M16: Pomiar współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa.
Przemysław Kołoczek.
1. Wstęp.
Ciało zanurzone w cieczy jest pokryte warstwą tej cieczy. Gdy ciało zaczyna się poruszać w
cieczy to unosi ono ze sobą warstwę płynu, który do niej przylega, a także następne jego
warstwy na skutek tarcia wewnętrznego cieczy (lepkości). Siła tarcia (F ), z jaką płyn działa
T
na przedmiot jest dana przez prawo Stokesa:
5Ø9Ü5ØGÜ = -65Øß5Øß5Ø_Ü5ØcÜ
Jeżeli kulka ma wiÄ™kszÄ… gÄ™stość (Á ) niż pÅ‚yn (Á ), to jej ruch zachodzi na skutek siÅ‚y
k p
ciężkości kulki (F ):
G
4
5Ø9Ü5Ø:Ü = 5ØZÜ5ØXÜ5ØTÜ = 5Øß5Ø_Ü35Øß5ØXÜ5ØTÜ
3
Ponadto na kulkę działa również siła wyporu (F ), dana prawem Archimedesa:
W
4
5Ø9Ü5ØJÜ = -5ØZÜ5Ø]Ü5ØTÜ = - 5Øß5Ø_Ü35Øß5Ø]Ü5ØTÜ
3
Wypadkowa siła (F), działająca na kulkę wynosi:
× × × × × × × × × × × × × × × × ×
5Ø9Ü = 5Ø9Ü5ØGÜ + 5Ø9Ü5Ø:Ü + 5Ø9Ü5ØJÜ
Rysunek 1. Siły działające na kulkę w cieczy.
W pewnym momencie kulka porusza się ruchem jednostajnym, ze stałą prędkością v na
drodze l w czasie t, a więc F = 0 oraz na podstawie Rysunku 1.:
5ØYÜ 4 4
0 = -65Øß5Øß5Ø_Ü + 5Øß5Ø_Ü35Øß5ØXÜ5ØTÜ - 5Øß5Ø_Ü35Øß5Ø]Ü5ØTÜ
5ØaÜ 3 3
Po dokonaniu odpowiednich przeksztaÅ‚ceÅ„ oraz uwzglÄ™dnieniu faktu, że Á = Á i Á = Á :
k w p o
( )
2 5Øß5ØdÜ - 5Øß5Ø\Ü 5ØTÜ5ØaÜ5Ø_Ü2
5Øß =
95ØYÜ
1
Rysunek 2. Schemat układu pomiarowego lepkości oleju.
Ponadto należy dokonać pomiaru gęstości badanej cieczy za pomocą U-rurki:
Rysunek 3. Schemat układu pomiarowego gęstości oleju.
Na granicy faz (pogrubiona linia na Rysunku 3.) zachodzi równość:
5ØZÜ5ØdÜ5ØTÜ = 5ØZÜ5Ø\Ü5ØTÜ
Ponieważ obie ciecze przyjmują kształt walca:
5Øß5ØdÜ!5ØdÜ5ØFÜ5ØTÜ = 5Øß5Ø\Ü!5Ø\Ü5ØFÜ5ØTÜ
Ostatecznie:
!5ØdÜ
5Øß5Ø\Ü = 5Øß5ØdÜ
!5Ø\Ü
2. Opis doświadczenia.
Przygotowano zestaw do pomiaru gęstości oleju parafinowego i wyznaczono położenia
granicy faz oleju i wody, menisku wody oraz menisku oleju. Odczytano temperaturÄ™ i
gęstość wody w U-rurce. Za pomocą wkraplacza uzupełniono biuretę wodą destylowaną,
zanurzono jej końcówkę w oleju na niewielką głębokość i wyregulowano szybkość
wypływu kropel. Wybrano początek i koniec drogi na podziałce cylindra wypełnionego
2
olejem i odczytano początkową objętość wody w biurecie. Następnie zmierzono czas
spadania kropli wody za pomocą stopera. Pomiary powtórzono dla kilku następnych
kropel wody. Biuretę ponownie uzupełniono wodą destylowaną i wszystkie czynności
powtórzono. Razem uzyskano 3 serie pomiarów.
