3401
ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE (zewnętrzne)
W 1886 r Heinrich Hertz zauważył, że wyładowania elektryczne
między dwiema elektrodami zachodzą łatwiej gdy na jedną z nich
pada światło fioletowe.
Na rysunku przedstawiono aparaturę do badania zjawiska foto-
elektrycznego. W szklanej bańce, w której panuje wysoka próżnia,
znajdują się dwie metalowe elektrody A i B.
A
B
G
V
światło
padające
przełącznik
• Światło pada na metalową płytkę A i uwalnia z niej elektrony,
które nazywamy
fotoelektronami
.
• Fotoelektrony można zarejestrować jako prąd elektryczny pły-
nący między płytką A oraz elektrodą zbierającą B przy wytwo-
rzeniu między nimi odpowiedniej różnicy potencjałów V (tak aby
elektrony były przyciągane do B). Do pomiaru prądu stosujemy
czułe galwanometry.
3402
Zależność prądu fotoelektrycznego od przyłożonego napięcia (róż-
nicy potencjałów V) jest następująca:
I
a
I
b
+
-
V
0
V
Gdy V jest dostatecznie duże, wtedy prąd fotoelektryczny osią-
ga maksymalną wartość (prąd nasycenia). Wszystkie elektrony wy-
bijane z płytki A docierają do elektrody B. Jeżeli zmienimy znak na-
pięcia V, to prąd nie spada do zera natychmiast (przy V = 0 mamy
niezerowy prąd).
Oznacza to, że fotoelektrony emitowane z płytki A mają pewną
energię kinetyczną
.
Nie wszystkie elektrony mają jednakowo duża energię kinetycz-
ną bo tylko część z nich dolatuje do elektrody B (prąd mniejszy od
maksymalnego). Przy dostatecznie dużym napięciu (V
0
) zwanym
napięciem hamowania
prąd zanika. Różnica potencjałów V
0
po-
mnożona przez ładunek elektronu e jest miarą energii najszybszych
elektronów (przy V
0
nawet najszybsze elektrony są zahamowane,
nie dochodzą do B)
E
kmax
= eV
0
Krzywe a i b na rysunku różnią się natężeniem padającego
światła (I
b
> I
a
). Widać więc, że E
kmax
nie zależy od natężenia świa-
tła. Zmienia się tylko prąd nasycenia, a to oznacza, że wiązka o
światła większym natężeniu wybija więcej elektronów (ale nie szyb-
szych).
Wynik innego doświadczenia pokazuje kolejny rysunek.
3403
12
8
4
0
częstotliwość (10 Hz)
V
h
(V)
3
2
1
14
Pokazano tu zależność napięcia hamowania od częstotliwości
światła padającego dla sodu. (Millikan, Nobel w 1923).
Zauważmy, że istnieje pewna wartość progowa częstotliwości,
poniżej której zjawisko fotoelektryczne nie występuje.
Opisane zjawisko fotoelektryczne ma trzy cechy, których nie można
wyjaśnić na gruncie klasycznej falowej teorii światła:
1. Z teorii klasycznej wynika, że większe natężenia światła ozna-
cza większe pole elektryczne E (I ~ E
2
). Ponieważ siła działają-
ca na elektron wynosi eE więc gdy rośnie natężenie światła to
powinna rosnąć ta siła, a w konsekwencji energia kinetyczna
elektronów. Tymczasem stwierdziliśmy, że E
kmax
nie zależy od
natężenia światła.
2. Zgodnie z teorią falową zjawisko fotoelektryczne powinno wy-
stępować dla każdej częstotliwości światła pod warunkiem do-
statecznego natężenia. Jednak dla każdego materiału istnieje
progowa częstotliwość v
0
, poniżej której nie obserwujemy zjawi-
ska fotoelektrycznego bez względu na jak silne jest oświetlenie.
3. Ponieważ energia w fali jest „rozłożona” w całej przestrzeni to
elektron absorbuje tylko niewielką część energii z wiązki (bo jest
bardzo mały). Można więc spodziewać się opóźnienia pomiędzy
3404
początkiem oświetlania, a chwilą uwolnienia elektronu (elektron
musi mieć czas na zgromadzenie dostatecznej energii). Jednak
nigdy nie stwierdzono żadnego mierzalnego opóźnienia czaso-
wego.
Einsteinowi w 1905 r. (n. Nobla) udało się wyjaśnić efekt foto-
elektryczny dzięki założeniu, że:
1. energia wiązki świetlnej rozchodzi się w przestrzeni w posta-
ci kwantów energii (skończonych porcji) zwanych
fotonami
, a
energia pojedynczego fotonu jest dana wzorem
ν
= h
E
2. jeden elektron fotokatody całkowicie absorbuje jeden foton.
Hipoteza Einsteina sugeruje, że:
E
n fot
= E
n wiązania el
+E
k el
max
k
E
W
h
+
=
ν
gdzie hv oznacza energię fotonu.
