Algebra z geometri ¾

a analityczn ¾

a A - MAP 1140

Algebra z geometri ¾

a analityczn ¾

a B - MAP 1141

Lista zada´

n na rok akademicki 2009/2010

Opracowa÷

: Zbigniew Skoczylas

Wyra·

zenia algebraiczne. Indukcja matematyczna

Studenci wydzia÷

ów W2, W4 oraz W7 opracowuj ¾

a ten materia÷samodzielnie.

1. Obliczy´c lub upro´sci´c wyra·

zenia:

a)

3

5

3

4

3

8

;

b)

12

5

4

4

3

6

; c)

(

a

2

b

3

)

4

(a

4

b

2

)

3

;

d)

x

2

y

4

z

3

x

3

y

5

z

3

:

2. Obliczy´c:

a)

q

7

1
9

;

b)

3

q

2

10
27

;

c)

4

q

5

1

16

:

3. Podane wyra·

zenia zapisa´c w postaci pot ¾

egi 2:

a)

4

5

p

8;

b)

p

2

3

p

2;

c)

4

p

2

16

;

d)

3

q

32

p

2

:

4. Wy÷¾

aczy´c czynnik spod znaku pierwiastka:

a)

p

72;

b)

3

p

250;

c)

4

p

162;

d)

p

3x

4

;

e)

3

p

16a

9

;

f)

4

p

4a

4

b

8

:

5. Wykona´c wskazane dzia÷

ania:

a) (u + v)

2

(u

v)

2

;

b)

x

2

+y

2

y

2x : (x

2

y

2

) ;

c)

h

a

3

b

3

a

2

b

2

(a + b)

i

a

b

+ 1 ;

d)

a c

a

2

+ac+c

2

a

3

b

3

a

2

b bc

2

:

6. Podane u÷

amki uwolni´c od niewymierno´sci w mianowniku:

a)

2

p

3

; b)

6

4

p

2

;

c)

11

5

p

3

;

d)

p

3

p

2

p

3+

p

2

;

e)

5

3

p

2+1

:

7. Wskaza´c wi ¾

eksz ¾

a z liczb w´sród podanych par:

a)

2

13

; 4

7

;

b)

p

12

p

11;

p

13

p

12;

c)

9

20

; 27

13

:

8. Upro´sci´c wyra·

zenia:

a)

x

3

8

x

2

4

;

b)

a

3

+27b

3

a

5

+243b

5

;

c)

x

4

+2x

2

y

2

+y

4

x

6

+y

6

;

d)

x

2

1

1

p

x

;

e)

(a b)

5

(b a)

3

:

9. Za pomoc ¾

a indukcji matematycznej uzasadni´c, ·

ze dla ka·

zdej liczby naturalnej n zachodz ¾

a to·

zsamo´sci:

a)

1 + 3 + : : : + (2n

1) = n

2

;

b)

1

1 2

+

1

2 3

+ : : : +

1

n(n+1)

=

n

n+1

;

c)

1 + 3 + : : : + 3

n 1

=

1
2

(3

n

1) ;

d)

1

3

+ 2

3

+ : : : + n

3

=

h

n(n+1)

2

i

2

:

10. Metod ¾

a indukcji matematycznej uzasadni´c nierówno´sci:

a)

2

n

> n

2

dla n

> 5;

b)

1

1

2

+

1

2

2

+ : : : +

1

n

2

6 2

1

n

dla n 2 N;

c)

n! > 2

n

dla n

> 4;

d)

(1 + x)

n

> 1 + nx dla x > 1 oraz n 2 N (nierówno´s´c Bernoulliego);

e)

n! <

n

2

n

dla n

> 6:

1

11. Pokaza´c, ·

ze dla ka·

zdej liczby naturalnej n liczba:

a)

n

5

n

jest podzielna przez 5;

b)

8

n

+ 6

jest podzielna przez 7:

12. *Uzasadni´c, ·

ze n prostych mo·

ze podzieli´c p÷

aszczyzn ¾

e na maksymalnie

n(n+1)

2

+ 1

obszarów.

13. Zastosowa´c wzór dwumianowy Newtona do wyra·

ze´n:

a)

(2x + y)

4

;

b)

(c

1)

7

;

c)

x +

1

x

3

5

;

d)

(

p

u +

4

p

v)

8

:

14. Korzystaj ¾

ac ze wzoru dwumianowego Newtona obliczy´c sumy:

a)

n

P

k=0

n
k

;

b)

n

P

k=0

n
k

2

k

;

c)

n

P

k=0

n
k

( 1)

k

:

15. a) W rozwini ¾

eciu dwumianowym wyra·

zenia a

3

+

1

a

2

15

znale´z´c wspó÷

czynnik stoj ¾

acy przy a

5

;

b)

W rozwini ¾

eciu dwumianowym wyra·

zenia

4

p

x

5

3

x

3

7

znale´z´c wspó÷

czynnik stoj ¾

acy przy

4

p

x:

Geometria analityczna na p÷

aszczy´znie. Krzywe sto·

zkowe

Studenci wydzia÷

ów W2, W4 oraz W7 opracowuj ¾

a ten materia÷samodzielnie.

16. Niech ~

a

= ( 2; 3) ; ~

b

= (1; 4) :

Wyznaczy´c wektor ~

u

= 3~

a

2~

b

:

17. Trójk ¾

at jest rozpi ¾

ety na wektorach ~

a

;~

b

:

Wyrazi´c ´srodkowe tego trójk ¾

ata przez wektory ~

a

; ~

b

:

18. Niech ~

a

;~

b

b ¾

ed ¾

a wektorami wodz ¾

acymi odpowiednio punktów A; B oraz niech punkt P dzieli

odcinek AB w stosunku 2 : 3: Znale´z´c wektor wodz ¾

acy punktu P:

19. Za pomoc ¾

a rachunku wektorowego pokaza´c, ·

ze ´srodki boków dowolnego czworok ¾

ata tworz ¾

a wierz-

cho÷

ki równoleg÷

oboku.

20. Wyznaczy´c k ¾

at, jaki tworz ¾

a wektory ~

u

= (1;

2) ; ~

v

= (6; 3)

.

21. Równoleg÷

obok jest rozpi ¾

ety na wektorach ~

a

= ( 3; 4) ;~

b

= (1; 2)

. Wyznaczy´c k ¾

at ostry mi ¾

edzy

przek ¾

atnymi tego równoleg÷

oboku.

