XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Piotr KONDERLA1
PROBLEM MODELOWANIA I ANALIZY
UKA
ADÓW PA
YTOWO-SA
UPOWYCH W UJ
CIU MES
1. Wprowadzenie
Stropy żelbetowe o konstrukcji płytowo-słupowej są typowymi rozwiązaniami stosowanymi w
wielu konstrukcjach przemysłowych, handlowych, jak również w budownictwie mieszkanio-
wym. Standardowo, jako model fizyczny tego typu konstrukcji przyjmuje się płytę cienką,
podpartą punktowo w miejscach usytuowania słupów. W przypadku stosowania bardziej za-
awansowanych modeli stosuje się modele płytowo-prętowe, z możliwością uwzględnieniem
różnych sposobów połączenia prętów z płytą: połączenie przegubowe, sztywne lub sprężyste.
Dla konstrukcji żelbetowych przyjmuje się z reguły połączenie sztywne.
W wyniku analizy statycznej MES otrzymuje się rozkłady pól przemieszczeń i sił we-
wnętrznych w konstrukcji, które stanowią podstawę wymiarowania konstrukcji. Na tym
etapie pojawia się problem interpretacji otrzymanych wyników w otoczeniu punktów pod-
parcia płyty. Wynika to z faktu występowania osobliwości w rozwiązaniu płyty cienkiej w
punktach podparcia, a ściślej, w punktach tych teoretyczne wartości momentów zginających
dążą do nieskończoności. Użytkownik programów MES może nie zauważyć tego problemu,
ponieważ otrzymuje nad podporami momenty, zwykle ekstremalne, ale o skończonych war-
tościach. Jest to konsekwencją przyjęcia skończenie wymiarowego modelu dyskretnego
MES. Jeżeli bezkrytycznie podejść do zagadnienia, to podstawą wymiarowania płyty w ob-
szarach przypodporowych są ostatecznie wartości momentów, które okazują się być warto-
ściami przypadkowymi.
Celem niniejszej pracy jest analiza poruszonego wyżej problemu oraz sposobu właś ciwej
interpretacji otrzymanych wyników z MES. W pracy wykorzystuje się komercyjny program
analizy płyty cienkiej PL-Win oraz system COSMOS/M. W ramach testowania programu PL-
Win sygnalizowany problem był szeroko analizowany przez autora tej pracy. Badano wpływ
różnych elementów modelowania MES na uzyskiwane rozwiązania numeryczne.
Prezentowane w pracy ilościowe wyniki dotyczą typowego układu płytowo-słupowego o
konstrukcji żelbetowej (rys. 1a). W celu uwypuklenia istotnych elementów problemu, analizo-
wano reprezentatywny fragment takiego układu, traktując go jako benchmark (rys. 1b). Zaletą
tego układu jest istnienie rozwiązania analitycznego, co pozwoliło na ocenę ilościową rozwią-
1
Prof. dr hab. inż., Wydz. Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej
94
zań numerycznych MES. W szczególności dyskusji poddano dwa typy zadań:
 płyta obciążona symetrycznie stałym obciążeniem q=const (schemat 1 i 2),
 układ płyta-słup obciążony antysymetrycznie (schemat 3 w p. 5).
2. Rozwiązanie analityczne dla schematu 1
Dana jest płyta prostokątna swobodnie podparta na brzegach oraz punktowo w środku płyty,
jak to pokazano na rys. 1b. Przyjęto, że płyta ma stała grubość h oraz materiał płyty jest
liniowo sprężysty, o stałych materiałowych E i �. Płyta jest obciążona obciążeniem stałym o
intensywności q. Reakcję pionową na podporze środkowej oznaczono przez V.
Dla tak sformułowanego zagadnienia brzegowego znane jest rozwiązanie analityczne
podane przez Naviera [1]. Dla przyjętego układu współrzędnych, rozwiązania poszukuje się
w postaci podwójnych szeregów Fouriera:
w(x, y) = x cos �k y, (1)
mk
" "w cos ą m
m=1,3,... k =1,3,...
mĄ kĄ
gdzie: ąm = , �k = .
