www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

ÓWNANIA I NIERÓWNO ´SCI

–

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA

Zacznijmy od równania postaci:

f

(

x

) =

g

(

x

)

.

O takim równaniu mo ˙zemy my´sle´c nast˛epuj ˛

aco: rysujemy wykresy funkcji y

=

f

(

x

)

i y

=

g

(

x

)

w tym samym układzie współrz˛ednych i odczytujemy ich punkty przeci˛ecia. Powinno

by´c jasne, ˙ze pierwsze współrz˛edne tych punktów to dokładnie rozwi ˛

azania interesuj ˛

acego

nas równania (w tych punktach warto´sci obu funkcji s ˛

a równe).

Przykłady

Interpretacja geometryczna równa ´n i nierówno´sci bywa niezwykle u ˙zyteczna. Na ogół o
wiele łatwiej jest nam my´sle´c o obrazkach (wykresach), ni ˙z o własno´sciach liczb (przekształ-
ceniach równa ´n/nierówno´sci).

Ile rozwi ˛

aza ´n mo ˙ze mie´c równanie ax

+

b

=

cx

+

d?

W pierwszej chwili pytanie wydaje si˛e bez sensu, bo nic nie wiemy o parametrach

a, b, c, d. Jednak wiemy jaka jest interpretacja geometryczna tego równania: wykre-

sy obu jego stron to proste na płaszczy´znie i rozwi ˛

azania równania odpowiadaj ˛

a

punktom wspólnym tych prostych.

Ile punktów wspólnych mog ˛

a mie´c dwie proste? – mog ˛

a by´c rozł ˛

aczne, mog ˛

a prze-

cina´c si˛e w jednym punkcie, mog ˛

a si˛e pokrywa´c. Zatem to równanie mo ˙ze by´c

sprzeczne, mo ˙ze mie´c jedno rozwi ˛

azanie, mo ˙ze by´c to ˙zsamo´sci ˛

a (ka ˙zda liczba je

spełnia). Tak wi˛ec znamy do´s´c dokładn ˛

a odpowied´z, pomimo, ˙ze nic nie wiemy o

liczbach a, b, c, d. W szczególno´sci nie da si˛e tak dobra´c tych parametrów, ˙zeby rów-
nanie miało np. dokładnie dwa rozwi ˛

azania.

Oczywi´scie do takich samych wniosków mo ˙zna doj´s´c przekształcaj ˛

ac równanie, ale

interpretacja geometryczna daje nam poczucie, ˙ze naprawd˛e wiemy o co chodzi – ra-
chunkami mo ˙zemy najwy ˙zej potwierdzi´c nasze przypuszczenia.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

1

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Je ˙zeli poprzedni przykład był zbyt prosty, to zastanówmy si˛e ile rozwi ˛

aza ´n mo ˙ze

mie´c równanie

ax

+

b

=

√

x.

Tu ju ˙z rachunki nie s ˛

a takie oczywiste. Mo ˙zemy jednak my´sle´c o wykresach. Wie-

my jak wygl ˛

ada wykres funkcji y

=

√

x, jest to połowa poziomej paraboli. Wykres

lewej strony to prosta.

-1

+1

+5

+10

x

-5

-1

+1

+5

y

Je ˙zeli zaczniemy sobie szkicowa´c ró ˙zne mo ˙zliwe konfiguracje to powinno by´c ja-
sne, ˙ze wyj´sciowe równanie mo ˙ze mie´c 0,1 lub 2 rozwi ˛

azania. Nigdy nie b˛edzie

wi˛ekszej liczby rozwi ˛

aza ´n (np. 3).

Dokładne rozwi ˛

azania

Po tych optymistycznych przykładach, trzeba sobie jasno powiedzie´c, ˙ze nie da si˛e nawet z
najdokładniejszego wykresu odczyta´c dokładnego rozwi ˛

azania równania. Mo ˙zna natomiast

(czasami) z wykresu takie rozwi ˛

azanie odgadn ˛

a´c, a potem sprawdzi´c, ˙ze si˛e zgadza.