22. D÷

ugo´sci wektorów ~

a

;~

b

wynosz ¾

a odpowiednio 3; 5: Ponadto znamy ich iloczyn skalarny ~

a ~

b

=

2:

Obliczy´c ~

p

~

q

;

gdzie ~

p

= ~

a

~

b

; ~

q

= 2~

a

+ 3~

b

:

23. Pokaza´c, ·

ze czworok ¾

at o wierzcho÷

kach A = (0; 0) ; B = (5; 2) ; C = (3; 7) ; D = ( 2; 5) jest

kwadratem.

24. Wyznaczy´c równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = (1; 3) i tworzy k ¾

at 120

o

z dodatni ¾

a

cz ¾

e´sci ¾

a osi Ox:

25. Napisa´c równanie prostej przechodz ¾

acej przez punkty P

1

= (2; 3) ; P

2

= ( 3; 7) :

26. Znale´z´c miejsca przeci ¾

ecia prostej

x = 4

2t;

y =

6 + t;

gdzie t 2 R;

z osiami uk÷

adu wspó÷

rz ¾

ednych. Czy punkt P = (4; 7) nale·

zy do tej prostej?

2

27. Znale´z´c równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = ( 1; 2) i jest

a)

równoleg÷

a do prostej 3x

y + 2 = 0;

b)

prostopad÷

a do prostej x + y = 0:

28. Dla jakiej warto´sci parametru m; odleg÷

o´s´c punktów P = (1; 0) i Q = (m + 3;

2)

jest równa 4?

29. Wyznaczy´c odleg÷

o´s´c punktu P

0

= ( 4; 1)

od prostej l o równaniu 3x + 4y + 12 = 0:

30. Znale´z´c odleg÷

o´s´c prostych równoleg÷

ych l

1

; l

2

o równaniach odpowiednio x

2y = 0;

3x + 6y

15 = 0:

31. Obliczy´c wysoko´s´c trójk ¾

ata o wierzcho÷

kach A = (0; 0) ; B = ( 1; 3) ; C = (2; 5) opuszczon ¾

a z

wierzcho÷

ka C:

32. *Znale´z´c równania dwusiecznych k ¾

atów wyznaczonych przez proste o równaniach 3x + 4y

2 =

0; 4x

3y + 5 = 0:

33. Napisa´c równanie okr ¾

egu, którego ´srednic ¾

a jest odcinek o ko´ncach A = ( 1; 3), B = (5; 7) :

34. Wyznaczy´c wspó÷

rz ¾

edne ´srodka i promie´n okr ¾

egu x

2

4x + y

2

+ 6y + 2 = 0:

35. Znale´z´c równanie okr ¾

egu opisanego na trójk ¾

acie ABC o wierzcho÷

kach A = (0; 0), B = (8; 0),

C = (0; 6)

.

36. Znale´z´c równanie okr ¾

egu, który przechodzi przez punkty P = (3; 4), Q = (5; 2) i ma ´srodek na osi

Ox

.

37. Wyznaczy´c równanie okr ¾

egu, który jest styczny do obu osi uk÷

adu wspó÷

rz ¾

ednych oraz przechodzi

przez punkt A = (5; 8): Ile rozwi ¾

aza´n ma zadanie?

38. Znale´z´c równanie stycznej okr ¾

egu x

2

+ y

2

= 25

:

a)

w punkcie ( 3; 4);

b)

przechodz ¾

acej przez punkt ( 5; 10);

c)

równoleg÷

ej do prostej x

y

4 = 0;

d)

prostopad÷

ej do prostej x + 2y = 0:

39. Wyznaczy´c osie, wspó÷

rz ¾

edne ognisk oraz mimo´sród elipsy

x

2

16

+

y

2

9

= 1:

40. Punkty F

1

= ( 5; 0) ; F

2

= (5; 0)

s ¾

a ogniskami elipsy. Znale´z´c równanie tej elipsy, je·

zeli widomo,

·

ze jednym z jej wierzcho÷

ków jest punkt W = (0;

3)

41. Naszkicowa´c elips ¾

e o równaniu 4x

2

8x + 9y

2

+ 36y + 4 = 0:

42. Wyznaczy´c osie, wspó÷

rz ¾

edne ognisk oraz równania asymptot hiperboli

x

2

144

y

2

25

= 1:

43. Narysowa´c hiperbol ¾

e wraz z jej asymptot ¾

a

(y + 5)

2

16

(x

2)

2

9

= 1:

3

44. Wyznaczy´c wspó÷

rz ¾

edne ogniska, wierzcho÷

ka oraz poda´c równanie kierownicy paraboli o równa-

niu: a) y

2

= 12x;

b)

y = x

2

+ 6x:

45. Napisa´c równanie paraboli, której:

a)

kierownic ¾

a jest prosta y =

2;

a punkt W = ( 1; 6) - wierzcho÷

kiem;

b)

kierownic ¾

a jest prosta x = 1; a punkt W = (5; 1) - wierzcho÷

kiem.

Macierze

46. Dla podanych par macierzy A; B wykona´c (je´sli to jest mo·

zliwe) wskazane dzia÷

ania 3A

1
2

B; A

T

;

AB; BA; A

2

:

a)

A =

1

4

2 0

; B =

0

6

8

2

;

b)

A = 1

3 2 ; B = 2

4 0 ;

c)

A =

2

6

6

4

1
0
3
0

3

7

7

5 ; B =

2 1 0 5 ;

d)

A =

2

4

1

0

1

2

1

4

3 0

2

3

5 ; B =

2

4

2 0

4

1

0

3

3

5 :

47. Rozwi ¾

aza´c równanie macierzowe

3

0

@

2

4

1

0

3 3

2

5

3

5 X

1

A = X+

2

4

4

3

0

6

1 2

3

5 :

48. Znale´z´c niewiadome x; y; z spe÷

niaj ¾

ace równanie

2

x + 2 y + 3

3

0

=

3 6
y z

T

:

49. Poda´c przyk÷

ady macierzy kwadratowych A; B; które spe÷

niaj ¾

a podane warunki:

a)

AB

6= BA;

b)

AB = 0;

ale A 6= 0; B 6= 0;

c)

A

2

= 0;

ale A 6= 0:

50. Uzasadni´c, ·

ze iloczyn:

a)

macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierz ¾

a diagonaln ¾

a;

b)

iloczyn macierzy trójk ¾

atnych dolnych tego samego stopnia jest macierz ¾

a trójk ¾

atn ¾

a doln ¾

a.

