ÿþW y m a g a n i a s t a w i a n e u k Ba d o m
1
a u t o m a t y k i
W z a s t o s o w a n i a c h p r a k t y c z n y c h u k Ba d o m
a u t o m a t y k i s t a w i a n e s w y m a g a n i a :
- z a p e w n i e n i a o d p o w i e d n i e g o z a p a s u
s t a b i l n o [c i ,
- o s i g n i c i a w Ba [c i w e j j a k o [c i r e g u l a c j i w
s t a n a c h p r z e j [c i o w y c h ,
- n i e p r z e k r o c z e n i a d o p u s z c z a l n e g o
u c h y b u u s t a l o n e g o .
2
D o a n a l i z y s t a b i l n o [c i l i n i o w y c h u k Ba d ó w a u t o m a t y k i
w y k o r z y s t u j e s i :
Øðk r y t e r i u m a n a l i t y c z n e H u r w i t z a ,
Øðk r y t e r i u m g r a f i c z n e N y q u i s t a .
D o o c e n y j a k o [c i r e g u l a c j i w s t a n i e p r z e j [c i o w y m
s t o s u j e s i :
Øðp a r a m e t r y o d p o w i e d z i s k o k o w e j ,
Øðw s k a zn i k r e g u l a c j i ,
Øðk r y t e r i a c a Bk o w e .
D o o k r e [l e n i a u c h y b u u s t a l o n e g o r e g u l a c j i s Bu |y
t w i e r d z e n i e o w a r t o [c i k o Dc o w e j p r z e k s z t a Bc e n i a
L a p l a c e a .
3
Z A P A S S T A B I L N O ZC I
S t a b i l n o [ j e s t j e d n y m z p o d s t a w o w y c h p o j t e o r i i
s t e r o w a n i a , w y r a |a j c y m w Ba s n o [ p o z o s t a w a n i a
r o z w i z a D r ó w n a D r ó |n i c z k o w y c h o p i s u j c y c h u k Ba d
d y n a m i c z n y w o d p o w i e d n i o o k r e [l o n y m o b s z a r z e
o g r a n i c z o n y m .
U k Ba d s t e r o w a n i a j e s t s t a b i l n y , j e |e l i p o w y t r c e n i u z e
s t a n u r ó w n o w a g i s a m w r a c a d o s t a n u p o p r z e d n i e g o .
P o j c i e t o o d n o s i s i z a r ó w n o d o z a m k n i t y c h j a k i
o t w a r t y c h l i n i o w y c h u k Ba d ó w s t e r o w a n i a .
O s t a b i l n o [c i u k Ba d u s t e r o w a n i a m o |n a w n i o s k o w a n a
p o d s t a w i e r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e g o , o p i s u j c e g o
z w i z e k m i d z y w i e l k o [c i w y j [c i o w y ( t ) a w e j [c i o w
x ( t ) .
4
n m
y
( a l d l ) =ð ( b k d k x )
åð åð
l k
d t d t
l =ð 0 k =ð 0
D o k o n u j c p r z e k s z t a Bc e n i a L a p l a c e ' a r ó w n a n i a
r ó |n i c z k o w e g o m o |n a w y z n a c z y t r a n s f o r m a t
o d p o w i e d z i u k Ba d u Y ( s ) w p o s t a c i :
m
b k s k
åð
L ( s )
k =ð 0
Y ( s ) =ð G ( s ) X ( s ) =ð X ( s ) =ð X ( s )
n
M ( s )
a l s l
åð
l =ð 0
W i e l o m i a n M ( s ) w m i a n o w n i k u t r a n s m i t a n c j i G ( s )
o k r e [l a w Ba [c i w o [c i d y n a m i c z n e t e g o u k Ba d u i n a z y w a
s i w i e l o m i a n e m c h a r a k t e r y s t y c z n y m .
5
R o z w i z a n i e r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e g o , s t a n o w i c e
o d p o w i e d z u k Ba d u s t e r o w a n i a , j e s t s u m s k Ba d o w e j
w y m u s z o n e j y w ( t ) i s k Ba d o w e j p r z e j [c i o w e j y p ( t ) :
y ( t ) = y w ( t ) + y p ( t )
S k Ba d o w a w y m u s z o n a j e s t o k r e [l o n a p r z e z p a r a m e t r y
u k Ba d u o r a z p r z e b i e g w y m u s z e n i a i n i e m u s i b y
b r a n a p o d u w a g p r z y b a d a n i u s t a b i l n o [c i u k Ba d u .
