostanie, na danych ogólnych, odchyÅ‚ka statyczna 5ØRÜ5Ø`Ü5ØaÜ, która może ewentualnie
pojawić siÄ™ w ukÅ‚adach regulacji programowej lub nadążnej w wyniku zmian wartoÅ›ci zadanej 5ØfÜ0(5ØaÜ).
Zależność (43) można zapisać również w postaci zawierającej transmitancję układu otwartego
5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) (9) w sposób:
5Ø?Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5Ø:Ü5ØHÜ0 5Ø`Ü = 5Ø:Ü5ØEÜ 5Ø`Ü " 5Ø:Ü0 5Ø`Ü = 5Ø:Ü5ØEÜ 5Ø`Ü 5Ø:Ü5ØJÜ 5Ø`Ü 5Ø:Ü5ØCÜ 5Ø`Ü 5Ø:Ü5ØCÜ5ØCÜ 5Ø`Ü = . (44)
5Ø@Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü)
1 5Ø@Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü)
( ) ( )
5Ø8Ü5ØLÜ0(5Ø`Ü) = 5ØLÜ0 5Ø`Ü 1+5Ø:Ü (5Ø`Ü) = 5ØLÜ0 5Ø`Ü 5Ø@Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü)+5Ø?Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) . (45)
5ØHÜ0
Zgodnie z zależnoÅ›ciÄ… (40) bÅ‚Ä…d statyczny 5ØRÜ5Ø`Ü5ØaÜ wyniesie:
5Ø@Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü)
( )
5ØRÜ5ØLÜ05Ø`Ü5ØaÜ = lim 5Ø`Ü 5ØLÜ0 5Ø`Ü 5Ø@Ü (5Ø`Ü)+5Ø?Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) . (46)
5Ø`Ü0 5ØHÜ0
Wymuszenie 5ØfÜ0(5ØaÜ) w ogólnym przypadku może skÅ‚adać siÄ™ z:
5ØNÜ
a) funkcji skokowych o transformacie: (zmiana położenia, pochodna = 0) ,
5Ø`Ü
5ØOÜ
b) funkcji liniowo narastającej o transformacie: (zmiana prędkości, pochodna = 1),
5Ø`Ü2
5ØPÜ
c) funkcji parabolicznych o transformacie: (zmiana przyspieszenia, pochodna = 2), }
5Ø`Ü3
(47)
Z analizy zależnoÅ›ci (46) wynika, że dla uzyskania zerowej wartoÅ›ci statycznej 5ØRÜ5Ø`Ü5ØaÜ = 0 (dla
( )
wielomianu 5Ø?Ü5ØHÜ0 5Ø`Ü = 5ØOÜ5ØZÜ5Ø`Ü5Ø[Ü + 5ØOÜ5ØZÜ15Ø`Ü5Ø[Ü-1 + ï" + 5ØOÜ15Ø`Ü + 5ØOÜ0), równanie charakterystyczne ukÅ‚adu
otwartego
( )
5Ø@Ü5ØHÜ0 5Ø`Ü = 0 , (48)
powinno posiadać postać:
( )
5Ø@Ü5ØHÜ0 5Ø`Ü = 5Ø`Ü5ØAÜ(5ØNÜ5Ø[Ü5Ø`Ü5Ø[Ü + 5ØNÜ5Ø[Ü-15Ø`Ü5Ø[Ü-1 + ï" 5ØNÜ15Ø`Ü + 5ØNÜ0) , (49)
a wykÅ‚adnik 5ØAÜ powinien przyjmować wartoÅ›ci:
5Ø4Üd. a. - 5ØAÜ = 1 ,
} (50)
Ad. b. - 5ØAÜ = 2 ,
Ad.c. - 5ØAÜ = 3 .
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
11
WykÅ‚adnik 5ØAÜ wyznaczony z równania charakterystycznego ukÅ‚adu otwartego 5Ø@Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) okreÅ›la
liczbÄ™ dziaÅ‚aÅ„ caÅ‚kujÄ…cych wystÄ™pujÄ…cy w ukÅ‚adzie i nazywa siÄ™ rzÄ™dem astatyzmu ukÅ‚adu. Gdy 5ØAÜ = 0
ukÅ‚ad posiada astatyzm 0 rzÄ™du i w takim ukÅ‚adzie zmiana skokowa zarówno wartoÅ›ci zadanej 5ØfÜ0(5ØaÜ)
jak i zakłócenia 5ØgÜ(5ØaÜ) spowoduje wystÄ…pienie bÅ‚Ä™du statycznego 5ØRÜ5Ø`Ü5ØaÜ.