51. Pokaza´c, ·

ze ka·

zd ¾

a macierz kwadratow ¾

a mo·

zna przedstawi´c jednoznacznie jako sum ¾

e macierzy

symetrycznej A

T

= A

i antysymetrycznej A

T

=

A

. Napisa´c to przedstawienie dla macierzy

B =

2

6

6

4

0

1

4

2

3 5

2

8

2

4

3

4

6

0

0

1

3

7

7

5 :

52. Macierze kwadratowe A; B s ¾

a przemienne, tzn. spe÷

niaj ¾

a równo´s´c AB = BA: Pokaza´c, to·

zsamo´sci:

a)

(A

B) (A + B) = A

2

B

2

;

b) (BA)

2

= A

2

B

2

;

c) A

2

B

3

= B

3

A

2

:

4

53. Dla podanych macierzy A obliczy´c A

n

dla kilka pocz ¾

atkowych warto´sci n; nast ¾

epnie wysun ¾

a´c

hipotez ¾

e o postaci tych pot ¾

eg i uzasadni´c j ¾

a za pomoc ¾

a indukcji matematycznej:

a)

A =

2

4

1

0

0

0

2 0

0

0

3

3

5 ; b) A =

2

4

2 0 2
0 2 0
2 0 2

3

5 ; c*) A =

2

4

1 1 0
0 1 1
0 0 1

3

5 :

54. W zbiorze macierzy rzeczywistych znale´z´c wszystkie rozwi ¾

azania podanych równa´n:

a)

X

2

=

4 0
0 9

;

b)

X

2

=

0 0
0 0

c)

X

2

=

0 1
1 0

:

Wyznaczniki

55. Napisa´c rozwini ¾

ecia Laplace’a podanych wyznaczników wg wskazanych kolum lub wierszy (nie

oblicza´c wyznaczników w otrzymanych rozwini ¾

eciach):

a)

1 4

3

3 1

0

2

5

2

;

trzecia kolumna;

b)

1

4

3

7

2 4

2

0

5

4

1

6

2

0

0

3

;

czwarty wiersz.

56. Obliczy´c podane wyznaczniki:

a)

2

5

3

7

;

b)

1

1

2

3

2

4

2

2

1

;

c)

2

0

0

0

3

3 5

7

4

0

1

4

5

0

2

2

:

57. Korzystaj ¾

ac z w÷

asno´sci wyznaczników uzasadni´c, ·

ze podane macierze s ¾

a osobliwe:

a)

2

4

2

4

4

1

2

2

3

5

6

3

5 ; b)

2

4

1 2 3
4 4 4
3 2 1

3

5 ;

c)

2

6

6

4

1 5 2

2

7 5 2

5

5 7 4

4

3 3 0

3

3

7

7

5 :

58. Jakie s ¾

a mo·

zliwe warto´sci wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n spe÷

niaj ¾

acej podane

warunki:

a) A

3

= 4A

dla n = 3; 4;

b) A

T

=

A

2

dla n = 3; 4 ?

59. Obliczy´c wyznaczniki podanych macierzy:

a)

2

6

6

6

6

4

1 2 3 4 5

2 2

3 4 5

3 3 3 4 5

4 4 4 4

5

5 5 5 5 5

3

7

7

7

7

5

;

b)

2

6

6

6

6

4

2

1

0

0

0

0

2

1

0

0

0

0

2

1

0

0

0

0

2

1

1

0

0

0

2

3

7

7

7

7

5

;

c)

2

6

6

6

6

6

4

5 3

0 : : : 0

2 5 3

: : : 0

0 2 5 : : : 0

..

.

..

.

..

.

. .. 3

0 0 0 : : : 5

3

7

7

7

7

7

5

:

60. *Uzasadni´c, ·

ze niezale·

znie od liczb ukrytych pod znakiem zapytania, podany wyznacznik jest

równy 0

? ?

?

? ?

? 0 0 0 ?
? 0 0 0 ?
? 0 0 0 ?
? ?

?

? ?

:

Macierz odwrotna i uk÷

ady równa´

n liniowych

5

61. Korzystaj ¾

ac z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej wyznaczy´c macierze odwrotne do po-

danych:

a)

A =

2 5
3 8

;

b)

A =

2

4

1

0

0

3

1

0

2

5

1

3

5 ; c)

2

6

6

4

0 1 0 0
2 0 0 0
0 0 0 3
0 0 4 0

3

7

7

5 :

62. Korzystaj ¾

ac z metody do÷¾

aczonej macierzy jednostkowej znale´z´c macierze odwrotne do podanych:

a)

A =

1

2

3

1

;

b)

A =

2

4

1

4

12

0

2

0

0

2

6

3

5 ; c) A =

2

6

6

4

1

0

1 0

4

1

0

0

0

2

1

3

0

0

0

1

3

7

7

5 :

63. Znale´z´c rozwi ¾

azania podanych równa´n macierzowych:

a)

3 5
1 2

X =

0

3

1

4

2 0

;

b)

2

4

1 2

0

1 1

1

2 6

1

3

5 X =

2

4

3

1
4

3

5 ;

c)

X

2

4

2 0 3

1

1 1

3 0 4

3

5 =

2

4

0 0 1
0 1 2
1 2 3

3

5 ;

d)

2 1
3 2

X

3

2

5

3

=

2 8
0 5

:

64. Korzystaj ¾

ac ze wzorów Cramera wyznaczy´c wskazan ¾

a niewiadom ¾

a z podanych uk÷

adów równa´n

liniowych:

a)

2x

y

= 0

3x + 2y = 5

;

niewiadoma y;

b)

8

<

:

x

+ y + 2z =

1

2x

y + 2z =

4

4x + y + 4z =

2

;

niewiadoma x;

c)

8

>

>

<

>

>

:

2x + 3y + 11z + 5t =

2

x

+

y

+

5z

+ 2t =

1

2x +

y

+

3z

+ 2t =

3

x

+

y

+

3z

+ 4t =

3

;

niewiadoma z:

65. Metod ¾

a eliminacji Gaussa rozwi ¾

aza´c podane uk÷

ady równa´n:

a)

2x

y

= 0

3x + 2y = 5

;

b)

8

<

:

x

+ y + 2z =

1

2x

y + 2z =

4

4x + y + 4z =

2

;

c)

8

>

>

<

>

>

:

3x

2y

5z +

t

=

3

2x

3y +

z

+ 5t =

3

x

+ 2y

4t =

3

x

y

4z + 9t =

22

:

66. a) Znale´z´c równanie prostej, która przechodzi przez punkty (1; 4) ; (2; 3) :

b)