2a 2b
Po rozwinięciu obciążeń w analogiczne szeregi Fouriera:
16q (-1)(m+k) / 2+1
q = cos ąm x cos �k y,
" "
Ą2 m=1,3,... k=1,3,... mk
(2)
V
V = -
" "cos ąm x cos �k y
ab
m=1,3,... k=1,3,...
i podstawieniu wyrażeń (1) i (2) do równania płyty, otrzymano współczynniki rozwinięcia
funkcji przemieszczenia (1), w postaci
16q (-1)(m+k) / 2+1 V
wmk = - , (3)
2 2
Ą2D mk(ą2 + �2) Dab(ą2 + �2)
m k m k
gdzie D jest sztywnością płyty.
95
Z warunku brzegowego w(0,0) = 0 wyznaczono wartość reakcji V :
(
w0q)
V = q, (4)
(
w0V )
( (
gdzie w0q) i w0V ) są odpowiednio przemieszczeniami w punkcie (0,0) płyty swobodnie
podpartej na brzegach i poddanej działaniu obciążenia o jednostkowej intensywności w
pierwszym przypadku oraz sile jednostkowej na kierunku reakcji V w drugim przypadku.
Funkcja momentu zginającego ma postać
2 2
�ł �ł
" w " w
�ł
M = -D�ł 2 + � = (5)
x x
" "M ,mk cos ąm x cos �k y,
�ł 2 �ł
"x "y
�ł łł m=1,3,... k =1,3,...
gdzie
(
(m+k) / 2+1
�ł16(-1)
w0q) 1 �ł
q
�ł �ł
M ,mk = - (ą2 + ��2). (6)
x m k
2 (
�ł
Ą2mk w0V ) ab �ł
(ą2 + �2)
�ł łł
m k
Uzyskane rozwiązanie analityczne jest rozwiązaniem osobliwym rzędu  2. Oznacza to, że
pochodne funkcji przemieszczenia rzędu równego lub większego od 2 zawierają punkty
osobliwe. W szczególności moment zginający Mx w punkcie (0,0) nie jest określony  szereg
trygonometryczny w wyrażeniu (5) nie jest zbieżny.
3. Rozwiązanie numeryczne za pomocą programu PL-Win
Program PL-Win jest użytkowym programem wspomagania pracy projektanta konstruktora.
W szczególności służy do liniowej analizy i wymiarowania układów płytowo-żebrowych
Rys. 2. Model dyskretny płyty dla schematu 1
96
dowolnie obciążonych przy dowolnych warunkach brzegowych. W programie analiza układu
jest wykonywana za pomocą standardowego algorytmu metody elementów skończonych.
W trakcie przeprowadzonych testów badano następujące elementy modelu MES mają-
ce wpływ na rozwiązanie: rodzaj stosowanych elementów skończonych, przyjęty model
dyskretny a w szczególności gęstość podziału obszaru na elementy oraz sposób wyznaczania
sił wewnętrznych.
Ostatecznie w programie zostały zaimplementowane elementy skończone trójkątne
Spechta [2,3]. Przy wyznaczaniu macierzy sztywności stosuje się 3 punkty całkowania (cał-
kowanie zredukowane). Element czworokątny traktuje się jako złożony układ dwóch par
elementów trójkątnych, co umożliwia uzyskanie symetrycznego rozkładu sztywności w
przypadku, kiedy element czworokątny jest regularnym prostokątem. Siły wewnętrzne obli-
cza się ze związków geometrycznych w punktach całkowania, a następnie interpoluje linio-
wo do węzłów elementu. Wartości sił wewnętrznych w węzłach modelu oblicza się przez
uśrednienie tych wielkości, występujących w elementach zbiegających się w danym węz
le.