Jeden foton dostarcza energii hv, która w części (W) zostaje
zużyta na wyrwanie elektronu z materiału (jego przejście przez
powierzchnię), a ewentualny nadmiar energii (hv – W) elektron
otrzymuje w postaci energii kinetycznej.
Rozpatrzmy teraz ponownie (z nowego punktu widzenia) trzy
cechy fotoefektu nie dające się wyjaśnić za pomocą klasycznej teo-
rii falowej.
1. Podwajając natężenie światła podwajamy liczbę fotonów a nie
zmieniamy ich energii. Ulega więc podwojeniu fotoprąd a nie
E
kmax
, która nie zależy tym samym od natężenia.
2. Jeżeli mamy taką częstotliwość, że
hv
gr
= hv
min
= W
to wtedy
E
kmax
= 0. Nie ma nadmiaru energii. Wielkość W nazywamy
pracą wyjścia
dla danej substancji. Jeżeli v < v
0
to fotony nieza-
leżnie od ich liczby (natężenia światła) nie mają dosyć energii
do wywołania fotoemisji.
3405
3. Dostarczana jest energia w postaci skupionej (kwant, porcja) a
nie rozłożonej (fala).
Podstawmy
H
max
k
eU
E
=
H
eU
W
h
+
=
ν
W
h
eU
H
−
ν
=
/e
e
W
e
h
U
H
−
ν
=
y = ax + b
Widać, że teoria przewiduje liniową zależność pomiędzy napię-
ciem hamowania, a częstotliwością, co jest całkowicie zgodne z
doświadczeniem.
Teoria fotonowa całkowicie potwierdza więc fakty związane ze
zjawiskiem fotoelektrycznym, wydaje się jednak być sprzeczna z
teorią falową, która też potwierdzona została doświadczalnie (np.
dyfrakcja).
Nasz obecny punkt widzenia na naturę światła jest taki, że
światło ma dwoisty charakter, tzn. w pewnych warunkach za-
chowuje się jak fala, a w innych jak cząstka, czyli foton.
3406
EFEKT COMPTONA
Doświadczalne potwierdzenie istnienia fotonu jako skończonej por-
cji energii zostało dostarczone prze Comptona w 1923 r (Nobel w
1927).
Wiązka promieni X o dokładnie określonej długości fali pada na
blok grafitowy (rysunek poniżej).
źródło promieni
grafitowy blok
rozpraszający
szczeliny
kolimujące
detektor
kryształ grafitu
ϕ
Compton mierzył natężenie wiązki rozproszonej pod różnymi kąta-
mi jako funkcję
λ
. Wyniki pokazane są na następnej stronie. Widać,
że chociaż wiązka padająca na grafit ma jedną długość fali to roz-
proszone promienie X mają maksimum dla dwóch długości fali.
Jedna z nich jest identyczna jak λ fali padającej, druga
λ
' jest więk-
sza (dłuższa) o ∆
λ
. To tzw.
przesunięcie Comptona
zmienia się z
kątem obserwacji rozproszonego promieniowania X (czyli
λ
' zmie-
nia się z kątem).
Jeżeli padające promieniowanie potraktujemy jako falę to pojawie-
nie się fali rozproszonej o długości
λ
' nie da się wyjaśnić.
3407
ϕ
= 45°
ϕ
= 90°
ϕ
= 135°
°
A
0.750
0.700
ϕ
= 0°
λ
,
Compton potrafił wyjaśnić swoje wyniki przyjmując, że wiązka pro-
mieni X nie jest falą, a strumieniem fotonów o energii hv. Założył
on, że fotony (jak cząstki) ulegają zderzeniu z elektronami swobod-
nymi w bloku grafitu. Podobnie jak w typowych zderzeniach (np.
kule bilardowe) zmienia się kierunek poruszania się fotonu oraz je-
go energia (część energii przekazana elektronowi). To ostatnie
3408
oznacza zmianę częstotliwości i zarazem długości fali. Sytuacja ta
jest schematycznie pokazana na rysunku poniżej.
foton
foton
λ'
λ
elektron
elektron
v=0
v
ϕ
θ
Stosując zasadę zachowania pędu oraz zasadę zachowania ener-
gii (stosujemy wyrażenia relatywistyczne) otrzymamy ostatecznie
wynik
)
cos
1
(
0
ϕ
λ
λ
λ
−
=
−
′
=
∆
c
m
h
gdzie m
0
jest masą elektronu (spoczynkową).
Tak więc przesunięcie Comptona zależy tylko od kąta rozprosze-
nia.
Pozostaje tylko wyjaśnić występowanie maksimum dla nie zmienio-
nej
λ
. Za ten efekt odpowiedzialne są zderzenia z elektronami
rdzenia jonowego. W zderzeniu odrzutowi ulega cały jon o masie
M. Dla węgla (grafitu) M = 22000 m
0
więc otrzymujemy niemierzal-
nie małe przesunięcie Comptona.
