WM 2. Ćwiczenie projektowe numer 2  przykład 4 1
2. Ćwiczenie projektowe numer 2  przykład 4
2.1. Ćwiczenie projektowe numer 2
Wyznaczyć położenie środka ciężkości, momenty bezwładności w dowolnym układzie osi środko-
wych oraz kierunek główny i główne momenty bezwładności przekroju przedstawionego na rysunku 2.1.
240
280
120x80x10
Rys. 2.1. Przekrój pręta
2.2. Środek ciężkości przekroju
Rysunki 2.2, 2.3 i 2.4 przedstawiają wymiary ceownika, dwuteownika oraz kątownika nierównora-
miennego odczytane z tablic do projektowania konstrukcji metalowych. Charakterystyki geometryczne
ceownika wynoszÄ…
Dr inż. Justyna Grzymisławska BS-I
WM 2. Ćwiczenie projektowe numer 2  przykład 4 2
Y
X X
sc
Y
2,23
[cm]
8,5
Rys. 2.2. Wymiary ceownika
Y
X X
sc
1,01
Y
11,9 [cm]
Rys. 2.3. Wymiary dwuteownika
A=42,3 cm2 ,
,
J =3600 cm4
X
.
J =248,0 cm4
Y
Charakterystyki geometryczne dwuteownika wynoszÄ…
A=61,1cm2 ,
Dr inż. Justyna Grzymisławska BS-I
12,0
24,0
12,0
14,0
28,0
14,0
WM 2. Ćwiczenie projektowe numer 2  przykład 4 3
2
Y
1
X X
sc
1
2
Y
[cm]
1,95
8,0
Rys. 2.4. Wymiary kątownika nierównoramiennego
,
J =7590 cm4
X
.
J =364,0 cm4
Y
Charakterystyki geometryczne kątownika nierównoramiennego wynoszą
A=19,1 cm2 ,
,
J =276,0 cm4
X
,
J =98,1cm4
Y
.
J =56,8 cm4
2
Rysunek 2.5 przedstawia podział przekroju na figury składowe oraz początkowy układ współrzędnych YPZP.
Współrzędne środka ciężkości ceownika wynoszą
24,0
.
y = =12,0 cm , zP1=8,5-2,23=6,27 cm
P1
2
Współrzędne środka ciężkości dwuteownika wynoszą
11,9 28,0
.
yP2=24,0- =18,05cm, zP2=8,5ƒÄ… =22,50 cm
2 2
Dr inż. Justyna Grzymisławska BS-I
12,0
3,92
WM 2. Ćwiczenie projektowe numer 2  przykład 4 4
YP
12,0
Y01
sc1
Z01
12,0
Y02
sc2
Y03
sc3
Z02
Z03
13,63
18,05
11,90 12,10
[cm]
ZP
Rys. 2.5. Podział przekroju pręta na figury składowe
Współrzędne środka ciężkości kątownika nierównoramiennego wynoszą
11,9 1,01 28,0
.
yP3=24,0- - -3,92=13,63 cm , zP3=8,5ƒÄ… ƒÄ…1,95=24,45cm
2 2 2
Dr inż. Justyna Grzymisławska BS-I
6,27
8,5
22,50
24,45
14,0
8,0
14,0
WM 2. Ćwiczenie projektowe numer 2  przykład 4 5
Y01
sc1
Z01
3,27
Y0
sc
15,27
Y02
sc2
Y03
sc3
Z02
Z03
Z0
2,78 1,64
[cm]
11,90 12,10
Rys. 2.6. Układ osi środkowych
Współrzędne środka ciężkości przekroju wynoszą
42,3Å"12,0ƒÄ…61,1Å"18,05ƒÄ…19,1Å"13,63
yC= =15,27 cm ,
42,3ƒÄ…61,1ƒÄ…19,1
42,3Å"6,27ƒÄ…61,1Å"22,50ƒÄ…19,1Å"24,45
zC= =17,20cm .
42,3ƒÄ…61,1ƒÄ…19,1
Dr inż. Justyna Grzymisławska BS-I
8,5
17,20
10,93
14,0
5,30
7,25
14,0
WM 2. Ćwiczenie projektowe numer 2  przykład 4 6
2.3. Momenty bezwładności w układzie osi środkowych
Rysunek 2.3 przedstawia podział przekroju na figury składowe oraz układ osi środkowych Y0Z0.
