Układy nieliniowe
Podstawy automatyki
 Układy nieliniowe wykazują cztery właściwości
znacznie różniące je od układów liniowych:
1) nie spełniają zasady superpozycji,
2) charakter odpowiedzi w stanie ustalonym w sposób
istotny zależy od amplitudy sygnału sterującego lub
amplitudy zakłócenia,
3) odpowiedz
w stanie ustalonym oprócz częstotliwości
pochodzącej od wymuszenia lub zakłócenia może
dodatkowo zawierać inne harmoniczne,
4) stabilność układów w istotny sposób zależy od wartości
warunków początkowych, przykładowo:
" dla małych wartości warunków początkowych układ
może być stabilny,
" dla dużych wartości warunków początkowych układ
może być niestabilny.
Zasada superpozycji - przypomnienie
Zasada superpozycji stosowana jest w analizie i syntezie
liniowych układów regulacji. Brzmi ona następująco:
Reakcja układu liniowego na sumę sygnałów
jest równa sumie reakcji na każdy sygnał osobno.
Układy nieliniowe - przykład
Mamy trzy układy regulacji z jednostkowym sprzężeniem
zwrotnym:
1) układ liniowy opisany funkcją przejścia toru głównego
4
G(s) =�
2
s +� s +� 1
2) układ nieliniowy zawierający człon
u
liniowy opisany poniższą funkcją przejścia
2
oraz człon o charakterystyce przekaz
nika
dwupołożeniowego
-0.5
2
0.5 e
G(s) =�
2
s +� s +� 1
-2
Układy nieliniowe - przyklad
3) układ nieliniowy zawierający człon liniowy opisany poniższą
funkcją przejścia oraz człon o charakterystyce przekaz
nika
dwupołożeniowego
u
2
2
G(s) =�
2
-0.05
s +� s +� 1
0.05 e
-2
Układy nieliniowe
e y1
+
4
t
s2 +s +1
U kła d 1
w
e u y2
+
2
y
M ux
s2 +s +1
P rze k_ 1
U kła d 2
e u y3
+
2
s2 +s +1
P rze k_ 2
U kła d 3
Schematy blokowe układów regulacji
Układy nieliniowe - przykład
Wszystkie układy poddano jednocześnie działaniu poniższych
sygnałów skokowych:
- sygnału w(t) = Aw�1(t), gdzie Aw = 1 i otrzymano wyniki jak
na rysunku 1.
- sygnału w(t) = Aw�1(t), gdzie Aw = 4 i otrzymano wyniki jak
na rysunku 2.
Układy nieliniowe przykład
2.5
2.5
2.5
w(t)=1*1(t) Układ 1
w(t)=1*1(t) Układ 1 Układ 2
w(t)=1*1(t) Układ 1 Układ 2 Układ 3
2.0
2.0
2.0
1.5
1.5
1.5
1.0
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
0.0
0.0
0.0
-0.5
-0.5
-0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Czas [s]
Czas [s]
Czas [s]
Rys. 1. Charakterystyki skokowe układów dla Aw = 1
y
y
y
Układy nieliniowe - przykład
5. 0
5. 0
5. 0
5. 0
w(t)=4*1(t)
w(t)=4*1(t)
w(t)=4*1(t)
w(t)=4*1(t)
4.5
4.5
4.5
4.5
4. 0
4. 0
4. 0
4. 0
3.5
3.5
3.5
3.5
3. 0
3. 0
3. 0
3. 0
2.5
2.5
2.5
2.5
Układ 1
Układ 1
Układ 1 Układ 3
2. 0
2. 0
2. 0
2. 0
Układ 2
Układ 2
1.5
1.5
1.5
1.5
1. 0
1. 0
1. 0
1. 0
0.5
0.5
0.5
0.5
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Cz as [s]
Cz as [s]
Cz as [s]
Cz as [s]
Rys. 2. Charakterystyki skokowe układów dla Aw = 4
y1, y2, y3
y1, y2, y3
y1, y2, y3
y1, y2, y3
Układy nieliniowe - przykład
Wnioski :
- układ 1 zachowuje się tak, że na podstawie charakte-
rystyki dla Aw = 1 można wyznaczyć charakterystykę dla
Aw = 4,
- w przypadku układu 2 i 3 na podstawie charakterystyk
dla Aw = 1 nie można wyznaczyć charakterystyk dla Aw =
4.
