!#"%$&'

Przypomnijmy, ˙ze argument iloczynu dwu liczb zespolonych r´

owny jest sumie

argument´

ow sk ladnik´

ow. Jest to w lasno´s´c przypominaja

(

ce nieco logarytm (logarytm

iloczynu to suma logarytm´

ow czynnik´

ow). Logarytm to wyk ladnik pote

(

gi. Zdefiniu-

jemy teraz pote

(

ge

(

o podstawie e .

Definicja 12.1 (pote

(

gi o wyk ladniku zespolonym)

e

z

= e

x

+iy

= e

x

cos y+i sin y) dla dowolnej liczby zespolonej z = x+iy , x, y ∈

)

.

Czytelnik mo˙ze uzna´c te

(

definicje

(

za dziwna

(

. Zauwa˙zmy jednak, ˙ze rozszerza ona

definicje

(

pote

(

gi o wyk ladniku rzeczywistym. e

πi

= e

0

cos π+i sin π

= −1 , e

ln 2+πi

=

e

ln 2

cos π + i sin π

= −2 , e

ln 3+2πi

= e

ln 3

cos 2π + i sin 2π

= 3 . Przyk lady mo˙zna

mno˙zy´c.

Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze je´sli z = x + iy , w = u + iv ( x, y, u, v ∈

)

), to

e

z

+w

= e

(x+u)+i(y+v)

= e

x

+u

cos(y + v) + i sin(y + v)

=

= e

x

e

u

cos y +i sin y

cos v +i sin v

= e

x

cos y +i sin y

e

u

cos v +i sin v

= e

z

e

w

.

Widzimy wie

(

c, ˙ze w la´snie zdefiniowanej pote

(

dze liczby e przys luguje podstawowa

w lasno´s´c pote

(

g. Definicja pote

(

gi by la stopniowo rozszerzana: najpierw uczniowie po-

znaja

(

pote

(

gi o wyk ladnikach naturalnych, potem o ca lkowitych ujemnych, potem o

dowolnych wymiernych. Pote

(

ga o wyk ladniku rzeczywistym jest okre´slana tak, by

zachowa´c monotoniczno´s´c i r´

owno´s´c e

a

+b

= e

a

e

b

. Poniewa˙z zajmujemy sie

(

liczbami

zespolonymi, wie

(

c nie mo˙zna m´

owi´c o monotoniczno´sci – w zbiorze liczb zespolonych

nie ma nier´

owno´sci. Zamiast monotoniczno´sci mo˙zna za˙za

(

da´c istnienia pochodnej w

punkcie 0 .

Twierdzenie 12.2 (charakteryzuja

(

ce funkcje

(

e

z

)

Funkcja e

z

jest jedyna

(

funkcja

(

f

:

*

−→

*

taka

(

, ˙ze spe lnione sa

(

warunki

1

◦

f

(z + w) = f (z)f (w) dla dowolnych liczb zespolonych z, w oraz

2

◦

lim

z

→0

f

(z)−f (0)

z

= 1 .

Drugi warunek wymaga wyja´snienia. M´

owimy, ˙ze lim

z

→z

0

g

(z) = G ∈

*

wtedy

i tylko wtedy, gdy

lim

|z−z

0

|→0

g

(z) − G

= 0 , w ostatnim wyra˙zeniu liczby zespolone

wyste

(

puja

(

tylko pozornie, wie

(

c to ostatnie poje

(

cie nie jest nam obce. Ta definicja jest

prostym uog´

olnieniem poje

(

cia granicy znanego z przypadku rzeczywistego — chodzi

o to, ˙ze je´sli odleg lo´s´c mie

(

dzy z i z

0

jest dostatecznie ma la, to odleg lo´s´c mie

(

dzy

warto´scia

(

g

(z) funkcji g w punkcie z i granica

(

G

te˙z jest ma la. Rozpatrywana

1

Funkcja wyk ladnicza o wyk ladniku zespolonym

granica lim

z

→0

f

(z)−f (0)

z

ma by´c pochodna

(

funkcji f w punkcie 0 . Nasza funkcja ma by´c

rozszerzeniem funkcji wyk ladniczej o podstawie e i wyk ladniku rzeczywistym, wie

(

c

jej pochodna w punkcie 0 , powinna by´c r´

owna pochodnej funkcji e

x

w punkcie 0 ,

czyli powinna by´c r´

owna 1 .

Tego, ˙ze warunki 1

◦

i 2

◦

definiuja

(

funkcje

(

wyk ladnicza

(

nie be

(

dziemy dowodzi´c.

Wcze´sniej wykazali´smy, ˙ze warunek 1

◦

jest spe lniony.

