D

YNAMICZNE

M

ODELE

E

KONOMETRYCZNE

9,, 2JyOQRSROVNLH 6HPLQDULXP 1DXNRZH ZU]HQLD Z 7RUXQLX

.DWHGUD (NRQRPHWULL L 6WDW\VW\NL 8QLZHUV\WHW 0LNRãDMD .RSHUQLND Z 7RUXQLX

Jacek Kwiatkowski, Witold Orzeszko

8QLZHUV\WHW 0LNRáDMD .RSHUQLND

Identyfikacja chaosu deterministycznego w polskich

szeregach finansowych

:VWS

'R SHZQHJR PRPHQWX Z QDXFH GRPLQRZDáR SRGHMFLH Z P\O NWyUHJR

stawiano na dwóch przeciwstawnych biegunach

ORVRZRü L GHWHUPLQL]P

: SRZV]HFKQ\P PQLHPDQLX GHWHUPLQLVW\F]QH UHJXá\ JHQHUXMFH GDQ\ SURFHV

SRZLQQ\ ]DSHZQLü MHJR UHJXODUQ\ L XSRU]GNRZDQ\ SU]HELHJ = WHJR SRZRGX

SU]\MáR VL VG]Lü *H SRUyZQXMF Z\NUHV\ SURFHVyZ MX* QD SLHUZV]\ U]XW RND

PR*QD RGUy*QLü ]MDZLVND ORVRZH RG GHWHUPLQLVW\F]Q\FK 7\PF]DVHP Z

RVWDWQLFK ODWDFK SRMDZLáR VL Z QDXFH QRZH SRMFLH ± FKDRV GHWHUPLQLVW\F]Q\

2NUHOHQLH WR MHVW RNV\PRURQHP áF]\ Z QD]ZLH GZD VSU]HF]QH ]MDZLVND

FKDRV D ZLF QLHXSRU]GNRZDQLH SU]\SDGNRZRü RUD] GHWHUPLQL]P NRMDU]RQ\

] áDGHP L KDUPRQL 7DND MHVW WH* LVWRWD FKDRVX GHWHUPLQLVW\F]QHJR 7HUPLQ WHQ

GRW\F]\ ]MDZLVN JHQHURZDQ\FK SU]H] GHWHUPLQLVW\F]QH UHJXá\ NWyU\FK

EXU]OLZ\ SU]HELHJ MHVW ]DSU]HF]HQLHP UHJXODUQRFL L SRU]GNX : NRQVHNZHQFML

FKDRV GHWHUPLQLVW\F]Q\ PR*H JHQHURZDü Z\QLNL Z\JOGDMFH QD ORVRZH FKRü

WDNLPL Z LVWRFLH QLH V :áDVQRü WD VWDQRZL SRGVWDZ ]DLQWHUHVRZDQLD EDGDF]\

L URG]L S\WDQLH F]\ GRW\FKF]DV DQDOL]RZDQH V]HUHJL V FLH*N SURFHVX

VWRFKDVW\F]QHJR F]\ WH* JHQHURZDQH V SU]H] FKDRW\F]Q\ XNáDG G\QDPLF]Q\

2ND]XMH VL *H ]MDZLVND GHWHUPLQLstyczne o chaotycznym przebiegu

Z\VWSXM Z QDWXU]H ]DVNDNXMFR F]VWR &R ZLFHM SRVWSXMFH RGNU\FLD ]

]DNUHVX IL]\NL ELRORJLL F]\ FKHPLL SRND]XM *H UDF]HM EUDN FKDRW\F]QRFL Z

V\VWHPDFK QDWXUDOQ\FK QDOH*\ X]QDü ]D Z\MWHN :áDVQRFL FKDRVX L

ZF]HQLHMV]H EDGDQLD VNáRQLá\ HNRQRPHWU\NyZ GR V]XNDQLD FKDRVX

GHWHUPLQLVW\F]QHJR Z HNRQRPLL -DNR SU]\NáDG\ SUDF ] WHJR ]DNUHVX PR*QD

SRGDü DUW\NXá\ Scheinkmana i LeBarona (1989) i Hsieha (1991) oraz Willey’a

Jacek Kwiatkowski, Witold Orzeszko

310

GRW\F]FH NXUVyZ JLHáGRZ\FK )UDQND L 6WHQJRVD EDGDMF\FK

VWRS\ ]ZURWX ]áRWD F]\ )UDQND Gencay’a i 6WHQJRVD DQDOL]XMF\FK
wybrane szeregi makroekonomiczne.

&HOHP WHJR DUW\NXáX MHVW SUyED LGHQW\ILNDFML FKDRVX GHWHUPLQLVW\F]QHJR Z

SROVNLFK V]HUHJDFK F]DVRZ\FK : V]F]HJyOQRFL SRGGDQR EDGDQLX G]LHQQ\ NXUV

:,* RG OLSFD GR VW\F]QLD VNáDGDMF\ VL ] REVHUZDFML RUD]

G]LHQQ\ UHGQL NXUV GRODUD 1%3 RG PDMD GR NRFD
obserwacji).