Rozwi ˛

a ˙zmy graficznie równanie x

2

+

3x

−

1

= −

x

+

4.

-10

-5

-1

+1

x

-1

+1

+5

+10

y

y=-x+4

y=x +3x-1

2

Je ˙zeli wykonamy w miar˛e dokładny rysunek wykresów funkcji y

=

x

2

+

3x

−

1

oraz y

= −

x

+

4 to wida´c, ˙ze przecinaj ˛

a si˛e w okolicach punktów

(−

5, 9

)

i

(

1, 3

)

. W

takim razie sprawdzamy, czy liczby x

= −

5 i x

=

1 rzeczywi´scie s ˛

a rozwi ˛

azaniami

wyj´sciowego równania. Gdy si˛e to zrobi, oka ˙ze si˛e, ˙ze s ˛

a.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

2

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Liczba rozwi ˛

aza ´n

O ile samo graficzne rozwi ˛

azywanie równa ´n nie jest zbyt u ˙zyteczne, to ju ˙z graficzne usta-

lenie ile rozwi ˛

aza ´n ma równanie (cz˛esto z parametrem) potrafi by´c niezwykle wygodne.

Najcz˛e´sciej wyst˛epuj ˛

aca sytuacja to równania z parametrem postaci

f

(

x

) =

m.

W takiej sytuacji rysujemy wykres funkcji y

=

f

(

x

)

i badamy ile ma on punktów wspólnych

z poziom ˛

a prost ˛

a y

=

m, w zale ˙zno´sci od warto´sci parametru m.

Ustalmy dla jakich warto´sci parametru m równanie

|

2

− |

x

−

2

|| =

m ma dokładnie

cztery rozwi ˛

azania.

Szkicujemy wykres funkcji y

= |

2

− |

x

−

2

||

: zaczynamy od wykresu y

=

x

−

2 i

cz˛e´s´c powy ˙zej osi Oy odbijamy do na dół (mamy y

= −|

x

−

2

|

). Potem otrzymany

wykres przesuwamy o dwie jednostki do góry i odbijamy cz˛e´s´c poni ˙zej osi Oy do
góry.

-5

-1

+1

+5

x

-5

-1

+1

+5

y

y=m

y=|2-|x-2||

-5

-1

+1

+5

x

-5

-1

+1

+5

y

y=-|x-2|

y=2-|x-2|

Z wykresu wida´c, ˙ze równanie b˛edzie miało 4 rozwi ˛

azania dla m

∈ (

0, 2

)

. Oczywi-

´scie jest to bardzo elegancka metoda, dla porównania spróbujcie otrzyma´c t˛e sam ˛

a

odpowied´z algebraicznie.

Nierówno´sci

Warto´s´c wykresów dramatycznie ro´snie, gdy wkraczamy w ´swiat nierówno´sci. W przypad-
ku typowych nierówno´sci postaci

f

(

x

) >

g

(

x

)

pytanie o rozwi ˛

azania to po prostu pytanie o przedziały, na których wykres funkcji y

=

f

(

x

)

jest powy ˙zej wykresu funkcji g

(

x

)

. Dokładnie z tego powodu warto nauczy´c si˛e kształtów

wykresów najcz˛e´sciej pojawiaj ˛

acych si˛e funkcji.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

3

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Rozwi ˛

a ˙zmy graficznie nierówno´s´c

1

3

x

+

3

> |

2

x

−

4

|

.

Rysujemy wykresy obu stron nierówno´sci.

-5

-1

+1

+5

x

-5

-1

+1

+5

y

y=1/3x+3

y=|2 -4|

x

Wykres lewej strony to prosta przechodz ˛

aca przez punkty

(

0, 3

)

i

(

3, 4

)

. Praw ˛

a stro-

n˛e rysujemy zaczynaj ˛

ac od wykresu funkcji y

=

2

x

, potem przesuwamy go o 4

jednostki w dół i odbijamy cz˛e´s´c poni ˙zej osi Oy do góry. Z wykresu ’zgadujemy’
punkty przeci˛ecia:

(

0, 3

)

,

(

3, 4

)

, które sprawdzamy podstawiaj ˛

ac do wzorów. Wida´c

teraz, ˙ze lewa strona jest wi˛eksza od prawej na przedziale

(

0, 3

)

.

