Ćwiczenie nr 2 z Mechaniki Budowli
Wyznaczanie linii wpływu belek statycznie wyznaczalnych
1
Przy obciążeniu zmiennym reakcje podporowe i siły wewnętrzne w określonym
punkcie belki zmieniają się w zależności od położenia tego obciążenia na belce. Interpretacja
ilościowa tych zmian opiera się na idei linii wpływu. Badając problem metodami statyki
zakładamy, że zmiana obciążenia odbywa się bardzo powoli więc nie występują efekty
dynamiczne.
Poszukiwana wielkość statyczna
, gdzie
x
- położenie siły
.
(
)
( )
, ,
S R T M
Pf x
=
1
P =
Dzieląc równanie stronami przez
P
otrzymuje się:
( )
S
S
f x
P
η
=
=
,
- rzędna linii wpływu danej wielkości statycznej
S
.
S
η
Siła
znajduje się nad rzędną linii wpływu
.
1
P =
S
η
Przykład 1:
Dana jest belka swobodnie podparta. Wyznaczyć linie wpływu następujących wielkości
statycznych:
, ,
A
R T M
α
α
.
A
B
C
P=1
x
x
α
a
b
R
A
R
B
l
α
Linia wpływu
A
R
0
B
M =
∑
(
)
0
A
R l
P l
x
−
−
=
A
l
x
R
P
l
−
=
A
R
l
x
l
η
−
=
gdy
,
,
0
x =
1
RA
A
η =
gdy
x
l
,
.
=
0
RA
B
η =
A
1
B
1
C
1
+
1
A
2
C
2
b/l
Linia wpływu
M
α
Rozważmy 2 przypadki:
1. gdy siła
znajduje się na odcinku AC, z lewej strony przekroju
α
α
1
P
=
−
2. gdy siła
znajduje się na odcinku CB, z prawej strony przekroju
α
α
1
P
=
−
Ćwiczenie nr 2 z Mechaniki Budowli
Wyznaczanie linii wpływu belek statycznie wyznaczalnych
2
1.
0
x
a
≤ ≤
(
)
(
)
(
)/ :
A
l
x
M
R a
P a
x
P
a
P a
x
l
Pax
Px
Pa
Pa
Px
l
a
P
l
l
α
−
=
−
−
=
−
−
=
=
−
−
+
=
−
(
)
M
x
x
l
a
b
l
l
α
η
=
−
=
rzędne linii wpływu wynoszą
gdy
,
,
0
x =
0
M
A
α
η
=
gdy
x
a
,
=
M
C
ab
l
α
η
=
,
gdy
x
l
,
=
M
B
b
α
η
=
2.
a
x
≤ ≤ l
A
l
x
M
R a
P
l
α
−
=
=
a
M
l
x
a
l
α
η
−
=
rzędne linii wpływu wynoszą
gdy
x
a
,
=
M
C
ab
l
α
η
=
,
gdy
x
l
,
,
=
0
M
B
α
η
=
gdy
,
0
x =
M
A
a
α
η
=
a
b
ab/l
A
1
B
1
C
1
A
2
C
2
B
2
+
Linia wpływu
T
α
Rozważmy 2 przypadki:
1. gdy siła
znajduje się na odcinku AC, z lewej strony przekroju
α
α
1
P
=
−
2. gdy siła
znajduje się na odcinku CB, z prawej strony przekroju
α
α
1
P
=
−
Ćwiczenie nr 2 z Mechaniki Budowli
Wyznaczanie linii wpływu belek statycznie wyznaczalnych
3
1.
0
x
a
≤ ≤
0
A
M =
∑
0
B
R l
Px
−
−
=
B
x
R
P
l
=
A
B
x
T
R
P
R
P
l
α
=
−
= −
= −
T
x
l
α
η = −
gdy
,
,
0
x =
0
T
A
α
η =
gdy
x
a
,
=
T
C
a
l
α
η = −
,
gdy
x
l
,
=
1
T
B
α
η = −
2.
a
x
≤ ≤ l
A
l
x
T
R
P
l
α
−
=
=
T
l
x
l
α
η
−
=
rzędne linii wpływu wynoszą
gdy
x
a
,
=
T
C
b
l
α
η
= ,
gdy
x
l
,
,
=
0
T
B
α
η =
gdy
,
0
x =
1
T
A
α
η =
A
1
B
1
C
1
B
2
1
1
-
+
C
2
C
3
b/l
a/l
A
2
Przykład 2:
Dana jest belka dwuwspornikowa. Wyznaczyć linie wpływu następujących wielkości
statycznych:
,
,
, ,
,
p
A
B
A
A
R R T T M M
α
α
.