2. Chaotyczne systemy dynamiczne

=DREVHUZRZDQH ZáDFLZRFL QDWXUDOQ\FK V\VWHPyZ VWDá\ VL SRGVWDZ GR

stworzenia nowej teorii - chaosu deterministycznego. Centralnym obiektem w

WHRULL FKDRVX MHVW SRMFLH QLHOLQLRZHJR V\VWHPX G\QDPLF]QHJR 6\VWHP

G\QDPLF]Q\ WR ND*G\ UHDOQ\ V\VWHP NWyUHJR VWDQ MHVW IXQNFM F]DVX W]Q

SRGOHJD ]PLDQRP Z F]DVLH (NRQRPLF]Q\PL V\VWHPDPL G\QDPLF]Q\PL PRJ

E\ü U\QHN JRVSRGDUVWZR GRPRZH NRQVXPHQW JRVSRGDUND QDURGRZD LWS

)RUPDOQLH U]HF] XMPXMF SU]H] V\VWHP G\QDPLF]Q\ UR]XPLH VL SDU

(

)

f

X ,

, gdzie

m

R

X

⊂

MHVW SU]HVWU]HQL PHWU\F]Q VWDQyZ GDQHJR V\VWHPX

]D

X

X

f

→

:

MHVW RGZ]RURZDQLHP WHM SU]HVWU]HQL Z VLHELH 3U]H] SRMFLH

VWDQX V\VWHPX UR]XPLH VL ]ELyU PLHU]DOQ\FK FHFK FKDUDNWHU\]XMF\FK GDQ\

V\VWHP ]D ]ELyU ZV]HONLFK PR*OLZ\FK VWDQyZ GDQHJR V\VWHPX QD]\ZD VL

SU]HVWU]HQL VWDQyZ : SU]\SDGNX HNRQRPLF]Q\FK V\VWHPyZ G\QDPLF]Q\FK

VWDQ V\VWHPX MHVW ZHNWRUHP ]áR*RQ\P ]H ]PLHQQ\FK HNRQRPLF]Q\FK OXE

SHZQ\FK LFK SU]HNV]WDáFH

(ZROXFMD VWDQyZ V\VWHPX Z F]DVLH PR*H E\ü Z\UD*RQD SU]\ SRPRF\

UyZQDQLD Uy*QLF]NRZHJR ]Z\F]DMQHJR Z SRVWDFL QRUPDOQHM

( )

x

f

dt

dx

=

,

(2.1)

gdzie

X

x

∈

. W przypadku systemu dynamicznego z czasem dyskretnym,

odwzorowanie

f

Z\]QDF]D ]DOH*QRü UHNXUHQF\MQ

( )

t

t

x

f

x

=

+

1

, (2.2)

gdzie

...,

,

1

,

0

=

t

t

x

,

X

x

t

∈

+

1

V VWDQDPL V\VWHPX RGSRZLHGQLR Z F]DVLH

t

i

1

+

t

.

Nie istnieje jedna, powszechnie akceptowana definicja deterministycznego

chaosu, czyli chaosu w systemach dynamicznych (Zawadzki, 1996). Jednym z

Identyfikacja chaosu determnistycznego...

311

SRZRGyZ WDNLHJR VWDQX U]HF]\ MHVW WR *H WHRULD FKDRVX Z\URVáD QD SRJUDQLF]X

Uy*Q\FK G\VF\SOLQ QDXNRZ\FK X*\ZDMF\FK ZáDVQHJR RGUEQHJR M]\ND PLQ

WHRULL UyZQD Uy*QLF]NRZ\FK L Uy*QLFRZ\FK MDNRFLRZHM WHRULL V\VWHPyZ

G\QDPLF]Q\FK F]\ WHRULL HUJRG\F]QHM :DUWR MHGQDN Z\Uy*QLü GZLH

SRGVWDZRZH FHFK\ V\VWHPyZ FKDRW\F]Q\FK QLHOLQLRZRü IXQNFML

f

oraz

ZUD*OLZRü V\VWHPX QD ]PLDQ ZDUXQNyZ SRF]WNRZ\FK :HGáXJ GHILQLFML

:LJJLQVD =DZDG]NL V\VWHP G\QDPLF]Q\ MHVW ZUD*OLZ\ Z ]ELRU]H X na

]PLDQ ZDUXQNyZ SRF]WNRZ\FK MH*HOL LVWQLHMH

0

>

ε

*H GOD ND*GHJR

X

x

∈

RUD] ND*GHJR RWRF]HQLD U punktu x istnieje

U

x

∈

'

oraz

1

≥

n

WDNLH *H

( )

( )

ε

>

−

'

x

f

x

f

n

n

,

(2.3)

gdzie n

R]QDF]D OLF]E LWHUDFML 2]QDF]D WR *H V\VWHP G\QDPLF]Q\ MHVW ZUD*OLZ\

QD ]PLDQ ZDUXQNyZ SRF]WNRZ\FK JG\ GRZROQLH EOLVNR ND*GHJR SXQNWX

X

x

∈

]QDMGXMH VL SHZLHQ SXQNW

'