O t y m c z y u k Ba d n a d |a z a z m i a n a m i w i e l k o [c i
s t e r u j c e j , d e c y d u j e p r z e b i e g s k Ba d o w e j p r z e j [c i o w e j ,
z a l e |n y o d w Ba [c i w o [c i d y n a m i c z n y c h u k Ba d u .
B a d a n i e s t a b i l n o [c i u k Ba d u s t e r o w a n i a m o |n a z a t e m
o g r a n i c z y d o a n a l i z y s k Ba d o w e j p r z e j [c i o w e j , k t ó r a
j e s t r o z w i z a n i e m j e d n o r o d n e g o r ó w n a n i a
r ó |n i c z k o w e g o b a d a n e g o u k Ba d u .
6
P r z e b i e g s k Ba d o w e j p r z e j [c i o w e j j e s t o k r e [l o n y p r z e z
r ó w n a n i e c h a r a k t e r y s t y c z n e , k t ó r e o t r z y m u j e s i
p o p r z e z p r z y r ó w n a n i e w i e l o m i a n u c h a r a k t e r y s t y c z n e g o
d o z e r a :
M ( s ) = a n s n + a n - 1 s n - 1 + . . . + a 1 s + a o = 0
J e |e l i p i e r w i a s t k i r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o s i s
j e d n o k r o t n e , t o s k Ba d o w a p r z e j [c i o w a w y r a |a s i
k o m b i n a c j l i n i o w f u n k c j i w y k Ba d n i c z y c h :
n
s i t
y p ( t ) =ð c i e
åð
i =ð 0
N a p r z e b i e g s k Ba d o w e j p r z e j [c i o w e j i s t a b i l n o [ u k Ba d u
s t e r o w a n i a m a w p By w p o Bo |e n i e p i e r w i a s t k ó w r ó w n a n i a
c h a r a k t e r y s t y c z n e g o s i n a p Ba s z c z y zn i e z m i e n n e j
z e s p o l o n e j .
7
P i e r w i a s t k i r z e c z y w i s t e
s 1 =ð -ð að
-ð að t
y p ( t ) =ð c 1 e ®ð 0 p r z y t ®ð ¥ð
s 1 =ð að
að t
y p ( t ) =ð c 1 e ®ð ¥ð p r z y t ®ð ¥ð
s 1 =ð 0
0 ×ðt
y p ( t ) =ð c 1 e =ð c 1
8
P i e r w i a s t k i z e s p o l o n e
s 1 , 2 =ð -ð að ±ð j wð
( -ð að +ð j wð ) t ( -ð að -ð j wð ) t
y p ( t ) =ð c 1 e +ð c e =ð
2
-ð að t
c e c o s ( wð t +ð jð )
s 1 , 2 =ð að ±ð j wð
( að +ð j wð ) t ( að -ð j wð ) t
y p ( t ) =ð c 1 e +ð c e =ð
2
að t
c e c o s ( wð t +ð jð )
s 1 , 2 =ð ±ð j wð
j wð t -ð j wð t
y p ( t ) =ð c 1 e +ð c e =ð
2
c c o s ( wð t +ð jð )
9
A b y p r o c e s y p r z e j [c i o w e z a n i k a By , c z y l i |e b y b a d a n y
u k Ba d b y B s t a b i l n y , w s z y s t k i e p i e r w i a s t k i r z e c z y w i s t e
m u s z b y u j e m n e , a z e s p o l o n e m i e u j e m n c z [
r z e c z y w i s t .
J e |e l i c h o c i a |b y j e d e n z p i e r w i a s t k ó w r ó w n a n i a
c h a r a k t e r y s t y c z n e g o m a d o d a t n i c z [ r z e c z y w i s t , t o
u k Ba d s t e r o w a n i a j e s t n i e s t a b i l n y .