Układy nieliniowe  symbole graficzne
a) b) c)
y
u y u y u y
u
( )
y f u
=
Symbole graficzne członów nieliniowych:
a) symbol ogólny;
b) charakterystyka dana wzorem;
c) charakterystyka dana graficznie
Układy nieliniowe
Ogólnie odpowiedz
y(t) członu nieliniowego jest związana z
wymuszeniem u(t) tego członu nieliniowym równaniem
różniczkowym n-tego rzędu
(n) (n -1) (m) (m -1)
F(y , y ,..., y, u ,u ,..., u, t) =� 0
n
d y
gdzie: (n) n
y =� =� D y
n
dt
m
d u
(m) n
u =� =� D u
m
dt
Układy nieliniowe
W przypadku szczególnym powyższe równanie może przyjąć
postać algebraiczną przedstawiającą model nieautonomiczny
F(y,u,t) = 0
Gdy czas nie występuje w postaci jawnej, to człon opisujemy
równaniem autonomicznym, nazywanym charakterystyką
statyczną
F(y,u) = 0
którą zwykle staramy się przedstawić w postaci
y = f(u)
Układy nieliniowe  wybrane charakterystyki
statyczne
Do bardzo często spotykanych członów nieliniowych zaliczamy:
a) człon ze strefą nieczułości,
b) człon z nasyceniem,
c) człon ze strefą nieczułości i nasyceniem,
d) człon ze skokiem początkowym i nasyceniem,
e) przekaz
nik dwupołożeniowy bez histerezy,
f) przekaz
nik dwupołożeniowy z histerezą,
g) przekaz
nik trójpołożeniowy bez histerezy,
h) przekaz
nik trójpołożeniowy z histerezą.
Charakterystyki statyczne wybranych członów
nieliniowych
Nazwa członu Charakterystyka członu y = f(u)
y
k tg ą
=
Człon ze strefą
ą
-a
nieczułości
0 a u
ą
y
k tg ą
=
B
B
Człon z
-�
ą
k
nasyceniem
0 B u
k
-B
Charakterystyki statyczne wybranych członów
nieliniowych
Nazwa członu Charakterystyka członu y = f(u)
y
k tg ą
=
B
B
-� -� a
Człon ze strefą ą
k -a
nieczułości
B
0 a u
ą a
+
k
i nasyceniem
-B
y
k tg ą
=
B
ą
Człon ze
B -� b
b
-�
k
skokiem
B -�b
0
początkowym
-b
k
ą
i nasyceniem
-B
Charakterystyki statyczne wybranych członów
nieliniowych
Nazwa członu Charakterystyka członu y = f(u)
y
B
Przekaz
nik
dwupołożeniowy
0 u
bez histerezy
(idealny)
-B
y
B
Przekaz
nik
-a
dwupołożeniowy
0 a u
z histerezą
(rzeczywisty)
-B
Charakterystyki statyczne wybranych członów
nieliniowych
Nazwa członu Charakterystyka członu y = f(u)
y
B
Przekaz
nik
trójpołożeniowy
-a
0 a u
bez histerezy
(idealny)
-B
y
B
Przekaz
nik
trójpołożeniowy z
-a2 -a1
histerezą 0 a1 a2 u
(rzeczywisty)
-B
Wybrane schematy zastępcze członów
przekaz
nikowych
Dla charakterystyki przekaz
nika dwupołożeniowego z histerezą
konstruujemy schemat zastępczy zawierający charakterystykę
przekaz
nika idealnego i obwód sprzężenia zwrotnego jak na
rysunku poniżej.
y
B
B
u y
-B

-a
a u
a
B
-B
Wybrane schematy zastępcze członów
przekaz
nikowych
Dana jest charakterystyka przekaz
nika trójpołożeniowego z
histerezą oraz charakterystyka przekaz
nika idealnego
przechodząca przez środek pola histerezy.
y y
B B
a1 a2
+

-a2 -a1
2
a1 a2 u
a1+ a2 u
2
-B -B
Wybrane schematy zastępcze członów
przekaz
nikowych
B
u y

-B
a -a1
2
2B
Schemat zastępczy przekaz
nika trójpołożeniowego z
histerezą.
Przekształcanie schematów blokowych
Schematy blokowe układów z członami nieliniowymi można
przekształcać podobnie jak schematy układów liniowych.
Obowiązuje przy tym warunek konieczny i dostateczny prze-
kształcenia:
Zastąpienie części schematu układem
równoważnym nie może powodować zmian w
pozostałych częściach schematu nie podlegającym
przekształceniu.
Stąd wynika podstawowa zasada przekształcania:
Kolejność występowania członów nieliniowych
ma istotne znaczenie dla właściwości układu i
nie wolno jej zmieniać.
Przekształcanie schematów blokowych
Dopuszczalne przekształcenia schematów blokowych:
1) szeregowe połączenie członów,
2) równoległe połączenie członów,
3) przenoszenie węzła zaczepowego.