x

NWyU\ SR SHZQHM VNRF]RQHM OLF]ELH

iteracji

n

RGGDOL VL RG x R ZLFHM QL*

ε

:UD*OLZH V\VWHP\ G\QDPLF]QH

cechuje

QLHSU]HZLG\ZDOQRü EGFD MHGQ\P ] DWU\EXWyZ FKDRVX 7R ZáDQLH

ZUD*OLZRü V\VWHPX MHVW ZDUXQNLHP NRQLHF]Q\P SU]\QDOH*QRFL GR URG]LQ\

V\VWHPyZ FKDRW\F]Q\FK 3RZRGHP Z\VWSRZDQLD ZUD*OLZRFL QD ]PLDQ

ZDUXQNyZ SRF]WNRZ\FK V Z\VWSXMFH Z V\VWHPDFK G\QDPLF]Q\FK

VSU]*HQLD ]ZURWQH : HIHNFLH Uy*QLFH ZDUWRFL SRF]WNRZ\FK URVQ WX

Z\NáDGQLF]R JG]LH Z\NáDGQLN MHVW ZLNV]\ RG MHGQRFL 'X*D ZUD*OLZRü QD

]PLDQ ZDUXQNyZ SRF]WNRZ\FK WHJR W\SX V\VWHPyZ SRZRGXMH *H

SU]HZLG\ZDOQRü ]PQLHMV]D VL Z\NáDGQLF]R ZUD] ] Z\GáX*DQLHP VL KRU\]RQWX
prognozy.

,QQ EDUG]R LQWHUHVXMF ZáDVQRFL V\VWHPyZ G\QDPLF]Q\FK MHVW WZRU]HQLH

tzw. atraktorów, czyli zbiorów granicznych generowanych przez systemy.

2ND]XMH VL *H LVWQLHM V\VWHP\ Z NWyU\FK PLPR ORVRZHJR GRERUX VWDQX

SRF]WNRZHJR NRFRZ\P UH]XOWDWHP MHVW ]DZV]H WHQ VDP RELHNW )RUPDOQLH

U]HF] XMPXMF atraktor

1

sytemu dynamicznego (Zawadzki, 1996; Kudrewicz,

1993)

(

)

f

X ,

WR GRPNQLW\ L RJUDQLF]RQ\ SRG]ELyU SU]HVWU]HQL VWDQyZ

X

A

⊂

GR NWyUHJR Z NROHMQ\FK LWHUDFMDFK ]PLHU]DM SXQNW\ SHZQHJR

RWRF]HQLD WHJR SRG]ELRUX 2SUyF] WHJR Z\PDJD VL E\ A E\á ]ELRUHP
niezmienniczym, tzn.

( )

A

A

f

=

=QDMRPRü atraktora upraszcza badanie

ZáDVQRFL

V\VWHPX

G\QDPLF]QHJR

SRSU]H]

RJUDQLF]HQLH

G]LHG]LQ\

odwzorowania

f

GR ]ELRUX JUDQLF]QHJR -HVW WR NRQVHNZHQFM WHJR L*

DWUDNWRU\ FKDUDNWHU\]XM DV\PSWRW\N ZV]\VWNLFK SXQNWyZ ]H VZHJR REV]DUX

SU]\FLJDQLD NWyU\ E\ZD ÄGX*\P´ SRG]ELRUHP SU]HVWU]HQL VWDQyZ : VNUDMQ\P
przypadku obszar ten zawiera wszystkie punkty przestrzeni stanów. Z rodziny

1

Formalne definicje atraktora przestawia np. Brock (1986) str. 170 i Barnett i in.

(1997) str. 12.

Jacek Kwiatkowski, Witold Orzeszko

312

DWUDNWRUyZ PR*QD Z\Uy*QLü W]Z G]LZQH atraktory, w których system jest

ZUD*OLZ\ QD ]PLDQ ZDUXQNyZ SRF]WNRZ\FK :LHOH G]LZQ\FK atraktorów jest

IUDNWDODPL W]Q FHFKXM VL VNRPSOLNRZDQ VWUXNWXU JHRPHWU\F]Q RUD]

QLHFDáNRZLW\P Z\PLDUHP NWyU\ MHVW PQLHMV]\ RG Z\PLDUX SU]HVWU]HQL VWDQyZ
(Barnett i in., 1997). Dziwne

DWUDNWRU\ GREU]H QDGDM VL GR GHILQLRZDQLD

FKDRW\F]Q\FK V\VWHPyZ G\QDPLF]Q\FK -DN JáRVL GHILQLFMD Garrido (Zawadzki,
1996) – system dynamiczny

(

)

f

X ,

QD]\ZD VL FKDRW\F]Q\P JG\ PD G]LZQ\

atraktor.

:LHOH ] UHDOQ\FK V\VWHPyZ PR*H SRVLDGDü QDWXU FKDRW\F]Q 2ND]XMH VL

UyZQLH* *H QD JUXQFLH HNRQRPHWULL PR*QD ]QDOH(ü SU]\NáDG\ FKDRW\F]Q\FK

XNáDGyZ G\QDPLF]Q\FK NWyUH PRJ JHQHURZDü FLH*NL LGHQW\F]QH ] W\PL MDNLH

WZRU] ]QDQH SURFHV\ VWRFKDVW\F]QH -DNR SU]\NáDG PR*QD SRGDü

RGZ]RURZDQLH WUyMNWQH El-Gamal, 1991):

[ ]

[ ]











∈

−

−

∈

=

+

1

,

;

1

1

,

0

;

1

a

x

a

x

a

x

a

x

x

t

t

t

t

t

,

(2.4)

NWyUH PD WDN VDP ZHZQWU]Q ]DXWRNRUHORZDQ VWUXNWXU MDN SURFHV $5
postaci:

(

)

t

t

t

z

a

z

ε

+

−

=

−

1

1

2

,

gdzie

t

ε

MHVW JDXVVRZVNLP ELDá\P V]XPHP

=QDQ\P SU]\NáDGHP GHWHUPLQLVW\F]QHJR XNáDGX G\QDPLF]QHJR MHVW UyZQLH*

system generowany przez odwzorowanie logistyczne postaci

(

)

t

t

t

x

kx

x

−

=

+

1

1

dla

4

0

<

<

k

i

1

0

0

<

<

x

.

