Klas´

owka poprawkowa, matematyka A, 6 lutego 2006

Na rozwia

,

zanie wszystkich zada´

n jest 150 minut

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego, jego

nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia i nr. grupy ´cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektro-

nicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone!

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly

udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Rozwia

,

za´c r´ownanie:

1
2

log(x + 11) + log

5x−10

6

= 1 .

2. Zdefiniowa´c log

d

c pamie

,

taja

,

c o za lo˙zeniach o c i d .

Niech a = log

1000

2 , b = log

10

14 . Za

pomoca

,

a i b wyrazi´c

log

10

5 i log

10

35 . Wykaza´c, ˙ze log

10

2 <

12
19

log 3 .

3. Rozwia

,

za´c r´ownanie:

2 log

4

sin(ϕ −

π

4

)

= −1 .

Zilustrowa´c rozwia

,

zanie tego r´ownania na okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 .

4. Poda´c definicje

,

kosinusa dowolnego ka

,

ta dodatniego. Rozwia

,

za´c nier´owno´s´c: | cos t| ≥

√

2

2

. Zilu-

strowa´c rozwia

,

zanie tej nier´owno´sci na okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 .

5. Niech a

n

=

(2−n)(n+3)

4n

2

−11n+2005

, b

n

=

(9n−2n

2

)

6

n

13

−3n+3

i c

n

= 0,99 +

1

n

n

dla n = 1, 2, 3, . . . .

Wyja´sni´c, czy setny wyraz cia

,

gu (a

n

) jest wie

,

kszy, r´owny czy mniejszy ni˙z −

1
4

.

Znale´z´c granice:

lim

n→∞

a

n

,

lim

n→∞

b

n

,

lim

n→∞

c

n

.

6. Znale´z´c kosinus ka

,

ta nierozwartego, kt´ory tworza

,

p laszczyzny o r´ownaniach

y + z = 0 oraz

2x + 2y + z = 0 . Znale´z´c iloczyn wektorowy wektor´ow ~v = [0, 1, 1] i ~

w = [2, 2, 1] oraz ka

,

t jaki

tworzy wektor ~v × ~

w z prosta

,

wsp´olna

,

obu p laszczyzn. Niech ~u = [1, −1, 1] . Obliczy´c ~u · (~v × ~

w) .

7. Niech A =





1 2 3
1 3 2
2 4 5



. Znale´z´c macierze A

−1

, A

T

i A

T

· A oraz wyznaczniki |A| i |A

T

· A| .

Rozwia

,

za´c uk lad r´owna´

n

( x + 2y + 3z = 5;

x + 3y + 2z = 4;

2x + 4y + 5z = 9.

8. Znale´z´c pochodna

,

naste

,

puja

,

cej funkcji:

(a) cos

sin(3x +

√

x)

(b) ln

2

cos x

(c) e

3

√

2−x

9. Niech f (x) = (x−17)·cos

sin

2

(x−17)+tg ln(x−16)

·e

|x−17|

. Znale´z´c f

0

(17) , je´sli ta pochodna

istnieje lub wykaza´c, ˙ze funkcja f nie pochodnej w punkcie 17 .

10. Niech f (x) = −x

3

+ 12x − 6 . Znale´z´c najmniejsza

,

i najwie

,

ksza

,

warto´s´c funkcji f na przedziale

domknie

,

tym [−5, 3] .

Informacje przer´o˙zne (przydatne albo i nie):

sin

5π

6

=

1
2

; sin

5π

4

= −

√

2

2

; 1 + x ≤ e

x

dla x ∈ R ; sin x < x < tg x , gdy

π

2

> x > 0 ;

2

7

= 128 ; 2

9

= 512 ; 2

12

= 4096 ; 2

20

= 1048576 ; 3

4

= 81 , 3

8

= 6561 ; 3

13

= 1594323 .