CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

DEFINICJA (płat powierzchmniowy dwustronny)
Powierzchnię nazywamy dwustronną, gdy wychodząc z dowolnego punktu P

0

po dowolnym

konturze zamkniętym nieprzecinającym brzegu powierzchni powracamy do punktu P

0

będąc

po tej samej stronie powierzchni.

DEFINICJA (płat powierzchniowy zorientowany)
Płat powierzchniowy dwustronny, na którym wyróżniono jedną ze stron, nazywamy płatem
zorientowanym. Wyróżnioną stronę nazywamy stroną dodatnią. Płat zorientowany przeciwnie
niż Σ oznaczamy −Σ.

UWAGA Dla płatów zamkniętych ograniczających pewien obszar za stronę dodatnią przyj-
mujemy na ogół stronę zewnętrzną. Jeśli płat jest wykresem funkcji z = f (x, y), to za stronę
dodatnią przyjmujemy zwykle stronę górną.

FAKT (wersor normalny płata) Niech Σ = {~

r(u, v) : (u, v) ∈ D} będzie płatem zorientowanym.

Wtedy wersor normalny ~

n płata Σ w punkcie ~

r(u, v) dany jest wzorem

~

n = ±

∂~

r

∂u

×

∂~

r

∂v

∂~

r

∂u

×

∂~

r

∂v

,

gdzie znak ± dobiera się na podstawie orientacji płata Σ.
Jeśli Σ = {(x, y, z(x, y)) : (x, y) ∈ D}, to

~

n =

1

q

1 + (

∂z
∂x

)

2

+ (

∂z
∂y

)

2

(−

∂z

∂x

, −

∂z

∂y

, 1),

gdy stroną dodatnią jest strona górna.

PRZYKŁADY

1

DEFINICJA (całka powierzchniowa zorientowana)
Niech ~

F = (P, Q, R) będzie polem wektorowym na gładkim płacie zorientowanym Σ. Wtedy

ZZ

Σ

P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy

def

=

Z Z

Σ

( ~

F (x, y, z) ◦ ~

n(x, y, z))dS.

W zapisie wektorowym

ZZ

Σ

~

F (~

r) ◦ d ~

S

def

=

ZZ

Σ

( ~

F ◦ ~

n)dS,

gdzie d ~

S = (dydz, dzdx, dxdy).

INTERPRETACJA FIZYCZNA

RR

Σ

~

v(x, y, z) ◦ d ~

S jest ilością cieczy przepływającej w jednostce czasu przez płat zorientowany

Σ ze strony ujemnej na dodatnią z prędkością ~

v(x, y, z) w punkcie (x, y, z).

DEFINICJA (całka po płacie kawałkami gładkim)
Jeśli Σ jest kawałkami gładkim płatem zorientowanym złożonym z płatów gładkich Σ

1

, Σ

2

,

...,Σ

n

o orientacjach pokrywających się z orientacją płata Σ, to

ZZ

Σ

~

F ◦ d ~

S

def

=

Z Z

Σ

1

~

F ◦ d ~

S +

Z Z

Σ

2

~

F ◦ d ~

S + ... +

Z Z

Σ

n

~

F ◦ d ~

S,

jeśli całki po prawej stronie istnieją.

TWIERDZENIE (własności całki powierzchniowej zorientowanej)
Jeśli istnieją całki z pól wektorowych ~

F i ~

G po kawałkami gładkim płacie Σ, to

1.

RR

Σ

( ~

F + ~

G) ◦ d ~

S =

RR

Σ

~

F ◦ d ~

S +

RR

Σ

~

G ◦ d ~

S,

2.

RR

Σ

(c ~

F ) ◦ d ~

S = c

RR

Σ

~

F ◦ d ~

S, gdzie c ∈ R,

3.

RR

−Σ

~

F ◦ d ~

S = −

RR

Σ

~

F ◦ d ~

S.

TWIERDZENIE (o zamianie całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójną)
Niech pole wektorowe ~

F = (P, Q, R) będzie ciągłe na gładkim zorientowanym płacie Σ.

1. Jeśli Σ = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : (u, v) ∈ D}, gdzie D jest obszarem regularnym na

płasszczyźnie, to

Z Z

Σ

~

F ◦ d ~

S = ±

ZZ

D

[ ~

F (~

r(u, v)) ◦ (

∂~

r

∂u

×

∂~

r

∂v

)]dudv.

Znak stojący przed całką dobiera się na podstawie orientacji płata Σ.

2

2. Jeśli Σ jest wykresem funkcji z = z(x, y) : (x, y) ∈ D, to

ZZ

Σ

P dydz+Qdzdx+Rdxdy = −

ZZ

D

[P (x, y, z(x, y))

∂z

∂x

+Q(x, y, z(x, y))

∂z

∂y

−R(x, y, z(x, y))]dxdy,

gdy wybrano górną stronę powierzchni.

PRZYKŁADY

TWIERDZENIE (wzór Gaussa)
Jeśli

1. Σ jest zorientowanym, kawałkami gładkim płatem zamkniętym ograniczającym obszar do-

mknięty V ⊂ R

3

, przy czym stroną dodatnią płata jest strona zewnętrzna,

2. pole wektorowe ~

F = (P, Q, R) jest różniczkowalne w sposób ciągły na V ,

to

ZZ

Σ

~

F ◦ d ~

S =

Z Z Z

V

div ~

F dxdydz.

W postaci rozwiniętej:

Z Z

Σ

P dydz + Qdzdx + Rdxdy =

ZZ Z

V

(

∂P

∂x

+

∂Q

∂y

+

∂R

∂z

)dxdydz.

PRZYKŁADY

3

TWIERDZENIE (wzór Stokesa)
Jeśli

1. Σ jest zorientowanym, kawałkami gładkim płatem, którego brzeg Γ jest łukiem kawałkami

gładkim zorientowanym zgodnie z orientacją płata Σ,

2. pole wektorowe ~

F = (P, Q, R) jest różniczkowalne w sposób ciągły na płacie Σ (łącznie z

brzegiem Γ),

to

I

Γ

~

F ◦ d~

r =

ZZ

Σ

(rot ~

F ) ◦ d ~

S.

W postaci rozwiniętej:

I

Γ

P dx + Qdy + Rdz =

ZZ

Σ

(

∂R

∂y

−

∂Q

∂z

)dydz + (

∂P

∂z

−

∂R

∂x

)dzdx + (

∂Q

∂x

−

∂P

∂y

)dxdy.

PRZYKŁADY

4