(2.5)

-H*HOL

( )

3

;

0

∈

k

FLJ ZDUWRFL

t

x

dla

...

,

1

,

0

=

t

MHVW ]ELH*Q\

(

)

5699

,

3

;

3

∈

k

RGZ]RURZDQLH

ORJLVW\F]QH

FKDUDNWHU\]XMH

VL

]ELHJDQLHP GR SHZQHM VNRF]RQHM ZDUWRFL OXE

SRMDZLDM VL UHJXODUQH F\NOH

(

)

4

;

5699

,

3

∈

k

odwzorowanie logistyczne ma charakter chaotyczny.

5\VXQNL L SU]HGVWDZLDM ZDUWRFL

t

x

w kolejnych iteracjach. W pierwszym

przypadku parametr k jest równy 3,1 i odwzorowanie logistyczne generuje

Identyfikacja chaosu determnistycznego...

313

regularny cykl o okresie 2, natomiast na rysunku 2 parametr k wynosi 3,97 i
FLJ ZDUWRFL

t

x

ma chaotyczny przebieg.

Empiryczna analiza systemów (w tym i ekonomicznych) musi z

NRQLHF]QRFL RGE\ZDü VL EH] ]QDMRPRFL DQDOLW\F]QHM SRVWDFL IXQNFML

JHQHUXMFHM SU]HVWU]HQL VWDQyZ RUD] MHM Z\PLDUX 3RGVWDZ EDGDQLD MHVW
wygenerowany przez system dynamiczny jednowymiarowy szereg obserwacji

)

(

t

y

. Szereg

)

(

t

y

MHVW UHDOL]DFM V\VWHPX FKDRW\F]QHJR JG\ LVWQLHMH IXQNFMD h

WDND *H

)

(

t

t

x

h

y

=

,

(2.6)

gdzie

t

x

MHVW JHQHURZDQH SU]H] ]DOH*QRü

5\VXQHN &LJ ZDUWRFL

t

x

w odwzorowaniu logistycznym z parametrem

1

,

3

=

k

.

5\VXQHN &LJ ZDUWRFL

t

x

w odwzorowaniu logistycznym z parametrem

97

,

3

=

k

.

t

x

t

t

x

t

Jacek Kwiatkowski, Witold Orzeszko

314

:\VWSXMF Z SRZ\*V]\P PRGHOX IXQNFM

R

X

h

→

:

QD]\ZD VL

XU]G]HQLHP SRPLDURZ\P IXQNFM DJUHJXMF OXE REVHUZDEO =DZDG]NL

SU]\ F]\P MHM SRVWDü DQDOLW\F]QD WH* QLH MHVW ]QDQD -HGQDN*H PLPR

EUDNX ]QDMRPRFL SRGVWDZRZ\FK SDUDPHWUyZ V\VWHPX PR*OLZD MHVW
UHNRQVWUXNFMD MHJR G\QDPLNL Z\áF]QLH Z RSDUFLX R V]HUHJ

)

(

t

y

3RGVWDZ

WHRUHW\F]Q VWRVRZDQHM Z W\P FHOX SURFHGXU\ MHVW WZLHUG]HQLH Takensa o
zanurzaniu (Takens, 1985). Na podstawie twierdzenia Takensa stworzono

PHWRG RSy(QLH NWyUHM LVWRW MHVW UHNRQVWUXNFMD SU]HVWU]HQL ID]RZHM F]\OL
przestrzeni stanów systemu), w oparciu o tzw. p-historie. Przez p-historie

UR]XPLH VL FLJ ZHNWRUyZ R p ZVSyáU]GQ\FK

)

...,

,

,

(

)

1

*(

1

*

−

+

+

=

p

j

t

j

t

t

p

t

y

y

y

y

XWZRU]RQ\FK ] FLJX REVHUZDFML

t

y

, gdzie p

RNUHOD VL MDNR Z\PLDU

zanurzenia, natomiast j

MHVW RSy(QLHQLHP F]DVRZ\P : XSURV]F]HQLX

twierdzenie

7DNHQVD JáRVL *H MH*HOL V VSHáQLRQH RGSRZLHGQLH ]DáR*HQLD

GRW\F]FH ZáDVQRFL IXQNFML f i h WR FLJ pKLVWRULL XPR*OLZLD UHNRQVWUXNFM
atraktora badanego systemu oraz pewnych jego charakterystyk, w tym

