05 Wyklad 5 Rozkład funkcji zmiennej losowej i dwuwymiarowe zmienn e losoweid 5873

background image

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

1

5. Rozkład funkcji zmiennej losowej

i dwuwymiarowe zmienne losowe

5.1. Rozkład funkcji zmiennej losowej

Mówimy, że

g

jest funkcją borelowską, jeśli dla każdego a∈ℝ zbiór

{

x : g ( x)<a

}

jest zbiorem borelowskim (elementem σ -ciała generowanego przez

zbiory otwarte).

W szczególności każda funkcja ciągła na pewnym przedziale jest w tym
przedziale funkcją borelowską.

Niech zmienna losowa Y będzie pewną funkcją zmiennej losowej X, tzn. dla każdego

ω∈Ω

mamy Y (ω)=g ( X (ω)) , gdzie

g

jest funkcją borelowską.

Znając rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, możemy wyznaczyć
rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y.

background image

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

2

Przykład 5.1.
Niech

Y = X

2

+

1,

gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie

P( X =−1)=

1
4

, P ( X =0)=

1
4

, P ( X =1)=

1
2

.

Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y i obliczyć EY.

Rozkład zmiennej losowej Y:

P(Y =1)=P ( X =0)=

1
4

,

P(Y =2)=P( X =−1∨ X =1)=

1
4

+

1
2

=

3

4

.

EY =1⋅

1
4

+

2⋅

3
4

=

7
4

lub

EY =E ( X

2

+

1)=EX

2

+

1=(−1)

2

1
4

+

0

2

1

4

+

1

2

1

2

+

1=

7
4

.

background image

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

3

Twierdzenie 5.1.
Jeżeli X jest zmienną losową ciągłą o gęstości f

X

skoncentrowanej na przedziale

(

a , b)

oraz

y=g ( x)

jest funkcją ściśle monotoniczną klasy

C

1

o pochodnej

g ' (x)≠0

w tym przedziale, przy czym x=h( y) jest funkcją odwrotną do funkcji

y=g ( x)

, to gęstość f

Y

zmiennej losowej ciągłej Y =g ( X ) wyraża się wzorem

f

Y

(

y )= f

X

(

h( y)

)

h ' ( y)

dla

y∈(c , d )

oraz f

Y

(

y )=0 dla pozostałych y,

gdzie c=min(c

1,

d

1

)

, d=max(c

1,

d

1

)

, c

1

=

lim

x a

+

g ( x) , d

1

=

lim

x b

-

g (x).

Przykład 5.2.
Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego o gęstości

f

X

przyjmującą wartości

z przedziału

(−∞

,+∞).

Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej

Y =aX +b , a≠0.

Funkcja liniowa

y=g ( x)=ax+b

spełnia założenia twierdzenia 5.1. (dla a > 0 funkcja

jest rosnąca, dla a < 0 funkcja jest malejąca).

Funkcja odwrotna x=h( y)=

1
a

(

yb) , x ' =h' ( y)=

1
a

Zatem f

Y

(

y )= f

X

(

yb

a

)

1

a

, y∈ℝ .

background image

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

4

Zauważmy, że wzór ten możemy także uzyskać w następujący sposób.

W przypadku a > 0 mamy

F

Y

(

y)=P(Y y)=P (aX +by)=P

(

X

yb

a

)

=

F

X

(

yb

a

)

Ponieważ funkcja

F

X

jest różniczkowalna w punktach ciągłości f

X

, więc w tych

punktach

f

Y

(

y )=

d

dy

F

Y

(

y)=

d

dy

F

X

(

yb

a

)

=

1
a

f

X

(

yb

a

)

W przypadku a < 0 mamy

F

Y

(

y)=P (Y y )=P (aX +by)=P

(

X

yb

a

)

=

1−F

X

(

yb

a

)

f

Y

(

y )=

d

dy

F

Y

(

y)=

d

dy

(

1−F

X

(

yb

a

)

)

=−

1
a

f

X

(

yb

a

)

Zatem otrzymujemy, że f

Y

(

y )=

1

a

f

X

(

yb

a

)

.

background image

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

5

5.2. Dwuwymiarowe zmienne losowe

Niech (Ω ,

Α

, P) będzie przestrzenią probabilistyczną, w której jest określonych n

zmiennych losowych

X

1,

X

2,

, X

n

X

i

:Ω → R ,

i=1, 2, , n

.

Wówczas dla każdego ∈ możemy rozpatrywać układ

X = X

1



, X

2



,, X

n



Układ ten nazywamy wektorem losowym (n-wymiarowym).

Dystrybuantą wektora losowego

X = X

1,

X

2,

, X

n

 nazywamy funkcję

F : R

n

R daną wzorem:

F x

1,

x

2,

, x

n

=

P

{

∈

: X

1



x

1

, X

2



x

2

,, X

n



x

n

}

.