Ćwiczenie nr 2 z Mechaniki Budowli
Wyznaczanie linii wpływu belek statycznie wyznaczalnych
4
A
B
C
P=1
x
x
1
α
a
b
R
A
R
B
l
α
D
P=1
x
E
c
d
Linia wpływu
A
R
0
B
M =
∑
(
)
0
A
R l
P l
x
−
−
=
A
l
x
R
P
l
−
=
A
R
l
x
l
η
−
=
dla
,
x
c
= −
RA
D
l
c
l
η
+
=
,
dla
,
,
0
x =
1
RA
A
η =
dla
,
,
x
l
=
0
RA
B
η =
dla
,
x
a
=
RA
C
l
a
b
l
l
η
−
=
=
dla
,
x
l
d
= +
RA
E
d
l
η
= −
A
1
B
1
C
1
1
D
2
C
2
b/l
D
1
E
1
E
2
d/l
+
A
2
(l+c)/l
-
Linia wpływu
B
R
0
A
M =
∑
0
B
R l
Px
−
+
=
B
x
R
P
l
=
B
R
x
l
η
=
dla
,
x
c
= −
RB
D
c
l
η
= −
,
dla
,
,
0
x =
0
RB
A
η =
Ćwiczenie nr 2 z Mechaniki Budowli
Wyznaczanie linii wpływu belek statycznie wyznaczalnych
5
dla
,
,
x
l
=
1
RB
B
η =
dla
,
x
a
=
RB
C
a
l
η
=
dla
,
x
l
d
= +
RB
E
l
d
l
η
+
=
+
-
1
A
1
a/l
B
1
C
1
E
1
E
2
(l+d)/l
B
2
C
2
D
2
D
1
c/l
Linia wpływu
p
A
T
Należy rozpatrzyć 2 przypadki:
1. gdy siła
znajduje się na odcinku DA, z lewej strony podpory A
1
P =
2. gdy siła
znajduje się na odcinku AE, z prawej strony podpory A
1
P =
1.
B
x
R
P
l
=
A
p
B
x
T
R
P
l
= −
= −
p
B
A
R
T
x
l
η
η
= − = −
Na odcinku DA wykres linii wpływu
odpowiada wykresowi linii wpływu
,
jedynie znaki rzędnych są odwrotne.
p
A
T
B
R
2.
A
p
B
A
l
x
T
P
R
R
P
l
−
=
−
=
=
p
A
A
R
T
l
x
l
η
η
−
=
=
Na odcinku AE wykres linii wpływu
odpowiada wykresowi linii wpływu
.
p
A
T
A
R
A
1
B
1
C
1
1
D
2
C
2
b/l
D
1
E
1
E
2
+
A
2
c/l
-
1
d/l
B
2
+
+
+
Linia wpływu
T
α
Należy rozpatrzyć 2 przypadki:
1. gdy siła
znajduje się na odcinku DC, z lewej strony przekroju
α
α
1
P =
−
2. gdy siła
znajduje się na odcinku CE, z prawej strony przekroju
1
P =
α
α
−
Ćwiczenie nr 2 z Mechaniki Budowli
Wyznaczanie linii wpływu belek statycznie wyznaczalnych
6
1.
B
x
R
P
l
=
A
B
x
T
P
R
R
P
l
α
= − +
= −
= −
p
A
T
T
x
l
α
η
η
= − =
Na odcinku DA wykres linii wpływu
T
odpowiada wykresowi linii wpływu
.
α
p
A
T
2.
B
A
l
x
T
P
R
R
P
l
α
−
=
−
=
=
A
T
R
l
x
l
α
η
η
−
=
=
Na odcinku AE wykres linii wpływu
T
odpowiada wykresowi linii wpływu
.
α
A
R
A
1
B
1
C
2
1
D
2
C
3
a/l
D
1
E
1
E
2
+
c/l
-
1
d/l
B
2
+
b/l
A
2
-
C
1
Linia wpływu
A
M
Należy rozpatrzyć 2 przypadki:
1. gdy siła
znajduje się na odcinku DA, z lewej strony podpory A
1
P =
2. gdy siła
znajduje się na odcinku AE, z prawej strony podpory A
1
P =
1.
(
)
1
A
M
P c
x
= −
−
1
A
M
x
c
η
=
−
dla
,
,
1
0
x =
MA
D
c
η
= −
dla
,
1
x
c
=
0
MA
A
η
=
2.