3. Plan pracy.
a) Wlać do naczyń połączonych badaną ciecz i wodę. Wyznaczyć wysokość słupa cieczy
badanej, wody i granicy faz obu cieczy.
b) Wlać wodę do biurety, za pomocą kroplomierza.
c) Wybrać początek i koniec drogi kropli w cylindrze z badaną cieczą, wpuścić kroplę
wody do oleju i zmierzyć czas spadania kropli na ustalonej drodze.
d) Powtórzyć pomiary dla kilku następnych kropel.
e) Zanotować zużytą objętość wody w biurecie dla zaobserwowanej liczby kropel.
f) Ponownie uzupełnić biuretę wodą destylowaną za pomocą kroplomierza i ponownie
wykonać powyższe czynności.
4. Wyniki.
W wyniku przeprowadzonych analiz otrzymano następujące wyniki:
I seria II seria III seria
n t [s] n t [s] n t [s]
1 46,40 1 47,59 1 45,63
2 46,22 2 47,85 2 45,34
3 46,15 3 47,19 3 45,24
4 46,35 4 47,98 4 45,16
5 46,75 5 47,75 5 45,09
6 46,22 6 47,04 6 45,13
7 46,40 7 47,88 7 45,66
8 46,62 8 47,68 8 45,65
9 46,52 9 47,53 9 45,82
10 46,02 10 47,22 10 45,00
11 46,32 11 47,44 11 45,12
12 46,03 12 47,02 12 45,03
13 46,12 13 47,00 13 45,00
14 46,32 14 47,56 14 45,12
15 46,55 15 47,38 15 45,00
Przy czym:
n  numer kropli
t  czas spadku kropli
Ponadto:
! = 0,152 5ØZÜ
"! = 0,001 5ØZÜ
!5ØdÜ5ØPÜ = 0,364 5ØZÜ
"!5ØdÜ5ØPÜ = 0,001 5ØZÜ
3
!5Ø\Ü5ØPÜ = 0,397 5ØZÜ
"!5Ø\Ü5ØPÜ = 0,001 5ØZÜ
5Øß5ØdÜ = 997,044 5ØXÜ5ØTÜ/5ØZÜ3
Dla wszystkich serii pomiarowych:
5ØIÜ5ØdÜ = 0,50 5ØPÜ5ØZÜ3
"5ØIÜ5ØdÜ = 0,05 5ØPÜ5ØZÜ3
5ØYÜ = 0,3 5ØZÜ
"5ØYÜ = 0,01 5ØZÜ
5ØTÜ = 9,81 5ØZÜ/5Ø`Ü2
Znaleziono wartość lepkości oleju parafinowego:
5Øß = 0,21 5ØCÜ5ØNÜ " 5Ø`Ü
5. Opracowanie wyników.
Obliczono gęstość oleju na podstawie Rysunku 3. oraz poniższego wzoru:
!5ØdÜ ( - !
!5ØdÜ5ØPÜ )
5Øß5Ø\Ü = 5Øß5ØdÜ = 5Øß5ØdÜ
!5Ø\Ü ( - !
!5Ø\Ü5ØPÜ )
gdzie:
5Øß5Ø\Ü  gÄ™stość oleju [kg/m3],
5Øß5ØdÜ  gÄ™stość wody [kg/m3],
!5Ø\Ü  wysokość sÅ‚upa oleju [m],
!5ØdÜ  wysokość sÅ‚upa wody [m],
!5ØdÜ5ØPÜ  wysokość menisku wody [m],
!5Ø\Ü5ØPÜ  wysokość menisku oleju [m],
!  wysokość granicy faz [m].