Przekształcanie schematów blokowych
Rozważamy fragment układu złożony z dwóch członów
nieliniowych o znanych charakterystykach statycznych
połączonych szeregowo:
u y
u u1 y
( )
f u
( ) ( )
f1 u f2 u1
Dwa człony nieliniowe połączone Człon zastępczy równoważny
szeregowo. układowi z rysunku obok.
Po podstawieniu charakterystyki pierwszego członu do
charakterystyki drugiego członu otrzymujemy
y = f2(u1) = f2[f1(u)] = f(u)
Graficzne wyznaczanie charakterystyki członu zastępczego
dla członów nieliniowych połączonych szeregowo
Przekształcanie schematów blokowych
Równoległe połączenie członów
( ) y1
f1 u
+
u y
u y
( )
f u
+
( ) y2
f2 u
Człon zastępczy równoważny
układowi ze schematu obok
Dwa człony nieliniowe połączone
równolegle
Z istoty połączenia równoległego wynika, że charakterystyka członu
zastępczego jest równa sumie charakterystyk członów składowych
y = y1 + y2 = f1(u) + f2(u) = f(u)
Graficzne wyznaczanie charakterystyki członu zastępczego
dla członów nieliniowych połączonych równolegle
y1 , y2 , y
( )
y f u
=
4
( )
y2 f2 u
=
3
( )
y1 f1 u
=
2
u
1
Przekształcanie schematów blokowych  przykład
Wyznaczyć charakterystykę członu zastępczego dla podanego niżej
równoległego połączenia członów o znanych charakterystykach
statycznych.
4
y1
2
+
u y
+
4
y2
2 4
Dwa człony nieliniowe połączone równolegle
Przekształcanie schematów blokowych  przykład
Rozwiązaniem jest
charakterystyka
( )
y=f u
y1, y2, y
pokazana na rysunku.
( )
y2 =f2 u
6
Charakterystyka
( )
wypadkowa jest liniowa y1=f1 u
4
lub zbliżona do liniowej.
2
0
2 4 6 u
Charakterystyki dla podanych układów
Przenoszenie węzła zaczepowego przed blok
Przeniesienie węzła zaczepowego przed blok nieliniowy
zgodnie z warunkiem koniecznym i dostatecznym wymaga
wprowadzenia dodatkowego członu nieliniowego takiego,
jak człon dany. Otrzymamy wtedy schemat pokazany
poniżej na rysunku.
u y
u y
( ) ( )
f u
f u
y
( )
f u
y
Schemat blokowy z węzłem Przekształcony schemat
zaczepowym za blokiem z rysunku obok
Przenoszenie węzła zaczepowego za blok
Przeniesienie węzła zaczepowego za blok nieliniowy
zgodnie z warunkiem koniecznym i dostatecznym wymaga
wprowadzenia dodatkowego członu nieliniowego o cha-
rakterystyce odwrotnej do charakterystyki danej.
u
u y
u y
( )
f u
( )
f u
y
u
( )= -1( )
Ć y f u
Schemat blokowy z węzłem
u
zaczepowym przed blokiem
Przekształcony schemat z
rysunku obok
Układy regulacji przekaz
nikowej
Przekaz
nikowe regulatory nieciągłe, dwupołożeniowe i
trójpołożeniowe, tworzą nieliniowe układy regulacji.
Regulatory dwupołożeniowe są stosowane do obiektów o dużych
stałych czasowych, na przykład w układach regulacji ciśnienia,
poziomu i temperatury.
Do grupy regulatorów nieciągłych należą również regulatory
trójpołożeniowe, generujące trzy stany-wysoki, niski i zerowy,
które mogą odpowiadać obrotom silnika nawrotnego w lewo, w
prawo i zatrzymaniu.
Elementy trójpołożeniowe objęte pętlą korekcyjnego ujemnego
sprzężenia zwrotnego i sterujące silnikami wykonawczymi,
nazywają się regulatorami krokowymi.
 Regulacja dwupołożeniowa
y (t)
yz + e(t)
u(t)
Obiekt
RD
-
u
W charakterze regulatora dwustawnego RD
H
występuje element mający charakterystykę
przekaz
nikową -przekaz
nik, stycznik, tyrystor.
e
L
Sygnał wyjściowy regulatora dwupołożeniowego
e1 e2
przyjmuje dwa stany: L (low) i H (high).
Regulatory dwupołożeniowe stosuje się do stabilizacji:
" temperatury (termostaty), na przykład w podgrzewaczach paliwa,
" poziomu cieczy (mombreje), na przykład w zbiornikach
rozchodowych,
" ciśnienia (presostaty), na przykład w zbiornikach sprężonego
powietrza.