W p r z y p a d k u , w k t ó r y m i s t n i e j p i e r w i a s t k i
j e d n o k r o t n e o c z [c i r z e c z y w i s t e j r ó w n e j z e r u , u k Ba d
z n a j d u j e s i n a g r a n i c y s t a b i l n o [c i .
P r z y c z y m d l a p i e r w i a s t k ó w r z e c z y w i s t y c h o d p o w i e d z
j e s t a p e r i o d y c z n a , a d l a p i e r w i a s t k ó w z e s p o l o n y c h
o d p o w i e d z u k Ba d u m a c h a r a k t e r o s c y l a c y j n y .
K o n i e c z n y m i d o s t a t e c z n y m w a r u n k i e m s t a b i l n o [c i
a s y m p t o t y c z n e j ( u k Ba d w r a c a d o p o p r z e d n i e g o
s t a n u u s t a l o n e g o ) j e s t a b y : R e ( s i ) < 0
1 0
L i n i o w y u k Ba d s t e r o w a n i a j e s t s t a b i l n y j e |e l i w s z y s t k i e
p i e r w i a s t k i r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o m a j c z [
r z e c z y w i s t m n i e j s z o d z e r a , c z y l i l e | w l e w e j
p ó Bp Ba s z c z y zn i e z m i e n n e j z e s p o l o n e j s .
T w i e r d z e n i a , p o z w a l a j c e o c e n i s t a b i l n o [ b e z
o b l i c z a n i a p i e r w i a s t k ó w r ó w n a n i a
c h a r a k t e r y s t y c z n e g o u k Ba d u ( b i e g u n ó w ) , n a z y w a n e s
k r y t e r i a m i s t a b i l n o [c i .
W y r ó |n i a s i :
" k r y t e r i a a n a l i t y c z n e , n p . H u r w i t z a l u b R o u t h a
" k r y t e r i a g r a f i c z n e c z s t o t l i w o [c i o w e , n p . N y q u i s t a
" k r y t e r i a g r a f o - a n a l i t y c z n e , n p . M i c h a j Bo w a .
1 1
K r y t e r i u m H u r w i t z a
O k r e [l a w a r u n k i , j a k i e p o w i n n y s p e Bn i a
w s p ó Bc z y n n i k i r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o , a b y
p i e r w i a s t k i t e g o r ó w n a n i a m i a By u j e m n e c z [c i
r z e c z y w i s t e .
U k Ba d a u t o m a t y k i j e s t s t a b i l n y t y l k o w ó w c z a s , g d y
w s p ó Bc z y n n i k i r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o
( a n , a n - 1 , . . . , a 0 ) u k Ba d u z a m k n i t e g o :
a n s n + a n - 1 s n - 1 + . . . + a 1 s + a 0 = 0
o r a z p o d w y z n a c z n i k i W 1 , W 2 , . . . , W n - 1 w y z n a c z n i k a
H u r w i t z a W n s w i k s z e o d z e r a .
1 2
n
1 3
W p r z y p a d k u , g d y u k Ba d j e s t n i e s t a b i l n y , k r y t e r i u m
H u r w i t z a n i e p o z w a l a o k r e [l i l i c z b y p i e r w i a s t k ó w
r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o l e |c y c h w p r a w e j
p ó Bp Ba s z c z y zn i e z m i e n n e j z e s p o l o n e j s .
K r y t e r i u m H u r w i t z a n i e p o z w a l a o k r e [l i z a p a s u
s t a b i l n o [c i , a l e u m o |l i w i a z n a l e z i e n i e w a r t o [c i
p a r a m e t r ó w u k Ba d u a u t o m a t y k i p r z y k t ó r y c h
b d z i e s t a b i l n y , n p . w a r t o [c i n a s t a w r e g u l a t o r a .