Naszkicujemy dow´

od tego, ˙ze funkcji e

z

przys luguje w lasno´s´c 2

◦

. Mo˙zna do-

wie´s´c, np. za pomoca

(

regu ly de l’Hospitala,* ˙ze lim

x

→0

e

x

−1−x

x

= 0 , lim

y

→0

cos y−1

y

= 0 i

lim

y

→0

sin y−y

y

= 0 . Niech r(x) =

e

x

−1−x

x

dla x 6= 0 i r(0) = 0 , ˆr(y) =

cos y−1

y

dla y 6= 0

i ˆ

r

(0) = 0 oraz ˜

r

(y) =

sin y−y

y

dla y 6= 0 i ˜r(0) = 0 . Mamy wie

(

c e

x

−1 = x[1+r(x)] ,

cos y − 1 = yˆr(y) oraz sin y = y[1 + ˜r(y)] . Wobec tego

e

z

−1

z

=

e

x+iy

−1

x

+iy

=

e

x

e

iy

−1

x

+iy

=

(e

x

−1)(e

iy

−1)+(e

x

−1)+(e

iy

−1)

x

+iy

=

=

x

[1+r(x)]·y[ˆ

r

(y)+i+i˜

r

(y)]+x[1+r(x)]+y[ˆ

r

(y)+i+i˜

r

(y)]

x

+iy

=

= 1 +

xy

x

+iy

[1 + r(x)][i + ˆ

r

(y) + i˜

r

(y)] +

x

x

+iy

r

(x) +

y

x

+iy

ˆ

r

(y) + i˜

r

(y)

.

Zachodza

(

r´

owno´sci lim

x

→0

r

(x) = 0 , lim

y

→0

ˆ

r

(y) = 0 oraz lim

y

→0

˜

r

(y) = 0 . Prawdziwe sa

(

te˙z

wzory

x

x

+iy

=

|x|

√

x

2

+y

2

≤ 1 ,

y

x

+iy

=

|y|

√

x

2

+y

2

≤ 1 i

xy

x

+iy

≤

√

x

2

+y

2

·

√

x

2

+y

2

√

x

2

+y

2

=

=

px

2

+ y

2

= |z| −−−→

z

→0

0 . Sta

(

d wynika, ˙ze lim

z

→0

e

z

−e

0

z

= 1 . W ten spos´

ob zako´

nczy-

li´smy dow´

od.

Z tego, ˙ze lim

z

→0

e

z

−1

z

= 1 wynika, ˙ze lim

z

→0

e

w+z

−e

w

z

= e

w

dla ka˙zdej liczby ze-

spolonej w . Zwykle te

(

ostatnia

(

r´

owno´s´c z oczywistych przyczyn zapisujemy jako

(e

w

)

0

= e

w

.

Przypomnijmy trzy wzory, kt´

ore pojawi ly sie

(

w I semestrze:

e

x

= lim

n

→∞

1+x+

x

2

2!

+

x

3

3!

+

x

4

4!

+

x

5

5!

+

x

6

6!

+· · ·+

x

n

n

!

= 1+x+

x

2

2!

+

x

3

3!

+

x

4

4!

+

x

5

5!

+

x

6

6!

+· · · ,

cos y = lim

n

→∞

1 −

y

2

2!

+

y

4

4!

−

y

6

6!

+ · · · + (−1)

n y

2n

(2n)!

= y −

y

3

3!

+

y

5

5!

−

y

7

7!

+ · · · ,

sin y = lim

n

→∞

y −

y

3

3!

+

y

5

5!

−

y

7

7!

+ · · · + (−1)

n y

2n+1

(2n+1)!

= y −

y

3

3!

+

y

5

5!

−

y

7

7!

+ · · ·

Gdyby´smy zdefiniowali warto´sci funkcji wyk ladniczej, kosinusa i sinusa argu-

mentu zespolonego za pomoca

(

tych trzech wzor´

ow, to okaza loby sie

(

, ˙ze zachodzi

r´

owno´s´c e

x

+yi

= e

x

(cos y + i sin y) , kt´

ora

(

wcze´sniej przyje

(

li´smy za definicje

(

funkcji

wyk ladniczej o podstawie e i wyk ladniku zespolonym.

Rozszerzaja

(

c wie

(

c dziedzine

(

funkcji wyk ladniczej otrzymali´smy funkcje

(

, kt´

ora

*

W la´

sciwie z definicji pochodnej i wzor´

ow (e

x

)

0

=e

x

, (cos y)

0

=− sin y , (sin y)

0

=cos y .

2

Funkcja wyk ladnicza o wyk ladniku zespolonym

z formalnego punktu widzenia ma w lasno´sci podobne do funkcji wyk ladniczej w dzie-

dzinie rzeczywistej. Sa

(

jednak istotne r´

o˙znice. Wg le

(

bia´c sie

(

w nie nie mo˙zemy z braku

miejsca i czasu, ale o jednej co´s powiemy.