5Øß5ØdÜ = 997,044 5ØXÜ5ØTÜ/5ØZÜ3
!5ØdÜ5ØPÜ = 0,364 5ØZÜ
!5Ø\Ü5ØPÜ = 0,397 5ØZÜ
! = 0,152 5ØZÜ
5Øß5Ø\Ü = 862,748 5ØXÜ5ØTÜ/5ØZÜ3
Obliczono niepewność gęstości oleju na podstawie wzoru:
( )
5Øß5Øß5Ø\Ü 5Øß5Øß5Ø\Ü 5Øß5Øß5Ø\Ü 25Øß5ØdÜ !5ØdÜ5ØPÜ - !
"5Øß5Ø\Ü = | "!5ØdÜ5ØPÜ| + | "!5Ø\Ü5ØPÜ| + | "!| = "!
5Øß!5ØdÜ5ØPÜ 5Øß!5Ø\Ü5ØPÜ 5Øß! ( - !
!5Ø\Ü5ØPÜ )2
oraz zależności:
"!5ØdÜ5ØPÜ = "!5Ø\Ü5ØPÜ = "!
4
gdzie:
5Øß5ØdÜ  gÄ™stość wody [kg/m3],
!5ØdÜ5ØPÜ  wysokość menisku wody [m],
!5Ø\Ü5ØPÜ  wysokość menisku oleju [m],
!  wysokość granicy faz [m],
"!5ØdÜ5ØPÜ  niepewność wysokoÅ›ci menisku wody [m],
"!5Ø\Ü5ØPÜ  niepewność wysokoÅ›ci menisku oleju [m],
"!  niepewność wysokości granicy faz [m].
5Øß5ØdÜ = 997,044 5ØXÜ5ØTÜ/5ØZÜ3
!5ØdÜ5ØPÜ = 0,364 5ØZÜ
!5Ø\Ü5ØPÜ = 0,397 5ØZÜ
! = 0,152 5ØZÜ
"! = 0,001 5ØZÜ
"5Øß5Ø\Ü = 7,043 5ØXÜ5ØTÜ/5ØZÜ3
Wynik końcowy:
( )
5Øß5Ø\Ü = 862,7 Ä… 7,0 5ØXÜ5ØTÜ/5ØZÜ3
Obliczono promień kropli wody na podstawie wzoru:
3
35ØIÜ5ØdÜ
"
5Ø_Ü =
45Øß5Ø[Ü
gdzie:
5ØIÜ5ØdÜ  objÄ™tość zużytej wody, odczytana z biurety [m3],
5Ø[Ü  liczba kropel, która wypÅ‚ynęła z biurety.
5Ø[Ü = 15
5ØIÜ5ØdÜ = 5 " 10-7 5ØZÜ3
5Ø_Ü = 5Ø_Ü1 = 5Ø_Ü2 = 5Ø_Ü3 = 0,002 5ØZÜ
Obliczono niepewność promienia kropli wody na podstawie wzoru:
3
5Øß5Ø_Ü 1
"5Ø_Ü = | "5ØIÜ5ØdÜ| = " "5ØIÜ5ØdÜ
2
5Øß5ØIÜ5ØdÜ 365Øß5Ø[Ü5ØIÜ5ØdÜ
gdzie:
5ØIÜ5ØdÜ  objÄ™tość zużytej wody, odczytana z biurety [m3],
"5ØIÜ5ØdÜ  niepewność objÄ™tość zużytej wody, odczytana z biurety [m3],
5Ø[Ü  liczba kropel, która wypÅ‚ynęła z biurety.