Znale´z´c trójmian kwadratowy, który przechodzi przez punkty ( 1; 2) ; (0; 1) ; (2; 4) :

6

c)

Wyznaczy´c wspó÷

czynniki a; b; c funkcji y = a2

x

+b3

x

+c4

x

;

która w punktach

1; 0; 1

przyjmuje

odpowiednio warto´sci

3
4

; 1; 1:

d)

Funkcja y (x) = A cos 2x + B sin 2x spe÷

nia równanie ró·

zniczkowe y

00

6y

0

+ 13y = 25 sin 2x:

Wyznaczy´c wspó÷

czynniki A; B:

67. a) Dla jakich warto´sci parametru m; podany uk÷

ad jednorodny ma niezerowe rozwi ¾

azanie

8

<

:

mx + y +

2z

= 0

2x

y + mz = 0

mx + y +

4z

= 0

?

b)

Dla jakich warto´sci parametrów a; b; c; d; podany uk÷

ad równa´n liniowych jest sprzeczny

8

>

>

<

>

>

:

x + y

= a

z + t = b

x

+ z

= c

y

+ t = d

?

c)

Znale´z´c wszystkie warto´sci parametru p; dla których podany uk÷

ad równa´n liniowych ma tylko

jedno rozwi ¾

azanie

8

<

:

x

+ 2y

3z =

1

2x

py +

z

=

3

2x +

y

pz =

5

:

68. a*) Rozwi ¾

aza´c uk÷

ad równa´n

8

<

:

1
x

2
y

+

3
z

=

1

3
x

+

4
y

+

6
z

=

7

1
x

8
y

3
z

=

4

:

b*)

Znale´z´c dodatnie rozwi ¾

azania uk÷

adu równa´n

8

<

:

xy

2

z

3

= 2

x

2

y

3

z

4

= 4

x

2

yz

= 2

:

Geometria analityczna w

R

3

69. a) Dla jakich warto´sci parametrów p; q wektory ~

a

= (1

p; 3;

1) ;

~

b

= ( 2; 4

q; 2)

s ¾

a

równoleg÷

e?

b) Dla jakich warto´sci parametru s wektory ~

p

= (s; 2; 1

s) ; ~

q

= (s; 1;

2)

s ¾

a prostopad÷

e?

70. Obliczy´c iloczyn skalarny i wektorowy wektorów ~

a

= (1;

2; 5) ; ~

b

= (2;

3;

1) :

71. Znale´z´c wersor, który jest prostopad÷

y do wektorów ~

u

= (1; 1; 0) ; ~

v

= (0; 1; 1) :

72. Wyznaczy´c cosinus k ¾

ata mi ¾

edzy wektorami ~

p

= (0; 3; 4) ; ~

q

= (2; 1;

2) :

73. a) Obliczy´c pole równoleg÷

oboku rozpi ¾

etego na wektorach ~

u

= ( 1; 2; 5) ; ~

v

= (0; 3; 2) :

b)

Obliczy´c pole trójk ¾

ata o wierzcho÷

kach A = (0; 0; 1) ; B = (3; 0; 0) ; C = (0;

5; 0) :

74. a) Obliczy´c obj ¾

eto´s´c równoleg÷

o´scianu rozpi ¾

etego na wektorach: ~

a

= (1; 2; 3) ; ~

b

= (0; 4; 1) ; ~

c

=

( 1; 0; 2) :

b)

Obliczy´c obj ¾

eto´s´c czworo´scianu o wierzcho÷

kach: A = (1; 1; 1) ; B = (1; 2; 3) ; C = (0; 4; 1) ; D =

(2; 2; 2) :

75. Znale´z´c równania normalne i parametryczne p÷

aszczyzny przechodz ¾

acej przez punkty:

P = (1;

1; 0) ; Q = (2; 5; 7) ; R = (0; 0; 1) :

7

76. a) P÷

aszczyzn ¾

e

: x + 2y

z

3 = 0

zapisa´c w postaci parametrycznej.

b)

P÷

aszczyzn ¾

e

:

8

<

:

x =

1 + s + t;

y =

2

s

2t;

z =

3 + 3s

t

przekszta÷

ci´c do postaci normalnej.

77. Znale´z´c równanie parametryczne i kraw¾

edziowe prostej:

a)

przechodz ¾

acej przez punkty A = ( 3; 4; 1) ; B = (0; 2; 1) :

b)

przechodz ¾

acej przez punkt P = (3;

1; 2)

i przecinaj ¾

acej prostopade o´s Oy:

78. a) Prost ¾

a l :

x + y

3

= 0

y + z

1 = 0

zapisa´c w postaci parametrycznej.

b) Prost ¾

a l : x = 3; y = 2

2t; z = t

zapisa´c w postaci kraw¾

edziowej.

79. Wyznaczy´c punkt przeci ¾

ecia:

a)

prostej l : x = t; y = 1

2t; z =

3 + 2t

oraz p÷

aszczyny

: 3x

y

2z

5 = 0;

b)

p÷

aszczyzn

1

: x + 2y

z

5 = 0;

2

: x + 2y + 2 = 0;

3

: x + y + z = 0;

c)

prostych l

1

: x = 1

t; y = 1; z =

3 + 2t; l

2

: x = s; y = 3

2s; z = 2

5s:

80. Obliczy´c odleg÷

o´s´c:

a)

punktu P = (0; 1;

2)

od p÷

aszczyzny

: 3x

4y + 12z

1 = 0;

b)

p÷

aszczyzn równoleg÷

ych

1

: x

2y + 2z

3 = 0;

2

:

2x + 4y

4z + 18 = 0;

c)

punktu P = (2;

5; 1)

od prostej l : x = t; y = 1

2t; z =

3 + 2t;

d)

prostych równoleg÷

ych

l

1

:

x + y + z

3

= 0

x

2y

z

1 = 0

; l

2

:

x + y + z

3

= 0

x

2y

z + 4 = 0

;

e)

prostych sko´snych l

1

: x = 1

t; y = 1; z =

3 + 2t; l

2

: x = s; y = 3

2s; z = 1

5s:

81. Wyznaczy´c rzut prostopad÷

y punktu P = (1;

2; 0)

na:

a)

p÷

aszczyzn ¾

e

: x + y + 3z

5 = 0;

b)

prost ¾

a l : x = 1

t; y = 2t; z = 3t:

82. Obliczy´c k ¾

at mi ¾

edzy:

a)

p÷

aszczyznami

1

: x

y + 3z = 0;

