Wyższa Szkoła Bankowa
Matematyka Finansowa (2)
Renty stałe.
Przez rentę rozumiemy ciąg regularnych wpłat lub wypłat, dokonywanych w pewnym okre-
sie czasu. Przykłady rent to regularne spłaty kredytów bankowych, czy wypłaty świadczeń
emerytalnych.
Wartość bieżąca i wartość skumulowana renty.
Wartość skumulowana renty jest to wartość końcowa wszystkich wpłat wraz z odsetkami.
Wartość bieżąca renty jest wartością początkową kapitału, jaką należy zainwestować, aby
otrzymywać daną rentę.
" Renta płatna z dołu. Rozpatrzmy rentę taką, że każda rata wynosi 1 i jest wypłacana
na koniec roku, przez kolejnych n lat. Efektywna roczna stopa procentowa jest równa i.
Wprowadzamy dla takiej renty oznaczenia:
s  warość skumulowana renty, a  wartość bieżąca renty.
n| n|
Wówczas:
1 - (1 + i)n (1 + i)n - 1
s = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + . . . + (1 + i)n-1 = =
n|
1 - (1 + i) i
1 - vn 1 - vn 1 - vn 1 - vn
a = v + v2 + v3 + . . . + vn = v � = = =
n| 1
1 - v - 1
(1 + i) - 1 i
v
Przykład. W tabelach podane są wartości skumulowane i wartości bieżące rent płatnych z
dołu, przez odpowiednio 5, 10 i 20 lat, dla wybranych stóp procentowych.
(1+i)n-1
1-vn
S = a =
n| i n| i
n i 2% 5% 10% n i 2% 5% 10%
5 5,20 5,53 6,11 5 4,71 4,33 3,79
10 10,95 12,58 15,94 10 8,98 7,72 6,14
20 24,30 33,07 57,28 20 16,35 12,46 8,51
Zatem, przy stopie procentowej 10%, po pięciu latach wpłacania na koniec roku kapitału
jednostkowego, otrzymujemy 6 zł i 11 gr, a po dziesięciu latach  15 zł i 94 gr.
Aby zapewnić sobie przez najbliższych pięć lat, przy stopie procentowej 10%, wypłaty wy-
sokości 1 na koniec roku, należy jednorazowo wpłacić 3 zł i 79 gr. Natomiast jednorazowa
wpłata wysokości 8 zł i 51 gr zapewni nam wypłaty, przy tej samej stopie procentowej, przez
najbliższe dwadzieścia lat.
1
" Renta płatna z góry. Rozpatrzmy rentę taką, że każda rata wynosi 1 i jest wypłacana
na początek roku, przez kolejnych n lat. Efektywna stopa roczna jest równa i.
Wprowadzamy dla takiej renty oznaczenia:
.. ..
s  warość skumulowana renty, a  wartość bieżąca renty.
n| n|
Mamy:
..
s = (1 + i) + (1 + i)2 + . . . + (1 + i)n = (1 + i)s
n| n|
..
a = 1 + v + v2 + v3 + . . . + vn-1 = (1 + i)a
n| n|
" Renty wieczyste. Przez rentę wieczystą rozumiemy ciąg płatności (wpłat lub wypłat)
dokonywanych w nieskończenie długim okresie czasu.
Renty wieczyste mają zastosowanie między innymi w ubezpieczeniach na życie związanych z
wypłatami świadczeń, czy przy wycenie akcji.
Wartość bieżąca renty wieczystej płatnej z dołu:
1
a = lim a = v + v2 + v3 + . . . =
"| n|
n"
i
Wartość bieżąca renty wieczystej płatnej z góry:
.. .. 1 + i
a = lim = 1 + v + v2 + vn + . . . = .
a
"| n|
n"
i
Uwaga. Zauważmy, że v " (0, 1), więc powyższe szeregi są zbieżne.
Przykład. Jakiej wysokości jednorazowa wpłata, zapewni nam dożywotnio, wypłaty wyso-
kości 10tys., na koniec każdego roku, jeżeli roczna efektywna stopa procentowa wynosi 5%.
Jest to wpłata wysokości wartości bieżącej tej renty:
10
10a = = 200 tys.
"|
1, 05
Problem 1.
W wieku 40 lat, zamierzamy przystąpić do funduszu emerytalnego, wpłacając 1200 zł na
koniec każdego roku przez 25 lat. Począwszy od 65 roku życia zamierzamy ze zgromadzonych
środków, przez 15 lat dokonywać stałych wypłat, na koniec każdego roku. Jak wysokie będą
wypłaty, jeżeli roczna efektywna stopa procentowa w całym okresie wynosi 6%?
Jakiej wysokości będą wypłaty, jeżeli będzie ich 25?
2
Rozwiązanie:
X wysokość szukanej wypłaty.
Zgromadzony kapitał przez 25 lat oszczędzania:
1200s25| = 1200 � 54, 865 = 65 838 zł.