1 4
P r z y k Ba d
T r a n s m i t a n c j a u k Ba d u o t w a r t e g o m a p o s t a :
k
G ( s ) =ð
o
( 1 +ð T 1 s ) ( 1 +ð T 2 s ) ( 1 +ð T 3 s )
N a l e |y w y z n a c z y g r a n i c z n w a r t o [ w s p ó Bc z y n n i k a
w z m o c n i e n i a k , t a k a b y u k Ba d z a m k n i t y b y B s t a b i l n y
d l a : T 1 = 5 s e k , T 2 = 2 s e k , T 3 = 1 . 4 s e k
T r a n s m i t a n c j a u k Ba d u z a m k n i t e g o :
k
G ( s ) =ð
z
( 1 +ð T 1 s ) ( 1 +ð T 2 s ) ( 1 +ð T 3 s ) +ð k
R ó w n a n i e c h a r a k t e r y s t y c z n e u k Ba d u :
T 1 T 2 T 3 s 3 + ( T 1 T 2 + T 1 T 3 + T 2 T 3 ) s 2 + ( T 1 + T 2 + T 3 ) s + 1 + k = 0
1 5
W y z n a c z n i k H u r w i t z a :
g d z i e : a 3 = T 1 T 2 T 3 > 0 a 2 = T 1 T 2 + T 1 T 3 + T 2 T 3 > 0
a 1 = T 1 + T 2 + T 3 > 0 a 0 = 1 + k > 0
s t d k > - 1 , z a [ w p r a k t y c e k > 0
W 1 = a 2 = 5 · 2 + 2 · 1 . 4 + 1 . 4 · 5 = 1 9 . 8 > 0
K < 1 0 . 8 8
W 2 = a 2 a 1 - a 0 a 3 = 1 9 . 8 · 8 . 4 - 1 4 ( 1 + k ) > 0
U k Ba d z a m k n i t y b d z i e s t a b i l n y d l a :
0 < k < 1 0 . 8 8
1 6
K r y t e r i u m N y q u i s t a
K r y t e r i u m p o z w a l a o k r e [l i s t a b i l n o [ u k Ba d u
z a m k n i t e g o n a p o d s t a w i e c h a r a k t e r y s t y k i a m p l i t u d o w o -
f a z o w e j u k Ba d u o t w a r t e g o .
T r a n s m i t a n c j a u k Ba d u o t w a r t e g o G o ( s ) :
G 0 ( s ) = G 1 ( s ) G 2 ( s )
1 7
T r a n s m i t a n c j a u k Ba d u z a m k n i t e g o :
G ( s )
o
G ( s ) =ð
z
1 +ð G ( s )
o
R ó w n a n i e c h a r a k t e r y s t y c z n e :
M ( s ) = 1 + G 0 ( s ) = 0
s t d
G 0 ( s ) = - 1
W a r u n e k g r a n i c z n y s t a b i l n o [c i :
- a m p l i t u d a : | G 0 ( s ) | = 1
- f a z a : Æ = - À
c z y l i p r z e j [c i e c h a r a k t e r y s t y k i a m p l i t u d o w o - f a z o w e j
u k Ba d u o t w a r t e g o p r z e z p u n k t ( - 1 , j 0 )
1 8
J e |e l i u k Ba d o t w a r t y j e s t s t a b i l n y , t o u k Ba d z a m k n i t y
j e s t r ó w n i e | s t a b i l n y , j e |e l i c h a r a k t e r y s t y k a
a m p l i t u d o w o - f a z o w a u k Ba d u o t w a r t e g o n i e o b e j m u j e
p u n k t u ( - 1 , j 0 ) .
J e |e l i u k Ba d o t w a r t y j e s t n i e s t a b i l n y i m a k
p i e r w i a s t k ó w n a p r a w e j p ó Bp Ba s z c z y zn i e , t o u k Ba d
z a m k n i t y j e s t s t a b i l n y , j e |e l i c h a r a k t e r y s t y k a
a m p l i t u d o w o - f a z o w a u k Ba d u o t w a r t e g o o b e j m u j e
p u n k t ( - 1 , j 0 ) k / 2 r a z y .
1 9
K r y t e r i u m N y q u i s t a d l a u k Ba d ó w s t a t y c z n y c h
2 0
K r y t e r i u m N y q u i s t a d l a u k Ba d ó w a s t a t y c z n y c h I r z d u
2 1
L o g a r y t m i c z n e k r y t e r i u m N y q u i s t a
A <ð 1 ®ð 2 0 l g A <ð 0 A >ð 1 ®ð 2 0 l g A >ð 0
jð =ð -ð pð jð =ð -ð pð
2 0 l g | G ( j É) | 2 0 l g | G ( j É) |
u k Ba d p o z a m k n i c i u
u k Ba d p o z a m k n i c i u
b d z i e s t a b i l n y
b d z i e n i e s t a b i l n y
2 2
2 0 l g | G ( j É) |
z a p a s
a m p l i t u d y
z a p a s f a z y
W d o b r z e t Bu m i o n y c h u k Ba d a c h , n i e p o d a t n y c h n a s a m o w z b u d z e n i e
z a p a s a m p l i t u d y p o w i n i e n w y n o s i o d 6 d o 1 2 d B , a z a p a s f a z y o d
3 0 0 d o 6 0 0 .