OdchyÅ‚kÄ™ regulacji w stanie ustalonym 5ØRÜ5Ø`Ü5ØaÜ (bÅ‚Ä…d statyczny) można okreÅ›lić również inaczej.
Zależność (42) lub (43) można rozłożyć w szereg o postaci:
5ØPÜ1 5ØPÜ2 5ØPÜ3
( )
5Ø8Ü 5Ø`Ü = [5ØPÜ0 + 5Ø`Ü + 5Ø`Ü2 + 5Ø`Ü3 + ï" ] " 5ØMÜ(5Ø`Ü) lub " 5ØLÜ0(5Ø`Ü) , (51)
1! 2! 3!
gdzie:
( )
5ØPÜ0 = 5Ø:Ü5Ø8Ü/5ØMÜ 5Ø`Ü |
5Ø`Ü = 0 ,
5ØQÜ
( )
5ØPÜ1 = [5Ø:Ü5Ø8Ü/5ØMÜ 5Ø`Ü ] | (52)
5ØQÜ5Ø`Ü
5Ø`Ü = 0 ,
5ØQÜ2
( )
5ØPÜ2 = [5Ø:Ü5Ø8Ü/5ØMÜ 5Ø`Ü ] |
5ØQÜ5Ø`Ü2
}
5Ø`Ü = 0 ,
itd.
Po odwrotnym przekształceniu Laplace a z równania (51) otrzyma się:
( )
5ØPÜ1 5ØQÜ2(5ØaÜ) 5ØPÜ2 5ØQÜ2 5ØgÜ 5ØaÜ
( ) ( )
5ØRÜ5Ø`Ü5ØaÜ 5ØaÜ = 5ØPÜ0 5ØgÜ 5ØaÜ + + " + & (53)
1! 5ØQÜ5ØaÜ 2! 5ØQÜ5ØaÜ2
Współczynniki 5ØPÜ0, 5ØPÜ1, 5ØPÜ2, & nazywane sÄ… współczynnikami odchyÅ‚ki statycznej. PozwalajÄ… one
okreÅ›lić odtwarzanie sygnaÅ‚u wymuszajÄ…cego 5ØfÜ0(5ØaÜ) lub 5ØgÜ(5ØaÜ) w stanach ustalonych. W ukÅ‚adach, dla
których 5ØPÜ0 `" 0 po wprowadzeniu wymuszenia skokowego pojawi siÄ™ bÅ‚Ä…d statyczny 5ØRÜ5Ø`Ü5ØaÜ. Jeżeli 5ØPÜ0 =
0, 5ØPÜ1 `" 0, 5ØPÜ2 `" 0, to po wymuszeniu skokowym 5ØRÜ5Ø`Ü5ØaÜ = 0. Dla uzyskania zerowych bÅ‚Ä™dów statycznych
gdy wymuszenie jest typu (5ØOÜ) lub (5ØPÜ), współczynniki 5ØPÜ1 i 5ØPÜ2 powinny posiadać wartoÅ›ci zerowe.
Osiągnie się to spełniając podane wcześniej wymagania określające rząd astatyzmu układu.
Każdy element caÅ‚kujÄ…cy przesuwa fazÄ™ o -5Øß/2 . Dlatego też dla zapewnienia stabilnoÅ›ci, ukÅ‚ad
sterowania z jednym sprzężeniem zwrotnym nie może mieć więcej działań całkujących niż jedno.
Inaczej mówiąc układ z jednym sprzężeniem zwrotnym powinien posiadać astatyzm pierwszego rzędu
5ØAÜ = 1. DziaÅ‚anie caÅ‚kujÄ…ce może wystÄ…pić w obiekcie sterowania 5Ø:Ü0(5Ø`Ü). Wówczas algorytm sterowania
(regulator 5Ø:Ü5ØEÜ(5Ø`Ü)) nie może zawierać dziaÅ‚ania caÅ‚kujÄ…cego. Natomiast w przypadku gdy w obiekcie nie
występuje działanie całkujące, to wówczas całkowanie powinien posiadać regulator.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
12
Przedstawione, oczekiwane właściwości układu otwartego
( ) ( )
5Ø:Ü5ØHÜ0 5Ø`Ü = 5Ø:Ü5ØEÜ 5Ø`Ü 5Ø:Ü0(5Ø`Ü) ,
zwiÄ…zane z dziaÅ‚aniem caÅ‚kujÄ…cym, sÄ… podstawÄ… klasyfikacji wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci obiektów sterowania 5Ø:Ü0(5Ø`Ü), w
myśl której obiekty dzieli się na:
- statyczne, nie zawierające całkowania,
- astatyczne, z całkowaniem.