Wektor losowy X = X

1,

X

2,

, X

n

 nazywamy wektorem losowym o rozkładzie

dyskretnym jeśli przyjmuje skończoną bądź przeliczalną liczbę wartości.

background image

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

6

Wektor losowy X = X

1,

X

2,

, X

n

 nazywamy wektorem losowym o rozkładzie

(absolutnie) ciągłym, jeśli istnieje nieujemna funkcja n zmiennych

f x

1

, x

2,

, x

n

taka, że

F x

1,

x

2,

, x

n

=

−∞

x

1

−∞

x

2

−∞

x

n

f t

1

, t

2

,,t

n

dt

1

dt

2

dt

n

.

Niech  X , Y  będzie dwuwymiarową zmienną losową dyskretną (skokową),
czyli zmienne losowe X i Y mają skończony lub przeliczalny zbiór wartości.

Rozkładem łącznym dyskretnej zmiennej dwuwymiarowejX , Y  nazywa się
zbiór prawdopodobieństw:

P X =x

i

,Y = y

j

=

p

ij

dla i=1, 2,…(r) , , j=1,2,…( s).

Prawdopodobieństwa

p

ij

spełniają warunek:

i

j

p

ij

=

1 .

Dystrybuantę dwuwymiarowej zmiennej losowej dyskretnej określa się wówczas
wzorem:

F x , y=P X x ,Y y=

x

i

x

y

j

y

p

ij

.

background image

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

7

Rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej dyskretnej zwykle jest zapisywany
w postaci tablicy, nazywanej tablicą korelacyjną.

y

1

y

2

y

s

x

1

p

11

p

12

p

1s

p

1⋅

x

2

p

21

p

22

p

2s

p

2⋅

x

r

p

r1

p

r2

p

rs

p

r

p

1

p

2

p

s

1

Rozkładem brzegowym dyskretnej zmiennej losowej X nazywamy rozkład

prawdopodobieństwa : P( X =x

i

)=

p

i

=

j=1

s

p

ij

, dla

i=1, 2,, r

.

Podobnie rozkładem brzegowym dyskretnej zmiennej losowej Y nazywamy rozkład

prawdopodobieństwa: P Y = y

j

=

p

j

=

i=1

r

p

ij

dla j=1,2,, s .

background image

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

8

Rozkładem warunkowym zmiennej losowej dyskretnej X pod warunkiem Y = y

j

,

j=1, 2,…, s , nazywamy rozkład prawdopodobieństwa:

P( X =x

i

Y = y

j

)=

P( X =x

i

,Y = y

j

)

P (Y = y

j

)

=

p

ij

p

j

, dla

i=1, 2,… , r

.

Rozkładem warunkowym zmiennej losowej dyskretnej Y pod warunkiem X =x

i

,

i=1, 2,… , r , nazywamy rozkład prawdopodobieństwa:

P(Y = y

j

X =x

i

)=

P( X =x

i

,Y = y

j

)

P ( X = x

i

)

=

p

ij

p

i

, dla j=1,2,…, s .

Zmienne losowe dyskretne X i Y są niezależne jeżeli

P X =x

i

,Y = y

j

=

P X =x

i

⋅

P Y = y

j

, czyli p

ij

=

p

i

p

j

,

dla wszystkich

i=1, 2,, r

,

j=1,2,, s

.

Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to oczywiście

P X =x

i

Y = y

j

=

P X =x

i

=

p

i

, dla

i=1, 2,, r

.

background image

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

9

Niech teraz dwuwymiarowa zmienna losowaX , Y  będzie zmienną losową
ciągłą.

Funkcja gęstości f x , y dwuwymiarowej zmiennej losowej ciągłej  X , Y
łącznego rozkładu jest funkcją spełniającą warunki:

f x , y0 ,

−∞

−∞

f (x , y)dxdy=1 .

Dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej ciągłej

X , Y

nazywamy

funkcję określoną za pomocą wzoru:

F x , y=P X x ,Y y =

−∞

x

−∞

y

f s ,t dsdt .

Rozkładami brzegowymi f

1

x , f

2

y ciągłych zmiennych losowych X i Y

nazywa się następujące funkcje: f

1

x=

−∞

f x , y dy , f

2

y=

−∞

f x , ydx .

background image

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

10

Warunkowe funkcje gęstości zmiennych losowych ciągłych X i Y są określone

wzorami: f ( x

y )=

f ( x , y)

f

2

(

y)

, dla f

2

(

y)>0

oraz f ( y

x )=

f ( x , y)

f

1

(

x)

, dla f

1

(

x)>0 .

Zmienne losowe ciągłe X i Y są niezależne jeżeli:

f x , y= f

1

x⋅f

2

y  , dla każdej pary liczb rzeczywistych  x , y .