2

:

2x + y

z + 5 = 0;

b)

prost ¾

a l :

x + y + z

3

= 0

x

2y

z

1 = 0

i p÷

aszczyzn ¾

a

: x + y = 0;

c)

prostymi l

1

: x =

t; y = 1 + 2t; z =

3; l

2

: x = 0; y =

2s; z = 2 + s:

Liczby zespolone

83. Obliczy´c:

a)

(2

5i) + 3 + i

p

2 ;

b)

(7 + 6i)

(8

3i) ; c)

(4

i) (3 + 4i) ;

d)

1+i

6 5i

;

e)

i

11

;

f )

( 1 + 2i);

g)

( 3i);

h)

(3 + 4i)

2

;

i)

(2 + i)

3

:

84. Porównuj ¾

ac cz ¾

e´sci rzeczywiste i urojone obu stron podanych równa´n znale´z´c ich rozwi ¾

azania:

a)

z = (2

i)z; b) z

2

+ 4 = 0; c) (1 + 3i) z + (2

5i) z = 2i

3; d*) z

3

= 1:

8

85. Na p÷

aszczy´znie zespolonej narysowa´c zbiory liczb zespolonych spe÷

ni ¾

acych podane warunki:

a)

Re (z + 1) = Im (2z

4i) ; b) Re (z

2

) = 0;

c)

Im (z

2

)

6 8; d) Re

1
z

> Im (iz) :

86. Uzasadni´c to·

zsamo´sci:

a)

jzj = jzj ; b) z z = jzj

2

;

c)

jz

n

j = jzj

n

;

gdzie z 2 C oraz n 2 N:

87. Obliczy´c modu÷

y podanych liczb zespolonych:

a)

3;

b)

5

12i;

c)

p

11 + i

p

5; d)

3+4i
4 3i

; e) (1 + 2i) (i

3) ; f ) (1 + 2i)

8

;

g)

(sin 4

i cos 4 ) ;

gdzie

2 R; h) (ctg

+ i) ;

gdzie

6= n ; n 2 N:

88. Korzystaj ¾

ac z interpretacji geometrycznej modu÷

u ró·

znicy liczb zespolonych wyznaczy´c i narysowa´c

zbiory liczb zespolonych spe÷

niaj ¾

acych podane warunki:

a)

jz

2 + 3i

j < 4; b) jz + 5ij > 3; c) jz

1

j = j1 + 5i

z

j ; d) jz + 3ij < jz

1

4i

j ;

e)

jiz + 5

2i

j < j1 + ij ; f)

z 3i

z

> 1; g)

z

2

+4

z 2i

6 1; h) jz

2

+ 2iz

1

j < 9:

89. Wyznaczy´c argumenty g÷

ówne podanych liczb zespolonych (w razie potrzeby wykorzysta´c kalku-

lator):

a)

55;

b)

;

c)

p

2

2

i; d)

1
3

i; e) 3 + 3

p

3i;

f )

2 + 2i;

g)

1 + 3i;

h)

2

2

p

3i:

90. Podane liczby zespolone przedstawi´c w postaci trygonometrycznej:

a)

2;

b)

10 + 10i;

c)

1
2

+ i

p

3

2

;

d)

i;

e)

p

7

i

p

7;

f )

3

i

p

27:

91. Na p÷

aszczy´znie zespolonej narysowa´c zbiory liczb zespolonych spe÷

niaj ¾

acych podane warunki:

a)

arg (z) = ;

b)

6

< arg (z

i)

6

3

;

c)

2

< arg (iz) < ;

d)

arg ( z) =

4

;

e)

0 < arg (z)

6

2

3

;

f )

3

4

6 arg

1
z

6

3

2

:

92. Korzystaj ¾

ac ze wzoru de Moivre’a obliczy´c:

a)

(1

i)

11

;

b)

1
2

+ i

p

3

2

8

;

c)

2i

p

12

9

;

d)

5

p

2

i

5

p

2

10

:

93. Wyznaczy´c i narysowa´c na p÷

aszczy´znie zespolonej elementy podanych pierwiastków:

a)

4

p

16;

b)

3

p

8i;

c)

3

p

2

2i;

d)

6

p

1:

94. W zbiorze liczb zespolonych rozwi ¾

aza´c podane równania:

a)

z

2

2z + 10 = 0;

b)

z

2

+ 3iz + 4 = 0;

c)

z

4

+ 5z

2

+ 4 = 0;

d)

z

2

+ (1

3i) z

2

i = 0;

e)

z

6

= (1

i)

6

;

f )

(z

i)

4

= (z + 1)

4

:

Wielomiany

95. Dla podanych par wielomianów rzeczywistych lub zespolonych obliczy´c 3P

Q; P Q; P

2

:

a)

P (x) = x

2

3x + 2;

Q (x) = x

4

1;

b)

P (z) = z

2

1 + 4i;

Q (z) = z

3

+ (1

i) z

2

+ 5:

96. Obliczy´c iloraz wielomianu P przez Q oraz poda´c reszt ¾

e z tego dzielenia, je·

zeli:

a)

P (x) = x

4

3x

3

2x

2

+ 11x

15; Q (x) = x

3

2x + 5;

b)

P (x) = x

4

+ x + 16; Q (x) = x

2

3x + 4;

c)

P (z) = z

3

+ iz + 1; Q (z) = z

2

i:

97. Znale´z´c wszystkie pierwiastki ca÷

kowite podanych wielomianów:

a)

x

3

+ 3x

2

4;

b)

x

4

2x

3

+ x

2

8x

12;

c)

x

4

x

2

2:

9

98. Znale´z´c wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów:

a)

6x

3

5x

2

2x + 1;

b)

3x

3

2x

2

+ 3x

2;

c)

6x

4

+ 7x

2

+ 2:

99. Wyznaczy´c pierwiastki rzeczywiste lub zespolone wraz z krotno´sciami podanych wielomianów:

a)

(x

1) (x + 2)

3

;

b)

(2x + 6)

2

(1

4x)

5

;

c)

(z

2

1) (z

2

+ 1)

3

(z

2

+ 9)

4

:

100. Nie wykonuj ¾

ac dziele´n wyznaczy´c reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q; je·

zeli:

a)

P (x) = x

8

+ 3x

5

+ x

2

+ 4; Q (x) = x

2

1;

b)

P (x) = x

2007

+ 3x + 2008; Q (x) = x

2

+ 1;

c*)

P (x) = x

2006

+ x

1002

1; Q (x) = x

4

+ 1;

d*) P (x) = x

444

+ x

111

+ x

1; Q (x) = (x

2

+ 1)

2

:

101. Pokaza´c, ·

ze je·

zeli liczba zespolona z

1

jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego P , to liczba z

1

tak·

ze jest pierwiastkiem wielomianu P .