Dla znanych warunków, związanych z możliwością odtwarzania przez układ sterowania wartości
zadanej 5ØfÜ0(5ØaÜ) bez bÅ‚Ä™dów statycznych, można rozważać wymagania konieczne dla minimalizacji
bÅ‚Ä™dów dynamicznych 5ØRÜ(5ØaÜ).
6.4. Całkowe kryteria jakości
Znaczenie całkowych kryteriów jakości obrazowo można przedstawić na przykładzie regulacji
staÅ‚owartoÅ›ciowej. Na rys.5 przedstawione zostaÅ‚y dwa przypadki przebiegów 5ØfÜ(5ØaÜ) i 5ØfÜ0(5ØaÜ) dla tego
samego zakłócenia 5ØgÜ(5ØaÜ).
a)
y1, y0
y(t)
y0(t)
e(t)
t
a
y1, y0
y(t)
y0(t)
e(t)
t
a
Rys.5. Przebiegi 5ØfÜ(5ØaÜ) i 5ØfÜ0(5ØaÜ) w ukÅ‚adzie regulacji staÅ‚owartoÅ›ciowej; 5ØRÜ5ØFÜ5ØGÜ = 0, podobny poziom zakłóceÅ„
5ØMÜ(5ØaÜ)
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
13
Na rys.5(a) odchylenia 5ØfÜ(5ØaÜ) od 5ØfÜ0(5ØaÜ) sÄ… znacznie wiÄ™ksze i wolniej zmieniajÄ… siÄ™ niż na rys.5(b).
Jakość regulacji w przypadku (b) jest wyższa niż w przypadku (a). Wniosek ten wynika z porównania
wartoÅ›ci zakreskowanego pola utworzonych przez przebiegi 5ØfÜ(5ØaÜ) i 5ØfÜ0(5ØaÜ). Przebieg 5ØfÜ(5ØaÜ) zależy od
zakłócenia 5ØgÜ(5ØaÜ) oraz wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci ukÅ‚adu regulacji. Dla takiego samego zakłócenia 5ØgÜ(5ØaÜ) i obiektu 5Ø:Ü0(5Ø`Ü)
oraz różnych parametrów identycznego algorytmu sterowania (nastaw regulatora 5Ø:Ü5ØEÜ(5Ø`Ü)) można
otrzymać różne przebiegi 5ØfÜ(5ØaÜ), którym bÄ™dÄ… odpowiadaÅ‚y różne wartoÅ›ci pól miÄ™dzy 5ØfÜ0(5ØaÜ) i 5ØfÜ(5ØaÜ).
Należy dobrać takie nastawy dla wybranego regulatora, by wartość pola obrazującego jakość była
minimalna. Obliczanie miary jakości sterowania w sposób wynikający z rys.5 byłby kłopotliwy. Ten sam
efekt otrzyma siÄ™ obliczajÄ…c pole pod krzywÄ… 5ØRÜ(5ØaÜ) otrzymanÄ… w wyniku skokowej zmiany wartoÅ›ci
zadanej 5ØfÜ0(5ØaÜ), w warunkach ustalonych ukÅ‚adu. Pole pod krzywÄ… oblicza siÄ™ na podstawie wartoÅ›ci
całek, które definiuje się nieco odmiennie w zależności od charakteru przebiegu, aperiodycznego lub
periodycznego 5ØRÜ(5ØaÜ), w sposób:
·ð dla przebiegu aperiodycznego 5ØRÜ(5ØaÜ):
"
[ ]
5Ø<Ü1 = 5ØRÜ(5ØaÜ) - 5ØRÜ5ØFÜ5ØGÜ 5ØQÜ5ØaÜ , (54)
+"0
·ð dla przebiegu periodycznego 5ØRÜ(5ØaÜ) :
"
[ ]2
5Ø<Ü2 = 5ØRÜ(5ØaÜ) - 5ØRÜ5ØFÜ5ØGÜ 5ØQÜ5ØaÜ . (55)
+"0
Na rys.6 przedstawione zostały poglądowo możliwe miary w postaci kryteriów całkowych:
a)
eð(t)
eð(t)
eð(t)
eð(t)
F
F
t
t
0
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
14
b)
eð(t)
eð(t)
eð(t)
+
eð(t)
+
t
t
+
0ð
0ð
Rys.6. CaÅ‚kowe kryteria jakoÅ›ci: a) wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci aperiodyczne ukÅ‚adu z bÅ‚Ä™dem statycznym 5ØRÜ5ØFÜ5ØGÜ `" 0 i
5ØRÜ5ØFÜ5ØGÜ = 0 , b) wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci periodyczne ukÅ‚adu z bÅ‚Ä™dem statycznym 5ØRÜ5ØFÜ5ØGÜ `" 0 i 5ØRÜ5ØFÜ5ØGÜ = 0
WartoÅ›ci caÅ‚ek 5Ø<Ü1 i 5Ø<Ü2 oblicza siÄ™ wykorzystujÄ…c metodÄ™ bezpoÅ›redniÄ…, tj. należy obliczyć
przebiegi 5ØfÜ0(5ØaÜ) i 5ØfÜ(5ØaÜ) a otrzymane wyniki podstawić do zależnoÅ›ci (54) lub (55).