Wartość bieżąca przyszłych wypłat:
Xa15| = 9, 7122X.
Szukaną wypłatę znajdujemy z równania:
9, 7122X = 65 838 zł
X = 6 7799 zł
Y  wysokość raty wypłacanej przez 25 lat
Wielkość Y = 5 159 zł wyznaczamy z równania: 1200s25| = Y a25|.
Problem 2.
W wieku 40 lat, zamierzamy przystąpić do funduszu emerytalnego, wpłacając 100 zł na koniec
każdego miesiąca przez 25 lat. Począwszy od 65 roku życia zamierzamy ze zgromadzonych
środków, przez 15 lat dokonywać stałych wypłat, na koniec każdego miesiąca. Jak wysokie
będą wypłaty, jeżeli roczna efektywna stopa procentowa w całym okresie wynosi 6%?
Rozwiązanie:
Efektywna stopa miesięczna j H" 0, 49% ( otrzymana z równania: (1 + j)12 = 1, 06)
Wielkość wypłaty X otrzymujemy z równania:
100S300| = Xa180|,
S300|
68 034
X = 100 = 100 �
a180| 119, 4190
X H" 570 zł,
6779
(Zauważmy, że w Problemie 1. miesięczna wypłata wynosiła: X = = 565 zł.)
12
3
Problem 3.
W wieku 40 lat, zamierzamy przystąpić do funduszu emerytalnego, wpłacając pewną stała
kwotę, na koniec każdego roku, przez 25 lat. Począwszy od 65 roku życia chcielibyśmy ze
zgromadzonych środków, przez 15 lat dokonywać stałych wypłat wysokości 12 000 zł, na
koniec każdego roku. Jak wysokie powinny być nasze wpłaty, jeżeli roczna efektywna stopa
procentowa w całym okresie wynosi 6%.
Rozwiązanie:
X wysokość szukanej wypłaty.
Xs25| = 12000a15|
a15|
9, 7122
X = 12000 = 12000
s25| 54, 865
X H" 2124 zł
(Miesięcznnie około 177 zł.)
4
Problemy 2
1. Oblicz wartość bieżącą i skumulowaną renty płatnej przez 10 lat na koniec każdego roku
(z dołu), w ratach wysokości 100 zł, przy stopie procentowej i = 5%. [772, 1258]
2. Oblicz wartość bieżącą i skumulowaną renty płatnej przez 8 lat na koniec każdego roku,
w ratach wysokości 200 zł, przy stopie procentowej i = 6%. [1242, 1980]
3. Oblicz wartość bieżącą i skumulowaną renty płatnej przez 10 lat na początek każdego
roku (z góry), w ratach wysokości 100 zł, przy stopie procentowej i = 5%. [811, 1321]
4. Oblicz wartość bieżącą i skumulowaną renty płatnej przez 8 lat na początek każdego roku,
w ratach wysokości 200 zł, przy stopie procentowej i = 6%. [1317, 2099]
5. Wartość bieżąca renty, płatnej na końcu każdego roku przez 5 lat, wynosi 3000 zł. Oblicz
wielkość raty, jeżeli i = 10%. [791]
6. Wartość bieżąca renty, płatnej na końcu każdego roku przez 6 lat, wynosi 10 000 zł. Oblicz
wielkość raty, jeżeli i = 15%. [2642]
7. Wartość bieżąca renty, płatnej na początek każdego roku przez 5 lat, wynosi 3000 zł.
Oblicz wielkość spłacanej raty, jeżeli i = 10%. [719]
8. Wartość bieżąca renty, płatnej na początek każdego roku przez 6 lat, wynosi 10 000 zł.
Oblicz wielkość spłacanej raty, jeżeli i = 15%. [2298]
9. Jednorazowa wpłata na konto banku kwoty 1000 PLN, daje możliwość uzyskania regu-
larnych wypłat po 100 PLN na koniec każdego roku tak długo, jak jest to możliwe. Ostatnia
wypłata będzie powiększona o pozostałą mniejszą płatność. Wyznacz liczbę wypłat, jeśli
i = 6%. [15]
10. Jednorazowa wpłata na konto banku kwoty 15 000 PLN, daje możliwość uzyskania
regularnych wypłat po 1000 PLN na koniec każdego roku tak długo, jak jest to możliwe.
Ostatnia wypłata będzie powiększona o pozostałą mniejszą płatność. Wyznacz liczbę wypłat,
jeśli i = 5%. [28]
11. Pracownik w wieku 40 lat zamierza przystąpić do funduszu emerytalnego wpłacając
1000 PLN na początku każdego roku przez 25 lat. Począwszy od 65 roku życia planuje dokonać
15 corocznych stałych wypłat na początku każdego roku. Wyznacz wysokość każdej wypłaty,
jeżeli efektywna stopa procentowa w całym okresie wynosi 6%. [8541]
12. Pracownik w wieku 30 lat zamierza przystąpić do funduszu emerytalnego wpłacając
1000 PLN na początku każdego roku przez 35 lat. Począwszy od 65 roku życia planuje dokonać
15 corocznych stałych wypłat na początku każdego roku. Wyznacz wysokość każdej wypłaty,
jeżeli efektywna stopa procentowa w całym okresie wynosi 8%. [20 132]
Kredyty
13. (Jak długo będzie spłacany kredyt?) Chcemy zaciągnąć kredyt wysokości 10 000 zł.