Podzbiory płaszczyzny

Inny popularny motyw to wyznaczanie podzbiorów płaszczyzny spełniaj ˛

acych zadane wa-

runki. Mo ˙zliwe s ˛

a tu ró ˙zne konfiguracje, ale na ogół staramy si˛e sprowadzi´c podane warun-

ki do kilku równa ´n (nierówno´sci) postaci y

=

f

(

x

)

(y

>

f

(

x

)

, y

<

f

(

x

)

). Ka ˙zdy z takich

warunków wyznacza na płaszczy´znie kawałek wykresu funkcji y

=

f

(

x

)

(w przypadku

nierówno´sci obszar powy ˙zej/poni ˙zej wykresu funkcji y

=

f

(

x

)

).

Wyznaczmy zbiór punktów płaszczyzny, których współrz˛edne spełniaj ˛

a równanie

log xy

=

log y.

Ze wzgl˛edu na praw ˛

a stron˛e, musi by´c y

>

0, co w poł ˛

aczeniu z logarytmem z

lewej strony daje x

>

0. Przy tych zało ˙zeniach opuszczamy logarytmy i mamy

xy

=

y

⇐⇒

y

(

x

−

1

) =

0.

Poniewa ˙z y

>

0, otrzymujemy st ˛

ad x

=

1.

-5

-1

+1

+5

x

-5

-1

+1

+5

y

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

4

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Wyznaczmy wszystkie punkty

(

x, y

)

płaszczyzny, których współrz˛edne spełniaj ˛

a

nierówno´s´c

log

2

(

x

−

1

) >

y

> −

x

2

+

2x.

Szkicujemy wykresy obu stron nierówno´sci.

-1

+1

+5

+10

x

-5

-1

+1

+5

y

y=log (x-1)

2

y=-x +2x

2

Z obrazka widzimy, ˙ze wykresy przecinaj ˛

a si˛e w jednym punkcie

(

2, 0

)

(co spraw-

dzamy wstawiaj ˛

ac do wzorów!). Pozostało teraz zaznaczy´c obszar zawarty mi˛edzy

obydwoma wykresami.

Zadania

.info

Podoba Ci się ten poradnik?

Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!

T

IPS

& T

RICKS

1

Je ˙zeli tylko mamy pod r˛ek ˛

a jaki´s program do rysowania wykresów (lub kalkulator graficz-

ny) to zawsze warto narysowa´c sobie wykres rozwi ˛

azywanego równania/nierówno´sci (na-

wet je ˙zeli nie wymaga tego polecenie). Jest to najszybszy sposób na oswojenie si˛e ró ˙znymi
funkcjami pojawiaj ˛

acymi si˛e w zadaniach szkolnych. Jest to te ˙z najprostszy sposób spraw-

dzenia otrzymanych rozwi ˛

aza ´n.

2

Cz˛esto jest tak, ˙ze warto dane równanie/nierówno´s´c troch˛e przekształci´c zanim zaczniemy
rysowa´c wykresy.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

5

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Zbadajmy ile rozwi ˛

aza ´n ma równanie 4

−

m

=

x

2

+ |

x

|

w zale ˙zno´sci od warto´sci

parametru m.
Narysowanie prawej strony równania jest do´s´c kłopotliwe, wi˛ec zapiszmy rów-
nanie w postaci 4

−

x

2

= |

x

| +

m. Teraz jest ju ˙z łatwiej. Lewa strona to parabola

y

= −

x

2

przesuni˛eta o 4 jednostki do góry, a prawa strona to wykres funkcji y

= |

x

|

przesuni˛ety o m jednostek wzdłu ˙z osi Oy.