Na rys. 2 pokazany jest model dyskretny analizowanej płyty w oknie głównym pro-
gramu. Wyniki liczbowe przytoczone w pracy dotyczą płyty kwadratowej  w dalszym ciągu
przyjęto b = a. Dla płyty o schemacie 1 model dyskretny złożony jest z 1600 elementów
prostokątnych o wymiarach c*c.
4. Analiza wyników płyty o schemacie 1
Wyniki numeryczne uzyskane za pomocą programów PL-Win oraz systemu COSMOS/M
porównano z rozwiązaniami analitycznymi. Rozwiązanie analityczne dane jest w postaci
szeregu trygonometrycznego. Wyniki liczbowe z błędem względnym poniżej 0.1% dla
przemieszczeń oraz poniżej 1% dla momentów zginających uzyskano przez sumowanie 1000
wyrazów szeregu. Szacowanie błędu nie dotyczy jedynie bezpośredniego otoczenia punktu
osobliwego (0,0) dla funkcji sił wewnętrznych.
Na rys. 3 pokazano izolinie przemieszczeń oraz rozkład przemieszczeń w przekroju
y = x . Wyniki numeryczne są zbliżone do rozwiązania analitycznego Błąd względny w tym
przypadku nie przekracza 0.3%.
Rys. 3. Przemieszczenia płyty dla schematu 1
97
Rys. 4. Momenty zginające Mx w płycie dla schematu 1
Tabela 1. Zestawienie M / qa2 dla schematu 1
x
Punkt Analityczne PL-Win Cosmos/M
A
- " -0.4472 -0.5013
B -0.1899 -0.2039 -0.1877
C -0.0984 -0.0977 -0.0975
D -0.2790 -0.2744 -0.2861
E -0.1872 -0.1763 -0.1837
F -0.1884 -0.1927 -0.1877
średnia na obw.
-0.2114 -0.2159 -0.2123
Na rys. 4a pokazano rozkłady momentu zginającego w przekroju płyty y = 0 . Na rys.
4b porównano rozkłady momentu Mx rozwiązań numerycznych z rozwiązaniem analitycz-
nym w otoczeniu punktu (0,0). Szczegółowe wartości liczbowe uzyskanych wyników dla
tych rozwiązań zestawiono w tabeli 1.
Na podstawie otrzymanych wartości momentu zginającego Mx w otoczeniu punktu
A=(0,0) sformułowane następujące wnioski:
a) Porównywanie wyników numerycznych w punkcie A jest bezprzedmiotowe, ponieważ
rozwiązanie analityczne w tym punkcie jest nieskończone. Tym samym przyjmowanie
tych wartości jako podstawy wymiarowania płyty jest niewłaś ciwe.
b) Wyniki liczbowe uzyskane z rozwiązań numerycznych w bezpośrednim otoczeniu punk-
tu A są wyznaczone z błędem mniejszym niż 6%, w stosunku do rozwiązania analitycz-
nego.
c) Przy założeniu, że punkty B,F i D leżą na obwodzie słupa, wartości momentów zginają-
cych w tych punktach są miarodajnymi wartościami, na podstawie których należy wy-
miarować płytę w otoczeniu punktu podparcia.
d) W programie PL-Win, przy ustawieniu odpowiedniej opcji, w punkcie A zamiast warto-
ści momentu zginającego wyznaczonego bezpośrednio, podawana jest wartość momentu
zginającego wyznaczona jako średnia wartość z wszystkich charakterystycznych punk-
tów na obwodzie słupa. Podeście takie wydaje się w pełni uzasadnione z punktu widzenia
pracy płyty w obrębie podparcia na słupie. Błąd wyznaczenia wartości średnich, uzyska-
ne numerycznie, nie przekracza 2% w stosunku do rozwiązania analitycznego.