0
A
B
Px
M
Px
R l
Px
l
l
=
−
=
−
=
0
A
M
η
=
A
1
B
1
D
2
D
1
E
1
c
-
C
1
Linia wpływu
M
α
Należy rozpatrzyć 2 przypadki:
Ćwiczenie nr 2 z Mechaniki Budowli
Wyznaczanie linii wpływu belek statycznie wyznaczalnych
7
1. gdy siła
znajduje się na odcinku DC, z lewej strony przekroju
α
α
1
P =
−
2. gdy siła
znajduje się na odcinku CE, z prawej strony przekroju
1
P =
α
α
−
1.
B
xb
M
R b
P
l
α
=
=
M
xb
l
α
η
=
dla
,
x
c
= −
M
D
bc
l
α
η
= −
dla
,
,
0
x =
0
M
A
α
η
=
dla
,
x
a
=
M
C
ab
l
α
η
=
,
2.
A
l
x
M
R a
P
l
α
−
=
=
a
M
l
x
a
l
α
η
−
=
dla
,
x
a
=
M
C
l
a
ab
a
l
l
α
η
−
=
=
dla
,
,
x
l
=
0
M
B
α
η
=
dla
,
x
l
d
= +
M
E
ad
l
α
η
= −
.
A
1
B
1
D
2
D
1
E
1
bc/l
C
1
E
2
-
-
+
A
2
C
2
B
2
ad/l
b
ab/l
a
Linie wpływu T lub M w innych przekrojach wyznacza się w sposób podobny do podanego
powyżej.
Przykład 3:
Dana jest belka utwierdzona. Wyznaczyć linie wpływu następujących wielkości statycznych:
, ,
,
A
A
R T M M
α
α
.
Ćwiczenie nr 2 z Mechaniki Budowli
Wyznaczanie linii wpływu belek statycznie wyznaczalnych
8
A
B
C
P=1
α
a
R
A
l
α
M
A
x
Linia wpływu
A
R
0
Y
=
∑
A
R
P
=
1
A
R
η
=
A
1
B
1
+
1
B
2
1
B
2
Linia wpływu
T
α
Należy rozpatrzyć 2 przypadki:
1. gdy siła
znajduje się z lewej strony przekroju
1
P =
α
α
−
2. gdy siła
znajduje się z prawej strony przekroju
α
α
1
P =
−
1.
0
A
T
P
R
α
= − +
=
0
T
l
α
η =
2.
T
P
α
=
1
T
p
α
η =
C
1
C
2
A
1
B
1
+
1
1
B
2
Linia wpływu
A
M
0
A
M
=
∑
(
)
A
M
P l x
= −
−
A
M
x l
η
= −
dla
,
,
0
x =
MA
B
l
η
= −
Ćwiczenie nr 2 z Mechaniki Budowli
Wyznaczanie linii wpływu belek statycznie wyznaczalnych
9
dla
,
x
l
=
0
MA
A
η
=
l
C
1
A
1
B
1
-
C
2
B
2
Linia wpływu
M
α
Należy rozpatrzyć 2 przypadki:
1. gdy siła
znajduje się z lewej strony przekroju
1
P =
α
α
−
2. gdy siła
znajduje się z prawej strony przekroju
α
α
1
P =
−
1.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
A
A
M
M
P x
a
R l
a
P l
x
P x
a
P l
a
α
=
−
−
+
−
= −
−
−
−
+
−
0
M
Pl
Px
Px
Pa
Pl
Pa
α
= −
+
−
+
+
−
=
0
Mα
η
=
2.
(
)
M
P a
α
= −
− x
M
x
a
α
η
= −
dla
,
,
0
x =
M
B
a
α
η
= −
dla
,
x
a
=
0
M
C
α
η
=
a
C
1
A
1
B
1
-
B
2
Ćwiczenie nr 2 z Mechaniki Budowli
Wyznaczanie linii wpływu belek statycznie wyznaczalnych
10
Przykład 4:
Dana jest belka przegubowa. Wyznaczyć linie wpływu następujących wielkości statycznych:
1
,
, ,
A
R M T M
α
α
α
.