Korzystaj ¾

ac z tego faktu znale´z´c pozosta÷

e pierwiastki

zespolone wielomianu P (x) = x

4

4x

3

+12x

2

16x+15

wiedz ¾

ac, ·

ze jednym z nich jest x

1

= 1+2i:

102. Podane wielomiany roz÷

o·

zy´c na nierozk÷

adalne czynniki rzeczywiste:

a) x

3

27;

b) x

4

+ 16;

c) x

4

+ x

2

+ 4;

d*) x

6

+ 1:

103. Podane funkcje wymierne roz÷

o·

zy´c na rzeczywiste u÷

amki proste:

a)

2x+5

x

2

x 2

;

b)

x+9

x(x+3)

2

;

c)

3x

2

+4x+3

x

3

x

2

+4x 4

;

d)

x

3

2x

2

7x+6

x

4

+10x

2

+9

:

Przestrze´

n liniowa

R

n

Materia÷przenaczony tylko dla studentów wydzia÷

ów W2, W4 oraz W7

104. Niech ~

a

= (1;

1;

2; 3) ; ~

b

= (5; 4; 2; 0)

b ¾

ed ¾

a wektorami w przestrzeni liniowej R

4

:

Wyznaczy´c wektory ~

x

oraz ~

y

;

je·

zeli:

a)

~

x

= 2~

a

~

b

;

b)

~

a

~

x

= ~

b

+ 2~

x

;

c)

~

x

~

y

= ~

a

;

3~

x

+ 2~

y

= ~

b

:

105. Sprawdzi´c, czy podane zbiory s ¾

a podprzestrzeniami odpowiednich przestrzeni R

n

:

a)

A = (x; y)

2 R

2

: xy

> 0 ; R

2

;

b)

B = (x; y; z)

2 R

3

: x + y

z = 0 ; R

3

;

c)

C = (x

1

; x

2

; x

3

; x

4

)

2 R

4

: x

1

= 2x

2

= 3x

3

= 4x

4

; R

4

;

d)

D = (x

1

; x

2

; x

3

; x

4

; x

5

)

2 R

4

: x

1

= 0; x

2

= x

3

; x

5

= 0 ; R

5

;

e)

E = (x; y; z)

2 R

2

: x

2y = 0; y

3z = 0; z

4x = 0 ; R

3

:

106. We wskazanej przestrzeni liniowej zbada´c liniow ¾

a niezale·

zno´s´c podanych uk÷

adów wektorów:

a)

R

3

; ~

a

1

= (2; 3; 0) ; ~

a

2

= ( 1; 0;

1) ; ~

a

3

= (0; 1; 4) ;

b)

R

3

; ~

b

1

= (1; 2; 3) ; ~

b

2

= (3; 2; 1) ; ~

b

3

= (1; 1; 1) ;

c)

R

4

; ~

c

1

= (1; 0; 0; 0) ; ~

c

2

= ( 1; 1; 0; 0) ; ~

c

3

= (1;

1; 1; 0) ; ~

c

4

= ( 1; 1;

1; 1) ;

d)

R

5

; ~

d

1

= (1; 2; 3; 4; 5) ; ~

d

2

= (5; 4; 3; 2; 1) ; ~

d

3

= (1; 0; 1; 0; 1) ;

e)

R

n

; ~

e

1

= (1; 0; 0; : : : ; 0) ; ~

e

2

= (0; 2; 0; : : : ; 0) ; ~

e

3

= (0; 0; 3; : : : ; 0) ; : : : ; ~

e

n

= (0; 0; 0; : : : ; n) :

10

107. a) Pokaza´c, ·

ze je·

zeli wektory ~

a

;~

b

; ~

c

s ¾

a liniowo niezale·

zne w przestrzeni liniowej R

n

;

to wektory

2~

a

; ~

a

+ ~

b

; ~

b

5~

c

tak·

ze s ¾

a liniowo niezale·

zne. Czy wektory ~

a

~

b

; ~

b

~

c

; ~

c

~

a

s ¾

a liniowo

niezale·

zne?

b)

Wektory ~

u

; ~

v

; ~

w

s ¾

a liniowo zale·

zne

w przestrzeni liniowej R

n

:

Czy wektory ~

u

~

v

; ~

u

; ~

w

~

v

tak·

ze s ¾

a liniowo zale·

zne

?

c)

Wektory ~

a

; ~

a

+ ~

b

; ~

a

+ ~

b

+ ~

c

s ¾

a liniowo niezale·

zne w przestrzeni liniowej R

n

:

Pokaza´c, ·

ze

wektory ~

a

;~

b

; ~

c

s ¾

a tak·

ze liniowo niezale·

zne.

108. Pokaza´c, ·

ze uk÷

ad wektorów w przestrzeni liniowej R

n

;

który zawiera:

a)

wektor zerowy,

b)

dwa jednakowe wektory,

c)

wektory ~

a

; ~

b

oraz ~

a

~

b;

jest liniowo zale·

zny.

109. Poda´c interpretacj ¾

e geometryczn ¾

a podanych zbiorów we wskazanej przestrzeni:

a)

linf( 1; 3)g w R

2

;

b)

linf(1; 0; 0) ; (1; 1; 0) ; (1; 1; 1)g w R

3

;

c)

linf(1; 1; 2) ; (4; 1; 1) ; (2; 3; 5)g w R

3

;

d*)

linf(1; 1; 0; 0) ; (0; 0; 1; 1) ; (1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 0; 1)g w R

4

;

e*)

lin (1; 0; 0; : : : ; 0) ; (0;

1; 0; : : : ; 1) ; (0; 0; 1; : : : ; 0) ; : : : ; 0; 0; 0; : : : ; ( 1)

n+1

w R

n

:

110. Czy w przestrzeni R

4

zachodzi równo´s´c

lin f(1; 2; 3; 5) ; (2; 3; 4; 6) ; (1; 4; 1; 1)g = lin f(0; 0; 3; 4) ; (2; 5; 0; 0) ; ( 1; 1; 1; 1)g ?