Miesięcznie jesteśmy w stanie spłacać 400 zł. Jak długo potrwa spłacanie kredytu, jeżeli
efektywna roczna stopa procentowa jest równa 12, 68%, a raty płacimy na koniec miesiąca?
[2 lata i 5 miesięcy]
14. Kredyt wysokości 8560PLN jest spłacany w równych ratach wysokości 1000PLN na
koniec roku. Oblicz na ile lat został zaciągnięty ten kredyt, jeżeli roczna stopa procentowa
jest równa i = 8%?
5
15. (Jakie będą raty kredytu?) Chcemy zaciągnąć kredyt wysokości 10 000 zł na okres pięciu
lat. Kredyt oprocentowany jest 12% w skali roku. Czy stać nas będzie na spłaty rat kredytu,
a zatem jaka będzie wielkość spłacanych rat, jeżeli raty płacimy na koniec roku? [2774]
16. Chcemy zaciągnąć kredyt wysokości 20 000 zł na okres 10 lat. Kredyt oprocentowany
jest 12% w skali roku. Jakie będą raty kredytu, jeżeli raty płacimy na koniec roku?
17. (Jakiej wysokości jest kredyt?) Sąsiad spłaca kredyt przez 3 lata w ratach miesięcznych
wysokości 300 zł. Jakiej wysokości wziął kredyt, jeżeli efektywna miesięczna stopa procentowa
wynosi 1%, a raty płacone są na koniec miesiąca? [9032]
18. Kredyt jest spłacany przez 10 lat, na koniec roku, w ratach wysokości 1000PLN. Wyznacz
wielkość tego kredytu, jeżeli stopa procentowa wynosi i = 8%. Oblicz wielkość zapłaconych
odsetek.
19. (Jakie jest oprocentowanie kredytu?) Kredyt wysokości 10 000 zł ma być spłacony przez
3 lata w ratach wysokości 4000 zł, na koniec każdego roku. Jakie jest oprocentowanie tego
kredytu? [10%]
20. Kredyt wysokości 5710PLN jest spłacany przez 4 lata, w równych ratach wysokości
2000PLN płatnych na koniec każdego roku. Jakie jest oprocentowanie tego kredytu?
21. (Jakie jest oprocentowanie kredytu?) Wysokość udzielonego kredytu wynosi 9500 zł.
Kredyt ma być spłacany przez 2 lata w ratach wysokości 500 zł, na koniec każdego miesiąca.
Jakie jest oprocentowanie tego kredytu? [26, 82%]
22. Wysokość udzielonego kredytu wynosi 10000PLN. Kredyt ma być spłacany w trzech
równych ratach wysokości 3600PLN, płatnych na koniec trzech kolejnych kwartałow. Jakie
jest oprocentowanie tego kredytu? (podaj stopę nominalną i(4) i efektywną i).
23. (Ile pozostało do spłacenia kredytu?) Kredyt jest spłacany przez 10 lat w ratach wysokości
1000 zł, na koniec każdego roku. Roczna efektywna stopa procentowa wynosi 12%.
a) Jaka jest wysokość kredytu?
b) Ile zostało do spłacenia kredytu po roku spłacania?
c) Ile zostało do spłacenia kredytu po pięciu latach spłacania?
d) Po ilu latach zostanie spłacona połowa kredytu? [5650, 5328, 3605, 6 lat]
24. Kredyt jest spłacany przez 8 lat w ratach wysokości 2400 zł, na początek każdego roku.
Roczna efektywna stopa procentowa wynosi 10%.
a) Jaka jest wysokość kredytu?
b) Ile zostało do spłacenia kredytu po dwóch latach spłacania?
c) Po ilu latach zostanie spłacona połowa kredytu?
Renty wieczyste
25. Oblicz wartość bieżącą renty wieczystej, płatnej na koniec każdego roku, w ratach
wysokości 100 zł, przy stopie i = 5%. [2 000]
26. Oblicz wartość bieżącą renty wieczystej płatnej na koniec każdego roku, w ratach wyso-
kości 100 zł, przy stopie i = 10%. [1000]
27. Oblicz wartość bieżącą renty wieczystej, płatnej na początek każdego roku, w ratach
wysokości 100 zł, przy stopie i = 5%. [2100]
28. Oblicz wartość bieżącą renty wieczystej płatnej na początek każdego roku, w ratach
wysokości 100 zł, przy stopie i = 10%. [1100]
6