Z\NáDGQLND Lapunowa (%URFN RPDZLDQHJR Z QDVWSQ\P SXQNFLH

Zasadniczym problemem w procesie rekonstrukcji przestrzeni fazowej jest

GREyU ZáDFLZ\FK SDUDPHWUyZ W]Q Z\PLDUX ]DQXU]HQLD p RUD] RSy(QLHQLD
czasowego j

1DMSURFLHM PR*QD E\ SRZLHG]LHü *H DE\ MH WUDIQLH

]LGHQW\ILNRZDü QDOH*\ HNVSHU\PHQWRZDü 1LHPQLHM MHGQDN LVWQLHM SHZQH

Z\W\F]QH XáDWZLDMFH SRV]XNLZDQLD 3U]\ GRERU]H Z\PLDUX ]DQXU]HQLD QDOH*\

SDPLWDü *H OLF]ED WD PXVL E\ü QLHPQLHMV]D RG U]HF]\ZLVWHJR Z\PLDUX

DWUDNWRUD UR]ZD*DQHJR V\VWHPX 7U]HED ERZLHP SDPLWDü *H atraktor

XPLHV]F]RQ\ Z SU]HVWU]HQL R ZLNV]\P Z\PLDU]H QLH ]PLHQLD VZRMHM SRVWDFL

: UH]XOWDFLH SURFHV SRV]XNLZDQLD ZáDFLZHJR Z\PLDUX ]DQXU]HQLD QDOH*\

]DF]ü RG VWRVXQNRZR GX*\FK ZDUWRFL p :VND]yZN PR*H E\ü NU\WHULXP
Takensa:

m

p

2

>

, gdzie

m

jest faktycznym wymiarem przestrzeni stanów lub

JG\ QLH ]QDP\ MHJR ZDUWRFL ± RV]DFRZDQ\P Z\PLDUHP NRUHODF\MQ\P

:\NáDGQLN /DSXQRZD QDU]G]LH LGHQW\ILNDFML FKDRVX

deterministycznego

Niech

0

x

i

0

0

δ

+

x

EG GZRPD VWDQDPL MHGQRZ\PLDURZHM SU]HVWU]HQL

X

R

⊂

oraz niech

n

δ

R]QDF]D RGOHJáRü PLG]\

( )

o

n

x

f

a

(

)

0

0

δ

+

x

f

n

, czyli

obrazami stanów

0

x

i

0

0

δ

+

x

w n-tej iteracji. Typowa dla ewolucji

FKDRW\F]QHM MHVW ]DOH*QRü

Identyfikacja chaosu determnistycznego...

315

λ

δ

δ

n

n

e

0

=

(3.1)

dla

0

>

λ

:\VWSXMFD Z UyZQDQLX ZLHONRü

λ

QD]\ZD VL

Z\NáDGQLNLHP Lapunowa -HOL RUELW VWDQX

0

x

QD]ZLHP\ FLJ

( )

( )

(

)

0

0

1

0

...,

,

,

x

f

x

f

x

n

, gdzie

( )

( )

(

)

0

1

x

f

f

x

f

n

o

n

−

=

dla

...,

,

2

,

1

=

n

to

ZLGDü *H Z\NáDGQLN /DSXQRZD PLHU]\ WHPSR ]ELHJDQLD OXE UR]ELHJDQLD VL

RUELW EOLVNLFK VRELH VWDQyZ SRF]WNRZ\FK 6\VWHP\ FKDRW\F]QH SRVLDGDM

GRGDWQL Z\NáDGQLN /DSXQRZD L FHFKXM VL ZUD*OLZRFL QD ]PLDQ ZDUWRFL

SRF]WNRZ\FK 6FKXVWHU ,P ZLNV]\ Z\NáDGQLN Lapunowa, tym

ZLNV]D ZUD*OLZRü V\VWHPX D ZLF PR*QD SRZLHG]LHü *H L ZLNV]\ SR]LRP

MHJR FKDRW\F]QRü 6\VWHP\ mZ\PLDURZH PDM m Z\NáDGQLNyZ Lapunowa,

NWyUH PLHU] UHGQLH WHPSR RGGDODQLD DOER ]EOL*DQLD VL Z NROHMQ\FK LWHUDFMDFK

GZyFK VWDQyZ SRF]WNRZ\FK Z]JOGHP ND*GHJR Z\PLDUX :DUXQNLHP

NRQLHF]Q\P DE\ XNáDG mZ\PLDURZ\ E\á FKDRW\F]Q\ MHVW SRVLDGDQLH

SU]\QDMPQLHM MHGQHJR GRGDWQLHJR Z\NáDGQLND /DSXQRZD 0DMF GDQ\ V\VWHP
dynamiczny (X, f

W]Q MHJR SU]HVWU]H VWDQyZ ZUD] ] MDZQ SRVWDFL

DQDOLW\F]Q IXQNFML f PR*QD Z GRü SURVW\ VSRVyE Z\]QDF]\ü VSHNWUXP MHJR

Z\NáDGQLNyZ Lapunowa (Zeng, Pielke i (\NKROW :\NáDGQLNL WH

Z\NRU]\VWXMH VL QLH W\ONR GR PLHU]HQLD ZUD*OLZRFL V\VWHPX DOH UyZQLH* GR
sprawdzania jego

G\VV\SDW\ZQRFL Z\VWSRZDQLH atraktora), do wyznaczania

entropii systemu i wymiaru fraktalnego atraktora (Zeng, Pielke i Eykholt,

:DUWR SRGNUHOLü *H ZDUWRFL GRGDWQLFK Z\NáDGQLNyZ /DSXQRZD PRJ

E\ü EDUG]R PDáH 3U]\NáDGRZR PRGHO Mackey’a-Glassa, który jest znanym
chaotycznym systemem (Wolf i in., 1985

SRVLDGD QDMZLNV]\ Z\NáDGQLN

Lapunowa równy 0,0063.

