Statystyka opisowa, II rok NE B.Z.©
WZORY NA KOLOKWIUM NR 2
n
1
Åšrednia arytmetyczna: x =
"x
i
n
i=1
n n
1 2
2 2
Wariancja: s2 =
"(x - x) = 1"x - x
i i
n n
i=1 i=1
n
1
Współczynnik kowariancji: cov x, y = xi - x yi - y .
( ) ( )( )
"
n
i=1
n
xi
( - x Å" yi - y
) ( )
"
cov(x, y)
i=1
Współczynnik korelacji: rxy = =
n n
sxsy
2 2
xi
( - x Å" yi - y
) ( )
" "
i=1 i=1
gdzie:
sx , sy oznaczajÄ… odchylenia standardowe, odpowiednio cech x oraz y,
n oznacza liczebność próby.
Współczynnik korelacji rang Spearmana
n
2
6
"d
i
i=1
rS =1- , gdzie di oznacza różnicę pomiędzy rangami dla i-tego obiektu.).
n n2 -1
( )
Równanie liniowe funkcji regresji.
I. zmiennej y względem zmiennej x: w
= ay x + by .
gdzie:
n
xi
( - x Å" yi - y
) ( )
"
cov x, y sy
( )
i=1
ay = = = rxy Å" , by = y - ay x .
2 n
sx 2 sx
xi
( - x
)
"
i=1
II. zmiennej x względem zmiennej y: x = ax y + bx
Ć
gdzie:
n
xi
( - x Å" yi - y
) ( )
"
cov x, y
( ) sx
i=1
ax = = = rxy Å" ; bx = x - ax y .
2 n
sy 2 sy
yi
( - y
)
"
i=1
ZależnoÅ›ci miÄ™dzy współczynnikiem korelacji, a prostymi regresji: rxy = Ä… ax Å" ay .
Reszty:
Ć
ei = yi - w
i lub fi = xi - xi .
n n
2
fi2
"e "
i
2
i=1 i=1
Wariancja składnika resztowego: s2 = lub sx = .
w
Ć
n - 2 n - 2
1
Statystyka opisowa, II rok NE B.Z.©
Współczynnik zbieżności
n
1
2
"e
i
n
2
i=1
- dla w
= ay x + by mamy, że Õyx = ,
s2
y
n
1
fi2
"
n
2
i=1
- dla x = ax y + bx mamy, że Õxy = .
Ć
2
sx
Przyrosty:
- absolutne jednopodstawowe: y1 - yk ; y2 - yk ;..., yn-1 - yk ; yn - yk
- absolutne łańcuchowe: y2 - y1; y3 - y2;..., yn-1 - yn-2; yn - yn-1
yt - yk
- względne jednopodstawowe: dt / k = dla t = 1, 2,..., n
yk
yt - yt-1
- względne łańcuchowe: dt /t-1 = dla t = 2,..., n
yt-1
Indeksy:
yt
- indeksy jednopodstawowe: it / k = .
yk
yt
- indeksy łańcuchowe: it /t-1 = .
yt-1
n-1 n-1
Åšrednie tempo zmian zjawiska w czasie n okresów: iG = in / n-1 Å"in-1/ n-2 Å"...Å"i2/1 = in /1
Równanie trendu: w
t = at + b .
n
t
( - t yt
)
"
n n
1 n +1 1
t=1
gdzie: a = oraz b = y - at gdzie t = = ; y = yt .
"t 2 n "
n
2 n
t=1 t=1
t
( - t
)
"
t=1
n
2
"et
i=1
- średniego błędu resztowego: sw
= , gdzie et = yt - w
t ,
n - 2
sw

- współczynnika zmienności resztowej: Vw
= ,
y
n
1
2
"e
t
n
i=1
- współczynnik zbieżnoÅ›ci Õ2 =
2
sy
Wahania sezonowe:
yt
Uwalnianie szeregu od trendu: wt = dla t=1,2,& ,n
w
t
s
"w
i+ jÅ"k
j=0
surowe wskaz
niki wahań okresowych, tj. ci' = dla i=1,2,& ,k, gdzie s oznacza
s
liczbę jednoimiennych okresów, a k liczbę faz wahań w cyklu.
2
Statystyka opisowa, II rok NE B.Z.©
Niech t = 1 oznacza okres badany, natomiast t = 0 oznacza okres podstawowy.
W analizie przyjmujemy następujące oznaczenia:
M = 1, 2,& ,m - zbiór numerów rozpatrywanych produktów,
{ }
wj0, wj1 - wartość j-tego j " M produktu odpowiednio w okresie podstawowym i badanym,
( )
qj0, qj1 - ilość j-tego j " M produktu odpowiednio w okresie podstawowym i badanym,
( )
pj0, pj1 - cena j-tego j " M produktu odpowiednio w okresie podstawowym i badanym.
( )
MiÄ™dzy wielkoÅ›ciami zachodzi zwiÄ…zek: wjt = pjt Å" qjt dla t = 0,1 j " M .
Agregatowy indeks wartości:
wj1 pj1qj1
" "
j"M j"M
Iw = = .
w01 pj0qj0
" "
j"M j"M
Agregatowy indeks cen
- według formuły Laspeyresa
pj1qj0
"
j"M
I = ,
L p
pj0qj0
"
j"M
- według formuły Paaschego
pj1qj1
"
j"M
I = .
P p
pj0qj1
"
j"M
Agregatowy indeks ilości
- według formuły Laspeyresa
pj 0qj1
"
j"M
Iq = ,
L
pj 0qj0
"
j"M
- według formuły Paaschego
pj1qj1
"
j"M
Iq = .
P
pj1qj0
"
j"M
Statystyka chi-kwadrat:
2
'
I J
nij - nij
( )
2
Ç = ,
""
'
nij
i=1 j=1
J I
ni.n. j
'
gdzie nij = , n jest liczebnością próby, ni. = , n. j =
"n "n
ij ij
n
j=1 i=1
Współczynnik zbieżności Cramera
2
Ç
V =
n m -1
( )
3