CaÅ‚kÄ™ 5Ø<Ü1 można obliczyć z nieco inaczej zdefiniowanej zależnoÅ›ci niż przedstawia to zależność
(54). W tym celu przeprowadza się następujące przekształcenia:
" "
[ ] [ ]
5Ø<Ü1 = 5ØRÜ(5ØaÜ) - 5ØRÜ5ØFÜ5ØGÜ 5ØQÜ5ØaÜ = 5ØRÜ (5ØaÜ) - 5ØRÜ (") 5ØQÜ5ØaÜ , (56)
+"0 +"0
5ØRÜ(5ØaÜ) = 5ØfÜ0 - 5ØfÜ(5ØaÜ) ,
[ ] [ ] [ ]
5ØRÜ(") = 5ØfÜ0 - 5ØfÜ(") , } 5ØRÜ(5ØaÜ) - 5ØRÜ(") = 5ØfÜ0 - 5ØfÜ(5ØaÜ) - 5ØfÜ0 - 5ØfÜ(") ,
[ - 5ØRÜ(") = 5ØfÜ(") - 5ØfÜ(5ØaÜ) .
5ØRÜ(5ØaÜ) ]
Dla tego wyrażenia wzór (56) przyjmie postać:
"
[ ]
5Ø<Ü1 = 5ØfÜ(") - 5ØfÜ(5ØaÜ) 5ØQÜ5ØaÜ . (57)
+"0
Z twierdzenia o wartości końcowej wynika:
"
[ ] [ ]
5ØfÜ(5ØaÜ) 5ØQÜ5ØaÜ = 5ØfÜ(5ØaÜ) 5ØQÜ5ØaÜ | - +"
5ØfÜ(5ØaÜ) 5ØQÜ5ØaÜ | = lim 5Ø`Ü ! 5ØfÜ(5ØaÜ) 5ØQÜ5ØaÜ - lim 5Ø`Ü ! 5ØfÜ(5ØaÜ) 5ØQÜ5ØaÜ =
+"0 +" +" +"
5Ø`Ü0 5Ø`Ü"
5ØaÜ = " 5ØaÜ = 0
[ ]
lim ! [ 5ØfÜ(5ØaÜ) - lim ! 5ØfÜ(5ØaÜ) ] .
+"
5Ø`Ü0 5Ø`Ü"
Ostatecznie można zapisać:
[ ] [ ]
5Ø<Ü1 = lim ! 5ØfÜ(") - 5ØfÜ(5ØaÜ) - lim ! 5ØfÜ(") - 5ØfÜ(5ØaÜ) . (58)
5Ø`Ü0 5Ø`Ü"
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
15
CaÅ‚kÄ™ 5Ø<Ü2 można także obliczyć na podstawie transformaty odchyÅ‚ki regulacji o ogólnej postaci:
5ØOÜ5ØZÜ5Ø`Ü5ØZÜ+5ØOÜ5ØZÜ-15Ø`Ü5ØZÜ-1+ ... +5ØOÜ15Ø`Ü+5ØOÜ0
5Ø8Ü(5Ø`Ü) = , 5ØZÜ < 5Ø[Ü . (59)
5ØNÜ5Ø[Ü5Ø`Ü5Ø[Ü+5ØNÜ5Ø[Ü-15Ø`Ü5Ø[Ü-1+ ... +5ØNÜ15Ø`Ü+5Ø[Ü0
Z zależności:
2
5ØOÜ0
·ð dla 5Ø[Ü = 1 , 5Ø<Ü2 =
2 5ØNÜ05ØNÜ1
2 2
5ØOÜ1+5ØNÜ2 5ØOÜ0
5ØNÜ0
·ð dla 5Ø[Ü = 2 , 5Ø<Ü2 = , (60)
2 5ØNÜ15ØNÜ2
2 2 2
5ØNÜ15ØOÜ2+5ØNÜ3(5ØOÜ1-25ØOÜ05ØOÜ2)+5ØNÜ35ØNÜ2 5ØOÜ0
5ØNÜ0
·ð dla 5Ø[Ü = 3 , 5Ø<Ü2 = (61)
( )
25ØNÜ3 5ØNÜ15ØNÜ2-5ØNÜ05ØNÜ3
Kryteria caÅ‚kowe 5Ø<Ü1 i 5Ø<Ü2 sÄ… również definiowane w postaciach:
"
[ ]
5Ø<Ü1 = 5ØRÜ(5ØaÜ) - 5ØRÜ5ØFÜ5ØGÜ 5ØaÜ 5ØQÜ5ØaÜ , (62)
+"0
"
[ ]2
5Ø<Ü2 = 5ØRÜ(5ØaÜ) - 5ØRÜ5ØFÜ5ØGÜ 5ØaÜ 5ØQÜ5ØaÜ , (63)
+"0
interpretowane jako zanikanie bÅ‚Ä™du 5ØRÜ(5ØaÜ) w minimalnym czasie.