A
B
C
a
R
A
l
x
α
α
α
1
α
1
x
1
l
c
F
D
E
d
b
P=1
P=1
Linia wpływu
A
R
Należy rozpatrzyć 2 przypadki:
1. gdy siła
znajduje się na belce DB
1
P =
0
B
M =
∑
(
)
(
)
A
R a
b
P l
x
+ −
−
= 0
A
l
x
R
P
l
−
=
A
R
l
x
l
η
−
=
dla
,
x
c
= −
RA
D
l
c
l
η
+
=
,
dla
,
,
0
x =
1
RA
A
η =
dla
,
x
a
=
RA
F
l
a
b
l
l
η
−
=
=
dla
,
,
x
l
=
0
RA
B
η =
2. gdy siła
znajduje się na belce BC
1
P =
0
A
R =
0
A
R
η =
C
1
A
1
B
1
D
1
1
+
(l
+
c
)/
l
D
2
A
2
Linia wpływu
M
α
Należy rozpatrzyć 3 przypadki:
1. gdy siła
znajduje się na belce DB
1
P =
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
A
l
x l
d
M
R l
d
P l
x
d
P
P l
d
x
l
α
−
+
=
+
−
− +
=
−
+ −
Ćwiczenie nr 2 z Mechaniki Budowli
Wyznaczanie linii wpływu belek statycznie wyznaczalnych
11
(
)
2
2
P
P
M
l
dl
xl
xd
l
ld
xl
l
l
α
=
+
−
−
− −
+
= −
xd
M
xd
l
α
η
= −
dla
,
x
c
= −
M
D
cd
l
α
η
=
,
dla
,
,
0
x =
0
M
A
α
η
=
dla
,
,
x
l
=
M
B
d
α
η
= −
2. gdy siła
znajduje się na belce BC na lewo od przekroju
1
P =
α α
− , to
(
)
1
M
P d
x
α
= −
−
1
M
d
x
α
η
= − +
dla
,
,
0
x =
M
B
d
α
η
= −
dla
,
,
x
d
=
0
M
E
α
η
=
3. gdy siła
znajduje się na belce BC na prawo od przekroju
1
P =
α α
− , wówczas
0
M
α
=
-
C
1
A
1
B
1
D
1
+
cd
/l
D
2
E
1
B
2
d
Linia wpływu
T
α
Należy rozpatrzyć 3 przypadki:
1. gdy siła
znajduje się na belce DB
1
P =
A
l
x
l
T
R
P
P
l
α
⎛
⎞
− − ⎟
⎜
=
−
=
⎟
⎜
⎟
⎜⎝
⎠
T
x
l
α
η = −
dla
,
x
c
= −
T
D
c
l
α
η =
,
dla
,
,
0
x =
0
T
A
α
η =
dla
,
,
x
l
=
1
T
B
α
η = −
2. gdy siła
znajduje się na belce BC na lewo od przekroju
1
P =
α α
−
T
P
α
= −
1
Mα
η
= −
3. gdy siła
znajduje się na belce BC na prawo od przekroju
1
P =
α α
−
0
T
α
=
Ćwiczenie nr 2 z Mechaniki Budowli
Wyznaczanie linii wpływu belek statycznie wyznaczalnych
12
-
C
1
A
1
B
1
D
1
+
c
/l
D
2
E
1
B
2
1
1
E
2
Linia wpływu
1
M
α
Należy rozpatrzyć 3 przypadki:
1. gdy siła
znajduje się na belce DB z lewej strony przekroju
1
P =
1
1
α α
−
(
)
1
A
l
x
M
R a
P a
x
P
a
a
l
α
x
⎡
⎤
−
=
−
−
=
− +
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(
)
1
M
x l
a
la
ax
al
lx
bx
l
l
α
η
−
−
−
+
=
=
l
=
dla
,
x
c
= −
1
M
D
cb
l
α
η
= −
,
dla
,
,
0
x =
1
0
M
A
α
η
=
dla
,
x
a
=
1
M
F
ab
l
α
η
=
,
2. gdy siła
znajduje się na belce DB z prawej strony przekroju
1
P =
1
1
α α
−
1
A
l
x
M
R a
P
l
α
−
=
=
a
(
)
1
M
l
x a
l
α
η
−
=
dla
,
x
a
=
(
)
1
M
F
l
a a
ab
l
l
α
η
−
=
=
,
dla
,
,
x
l
=
1
0
M
B
α
η
=
3. gdy siła
znajduje się na belce BC
1
P =
1
0
M
α
=
B
2
C
1
D
1
bc
/l
D
2
F
1
+
B
1
A
1
ab
/l
F
2
A
2
a
b
Ćwiczenie nr 2 z Mechaniki Budowli
Wyznaczanie linii wpływu belek statycznie wyznaczalnych
13
Ćwiczenie projektowe nr 1 z Mechaniki Budowli
Dana jest belka ciągła przegubowa, obciążona poruszającą się siłą jednostkową,
(patrz
rysunek). Wyznaczyć linie wpływu następujących wielkości statycznych:
1
P =
,
,
,
, , , , , , , ,
,
,
,
,
,
,
,
,
A
B
C
D
A
B
R R R R T T T T T T T M M M M M M M M M
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
.
A
B
l
α
α
γ
γ
l
l/3
E
D
P=1
l
l
C
D
β
β
δ
δ
ε
ε
ζ
ζ
η
η
l/3
l/3
l/3
l/3
l/3
l/6 l/6
l/6 l/6
l/2
l/2
l/6 l/6