-5

-1

+1

+5

x

-5

-1

+1

+5

y

Gdy zrobimy rysunek to wida´c, ˙ze wykresy maja dwa punkty wspólne dla m

<

4,

jeden punkt wspólny dla m

=

4 i s ˛

a rozł ˛

aczne dla m

>

4.

3

Je ˙zeli opu´scimy ´swiat prostych i parabol to graficzne rozwi ˛

azywanie równa ´n zaczyna mie´c

charakter loterii. Nawet odczytanie liczby rozwi ˛

aza ´n mo ˙ze by´c niezwykle trudne.

Ile rozwi ˛

aza ´n ma równanie 3

x

=

x

3

?

Rysujemy wykresy funkcji y

=

3

x

i y

=

x

3

i sprawdzamy. Gor ˛

aco polecam spróbo-

wa´c to zrobi´c na komputerze lub kalkulatorze graficznym. Nawet przy do´s´c du ˙zej
precyzji wykresów bardzo trudno jest zobaczy´c ile maj ˛

a one punktów wspólnych.

-2.5

+1

+2.5

x

+2

+10

+20

y

y=x

3

y=3

x

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

6

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

No to ile rozwi ˛

aza ´n ma równanie 3

x

=

x

3

?

Jeden z problemów poprzedniego wykresu to fakt, ˙ze obie funkcje do´s´c szybko
rosn ˛

a i trudno je zmie´sci´c na wykresie. Jest na to prosta rada, wystarczy na osi

Oy wybra´c skal˛e logarytmiczn ˛

a, czyli szuka´c punktów wspólnych wykresów

y

=

log 3

x

i y

=

log x

3

(lewy wykres).

-5

-1

+1

+5

x

-5

-1

+1

+5

y

y=3 -x

x

3

+1

+2.5

+5

x

-2.5

-0.5

+0.5

+2.5

y

y=log(x )

3

y=log(3 )

x

Wida´c, ˙ze jest ju ˙z lepiej, przy odrobinie odwagi mo ˙zna ju ˙z pokusi´c si˛e o zgadni˛ecie
wyniku. Mo ˙zna jednak zrobi´c jeszcze lepiej i narysowa´c wykres funkcji y

=

3

x

−

x

3

(prawy wykres). Na nim wida´c wyra´znie, ˙ze interesuj ˛

ace nas wykresy maj ˛

a dwa

punkty wspólne.

Je ˙zeli poprzedni przykład wydawał wam si˛e dziwny, to mam dla was jeszcze dziw-
niejszy przykład. Ile punktów wspólnych maj ˛

a wykresy funkcji y

=

3

x

+

sin x i

y

=

3

x

?

Spróbujcie narysowa´c wykresy! Je ˙zeli odsuniemy si˛e chocia ˙z troch˛e od 0 (powiedz-
my dla x

>

3) to wykresy s ˛

a od siebie nieodró ˙znialne (bo warto´s´c sin x jest prak-

tycznie nieistotna przy warto´sci 3

x

). Z drugiej strony, ró ˙znica tych funkcji to sin x,

wi˛ec wykresy te maja niesko ´nczenie wiele punktów wspólnych (przecinaj ˛

a si˛e co

π

≈

3, 14).

+1

+2.5

+5

x

+4

+20

+40

y

y=3

x

y=3 +sin x

x

Spróbujcie to sobie wyobrazi´c (naszkicowa´c): dwa wypukłe wykresy (zaginaj ˛

ace si˛e

w lewo, jak 3

x

), które maj ˛

a niesko ´nczenie wiele punktów wspólnych! Pami˛etajcie,

˙ze ˙zaden z wykresów nie mo ˙ze si˛e ’odgi ˛

a´c w prawo’, bo oba s ˛

a wypukłe.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

7

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

4

Były przykłady na to, ˙ze wykresy mog ˛

a by´c myl ˛

ace, zróbmy wi˛ec te ˙z przykład pozytywny,

gdzie wykres jest jedynym sposobem na rozwi ˛

azanie równania.