111. Zbada´c, czy podane uk÷

ady wektorów s ¾

a bazami wskazanych przestrzeni liniowych R

n

:

a)

f(1; 2; 0) ; ( 1; 0; 3) ; (0; 2; 3)g ; R

3

;

b)

f(1; 0; 0; 0) ; (1; 1; 0; 0) ; (1; 1; 1; 0) ; (1; 1; 1; 1)g ; R

4

;

c)

f(1; 1; 0; 2) ; (1; 0; 3; 0) ; (0; 1; 3; 0) ; (0; 0; 0; 1)g ; R

4

;

d)

f(1; 1; 0; 0; 0) ; (0; 2; 2; 0; 0) ; (0; 0; 3; 3; 0) ; (0; 0; 0; 4; 4)g ; R

5

;

e)

f(0; 1; 0; 1; 0) ; ( 1; 0; 1; 0; 1) ; (0; 0; 0; 1; 1) ; (1; 1; 1; 1; 1) ; (1; 1; 1; 1; 1)g ; R

5

:

112. Podane uk÷

ady wektorów uzupe÷

ni´c do baz wskazanych przestrzeni:

a)

f(1; 2; 4) ; (2; 0; 1)g ; R

3

;

b)

f(1; 2; 3; 4) ; (1; 0; 0; 1) ; (0; 1; 0; 0)g ; R

4

;

c)

f(0; 1; 0; 2) ; (4; 1; 1; 3)g ; R

4

;

d)

f(1; 1; 0; 0; 0) ; (0; 0; 0; 3; 3) ; (0; 2; 2; 0; 0)g ; R

5

;

e)

f(1; 0; 0; 0; 1) ; (0; 0; 0; 0; 4) ; (0; 1; 1; 0; 0) ; (0; 0; 0; 1; 1)g ; R

5

:

113. Pokaza´c, ·

ze je·

zeli wektory ~

b

1

;~

b

2

;~

b

3

;~

b

4

tworz ¾

a baz ¾

e przestrzeni R

4

;

to wektory

~

u

1

= ~

b

1

+ ~

b

2

; ~

u

2

= ~

b

1

+ ~

b

3

; ~

u

3

= ~

b

1

+ ~

b

4

; ~

u

4

= ~

b

3

+ ~

b

4

tak·

ze tworz ¾

a baz ¾

e tej przestrzeni.

11

114. Znale´z´c bazy i wymiary podanych podprzestrzeni:

a)

A = (x; y; z)

2 R

3

: 3x + 2y

z = 0 ;

b)

B = (x; y; z; t)

2 R

4

: x = 2y =

t ;

c)

C = (u; v; x; y; z)

2 R

5

: u + v = 0; x + y + x = 0 ;

d)

D = (u; v; w; x; y; z)

2 R

6

: u + v = 0; x + y + z = 0; x

u + y

v + z = 0 :

115. Wyznaczy´c wspó÷

rz ¾

edne podanych wektorów we wskazanych bazach:

a)

~

a

= (2; 3) ;

B = f( 1; 1) ; (0; 1)g

R

2

;

b) ~

b

= (1; 2; 3) ;

B = f(1; 1; 1) ; (2; 2; 0) ; (3; 0; 0)g

R

3

;

c)

~

c

= (1; 0; 2; 0) ;

B = f(1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 0; 1) ; ( 1; 0; 1; 0) ; (1; 2; 3; 4)g

R

4

;

d) ~

d

= (5; 4; 3; 2; 1) ;

B = f(1; 1; 1; 1; 1) ; ( 1; 1; 1; 1; 0) ; (1; 1; 1; 0; 0) ; ( 1; 1; 0; 0; 0) ; (1; 0; 0; 0; 0)g

R

5

:

116. Wyznaczy´c rz ¾

edy podanych macierzy (wskaza´c niezerowy minor najwi ¾

ekszego stopnia):

a)

A =

2

1 3

6

4

2 6

12

;

b)

B =

2

4

1 1
2 2
3 3

3

5 ;

c)

C =

2

4

6

2

4

3

1

2

12 4

8

3

5 :

117. Doprowadzaj ¾

ac podane macierze do postaci schodkowej wyznaczy´c ich rz ¾

edy:

a)

A =

2

4

10 11 12
21 22 23
32 33 34

3

5 ; b) B =

2

6

6

4

2

1

11

2

1

0

4

1

11

2

56

5

2

1

5

6

3

7

7

5 ;

c) C =

2

6

6

6

6

4

1 0 0

1

4

0 1 0

2

5

0 0 1

2

6

1 2 3 14 32
4 5 6 32 77

3

7

7

7

7

5

:

118. Zbada´c rz ¾

edy podanych macierzy w zale·

zno´sci o parametru p :

a)

A =

p 8
2 p

;

b)

B =

p 4

1 2

1 3

p 1

;

c)

C =

2

4

p

1

1

2 2p

2

3

3

3p

3

5 ; d) D =

2

4

1

p

1 2

2

1

p

5

1

10

6 1

3

5 :

119. a) Poda´c przyk÷

ad uk÷

adu 2 równa´n liniowych z 5 niewiadomymi, który nie ma rozwi ¾

aza´n.

b)

Poda´c przyk÷

ad uk÷

adu 5 równa´n liniowych z 3 niewiadomymi, który na tylko jedno rozwi ¾

azanie.

c)

Poda´c przyk÷

ad uk÷

adu 3 równa´n liniowych z 4 niewiadomymi, który ma niesko´nczenie wiele

rozwi ¾

aza´n zale·

znych od 2 parametrów.

d)

Poda´c przyk÷

ad uk÷

adu 4 równa´n z 2 niewiadomymi, który ma niesko´nczenie wiele rozwi ¾

aza´n

zale·

znych od 2 parametrów.

120. Niech n oznacza liczb ¾

e niewiadomych w uk÷

adzie równa´n liniowych Ax = b: Poda´c liczb ¾

e rozwi ¾

aza´n

oraz liczb ¾

e parametrów, je·

zeli:

a)

n = 5;

rz(A) = 3; rz(Ajb) = 3;

b)

n = 2;

rz(A) = 1; rz(Ajb) = 2;

c)

n = 4;

rz(A) = 4; rz(Ajb) = 4;

d)

n = 3;

rz(A) = 0; rz(Ajb) = 0:

12

121. Korzystaj ¾

ac z twierdzenia Kroneckera-Capellego ustali´c liczb ¾

e rozwi ¾

aza´n oraz liczb ¾

e parametrów

dla podanych uk÷

adów równa´n liniowych:

a)

8

<

:

x

3y + 2z =

1

5x

7y

=

1

3x

y

4z =

3

;

b)

8

>

>

<

>

>

:

x

+

y

+

z

= 1

2x

+ 2y +

2z

= 2

x + 3y +

7z

= 0

2x

6y

14z = 0

;

c)

8

<

:

x

+

2y

+

z

+

3t

=

4

3x +

6y

+ 5z + 10t =

0

5x + 10y + 7z + 17t = 23

;

d)

8

<

:

x

1

2x

2

+ 3x

3

= 3

2x

1

4x

2

+ 7x

3

2x

4

+ 3x

5

= 4

x

3

+ 2x

4

3x

5

= 2

:

Uwaga. Nie rozwi ¾

azywa´c tych uk÷

adów.