98
5. Płyta o schemacie 2
Modelowanie MES połączenia słupa z płytą jako połączenia punktowego jest akceptowane i
powszechnie stosowane w praktyce inżynierskiej. Przez prostą modyfikację, model ten moż-
na udoskonalić. W tym celu należy dla podobszaru płyty leżącej bezpośrednio nad słupem
Vs "V przyjąć zastępczą sztywność Dz będącą wielokrotnością sztywności płyty D. Jest to
w pełni uzasadnione z uwagi na monolityczne połączenia płyty ze słupem. Pozostając przy
punktowym podparciu, przy wymiarowaniu pomija się siły wewnętrzne występujące w ob-
szarze płyty leżącym nad słupem.
W celu sprawdzenia efektów takiego modelowania analizowano płytę o schemacie 2
pokazanym na rys. 5. Przyjęto wymiary oraz obciążenie płyty jak w schemacie 1, wymiary
Tabela 2. Zestawienie M / qa2 dla schematu 2
x
Punkt* ł = 3 ł =10 ł =100
A - 0.5548 -0.5874 -0.5803
B -0.2866 -0.3133 -0.3097
C -0.1440 -0.1709 -0.1834
D -0.3170 -0.3458 -0.3628
E -0.1558 -0.1204 -0.0852
F -0.2339 -0.2996 -0.3628
średnia
-0.3105 -0.3477 -0.3663
na obw.
* oznaczenia punktów jak w tabeli 1
Rys. 5. Schemat 2 płyty
Rys. 6. Momenty zginające w płycie dla schematu 2
słupa 2c � 2c oraz Dz = łD . Analizowano płytę dla zmiennego parametru ł = 3,10,100.
Model dyskretny MES przyjęto jak dla schematu 1.
Na rys. 6 pokazane są rozkłady momentu zginającego Mx (dla ł =10 ) natomiast w ta-
beli 2 zestawiono szczegółowe wartości momentu Mx , w zależności od parametru ł.
99
Uzyskane wyniki pozwalaj na sformułowanie następujących wniosków:
a) Średnie wartości momentów są nieliniową funkcją parametru ł, mającą asymptotę po-
ziomą dla ł " .
b) Zmiana sztywności płyty w podobszarze Dz jest powodem istotnego zwiększenia się
wartości momentów zginających w otoczeniu punktu podparcia w stosunku do wartości
momentów w płycie o stałej sztywności (schemat 1). Dla ł=10 średnie wartości momen-
tów zwiększyły się o ponad 60%.
6. Płyta o schemacie 3
Przy analizie konstrukcji płytowo-słupowej naturalnym modelem jest płyta sztywno połączona ze
słupami traktowanymi jako pręty. W takich przypadkach płyta w miejscu połączenia ze słupem
obciążona jest nie tylko reakcją w postaci siły skupionej, ale również momentem skupionym.
Problem ten był analizowany na przykładzie płyty o schemacie 3 (rys. 7). Z uwagi na ograniczoną
objętość pracy poniżej przytoczono jedynie omówienie tej analizy.
Płyta obciążona jest antysymetrycznie oraz sztywno połączona ze sprężystym słupem.
W miejscu połączenia, płyta obciążona jest jedynie momentem skupionym. Zadanie to bez
trudu można rozwiązać numerycznie przy użyciu MES. Tymczasem, tak postawione zadanie
z punktu widzenia modelu fizycznego nie jest poprawne. Uzasadnieniem tego stwierdzenia
są następujące fakty:
a) Wykorzystując rozwiązanie Naviera, można otrzymać rozwiązanie płyty obciążonej
momentem skupionym. Jest to rozwiązanie osobliwe rzędu  1, co oznacza, że
w miejscu przyłożenia momentu sku-pionego pochodne funkcji przemieszczenia, po-
czynając od pierwszej, są nieokreś lone.
b) Z powyższego wynika, że przyłożenie
momentu skupionego o dowolnej wielkości
wywołuje nieokreślony kąt obrotu przekro-
ju, w miejscu przyłożenia obciążenia. W
takim razie, uzyskanie poprawnego rozwią-
zania układu płyta-pręt nie jest możliwe, z
uwagi na brak możliwości spełnienia wa-
runku zgodności przemieszczenia kątowe-
go w miejscu połączenia.