Rozwi ˛

a ˙zmy równanie log

3

x

= −

x

+

4.

Radz˛e spróbowa´c rozwi ˛

aza´c to równanie, po kilku chwilach powinno by´c jasne,

˙ze si˛e nie da. A jednak si˛e da. Je ˙zeli narysujemy wykresy obu stron równania, to

wida´c, ˙ze mog ˛

a si˛e przecina´c w co najwy ˙zej jednym punkcie (bo jedna funkcja jest

rosn ˛

aca, a druga malej ˛

aca).

-1

+1

+5

+10

x

-5

-1

+1

+5

y

W dodatku, na wykresie rzuca si˛e w oczy, ˙ze przecinaj ˛

a si˛e one w okolicach x

=

3.

Sprawd´zmy czy tak jest istotnie.

log

3

3

=

1

= −

3

+

4.

No i całkowicie rozwi ˛

azali´smy wyj´sciowe równanie (pomimo, ˙ze nie jeste´smy w

stanie wyliczy´c z niego x-a).

5

Spróbujmy jeszcze odpowiedzie´c sobie na pytanie, sk ˛

ad bior ˛

a si˛e takie przykłady, które

mo ˙zna rozwi ˛

aza´c graficznie, a których nie umiemy rozwi ˛

aza´c algebraicznie? Odpowied´z

jest do´s´c prozaiczna: nie umiemy, bo za mało si˛e staramy. Dokładniej, wykresy to przemy-
cone elementy rachunku ró ˙zniczkowego i je ˙zeli tylko zacz˛eliby´smy u ˙zywa´c pochodnych, to
ka ˙zdy przykład, który umiemy zrobi´c graficznie umieliby´smy rozwi ˛

aza´c badaj ˛

ac monoto-

niczno´s´c funkcji.

Rozwi ˛

a ˙zmy jeszcze raz równanie: log

3

x

+

x

−

4

=

0. Liczymy pochodn ˛

a funkcji

f

(

x

) =

log

3

x

+

x

−

4.

f

0

(

x

) =

1

x ln 3

+

1

>

0.

Skoro pochodna jest dodatnia, to funkcja jest rosn ˛

aca. Zatem wyj´sciowe równanie

mo ˙ze mie´c co najwy ˙zej jedno rozwi ˛

azanie. Pozostaje je odgadn ˛

a´c. Nie jest takie

trudne, je ˙zeli spodziewamy si˛e ładnej odpowiedzi (co mo ˙zna wstawi´c do log

3

x,

˙zeby wyszła ładna liczba?).

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

8

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

6

Skoro ju ˙z zaw˛edrowali´smy do ´swiata pochodnych, to powiedzmy sobie wyra´znie, ˙ze ryso-
wanie wykresów funkcji na ogół jest do´s´c trudnym zadaniem i umiemy to sprawnie robi´c
tylko dla bardzo prostych funkcji. Je ˙zeli chcemy umie´c szkicowa´c bardziej skomplikowane
wykresy, to jedyna droga wiedzie przez badanie przebiegu zmienno´sci, co jest standardo-
wym zastosowaniem pochodnych.

Jak narysowa´c wykres funkcji f

(

x

) =

4

−

x

2

x

2

−

1

?

Badaj ˛

ac przebieg zmienno´sci tej funkcji mo ˙zna sprawdzi´c, ˙ze ma ona asymptot˛e

poziom ˛

a y

= −

1 oraz dwie asymptoty pionowe x

= ±

1. Ponadto jest rosn ˛

aca i

wypukła na przedziale

(−

∞,

−

1

)

, rosn ˛

aca i wkl˛esła na przedziale

(−

1, 0

i

, malej ˛

aca

i wkl˛esła na przedziale

h

0, 1

)

oraz malej ˛

aca i wypukła na przedziale

(

1,

+

∞

)

. Te

informacje pozwalaj ˛

a do´s´c dokładnie naszkicowa´c wykres funkcji f

(

x

)

.

-5

-1

+1

+5

x

-5

-1

+1

+5

y

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

9