: SUDNW\FH Z W\P UyZQLH* L HNRQRPLF]QHM LVWRWQ\P ]DJDGQLHQLHP MHVW

RNUHOHQLH ]DFKRZDQLD XNáDGX Z SU]\V]áRFL ,VWQLHQLH GRGDWQLHJR Z\NáDGQLND

/DSXQRZD XQLHPR*OLZLD SURJQR]RZDQLH HZROXFML SRMHG\QF]HJR VWDQX Z

GáX*V]\P RNUHVLH ,P ZLNV]D ZDUWRü Z\NáDGQLND /DSXQRZD W\P ZLNV]D

FKDRW\F]QRü V\VWHPX L W\P VDP\P ZLNV]D QLHSHZQRü SURJQR]\ 1LH

R]QDF]D WR MHGQDN *H QLF QLH GD VL SRZLHG]LHü R GáXJRRNUHVRZ\P ]DFKRZDQLX

VL V\VWHPX MDNR FDáRFL 3RPLPR UR]ELHJDQLD VL RUELW SXQNW\ QLH HZROXXM Z

QLHVNRF]RQRü L GODWHJR FKDRW\F]Q\ V\VWHP PR*H Z QLHVNRF]RQRFL ]ELHJDü
do pewnego ograniczonego obiektu – atraktora.

$OJRU\WP\ REOLF]DMFH QDMZLNV]\ Z\NáDGQLN Lapunowa (Wolf i in.,

1985, Rosenstein i in., 1993) w oparciu o obserwowany szereg czasowy

SROHJDM QD Z\]QDF]DQLX W]Z ORNDOQHJR Z\NáDGQLND /DSXQRZD PLHU]FHJR

]ELH*QRü UR]ELH*QRü VWDQyZ SRSU]H] R DQDOL] RUELW R GáXJRFL N, gdzie N

MHVW SHZQ OLF]E QDWXUDOQ 2F]\ZLFLH Z JUDQLF\ JG\

∞

→

N

lokalny

Z\NáDGQLN /DSXQRZD ]ELHJD GR JOREDOQHJR %DVN 1LHXQLNQLRQ ZDG

ORNDOQHJR Z\NáDGQLND /DSXQRZD MHVW WR *H MHJR ZDUWRFL PRJ VL GRü

Jacek Kwiatkowski, Witold Orzeszko

316

]QDF]QLH Uy*QLü Z ]DOH*QRFL RG UR]SDWU\ZDQ\FK VWDQyZ SRF]WNRZ\FK

V]F]HJyOQLH GOD PDá\FK ZDUWRFL N).

Typowe dla ewolucji chaotycznej równanie (3.1) po zlogarytmowaniu

PD SRVWDü

( )

( )

n

n

λ

δ

δ

+

=

0

ln

ln

,

(3.2)

gdzie

0

>

λ

5yZQDQLH VáX*\ GR REOLF]DQLD Z\NáDGQLND Lapunowa i tym

VDP\P VWDQRZL SRGVWDZ GR LGHQW\ILNDFML FKDRVX GHWHUPLQLVW\F]QHJR

/RJDU\WP RGOHJáRFL PLG]\ GZRPD SRF]WNRZR EOLVNLPL VWDQDPL ZUD] ]H
wzrostem liczby iteracji n

]ZLNV]D VL OLQLRZR :\NáDGQLN /DSXQRZD PR*QD

]DWHP REOLF]\ü V]DFXMF UyZQDQLH MDNR UyZQDQLH UHJUHVML JG]LH REOLF]RQ\

ZVSyáF]\QQLN UHJUHVML WUDNWXMH VL MDNR RV]DFRZDQLH SDUDPHWUX

λ

. Rysunek 3

SU]HGVWDZLD Z\NUHV ORJDU\WPyZ UHGQLFK RGOHJáRFL PLG]\ GZRPD

SRF]WNRZ\PL VWDQDPL D NROHMQ\PL LWHUDFMDPL n dla odwzorowania
logistycznego z parametrem

97

,

3

=

k

.

5\VXQHN /RJDU\WP UHGQLFK RGOHJáRFL PLG]\ GZRPD SRF]WNRZ\PL VWDQDPL Z

kolejnych iteracjach n;

691

,

0

ˆ

=

λ

. (Wymiar zanurzenia p jest równy 2,

QDWRPLDVW RSy(QLHQLH F]DVRZH j UyZQD VL MHGHQ

Jak przedstawiono na rysunku 3 wraz ze wzrostem liczby iteracji

ORJDU\WP UHGQLFK RGOHJáRFL PLG]\ VVLHGQLPL VWDQDPL ]PLHQLD VL OLQLRZR

: GDOV]\FK LWHUDFMDFK RGOHJáRü PLG]\ VWDQDPL VWDELOL]XMH VL SRQLHZD*

SR]RVWDM RQH Z SHZQ\P RJUDQLF]RQ\P ]ELRU]H atraktorze. Wyznaczona na

SRGVWDZLH SLHUZV]\FK G]LHVLFLX ZDUWRFL SURVWD PD ZVSyáF]\QQLN QDFK\OHQLD
równy

691

,

0

ˆ

=

λ

SRGF]DV JG\ SUDZG]LZD ZDUWRü Z\NáDGQLND Lapunowa dla

odwzorowania logistycznego wynosi 0,693. W przypadku procesów

VWRFKDVW\F]Q\FK ORJDU\WP\ UHGQLFK RGOHJáRFL PLHG]\ GZRPD VWDQDPL

LWHUDFMD Q

OQ

n

LWHUDFMD Q

OQ

δ

n

Identyfikacja chaosu determnistycznego...