ObliczajÄ…c 5Ø<Ü1 = 5ØZÜ5ØVÜ5Ø[Ü lub 5Ø<Ü2 = 5ØZÜ5ØVÜ5Ø[Ü otrzyma siÄ™ nastawy regulatora, dla których pokazane na
rys.6 pole okreÅ›lone przez przebieg 5ØRÜ(5ØaÜ), przyjmie możliwie maÅ‚e wartoÅ›ci.
6.5. Wskaznik regulacji
Do oceny skuteczności układu regulacji stosuje się wskaznik utworzony ze stosunku
transformaty odchyÅ‚ki w ukÅ‚adzie zamkniÄ™tym z regulatorem 5Ø8Ü(5ØWÜ5Øß) do transformaty odchyÅ‚ki w
ukÅ‚adzie bez regulatora 5Ø8Ü2 (5ØWÜ5Øß) , wyrażonych w dziedzinie czÄ™stotliwoÅ›ciowej. Wskaznik regulacji 5Ø^Ü(5ØWÜ5Øß)
stosowany jest zarówno dla zmian 5ØfÜ0(5ØaÜ) jak i 5ØgÜ(5ØaÜ) i wynosi:
5Ø8Ü(5ØWÜ5Øß) 1
5Ø^Ü(5ØWÜ5Øß) = = . (64)
5Ø8Ü2 (5ØWÜ5Øß) 1+5Ø:Ü5ØHÜ0 (5ØWÜ5Øß)
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
16
Wskaznik 5Ø^Ü(5ØWÜ5Øß) okreÅ›la ile razy odchyÅ‚ka ukÅ‚adu regulacji, wywoÅ‚ana wymuszeniem, jest
mniejsza od odchyłki wywołanej takim samym wymuszeniem w układzie bez regulatora, w całym
zakresie czÄ™stotliwoÅ›ci 5Øß ukÅ‚adu.
6.6. Wrażliwość układu regulacji na zmianę parametrów
Zmiany parametrów układów sterowania w szczególności odnoszą się do właściwości obiektów,
wyrażonych przez współczynniki wzmocnienia statycznego 5ØXÜ0 lub staÅ‚ych czasowych 5ØGÜ0 , 5Øß lub też 5ØGÜ1, 5ØGÜ2
. Zmiany te powodowane są: niepowtarzalnością właściwości procesów technologicznych, starzeniem
lub też zmęczeniem urządzeń. Można przyjąć, że parametry algorytmów sterowania nie ulegają
zmianom o ile są to algorytmy cyfrowe. Algorytmy realizowane sprzętowo, za pomocą układów
elektronicznych, również mogą ulegać pewnym zmianom wynikłym ze starzenia się elementów:
oporników, kondensatorów, itp.
Analiza wrażliwości układu może dotyczyć oceny zmian odpowiedzi układu i związanych z tym
takich wskazników jak: czas regulacji 5ØaÜ5ØEÜ, przeregulowanie 5Ø7Ü. Zmiana staÅ‚ych czasowych prowadzi do
przemieszczania się charakterystyk częstotliwościowych i w efekcie do zmiany pasma przenoszenia,
zmian zapasu moduÅ‚u "5Ø@Ü(5Øß) lub fazy "5Øß(5Øß).