Rozwiązanie numeryczne MES jest
aproksymacją rozwiązania analitycznego
(aproksymacją zachowania się modelu fi-
zycznego). Ponieważ rozwiązanie analitycz-
ne nie istnieje, stąd uzyskane rozwiązanie
numeryczne nie można uznać za poprawne.
W tym przypadku nie jest możliwe  obej-
ś cie problemu osobliwości rozwiązania, jak
to było możliwe w przypadku siły skupionej.
Rys. 7. Układ płyta-słup obciążony
Nie jest możliwe poprawne wyznaczenie kąta
antysymetrycznie
obrotu w miejscu połączenia płyty ze słupem,
oraz momentu utwierdzenia płyty w słupie. W
rozwiązaniu numerycznym wartości te są zależne od gęstości podziału na elementy skończone i
nie są zbieżne.
100
Oczywiste jest, że uzyskane za pomocą MES rozkłady momentów zginających w płycie
obarczone są tymi samymi wadami. Przy okazji należy zauważyć, że rozwiązania numeryczne na
ogół nie  dostrzegają osobliwości momentu zginającego w miejscu połączenia.
6. Podsumowanie
W pracy badano poprawność sformułowania oraz rozwiązań numerycznych układów płytowo-
słupowych, które są podstawą wymiarowania konstrukcji znajdujących powszechne zastosowanie
w budownictwie. Na ich podstawie można sformułować następujące wnioski końcowe:
1) Powszechnie stosowane i akceptowane modelowanie MES układów płytowo-słupowych
nie zawsze jest poprawne z punktu widzenia modeli fizycznych tych układów. Użytkow-
nicy programów obliczeniowych nie zawsze są świadomi, że modelują w tym przypadku
zagadnienia zawierające osobliwości. Formalnie rozwiązanie MES jest aproksymacją
rozwiązania analitycznego w przestrzeni skończenie wymiarowej, czego skutkiem jest
otrzymywanie skończonych wartości rozwiązania w punktach osobliwych.
2) Rozwiązania MES uzyskiwane na podporach punktowych nie mogą być podstawą wy-
miarowania konstrukcji. Jako miarodajne należy przyjmować wartości sił wewnętrznych
w otoczeniu tego punktu. Miarę tego otoczenia należy wiązać z wymiarami słupa stano-
wiącego podporę.
3) Optymalnym rozwiązaniem problemu osobliwości na podporach punktowych jest przyję-
cie modelu płyty ze zmienną sztywnością, jak to pokazano w p. 5. Rozwiązanie takie nie
wprowadza nowych modeli fizycznych i pozwala na pozostaniu przy wygodnym mode-
lowaniu podpór jako podpór punktowych. Przy wymiarowaniu można nie brać pod uwa-
gę podobszarów płyty o zastępczej sztywności Dz (nad słupami), natomiast na pozosta-
łym obszarze punkty osobliwe w rozwiązaniach nie występują.
Literatura
[1] K
CZKOWSKI Z., Płyty, obliczenia statyczne. Arkady, Warszawa 1980.
[2] ZIENKIEWICZ O.C., TAYLOR R.L., The finite element method. McGraw-Hill Book
Company, London 1991.
[3] SPECHT B., Modified shape functions for the tree-node plate bending element passing
the patch test. Int. J. Num. Meth. Eng., 26, 705-15, 1988.
PROBLEM OF MODELLING AND ANALYSIS
OF PLATE-COLUMNS SYSTEMS BY FEM
Summary
The paper deals with some important problems referring to plate columns systems which are
important from the engineering point of view. The commonly applied physical model of such
structures are systems of thin plates connected with columns at points. In analytical solutions
of such systems singular points are encountered. In the paper the correctness of FE modelling
of singular solutions of plates were compared with analytical solutions. It was revealed, that
models adopted in engineering practice are not fully accurate. Moreover the paper includes
practical conclusions referring to proper interpretation of results obtained numerically.