317

XNáDGDM VL Z]GáX* NU]\ZHM ORJDU\WPLF]QHM F]HJR SU]\NáDGHP MHVW U\VXQHN
dla procesu autoregresyjnego.

5\VXQHN /RJDU\WP UHGQLFK RGOHJáRFL PLG]\ GZRPD VWDQDPL Z NROHMQ\FK

iteracjach n dla procesu AR(4). (Wymiar zanurzenia p jest równy 3).

4. Identyfikacja chaosu deterministycznego w polskich szeregach

finansowych

2

3LHUZV]\P V]HUHJLHP NWyU\ Z SUH]HQWRZDQHM SUDF\ SRGGDQR DQDOL]LH E\á

G]LHQQ\ NXUV :,* RG OLSFD GR VW\F]QLD VNáDGDMF\ VL ]
obserwacji.

5\VXQHN /RJDU\WP UHGQLFK RGOHJáRFL PLG]\ GZRPD SRF]WNRZ\PL VWDQDPL Z

kolejnych iteracjach n dla dziennego kursu WIG. Wymiar zanurzenia p jest
równy odpowiednio 2 i 5.

2

.RG (UyGáRZ\ GR REOLF]DQLD QDMZLNV]HJR Z\NáDGQLND /DSXQRZD ]RVWDá QDSLVDQ\

Z M]\NX 9LVXDO %DVLF QD SRGVWDZLH DOJRU\WPX ]DSURSRQRZDQHJR SU]H] Rosenstein i in.
(1993).

iteracja n

ln(

δ

n

)

Wymiar zanurzenia p =2

iteracja n

ln(

δ

n

)

Wymiar zanurzenia p =5

iteracja n

ln(

δ

n

)

Jacek Kwiatkowski, Witold Orzeszko

318

5\VXQHN SU]HGVWDZLD ORJDU\WP UHGQLFK RGOHJáRFL PLG]\ GZRPD

VVLHGQLPL VWDQDPL Z n-tej iteracji. Wymiar zanurzenia p jest równy
RGSRZLHGQLR L QDWRPLDVW RSy(QLHQLH F]DVRZH Z\QRVL MHGHQ

(

)

1

=

j

.

.ROHMQ\P EDGDQ\P V]HUHJLHP E\á UHGQL NXUV GRODUD 1%3 RG PDMD GR

NRFD VNáDGDMF\ VL ] REVHUZacji. Rysunek 6 przedstawia logarytm

UHGQLFK RGOHJáRFL PLG]\ GZRPD SRF]WNRZ\PL VWDQDPL Z NROHMQ\FK

LWHUDFMDFK GOD UHGQLHJR NXUVX GRODUD 1%3

5\VXQHN /RJDU\WP UHGQLFK RGOHJáRFL PLG]\ GZRPD SRF]WNRZ\PL VWDQDPL Z

NROHMQ\FK LWHUDFMDFK GOD UHGQLHJR G]LHQQHJR NXUVX GRODUD 1%3 RG PDMD

GR NRFD REVHUZacji)

RSy(QLHQLH F]DVRZH Z\QRVL

jeden;

1

=

j

).

$QDOL]XMF U\VXQNL L PR*QD VWZLHUG]Lü *H ]DUyZQR GOD NXUVX :,* MDN L

GOD G]LHQQHJR UHGQLHJR NXUVX GRODUD 1%3 Z\VWSXMH EUDN Z\UD(QHM ]DOH*QRFL

OLQLRZHM PLG]\ ORJDU\WPHP UHGQLFK RGOHJáRFL VVLHGQLFK VWDQyZ D OLF]E

LWHUDFML :VSyáU]GQH SXQNWyZ XNáDGDM VL Z]GáX* NU]\ZHM ORJDU\WPLF]QHM

SU]HF]F W\P VDP\P KLSRWH]LH *H EDGDQH ]MDZLVND V JHQHURZDQH SU]H]

FKDRW\F]QH XNáDG\ G\QDPLF]QH

=DNRF]HQLH

: SUH]HQWRZDQHM SUDF\ SU]HGVWDZLRQR SRGVWDZRZH SRMFLD ]ZL]DQH ]

FKDRVHP Z GHWHUPLQLVW\F]Q\FK XNáDGDFK G\QDPLF]Q\FK 2JyOQLH FKDRV
deterministyczny dotyczy zjawisk generowanych przez deterministyczne

UHJXá\ NWyU\FK EXU]OLZ\ SU]HELHJ MHVW ]DSU]HF]HQLHP UHJXODUQRFL L SRU]GNX

D Z NRQVHNZHQFML PR*H JHQHURZDü ZyQLNL Z\JOGDMFH QD ORVRZH FKRü WDNLPL

Z SUDNW\FH QLH V 'RW\FKF]DV EUDN MHGQR]QDF]QHM GHILQLFML FKDRVX

GHWHUPLQLVW\F]QHJR 3RVLDGD RQ MHGQDN SHZQH ZáDVQRFL NWyUH PRJ VáX*\ü GR

MHJR LGHQW\ILNDFML PLQ QLHOLQLRZRü IXQNFML

f

ZUD*OLZRü V\VWHPX QD ]PLDQ

Wymiar zanurzenia p =2

iteracja n

ln(

δ

n

)

Wymiar zanurzenia p =5

iteracja n

ln(

δ

n

)

Identyfikacja chaosu determnistycznego...