Zmiana odpowiedzi układu
Odpowiedz ukÅ‚adu z rys.1, dla 5Ø:Ü5Ø4Ü(5Ø`Ü) = 1, powodowana skokowÄ… zmianÄ… wartoÅ›ci zadanej 5ØLÜ0(5Ø`Ü)
wynosi:
5ØLÜ(5Ø`Ü) = 5ØLÜ0(5Ø`Ü) 1+5Ø:Ü 5Ø:Ü5ØEÜ(5Ø`Ü) 5Ø:Ü0(5Ø`Ü) = 5ØLÜ0(5Ø`Ü) 1+5Ø:Ü 5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) (65)
(5Ø`Ü) 5Ø:Ü0(5Ø`Ü) 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü) (5Ø`Ü) 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)
5ØEÜ 5ØHÜ0
Jeżeli transmitancja ukÅ‚adu otwartego 5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) ulegnie zmianie o " 5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü), to również zmieni siÄ™
5ØLÜ(5Ø`Ü) w sposób:
5ØLÜ(5Ø`Ü) + "5ØLÜ(5Ø`Ü) = 5ØLÜ0(5Ø`Ü) 1+[5Ø:Ü 5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü)+"5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) . (66)
]
(5Ø`Ü)+"5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)
5ØHÜ0
Z zależnoÅ›ci (66) można wyznaczyć wzglÄ™dnÄ… zmianÄ™ "5ØLÜ(5Ø`Ü)/5ØLÜ(5Ø`Ü):
5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü)+"5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) 5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü)
"5ØLÜ(5Ø`Ü) = 5ØLÜ0(5Ø`Ü) [1+5Ø:Ü (5Ø`Ü) 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)+"5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü) - ] ,
1+5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)
5ØHÜ0
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
17
"5ØLÜ(5Ø`Ü) "5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü)/5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü)
= . (67)
5ØLÜ(5Ø`Ü) 1+5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)+"5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü)/5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)
Najczęściej zmianie ulega współczynnik wzmocnienia ukÅ‚adu 5ØXÜ = 5ØXÜ5ØEÜ5ØXÜ0. Dla 5ØXÜ = 10 oraz
5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü) = 1, zmiana o 10% 5ØXÜ wyniesie 1. Z zależnoÅ›ci (67) otrzyma siÄ™ nastÄ™pujÄ…cÄ…, procentowÄ… zmianÄ™
względną odpowiedzi układu:
"5ØLÜ "5ØXÜ/5ØXÜ 5
100% = = %~0,71% . (67)
5ØLÜ 1+5ØXÜ+"5ØXÜ 6
Z przytoczonego przykładu wynika następujący wniosek: 10% zmiana wzmocnienia statycznego
w ukÅ‚adzie otwartym odpowiada okoÅ‚o 0,7% zmianie wartoÅ›ci sterowanej 5ØfÜ(5ØaÜ) w ukÅ‚adzie regulacji.
Układ regulacji jest niemal 14,3 razy mniej wrażliwy na zmiany wzmocnienia statycznego niż
sterowanie w torze otwartym. Zatem układ ze sprzężeniem zwrotnym nie jest wrażliwy na zmiany
wzmocnienia statycznego 5ØXÜ = 5ØXÜ5ØEÜ5ØXÜ0 toru głównego przepÅ‚ywu informacji.
Zmianie może ulegać również transmitancja 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü) w sprzężeniu zwrotnym. PostÄ™pujÄ…c jak
wcześniej otrzyma się:
5ØLÜ(5Ø`Ü) + "5ØLÜ(5Ø`Ü) = 5ØLÜ0(5Ø`Ü) 1+5Ø:Ü (5Ø`Ü) 5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) . (69)
[ ]
5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)+"5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)
5ØHÜ0
PodstawiajÄ…c:
1+5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)
5ØLÜ0(5Ø`Ü) = 5ØLÜ ,
5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü)
do zależności (69), po przekształceniach otrzyma się:
5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü)
"5ØLÜ(5Ø`Ü) = 5ØLÜ(5Ø`Ü) 1+5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü) " 1+5Ø:Ü (5Ø`Ü) [5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)+"5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)] - 5ØLÜ ,
5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü)
5ØHÜ0
"5ØLÜ(5Ø`Ü) -"5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)/5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)
= . (70)
[ ]
5ØLÜ(5Ø`Ü) 1+1/ 5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü) +"5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)/5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)
Dla
| |
5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) " 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü) e" 1 ,
} (71)
"5ØLÜ(5Ø`Ü) "5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)
~ - .
5ØLÜ(5Ø`Ü) 5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü)
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
18
Z zależnoÅ›ci (71) wynika, że zmiana wzmocnienia "5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü) w transmitancji sprzężenia zwrotnego
5Ø:Ü5Ø;Ü(5Ø`Ü) bÄ™dzie powodowaÅ‚a zmiany odpowiedzi ukÅ‚adu 5ØfÜ(5ØaÜ). Wobec tego ukÅ‚ad ze sprzężeniem
zwrotnym jest wrażliwy na zmiany wzmocnienia 5ØXÜ5Ø;Ü w sprzężeniu zwrotnym.
