Matematyka A, kolokwium dodatkowe, 26 maja 2008, 17:30 — 19:30

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne

osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-

sza

,

cego, jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n

elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusz-

nik´ow serca.

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach. Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

1. Znale´z´c ca lki:

R

2x

3

sin x

2

dx ,

R

π

−π

2x

3

sin x

2

dx ,

R

arcsin 1

0

2x

3

sin x

2

dx .

2. Znale´z´c pole obszaru ograniczonego wykresami y = cos x i y = sin x oraz prostymi piono-

wymi x = 0 i x =

π

4

.

3. Znale´z´c ´srodek masy jednorodnego obszaru ograniczonego wykresami y = cos x i y = sin x

oraz prostymi pionowymi x = 0 i x =

π

4

.

4. Znale´z´c d lugo´s´c wykresu funkcji y = cosh x okre´slonej na przedziale [0, ln 2] .

Przypominam, ˙ze cosh x =

1
2

(e

x

+ e

−x

) , sinh x =

1
2

(e

x

− e

−x

) oraz ˙ze zachodzi r´owno´s´c:

cosh

2

x − sinh

2

x = 1 .

5. Rozstrzygna

,

´c czy liczba

R

π

0

1

√

x

cos xdx jest dodatnia, czy ujemna.