122. a) Poda´c interpretacj ¾

e geometryczn ¾

a rozwi ¾

aza´n uk÷

adu dwóch równa´n liniowych z dwiema

niewiadomymi w zale·

zno´sci od rz ¾

edu macierzy g÷

ównej i rozszerzonej.

b)

Poda´c interpretacj ¾

e geometryczn ¾

a rozwi ¾

aza´n uk÷

adu trzech równa´n liniowych z trzema

niewiadomymi w zale·

zno´sci od rz ¾

edu macierzy g÷

ównej i rozszerzonej.

123. Wyznaczy´c przestrzenie rozwi ¾

aza´n podanych uk÷

adów równa´n liniowych jednorodnych:

a)

x

+

y

+ 0z = 0

5x + 5y + 0z = 0

;

b)

8

<

:

x

1

2x

2

+

3x

3

= 0

3x

1

6x

2

+ 11x

3

4x

4

+ 6x

5

= 0

x

3

+ 2x

4

3x

5

= 0

:

Przekszta÷

cenia liniowe

F : R

n

! R

m

Materia÷przenaczony tylko dla studentów wydzia÷

ów W2, W4 oraz W7

124. Zbada´c, czy podane przekszta÷

cenia s ¾

a liniowe:

a)

F : R

2

! R

1

; F (x

1;

x

2

) = x

1

3x

2

;

b)

F : R

2

! R

2

; F (x; y) = (

jx + yj ; jx

y

j) ;

c)

F : R

3

! R

3

; F (x; y; z) = ( x; 5x + y; y

2z) ;

d)

F : R

1

! R

4

; F (x) = (0; x; 0;

3x) ;

e)

F : R

4

! R

2

; F (x

1

; x

2

; x

3

; x

4

) = (x

1

x

2

; x

3

x

4

) ;

f )

F : R

3

! R

5

; F (u; v; w) = (u;

4v; u + 2v; w; u

3w) :

125. Korzystaj ¾

ac z interpretacji geometrycznej podanych przekszta÷

ce´n liniowych znale´z´c ich j ¾

adra i

obrazy:

a)

L : R

2

! R

2

;

obrót o k ¾

at

=

3

wokó÷pocz ¾

atku uk÷

adu.

b)

L : R

2

! R

2

;

rzut prostok ¾

atny na prost ¾

a x + y = 0:

c)

L : R

3

! R

3

;

symetria wzgl ¾

edem p÷

aszczyzny y = z:

d)

L : R

3

! R

3

;

obrót wokó÷osi Oy o k ¾

at

2

:

13

126. Wyznaczy´c j ¾

adra i obrazy podanych przekszta÷

ce´n liniowych:

a)

F : R

2

! R

1

; F (x

1;

x

2

) = x

1

3x

2

;

b)

F : R

2

! R

2

; F (x; y) = (x + y; 2x + 2y) ;

c)

F : R

3

! R

3

; F (x; y; z) = ( x; 5x + y; y

2z) ;

d)

F : R

1

! R

4

; F (x) = (0; x; 0;

x) :

127. Znale´z´c macierze podanych przekszta÷

ce´n liniowych F : R

n

! R

m

we wskazanych bazach

B

0

oraz B

00

odpowiednio przestrzeni R

n

oraz R

m

:

a)

F (x; y) = (x; y; x

y) ;

B

0

=

f(1; 0) ; (1; 1)g ; B

00

=

f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; ( 1; 1; 1)g ;

b)

F (x; y) = (y; 0; x; 0) ;

B

0

=

f(1; 1) ; (0; 2)g ; B

00

=

f(1; 0; 0; 0) ; (1; 1; 0; 0) ; (1; 1; 1; 0) ; (1; 1; 1; 1)g ;

c)

F (x; y; z) = x + y

3z;

B

0

=

f(1; 0; 2) ; (0; 1; 1) ; (0; 0; 1)g ; B

00

-standardowa;

d)

F (x; y; z; t) = (x + y + z + t; y

t; z

x) ;

B

0

-standardowa, B

00

-standardowa.

128. a) Uzasadni´c, ·

ze obrót na p÷

aszczy´znie R

2

wokó÷pocz ¾

atku uk÷

adu wspó÷

rz ¾

ednych o kat ' jest

przekszta÷

ceniem liniowym. Znale´z´c macierz tego obrotu w bazach standardowych.

b)

Pokaza´c, ·

ze obrót w przestrzeni R

3

wokó÷osi Ox uk÷

adu wspó÷

rz ¾

ednych o kat

jest przeksz-

ta÷

ceniem liniowym. Znale´z´c macierz tego obrotu w bazach standardowych.

129. Korzystaj ¾

ac z de…nicji wyznaczy´c wektory i warto´sci w÷

asne podanych przekszta÷

ce´n liniowych:

a) Symetria wzgledem osi Ox w przestrzeni R

2

;

b) Obrót wokó÷osi Oy o k ¾

at

6

w przestrzeni R

3

;

c) Symetria wzgl ¾

edem p÷

aszczyzny xOz w przestrzeni R

3

;

d) Rzut prostok ¾

atny na o´s Oz w przestrzeni R

3

:

130. Wyznaczy´c wektory i warto´sci w÷

asne podanych macierzy:

a)

A =

1 2
1 2

;

b)

B =

2

4

4

5 2

5

7 3

6

9 4

3

5 ;

c)

C =

2

6

6

4

1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 1

3

7

7

5 ; d) D =

2

6

6

4

3

1 0

0

1

1

0

0

3

0

5

3

4

1 3

1

3

7

7

5 :

131. Sprawdzi´c, ·

ze podane macierze spe÷

niaj ¾

a swoje równania charakterystyczne:

a)

A =

1

0

0

3

;

b)

B =

2

4

1 0 1
0 1 0
1 0 1

3

5 :

14