Oczywiście dla dowolnych niezależnych zmiennych losowych X i Y mamy:

F

X ,Y

x , y =P X x , Y y =P X x ⋅P Y y =F

X

x⋅F

Y

y

.

Momenty zwykłe dwuwymiarowej zmiennej losowej  X , Y  definiujemy
następująco:

α

rs

=

E ( X

r

Y

s

)

,

gdzie liczby

r , s∈ℕ.

Jeżeli

X , Y

jest zmienną losową dyskretną, to: α

rs

=

i

j

x

i

r

y

j

s

p

ij

.

background image

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

11

Jeżeli

X , Y

jest zmienną losową ciągłą o funkcji gęstości prawdopodobieństwa

f ( x , y) , to α

rs

=

−∞

−∞

x

r

y

s

f ( x , y)dxdy .

Najczęściej wykorzystuje się momenty zwykłe rzędu pierwszego

10

=

E ( X

1

Y

0

)=

EX ,α

01

=

E ( X

0

Y

1

)=

EY )

oraz momenty zwykłe rzędu drugiego

20

=

E ( X

2

Y

0

)=

EX

2

,α

11

=

E ( X

1

Y

1

)=

E ( XY ) , α

02

=

E ( X

0

Y

2

)=

EY

2

)

Momenty centralne definiujemy w następujący sposób:

μ

rs

=

E( X EX )

r

(

Y EY )

s

.

W szczególności μ

20

=

E ( X EX )

2

=

D

2

X ,μ

02

=

E (Y EY )

2

=

D

2

Y.

Kowariancja zmiennych losowych  X , Y  jest określona za pomocą wzoru:

Cov ( X , Y )=μ

11

=

E

(

(

X EX )(Y EY )

)

=

E ( XY )−EXEY

.

Zauważmy, ze dla niezależnych zmiennych losowych X i Y kowariancja wynosi 0.

background image

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

12

Ponadto Cov X , X =VarX ,

Var X Y =VarX VarY 2Cov  X , Y

.

Współczynnik korelacji liniowej między zmiennymi X i Y jest określony wzorem:

ρ=ρ(

X , Y )=

Cov ( X , Y )

σ

X σ Y

.

Zachodzi nierówność: −1 X , Y 1

Współczynnik korelacji mierzy „siłę” zależności liniowej między zmiennymi
losowymi X i Y.

Jeżeli ρ( X ,Y )=0, czyli gdy

Cov ( X ,Y )=0,

to zmienne losowe X i Y nazywamy

nieskorelowanymi.

Oczywiście zmienne losowe niezależne są nieskorelowane (nie są skorelowane).

Jeżeli ρ( X ,Y )=1, to zmienne losowe X i Y związane są funkcyjnie, a zależność
między nimi ma charakter liniowej funkcji rosnącej.

Jeżeli ρ( X ,Y )=−1, to zmienne losowe X i Y związane są funkcyjnie, a zależność
między nimi ma charakter liniowej funkcji malejącej.

Jeżeli 0<

ρ(

X ,Y )

<

1, to istnieje współzależność między zmiennymi losowymi

X i Y, ale nie ma ona charakteru funkcyjnego. Im współzależność ta jest silniejsza,
tym ρ( X ,Y ) bardziej odbiega od zera.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
05 Wyklad 5. Rozkład funkcji zmiennej losowej i dwuwymiarowe zmienn e losowe
Matematyka III (Ćw) - Lista 05 - Rachunek rózniczkowy funkcji wielu zmiennych, Odpowiedzi
rachunek prawdopodobieństwa, rachl5, Rozkłady, funkcje, parametry zmiennych losowych jedno i dwuwymi
Matematyka III (Ćw) - Lista 05 - Rachunek rózniczkowy funkcji wielu zmiennych, Zadania
C Wyklady Wskazniki Do Funkcji I Zmienna Dlugosc List Argumentow
Konspekt wykładu r różniczkowy funkcji jednej zmiennej(1)
Matematyka III (Ćw) Lista 05 Rachunek rózniczkowy funkcji wielu zmiennych Odpowiedzi
6 funkcje zmiennej zespolonej, holomorficzność
Analiza matematyczna Wykłady, GRANICE FUNKCJI
wyklad Mes funkcje ksztaltu, Budownictwo, Semestr V, Budownictwo komunikacyjne 1, most5
M.Walczak - wyklad 4 - rachunek kosztów zmiennych a rachunek kosztów pełnych, Zarządzanie, rachunkow
Zadania dr Marty Kuc, zadania2, Poniżej mamy podany skumulowany rozkład częstości zmiennej Z do dane
FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA, FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste
M.Walczak - wyklad 5 - rachunek kosztów zmiennych a rachunek kosztów pełnych ciąg dalszy, Zarządzani
06 funkcje zmiennej rzeczywistej 3 1 funkcje elementarne

więcej podobnych podstron