Funkcja wyk ladnicza o podstawie e i wyk ladniku rzeczywistym jest ´sci´sle ro-

sna

(

ca: je´sli x

1

< x

2

, to e

x

1

< e

x

2

. Z funkcja

(

wyk ladnicza

(

e

z

jest inaczej. Mamy

e

2πi

= cos 2π + i sin 2π = 1 , zatem dla ka˙zdego z ∈

*

zachodzi r´

owno´s´c e

z

+2πi

=

e

z

e

2πi

= e

z

. Funkcja wyk ladnicza w dziedzinie zespolonej jest wie

(

c okresowa, jej

okresem jest 2πi – liczba czysto urojona.

Warto´sciami tej funkcji sa

(

wszystkie liczby zespolone (w tym rzeczywiste) z

jednym wyja

(

tkiem: 0 6= e

z

dla z ∈

*

. Wynika to natychmiast z tego, ˙ze ka˙zda

(

liczbe

(

dodatnia

(

r

= |w| mo˙zna zapisa´c w postaci e

x

, x ∈

)

. Wystarczy przyja

(

´c

x

= ln r (jest to oczywi´scie jedyny wyb´

or). Naste

(

pnie przyjmujemy y = Argw i

otrzymujemy r´

owno´s´c w = e

z

, gdzie z = x + iy = ln |w| + iArgw . Piszemy wtedy

z

= ln w jednak trzeba pamie

(

ta´c o tym, ˙ze w dziedzinie zespolonej symbol ln w mo˙ze

oznacza´c kt´

ora

(

kolwiek z niesko´

nczenie wielu liczb z , dla kt´

orych zachodzi r´

owno´s´c

w

= e

z

. Mo˙zna wie

(

c napisa´c ln(−1) = πi albo ln(−1) = −5πi itp. Logarytm´ow

zespolonych u˙zywa´c nie be

(

dziemy, natomiast w niekt´

orych przypadkach be

(

dziemy

stosowa´c pote

(

gi o podstawie e i wyk ladniku nierzeczywistym.

12. 01 Rozwia

(

za´c r´

ownanie

a. e

z

= 1 ;

b. e

z

= −1 ;

c. e

z

= i ;

d. e

z

= 10 ;

e. e

z

= e .

12. 02 Wykaza´c, ˙ze je´sli x, y ∈

)

, to

e

x

+yi

= e

x

, Arg e

x

+yi

= y .

12. 03 Wykaza´c, ˙ze istnieje liczba zespolona z

0

taka, ˙ze e

z

0

= z

0

.

Uwaga: dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x zachodzi nier´

owno´s´

c e

x

≥ 1 + x

12. 04 Niech sin z =

1

2i

(e

iz

− e

−iz

) , cos z =

1
2

(e

iz

+ e

−iz

) .

(a) Wykaza´c, ˙ze cos

2

z

+ sin

2

z

= 1 .

(b) Wykaza´c, ˙ze dla ka˙zdego w ∈

*

istnieje z ∈

*

taka, ˙ze w = sin z .

12. 05 Za l´

o˙zmy, ˙ze z

1

, z

2

, a, b

∈

*

, z

1

6= z

2

. Niech f (t) = ae

tz

1

+ be

tz

2

.Wykaza´c, ˙ze

je´sli dla ka˙zdej liczby rzeczywistej t zachodzi r´

owno´s´c f (t) = 0 , to a = 0 = b .

12. 06 Za l´

o˙zmy, ˙ze z

1

, z

2

, a

0

, a

1

, b

0

, b

1

∈

*

, z

1

6= z

2

. Zdefiniujmy funkcje

(

f

wzorem

f

(t) = a

0

+ a

1

t

e

tz

1

+ b

0

+ b

1

t

e

tz

2

.

Wykaza´c, ˙ze je´sli dla ka˙zdego t ∈

)

zachodzi r´

owno´s´c f (t) = 0 , to a

0

= a

1

=

=0 = b

0

= b

1

.

Wskaz´

owka: bez k lopotu mo˙zna rozwia

(

za´

c to zadanie bez ˙zadnych pomys l´

ow, ale

mo˙zna te˙z zauwa˙zy´

c, ˙ze je´sli f

(t) = 0 dla ka˙zdego t , to r´

ownie˙z f

0

(t)−z

1

f

(t) = 0

3

Funkcja wyk ladnicza o wyk ladniku zespolonym

dla ka˙zdego t

∈

)

.

12. 07 Za l´

o˙zmy, ˙ze z

1

, z

2

, a

0

, a

1

, a

2

, . . . , a

m

, b

0

, b

1

, b

2

, . . . , b

m

∈

*

, z

1

6= z

2

. Niech

f

(t) = a

0

+ a

1

t

+ a

2

t

2

+ · · · + a

m

t

m

e

tz

1

+ b

0

+ b

1

t

+ b

2

t

2

+ · · · + b

n

t

n

e

tz

2

.

Wykaza´c, ˙ze je´sli dla ka˙zdego t ∈

)

zachodzi f (t) = 0 , to

a

0

= a

1

= . . . = a

m

= 0 = b

0

= b

1

= . . . = b

n

.

Wskaz´

owka: rozwia

(

za´

c poprzednie zadanie i chwile

(

pomy´sle´

c.

4