2 3
J A K O Z R E G U L A C J I W S T A N A C H
P R Z E J ZC I O W Y C H
K r y t e r i a c z a s o w e
T w o r z p a r a m e t r y o d p o w i e d z i u k Ba d u ( u c h y b u r e g u l a c j i e l u b
w i e l k o [c i r e g u l o w a n e j y ) n a s k o k o w e z m i a n y w i e l k o [c i z a d a n e j
l u b z a k Bó c e D:
" c z a s u r e g u l a c j i t r j a k o c z a s u p o u p By w i e k t ó r e g o u c h y b r e g u l a c j i
s t a j e s i m n i e j s z y n i | p r z y j t a w a r t o [ d o p u s z c z a l n a ±ðDðe ,
n a j c z [c i e j p r z y j m u j e s i t r àð m i n o r a z Dðe = ( 0 . 0 2 0 . 0 5 ) y z
C z a s r e g u l a c j i o k r e [l a j c y s z y b k o [ d z i a Ba n i a u k Ba d u , w p r a k t y c e
m o |n a o c e n i w p r z y b l i |e n i u j a k o : t r = ( 3 5 ) T z a s t o b
" p r z e r e g u l o w a n i a æ = e 2 / e 1 · 1 0 0 % = 1 0 3 0 % , n a j c z [c i e j
p r z y j m u j e s i 2 0 %
2 4
O s c y l a c y j n y p r z e b i e g u c h y b u r e g u l a c j i w y w o Ba n y s k o k o w z m i a n
w a r t o [c i z a d a n e j
2 5
A p e r i o d y c z n y p r z e b i e g u c h y b u r e g u l a c j i w y w o Ba n y s k o k o w z m i a n
w a r t o [c i z a d a n e j
2 6
W s k a zn i k r e g u l a c j i
Z a w s k a zn i k r e g u l a c j i p r z y j m u j e s i s t o s u n e k
t r a n s f o r m a t y L a p l a c e ` a u c h y b u r e g u l a c j i u k Ba d u
z a m k n i t e g o E r ( s ) ( z r e g u l a t o r e m ) d o t r a n s f o r m a t y
L a p l a c e ` a u c h y b u s t e r o w a n i a u k Ba d u o t w a r t e g o E o ( s )
( b e z r e g u l a t o r a ) :
J e |e l i r o z p a t r y w a t e n s a m u k Ba d s t e r o w a n i a p r z e d i p o
z a m k n i c i u p t l i s p r z |e n i a z w r o t n e g o , t o w s k a zn i k
r e g u l a c j i p o z w a l a o c e n i , o i l e z m i e n i a s i u c h y b
s t e r o w a n i a w w y n i k u z a s t o s o w a n i a u j e m n e g o
s p r z |e n i a z w r o t n e g o .
2 7
W s k a zn i k r e g u l a c j i n a j c z [c i e j p r z e d s t a w i a s i w
p o s t a c i w i d m o w e j :
2 8
K r y t e r i a c a Bk o w e
C a Bk o w e k r y t e r i a j a k o [c i p o z w a l a j o c e n i z a r ó w n o
j a k o [ r e g u l a c j i w s t a n i e u s t a l o n y m ( d o k Ba d n o [
s t a t y c z n a ) , j a k i w s t a n i e n i e u s t a l o n y m ( z a p a s
s t a b i l n o [c i i s z y b k o [ d z i a Ba n i a u k Ba d u ) .