 Regulacja trójpołożeniowa
Charakterystyka statyczna
regulatora trójpołożeniowego ma
trzy stany: -1, 0, 1
W porównaniu z regulatorami dwupołożeniowymi dodatkowym
parametrem charakterystyki statycznej, oprócz strefy histerezy h,
jest strefa nieczułości a.
Istotne znaczenie regulatorów trójpołożeniowych wynika
z możliwości sterowania silnikami nawrotnymi - trzy stany na
wyjściu odpowiadają kierunkowi obrotów w prawo, w lewo oraz
stop.
Zastosowanie regulatora trójpołożeniowego bez dodatkowych
członów dynamicznych nie daje dobrych rezultatów.
Regulacja krokowa
Regulator trójpołożeniowy zintegrowany z silnikiem wykonawczym
i zaopatrzony w korekcję własności dynamicznych nazywa się
regulatorem krokowym:
Przy powolnych zmianach e(t) oraz dla uśrednionych wartości
można wyznaczyć transmitancję regulatora krokowego:
u (s) 1 1
GRK (s) =� � ��
e(s) sT Gk (s)
m
k
Gk (s) =�
Dla
Tis +� 1
regulator krokowy ma własności regulatora PI:
Ti ć� 1 ��
G (s) =� �� 1 +� ��
RK
kT sTi ł�
Ł�
m
k
Dla
G ( s) =� 2
k
TiTds +� Tis +� 1
regulator krokowy ma własności regulatora PID:
ć� ��
Ti 1
��
G (s) =�
RK
��1 +� sTi +� sT d ��
��
kT
m Ł� ł�
Nastawy regulatorów krokowych
Nastawy regulatorów krokowych PI i PID są prawie takie same
jak regulatorów o wyjściu ciągłym, ponadto dobiera się
szerokość pętli histerezy h i strefy nieczułości a, w
następujący sposób:
- szerokości strefy nieczułości a jest w przybliżeniu równa
maksymalnej wartości uchybu ustalonego,
- zwykle przyjmuje się h/a<0.5 ponieważ wzrost strefy
histerezy pogarsza stabilność układu,
Przykłady regulatorów przekaz
nikowych
stosowanych na statkach
Regulator dwupołożeniowy przewodności BC 3100
firmy Spirax Sarco
Regulator przeznaczony jest do pracy w układach regulacji
i sygnalizacji zasolenia wody kotłowej, z wykorzystaniem
pomiaru przewodności.
Regulator wyposażony jest standardowo w nastawialne wyjście
sygnalizacyjne, a także analogowe 0(4)-20 mA, reprezentujące
wartość mierzoną przewodności w jednostkach odpowiadających
wybranemu zakresowi regulatora.
Regulator BC 3100 posiada sześć zakresów, wybieranych
wewnętrznym przełącznikiem, dostępnym po zdjęciu obudowy.
Regulator posiada również wejście przystosowane do podłączenia
oporowego czujnika temperatury PT 100, w celu ewentualnej
kompensacji temperaturowych zmian przewodności wody
w warunkach zmieniającego się ciśnienia i temperatury.
Regulator krokowy poziomu wody LC 2200
firmy Spirax Sarco
Regulator jest zalecany do współpracy z przetwornikiem
pojemnościowym poziomu w układach regulacji krokowej
poziomu wody w kotle, zbiorniku pod odgazowywaczem,
wodniarce, itp.
Można także wykorzystać sygnały pomiarowe z dowolnego
przetwornika ciśnienia, różnicy ciśnień lub temperatury.
Sygnał nastawiający regulatora jest dostosowany do współpracy z
siłownikiem elektrycznym, wyposażonym w nadajnik
potencjometryczny położenia zaworu.
Drugi kanał wyjściowy, także dwustanowy, służy do sygnalizacji
stanu krytycznego wielkości mierzonej. Wyjście sygnalizacyjne
wyposażone jest w filtr, umożliwiający sygnalizację stanów
poziomu na przykład burzliwie zachowującej się wody.
Regulator elektroniczny przekaz
nikowy temperatury SX65
firmy Spirax Sarco
Regulator jest przeznaczony do stałowartościowej- ciągłej,
krokowej lub dwupołożeniowej regulacji temperatury we
współpracy z czujnikiem oporowym Pt 100 i elementami
wykonawczymi, przyjmującymi sygnał analogowy, prądowy
4-20 mA lub z przekaz
nika (siłowniki elektryczne).
Możliwości regulatora:
" dwie przełączane zdalnie wartości zadane,
" regulacja według algorytmu PID z możliwością takiej
jego modyfikacji, aby otrzymać algorytmy pochodne
- regulację P lub dwupołożeniową,
" dwie programowalne sygnalizacje,
" blokada klawiatury elewacyjnej,
" ochrona przed przeregulowaniem,
" ogranicznik sygnału wyjściowego.
Dziękuję za uwagę.