319

ZDUXQNyZ SRF]WNRZ\FK QLHSU]HZLG\ZDOQRü F]\ WZRU]HQLH W]Z G]LZQ\FK

DWUDNWRUyZ 3RGVWDZRZ PLDU EDGDQLD ZUD*OLZRFL V\VWHPX QD ]PLDQ

ZDUXQNyZ SRF]WNRZ\FK MHVW Z\NáDGQLN Lapunowa. Istnienie przynajmniej

MHGQHJR GRGDWQLHJR Z\NáDGQLND /DSXQRZD R]QDF]D *H RGOHJáRü GZyFK

VVLHGQLFK RUELW Z NROHMQ\FK LWHUDFMDFK URQLH Z\NáDGQLF]R 7\P VDP\P QDZHW

QLHZLHOND ]PLDQD ZDUXQNyZ SRF]WNRZ\FK SRZRGXMH ]QDF]QH Uy*QLFH Z

QDVWSQ\FK LWHUDFMDFK : SUDF\ SRGGDQR DQDOL]LH G]LHQQ\ NXUV :,* RG OLSFD

GR VW\F]QLD VNáDGDMF\ VL ] REVHUZDFML RUD] G]LHQQ\ UHGQL

NXUV GRODUD 1%3 RG PDMD GR NRFD REVHUZDFML =DUyZQR GOD

SLHUZV]HJR DQDOL]RZDQHJR V]HUHJX MDN L GUXJLHJR EUDN Z\UD(Q\FK SU]HVáDQHN

*H RGOHJáRü VVLHGQLFK RUELW ZUD] ]H Z]URVWHP OLF]E\ LWHUDFML ]PLHQLD VL

Z\NáDGQLF]R 7\P VDP\P QD SRGVWDZLH X]\VNDQ\FK Z\QLNyZ PR*QD

SU]\SXV]F]Dü *H NXUV :,* RUD] GRODUD 1%3 MHVW SURFHVHP ORVRZ\P

Literatura

Barnett, W.A, Gallant, A.R., Hinich, M.J., Jungeilges, J.A., Kaplan, D.T., Jensen, M.J.

(1997), A single-blind controlled competition among tests for nonlineararity and
chaos, maszynopis.

Bask, M. (1998), Esseys on exchange rates: deterministic chaos and technical analysis,

maszynopis.

Brock, W.A. (1986), Distinguishing random and deterministic systems: abridged

version, Journal of Economic Theory, 40, 168-195.

El-Gamal, M.A. (1991), Non-parametric estimation of determinitically chaotic systems,

Economic Theory, 2 (4), 437-445.

Frank, M., Stengos, T. (1988) Chaotic dynamics in economic time series, Journal of

Economic Surveys, 2 (2), 103-133.

Frank, M., Gencay, R., Stengos, T. (1988), International chaos?, European Economic

Review, 32 (8), 1569-1584.

Hsieh, D.A. (1991), Chaos and nonlinear dynamics: application to financial markets,

Journal of Finance, (5), 1839-1877.

Kudrewicz, J. (1993), Fraktale i chaos, Wydawnictwo Naukowo Techniczne,

Warszawa.

Orzeszko, W. (2000),

7HRULD FKDRVX Z DQDOL]LH U\QNyZ NDSLWDáRZ\FK QD SU]\NáDG]LH

WGPW, praca magisterska napisana pod kierunkiem prof. dr hab. J. Stawickiego.

80. 7RUX

Peters, E.E. (1996),

7HRULD FKDRVX D U\QNL NDSLWDáRZH, WIG-Press, Warszawa.

Rosenstein, M.T., Collins, J.J., De Luca, C.J. (1993), A practical method for calculating

largest Lyapunov exponents from small data sets, Physica D, 65, 117-134.

Scheinkman, J., LeBaron, B. (1989), Nonlinear dynamics and stock returns, Journal of

Business, 62, 311-337.

Takens, F. (1985) Distinguishing deterministic and random systems, (G.Borenblatt, G.

Iooss and D. Joseph, Eds), w Nonlinear Dynamics and Turbulence, Pitman,
Boston.

Jacek Kwiatkowski, Witold Orzeszko

320

Willey, T. (1992), Testing for nonlinear dependence in daily stock indices, Journal of

Economics and Business, 44 (1), 63-76.

Wolf, A. Swift, J.B., Swinney, H.L., Vastano, J.A. (1985), Determining Lyapunov

exponents from a time series, Physica D, 16, 285-317.

Zawadzki, H. (1996), Chaotyczne systemy dynamiczne, Wydawnictwo Akademii

Ekonomicznej im. Karola Adamieckiego, Katowice.

Zeng, X., Pielke, R.A., Eykholt, R. (1992), Extracting Lyapunov exponents from short

time series of low precision, Modern Physics Letters B, 6, 55-75.