5
5Ø[Ü = 15
5ØIÜ5ØdÜ = 5 " 10-7 5ØZÜ3
"5ØIÜ5ØdÜ = 5 " 10-8 5ØZÜ3
"5Ø_Ü = "5Ø_Ü1 = "5Ø_Ü2 = "5Ø_Ü3 = 6,7 " 10-5 5ØZÜ
Wynik końcowy:
( )
5Ø_Ü = 2,00 Ä… 0,07 " 10-3 5ØZÜ
Obliczono średni czas spadku kropli na podstawie wzoru:
5Ø[Ü
1
5ØaÜ = " 5ØaÜ5ØVÜ
5Ø[Ü
5ØVÜ=1
5ØaÜ1 = 46,33 5Ø`Ü
5ØaÜ2 = 47,47 5Ø`Ü
5ØaÜ3 = 45,27 5Ø`Ü
Obliczono niepewność średniego czasu spadku kropli na podstawie wzoru:
5Ø[Ü
1
2
"5ØaÜ = "5ØaÜ5Ø`Ü5ØfÜ5Ø`Ü + 5Ø`Ü5ØaÜ = 0,01 + " "(5ØaÜ5ØVÜ - 5ØaÜ)
( )
5Ø[Ü 5Ø[Ü - 1
5ØVÜ=1
gdzie:
"5ØaÜ5Ø`Ü5ØfÜ5Ø`Ü  niepewność systematyczna stopera [s],
5Ø`Ü5ØaÜ  odchylenie standardowe Å›redniego czasu spadku kropli [s].
"5ØaÜ1 = 0,065 5Ø`Ü
"5ØaÜ2 = 0,094 5Ø`Ü
"5ØaÜ3 = 0,083 5Ø`Ü
Wyniki końcowe:
( )
5ØaÜ1 = 46,33 Ä… 0,07 5Ø`Ü
( )
5ØaÜ2 = 47,47 Ä… 0,09 5Ø`Ü
( )
5ØaÜ3 = 45,27 Ä… 0,08 5Ø`Ü
Obliczono lepkość oleju parafinowego na podstawie wzoru:
( )
2 5Øß5ØdÜ - 5Øß5Ø\Ü 5ØTÜ5ØaÜ5Ø_Ü2
5Øß =
95ØYÜ
6
gdzie:
5Øß5Ø\Ü  gÄ™stość oleju [kg/m3],
5Øß5ØdÜ  gÄ™stość wody [kg/m3],
5ØTÜ  przyspieszenie ziemskie [m/s2],
5ØaÜ  Å›redni czas spadku kropli [s],
5Ø_Ü  promieÅ„ kropli [m],
5ØYÜ  dÅ‚ugość drogi spadku kropli [m].
5Øß5ØdÜ = 997,044 5ØXÜ5ØTÜ/5ØZÜ3
5Øß5Ø\Ü = 862,748 5ØXÜ5ØTÜ/5ØZÜ3
5ØTÜ = 9,81 5ØZÜ/5Ø`Ü2
5Ø_Ü = 0,002 5ØZÜ
5ØYÜ = 0,3 5ØZÜ
5ØaÜ1 = 46,33 5Ø`Ü
5ØaÜ2 = 47,47 5Ø`Ü
5ØaÜ3 = 45,27 5Ø`Ü
5Øß1 = 0,180 5ØCÜ5ØNÜ " 5Ø`Ü
5Øß2 = 0,185 5ØCÜ5ØNÜ " 5Ø`Ü
5Øß3 = 0,176 5ØCÜ5ØNÜ " 5Ø`Ü
Obliczono niepewność lepkości oleju parafinowego na podstawie wzoru:
( ) ( ) ( )
4 5Øß5ØdÜ - 5Øß5Ø\Ü 5ØTÜ5ØaÜ5Ø_Ü 2 5Øß5ØdÜ - 5Øß5Ø\Ü 5ØTÜ5ØaÜ5Ø_Ü2 2 5Øß5ØdÜ - 5Øß5Ø\Ü 5ØTÜ5Ø_Ü2
"5Øß = "5Ø_Ü + "5ØYÜ + "5ØaÜ =
95ØYÜ 95ØYÜ2 95ØYÜ
( )
25ØTÜ5Ø_Ü 5Øß5ØdÜ - 5Øß5Ø\Ü (25ØYÜ5ØaÜ"5Ø_Ü + 5ØaÜ5Ø_Ü"5ØYÜ + 5ØYÜ5Ø_Ü"5ØaÜ)
=
95ØYÜ2
gdzie:
5Øß5Ø\Ü  gÄ™stość oleju [kg/m3],
5Øß5ØdÜ  gÄ™stość wody [kg/m3],
5ØTÜ  przyspieszenie ziemskie [m/s2],
5ØaÜ  Å›redni czas spadku kropli [s],
5Ø_Ü  promieÅ„ kropli [m],
5ØYÜ  dÅ‚ugość drogi spadku kropli [m],
"5Ø_Ü  niepewność promienia kropli [m],
"5ØYÜ  niepewność dÅ‚ugoÅ›ci drogi spadku kropli [m],
"5ØaÜ  niepewność Å›redniego czasu spadku kropli [s].