Zmiany wzmocnienia ukÅ‚adu 5ØXÜ w torze głównym nie powodujÄ… zmian czasu regulacji 5ØaÜ5ØEÜ (patrz
zależność (27):
4,6
5ØaÜ5ØEÜ (99) = , 5Øß = 5Øß5Øß0 .
5Øß
Przykładowo, dla układu zamkniętego o właściwościach oscylacyjnych, dla umownych oznaczeń
1
parametrów jak dla oscylatora mechanicznego można stwierdzić, że równoważna staÅ‚a czasowa 5Øß nie
ulega zmianie:
5ØXÜ 5ØPÜ 5ØPÜ
"5ØZÜ
5Øß0 = , 5Øß = , 5Øß = ,
2 5ØXÜ5ØZÜ 2 5ØZÜ
" "
gdzie:
5ØZÜ, 5ØXÜ, 5ØPÜ - odpowiedni: masa, sztywność i tÅ‚umienie zastÄ™pcze ukÅ‚adu.
Natomiast przeregulowanie 5Ø7Ü ulegnie niewielkiej zmianie, ponieważ nieznacznie zmienia siÄ™
wzglÄ™dny współczynnik tÅ‚umienia, który jest funkcjÄ… wzmocnienia 5ØXÜ:
- 5ØPÜ
5Øß = - 5Øß/"1 - 5Øß2 = "4 5ØXÜ5ØZÜ - 5ØPÜ2 . (72)
4 5ØXÜ5ØZÜ
ZmianÄ™ "5Ø7Ü można zapisać w sposób:
"5Ø7Ü 5ØXÜ 45ØZÜ
= "1 +
"5ØXÜ . (73)
5Ø7Ü 5ØXÜ+"5ØXÜ 45ØZÜ5ØXÜ-5ØPÜ2
Znaczenie zmiany staÅ‚ej czasowej 5ØGÜ0 obiektu rozpatrzone zostanie dla ukÅ‚adu regulacji z
obiektem statycznym o inercji pierwszego rzędu i regulatorem PI, o czasie całkowania
5ØGÜ5Ø<Ü = 5ØGÜ0.
Transmitancja ukÅ‚adu zamkniÄ™tego 5Ø:Ü5ØHÜ5ØMÜ(5Ø`Ü) wynosi:
1 1
( )
5Ø:Ü5ØHÜ5ØMÜ 5Ø`Ü = = ,
5ØGÜ0
5ØGÜ5ØHÜ 5Ø`Ü+1
5Ø`Ü+1
5ØXÜ
gdzie:
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
19
5ØXÜ = 5ØXÜ05ØXÜ5ØEÜ,
Zmiany transmitancji "5Ø:Ü5ØHÜ5ØBÜ(5Ø`Ü) oraz "5Ø:Ü5ØHÜ5ØMÜ(5Ø`Ü) wyniosÄ…:
( )
5ØXÜ05ØXÜ5ØEÜ 5ØGÜ05Ø`Ü+1
( )
"5Ø:Ü5ØHÜ5ØBÜ 5Ø`Ü = ,
[( ) ]
5ØGÜ05Ø`Ü 5ØGÜ0+"5ØGÜ0 5Ø`Ü+1
( )
5ØXÜ05ØXÜ5ØEÜ 5ØGÜ05Ø`Ü+1
[( ) ] 5ØGÜ05Ø`Ü+1
5ØGÜ05Ø`Ü 5ØGÜ0+"5ØGÜ0 5Ø`Ü+1
( )
"5Ø:Ü5ØHÜ5ØMÜ 5Ø`Ü = = .
( )
5ØXÜ05ØXÜ5ØEÜ 5ØGÜ05Ø`Ü+1
( ) ( )
5ØGÜ0+"5ØGÜ0 5Ø`Ü2 1+5ØXÜ
1+5ØGÜ
+5ØGÜ0 5Ø`Ü+1
5ØXÜ
05Ø`Ü[(5ØGÜ0+"5ØGÜ0)5Ø`Ü+1] 5ØXÜ
5ØGÜ0
( )
Dla 5ØGÜ5ØHÜ = oraz 5ØGÜ0 = 1005Ø`Ü, "5ØGÜ0 = 105Ø`Ü 5ØVÜ 5ØXÜ = 10 ukÅ‚ad "5Ø:Ü5ØHÜ5ØMÜ 5Ø`Ü bÄ™dzie posiadaÅ‚ nastÄ™pujÄ…ce
5ØXÜ
bieguny:
( ) 45ØXÜ 5ØGÜ0+"5ØGÜ0
1+5ØXÜ ( )
5Ø`Ü(1,2) = [1 Ä… "1 - ],
( ) ( )2
2 5ØGÜ0+"5ØGÜ0 5ØGÜ0 1+5ØXÜ
którym odpowiadają stałe czasowe o wartościach:
-1
5ØGÜ1 = = 98,865Ø`Ü,
5Ø`Ü1
-1
5ØGÜ2 = = 11,15Ø`Ü.