Współrzędne środka ciężkości ceownika wynoszą
y01=12,0-15,27=-3,27 cm
.
z01=6,27-17,20=-10,93 cm
Współrzędne środka ciężkości dwuteownika wynoszą
y02=18,05-15,27=2,78 cm
.
z02=22,50-17,20=5,30cm
Współrzędne środka ciężkości kątownika nierównoramiennego wynoszą
y03=13,63-15,27=-1,64 cm
.
z03=24,45-17,20=7,25cm
Osiowe momenty bezwładności w układzie osi środkowych wynoszą
JY0=248,0ƒÄ…śą-10,93źą2Å"42,3ƒÄ…
,
ƒÄ…7590ƒÄ…5,302Å"61,1ƒÄ…
ƒÄ…98,1ƒÄ…7,252Å"19,1=15710 cm4
J =3600ƒÄ…śą-3,27źą2Å"42,3ƒÄ…
Z0
.
ƒÄ…364,0ƒÄ…2,782Å"61,1ƒÄ…
ƒÄ…276,0ƒÄ…
śą-1,64 Å"19,1=5216 cm4
źą2
Pierwszy niezmiennik dla kątownika nierównoramiennego wynosi
.
Iśą3źą=276,0ƒÄ…98,1=374,1cm4
1
Minimalny główny moment bezwładności dla kątownika nierównoramiennego odczytany z tablic wynosi
śą3źą
.
J =56,8 cm4
2
Maksymalny główny moment bezwładności dla kątownika nierównoramiennego wynosi
śą3źą
.
J =374,1-56,8=317,3 cm4
1
Dr inż. Justyna Grzymisławska BS-I
WM 2. Ćwiczenie projektowe numer 2  przykład 4 7
Drugi niezmiennik dla kątownika nierównoramiennego wynosi
.
Iśą23źą=317,3Å"56,8=18020 cm8
Wartość bezwzględna dewiacyjnego momentu bezwładności dla kątownika nierównoramiennego wynosi
2
J =276,0Å"98,1-18020=9056cm8 ,
śą źą
Y03Z03
.
J =95,16 cm4
#" #"
Y03Z03
.
J =ƒÄ…95,16 cm4
Y03Z03
Dewiacyjny moment bezwładności całego przekroju wynosi więc
JY0Z0=0,0ƒÄ… Å"-10,93 Å"42,3ƒÄ…
śą-3,27
źą śą źą
.
ƒÄ…0,0ƒÄ…2,78Å"5,30Å"61,1ƒÄ…
ƒÄ…95,16ƒÄ…śą-1,64źąÅ"7,25Å"19,1=2280 cm4
2.2. Główne momenty bezwładności
Tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych wynosi
-2Å" 2280
śą źą
.
tg śą2Å"·Ä…glźą= =-0,4345
15710-5216
Kąt główny wynosi więc
.
·Ä…gl=-11,74o
Główne momenty bezwładności wynoszą więc
15710ƒÄ…5216 15710-5216
JYgl= ƒÄ… Å"cosśą2Å"śą-11,74oźąźą-2280Å"sinśą2Å"śą-11,74oźąźą=
2 2 ,
=16180 cm4
15710ƒÄ…5216 15710-5216
JZgl= - Å"cosśą2Å"śą-11,74oźąźąƒÄ…2280Å"sinśą2Å"śą-11,74oźąźą=
2 2 .
=4742 cm4
Dr inż. Justyna Grzymisławska BS-I
WM 2. Ćwiczenie projektowe numer 2  przykład 4 8
11,74O
sc
Y0
Z0
Rys. 2.7. Położenie głównych osi bezwładności
Główne momenty bezwładności po uporządkowaniu wynoszą
J =16180 cm4, J =4742 cm4 .
1 2
Główne momenty bezwładności wynoszą także
2
15710ƒÄ…5216 15710-5216
J = Ä… ƒÄ… 2280 =
śą źą2 16180 cm4 .
1/ 2
śą źą
{
2 2
4742 cm4
ćą
Dr inż. Justyna Grzymisławska BS-I
Y
g
l
Z
g
l
WM 2. Ćwiczenie projektowe numer 2  przykład 4 9
Pierwszy niezmiennik w układzie osi środkowych wynosi
,
I1=15710ƒÄ…5216=20930 cm4
Pierwszy niezmiennik w układzie osi głównych wynosi
.
I1=16180ƒÄ…4742=20920 cm4
Drugi niezmiennik w układzie osi środkowych wynosi
I =15710Å"5216-22802=76740000 cm8 ,
2
Drugi niezmiennik w układzie osi głównych wynosi
I =16180Å"4742=76730000 cm8 .
2
Położenie osi głównych przedstawia rysunek 2.7.
Dr inż. Justyna Grzymisławska BS-I