5Øß5ØdÜ = 997,044 5ØXÜ5ØTÜ/5ØZÜ3
5Øß5Ø\Ü = 862,748 5ØXÜ5ØTÜ/5ØZÜ3
5ØTÜ = 9,81 5ØZÜ/5Ø`Ü2
5Ø_Ü = 0,002 5ØZÜ
5ØYÜ = 0,3 5ØZÜ
"5Ø_Ü = 6,7 " 10-5 5ØZÜ
"5ØYÜ = 0,01 5ØZÜ
7
5ØaÜ1 = 46,33 5Ø`Ü
5ØaÜ2 = 47,47 5Ø`Ü
5ØaÜ3 = 45,27 5Ø`Ü
"5ØaÜ1 = 0,065 5Ø`Ü
"5ØaÜ2 = 0,094 5Ø`Ü
"5ØaÜ3 = 0,083 5Ø`Ü
"5Øß1 = 0,018 5ØCÜ5ØNÜ " 5Ø`Ü
"5Øß2 = 0,019 5ØCÜ5ØNÜ " 5Ø`Ü
"5Øß3 = 0,018 5ØCÜ5ØNÜ " 5Ø`Ü
Wyniki końcowe:
( )
5Øß1 = 0,180 Ä… 0,018 5ØCÜ5ØNÜ " 5Ø`Ü
( )
5Øß2 = 0,185 Ä… 0,019 5ØCÜ5ØNÜ " 5Ø`Ü
( )
5Øß3 = 0,176 Ä… 0,018 5ØCÜ5ØNÜ " 5Ø`Ü
6. Omówienie wyników i podsumowanie.
Obliczone wartości lepkości oleju parafinowego nie są zgodne z znalezioną wartością,
równÄ… 0,21 Pa·s. RóżniÄ… siÄ™ od niej o okoÅ‚o 0,03 Pa·s. Otrzymane wyniki lepkoÅ›ci oleju dla
wszystkich serii pomiarowych są równe w granicach niepewności, co świadczy o dużej
dokładności użytej metody. Z kolei na dość dobrą precyzję metody wskazuje mały rozrzut
czasów, które różnią się od siebie w obrębie danej serii (najwyżej  o niecałą sekundę).
Pomiar można usprawnić poprzez odpowiednią konserwację biuret (nasmarować
wazeliną kraniki lub nieco je obluzować, aby lżej chodziły), dzięki czemu łatwiej można by
regulować szybkość wypływu wody. Ponadto zamiast stopera i ludzkiego oka, można by
zastosować fotokomórki, które włączałby się w odpowiednim i zawsze tym samym
momencie. Największy wpływ na niepewność wielkości mierzonej miała niepewność
gęstości oleju oraz niepewność wybranej drogi przelotu kropli.
7. Literatura.
[1] A. Magiera, I Pracownia Fizyczna, IF UJ, Kraków 2010.
[2] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy Fizyki 2, PWN, Warszawa 2003.
[3] J. Kobylarczyk, Pomiar współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa, Kraków 2013.
8. Załączniki.
Kserokopia wyników pomiarowych.
8