5Ø`Ü2
( )
StaÅ‚a czasowa 5ØGÜ5ØHÜ ukÅ‚adu zamkniÄ™tego 5Ø:Ü5ØHÜ5ØMÜ 5Ø`Ü przed zmianÄ… staÅ‚ej czasowej obiektu 5ØGÜ0 wyniosÅ‚a:
5ØGÜ0
5ØGÜ5ØHÜ = = 105Ø`Ü.
5ØXÜ
( )
Na rys.7 pokazane zostaÅ‚y asymptotyczne charakterystyki czÄ™stotliwoÅ›ciowe ukÅ‚adu otwartego 5Ø:Ü5ØHÜ0 5Ø`Ü
przed zmianÄ… staÅ‚ej czasowej 5ØGÜ0 i po jej zmianie o "5ØGÜ0.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
20
a) b)
( )
Rys.7. Charakterystyki czÄ™stotliwoÅ›ciowe asymptotyczne; ukÅ‚adów otwartych: a) ukÅ‚adu 5Ø:Ü5ØHÜ0 5Ø`Ü dla
( )
5ØGÜ5Ø<Ü = 5ØGÜ0, 5ØGÜ0 = 100, 5ØXÜ = 1; b) ukÅ‚adu 5Ø:Ü5ØHÜ5ØMÜ 5Ø`Ü dla 5ØGÜ5Ø<Ü = 5ØGÜ0, 5ØGÜ0 = 100, "5ØGÜ0 = 10,
5ØXÜ = 1;
Wzrost staÅ‚ej czasowej obiektu 5ØGÜ0 o "5ØGÜ0 = 10%, spowodowaÅ‚ przesuniÄ™cie czÄ™stotliwoÅ›ci
2
sprzÄ™gajÄ…cej z 5Øß5Ø`Ü = 0,015Ø`Ü-1 do wartoÅ›ci 5Øß5Ø`Ü = 0,009095Ø`Ü-1 oraz bardzo niewiele zmieniÅ‚ przebieg
( ) ( )
moduÅ‚u "5Ø?Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) w stosunku do 5Ø?Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü). Dla ukÅ‚adu 5Ø:Ü5ØHÜ0 5Ø`Ü przesuniÄ™cie fazowe 5Øß 5Øß miaÅ‚o staÅ‚Ä…
5Øß
( )
wartość - . W ukÅ‚adzie "5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü) przesuniÄ™cie fazowe 5Øß2 5Øß zwiÄ™kszyÅ‚o siÄ™ przyjmujÄ…c wartość
2
3
ekstremalnÄ… dla czÄ™stotliwoÅ›ci 5Øß2 , minimalnÄ… wynoszÄ…cÄ… - 5Øß.
4
Spadek staÅ‚ej czasowej 5ØGÜ0 spowodowaÅ‚by podobne zmiany, zarówno "5Ø?Ü(5Øß) jak i "5Øß(5Øß) do
2
opisanych, ale usytuowane dla wiÄ™kszych czÄ™stotliwoÅ›ci 5Øß5Ø`Ü w stosunku do czÄ™stotliwoÅ›ci 5Øß5Ø`Ü ukÅ‚adu
5Ø:Ü5ØHÜ0(5Ø`Ü).
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
21
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Ocena jakości produkcji obuwniczejOcena jakości życia u chorych na raka szyjki i trzonu macicyWartościowanie stanowisk pracy a ocena jakości pracyocena jakosci powietrza 12Technologia produkcji i ocena jakościowa kiełbas typu salamiOcena jakości rzek województwa dolnośląskiego w 2009 rOcena jakości świadczonych usługOcena jakości i stosowanie materiałów optycznychOcena jakości zycia pacjentów po endoprptezie stawu biodrowegoL11 Ocena jakości estymatorów19 Grochans Elżbieta Ocena jakości życia dzieci i młodzieWielowymiarowa ocena jakości życia chorych na cukrzycęBiologiczna ocena jakości wody podręcznikOcena jakości życia dzieci z cukrzycą typu 1więcej podobnych podstron