Z a c a Bk o w e k r y t e r i a j a k o [c i r e g u l a c j i p r z y j m u j e s i
f u n k c j o n a By t y p u :
I 1 = e ( t ) d t àð m i n I E - i n t e g r a l e r r o r
I 2 = e 2 ( t ) d t àðm i n I S E - i n t e g r a l s q u a r e d
e r r o r
2 9
¥ð
2
I T S E - i n t e g r a l o f t i m e m u l t i p l i e d
I =ð t ×ðe ( t ) d t ®ð m i n
òð
3
0
b y s q u a r e d e r r o r
¥ð
I =ð e ( t ) d t ®ð m i n
òð
4
I A E - i n t e g r a l v a l u e o f e r r o r
0
¥ð
I T A E - i n t e g r a l o f t i m e m u l t i p l i e d
I =ð t e ( t ) d t ®ð m i n
òð
5
b y a b s o l u t e v a l u e o f e r r o r
0
3 0
D O P U S Z C Z A L N Y U C H Y B U S T A L O N Y
Z a m i a r d o k Ba d n o [c i s t a t y c z n e j r e g u l a c j i
p r z y j m u j e s i w a r t o [ u c h y b u r e g u l a c j i w s t a n i e
u s t a l o n y m :
e ( t ) = y o ( t ) y ( t )
W a r t o [ t m o |n a w y z n a c z y a n a l i t y c z n i e
w y k o r z y s t u j c t w i e r d z e n i a o w a r t o [c i k o Dc o w e j
r a c h u n k u o p e r a t o r o w e g o L a p l a c e a .
O c z y w i s t y m j e s t , |e n a j b a r d z i e j p o |d a n w a r t o [c i
t e g o u c h y b u j e s t w a r t o [ z e r o .
3 1
T r a n s f o r m a t a w i e l k o [c i w y j [c i o w e j y ( t ) j e s t s u m
s k Ba d o w e j w y w o Ba n e j z m i a n w y m u s z e n i a i s k Ba d o w e j
s p o w o d o w a n e j d z i a Ba n i e m z a k Bó c e n i a :
Y ( s ) = G 1 ( s ) G 2 ( s ) E ( s ) + G 2 ( s ) Z ( s )
n a s t e p n i e
E ( s ) = Y o ( s ) Y ( s )
E ( s ) = Y 0 ( s ) G 1 ( s ) G 2 ( s ) E ( s ) G 2 ( s ) Z ( s )
G o ( s ) = G 1 ( s ) G 2 ( s )
3 2
B i o r c p o d u w a g , |e z a k Bó c e n i a s p r z y p a d k o w e i n i e
m o |n a p r z e w i d z i e , j a k i b d z i e m o d u B i a r g u m e n t
t r a n s f o r m a t y Z ( s ) , d l a t e g o z n a k m i n u s m o |n a z a s t p i
z n a k i e m p l u s :
E ( s ) = G u ( s ) Y o ( s ) + G u ( s ) G 2 ( s ) Z ( s )
g d z i e
n a z y w a s i t r a n s m i t a n c j u c h y b o w
u k Ba d u z a m k n i t e g o .
3 3
U c h y b n a d |a n i a i z a k Bó c e n i o w y
N a p o d s t a w i e o s t a t n i e j z a l e |n o [c i m o |n a w y r a z i
s k Ba d o w t r a n s f o r m a t y u c h y b u w n o s z o n p r z e z
z m i a n y w i e l k o [c i z a d a n e j y o ( t ) j a k o u c h y b n a d |a n i a
z a z m i a n a m i w a r t o [c i z a d a n e j :
E y ( s ) = G u ( s ) Y o ( s )
a s k Ba d o w w y w o Ba n o d d z i a By w a n i e m z a k Bó c e D
m o |n a p r z e d s t a w i w p o s t a c i u c h y b u z a k Bó c e n i o w e g o :
E z ( s ) = G u ( s ) G 2 ( s ) Z ( s )
W a r t o [ t y c h s k Ba d o w y c h w s t a n i e u s t a l o n y m
w y z n a c z a s i k o r z y s t a j c z t w i e r d z e n i a o w a r t o [c i
k o Dc o w e j p r z e k s z t a Bc e n i a L a p l a c e a .
3 4
W a r t o [c i s k Ba d o w y c h u c h y b u u s t a l o n e g o
w y z n a c z a s i z n a s t p u j c y c h z a l e |n o [c i :
3 5
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