3409
Fale i cząstki
Fale materii
Omawiane na poprzednich wykładach doświadczenia były interpreto-
wane raz w oparciu o obraz falowy (np. dyfrakcja) innym razem w oparciu
o model cząsteczkowy (np. efekt Comptona).
Jeżeli światło ma dwoistą falowo-cząsteczkową naturę, to być może mate-
ria też ma taką dwoistą naturę. Taką sugestię zaprezentował w 1924
L. de Broglie min. w oparciu obserwację, że Wszechświat składa się wy-
łącznie ze światła i materii oraz że pod wieloma względami przyroda jest
zadziwiająco symetryczna. Chociaż materię traktowano jako cząstki de
Broglie zasugerował, że należy zbadać czy materia nie wykazuje również
własności falowych.
De Broglie nie tylko zaproponował istnienie fal materii ale również
przewidział ich długość. Założył, że długość przewidywanych fal materii
jest określona tym samym związkiem, który stosuje się do światła.
Analizując zderzenie fotonu z elektronem (efekt Comptona) zastoso-
wano do tego zderzenia zasadę zachowania pędu. Do tych obliczeń po-
trzebne było wyrażenie na
pęd fotonu
.
λ
λ
h
c
hc
c
hv
c
E
mc
p
f
=
=
=
=
=
(34.1)
3410
Analogiczne wyrażenie zostało zaproponowane przez de Broglia dla fal
materii
p
h
=
λ
(34.2)
Wyrażenie to wiąże teraz pęd cząstki materialnej z długością przewidywa-
nych fal materii.
Przykład 1
Jaką długość fali przewiduje równanie (34.2) dla obiektów „masywnych”
np. dla piłki, o masie 1 kg, poruszającej się z prędkością 10 m/s, a jaką dla
„lekkich” np. elektronów przyspieszonych napięciem 100 V?
Dla piłki p= mv = 1 kg·10 m/s = 10 kg m/s
Stąd długość fali de Broglie’a
m
10
6
.
6
kgm/s
10
Js
10
6
.
6
35
34
−
−
⋅
=
⋅
=
=
p
h
λ
Ta wielkość jest praktycznie równa zeru zwłaszcza w porównaniu z roz-
miarami obiektu. Doświadczenia prowadzone na takim obiekcie nie po-
zwalają więc na rozstrzygnięcie czy materia wykazuje własności falowe (λ
zbyt mała). Przypomnijmy, że falowy charakter światła przejawia się gdy
3411
wymiary liniowe obiektów są porównywalne z długością fali.
Natomiast elektrony przyspieszone napięciem 100 V uzyskują energię ki-
netyczną
E
k
= eU = 100 eV = 1.6·10
-17
J
Prędkość jaką uzyskują elektrony wynosi
s
m
10
9
.
5
kg
10
1
.
9
J
10
6
.
1
2
2
6
31
17
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
=
−
−
m
E
k
v
Odpowiednia długość fali de Broglie’a wynosi
nm
12
.
0
m
10
2
.
1
s
m
kg
10
*
9
.
5
10
1
.
9
Js
10
6
.
6
10
6
31
34
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
=
=
−
−
−
v
m
h
p
h
λ
Jest to wielkość rzędu odległości między atomowych w ciałach stałych.
Można więc zbadać falową naturę materii (tak jak promieni Roentgena)
skierowując wiązkę elektronów, o odpowiedniej energii, na kryształ. Takie
doświadczenie przeprowadzili w 1961 roku Davisson i Germer w USA
oraz Thomson w Szkocji. Na rysunku przedstawiono schemat aparatury
pomiarowej.
3412
włókno
wiązka
padająca
wiązka
odbita
kryształ
detektor
ϕ
Elektrony emitowane z ogrzewanego włókna przyspieszane są regulowa-
nym napięciem. Wiązka zostaje skierowana na kryształ niklu a detektor
jest ustawiony pod pewnym szczególnym kątem
ϕ
. Natężenie wiązki ugię-
tej na krysztale jest odczytywane przy różnych napięciach przyspieszają-
cych. Okazuje się, że prąd w detektorze ujawnia maksimum dyfrakcyjne
przy kącie równym 50° dla U = 54 V.
Jeżeli skorzystamy z prawa Bragga możemy obliczymy wartość
λ
, dla któ-
rej obserwujemy maksimum w tych warunkach
θ
λ
sin
2d
=
3413
Dla niklu d = 0.091 nm. Ponieważ
ϕ
= 50° więc
θ
= 90° -
ϕ
/2 = 65° (rysu-
nek).
ϕ
θ
d
Długość fali obliczona w oparciu o te dane wynosi:
λ
= 2·0.091 nm·sin65° = 0.165 nm
Teraz w oparciu o znaną energię elektronów (54 eV) obliczymy długość
fali de Broglie’a analogicznie jak w przykładzie 1
nm
165
.
0
=
=
p
h
λ
3414
Ta doskonała zgodność stanowiła argument za tym, że w pewnych oko-
licznościach elektrony wykazują naturę falową.
Dzisiaj wiemy, że inne cząstki, zarówno naładowane jak i nienaładowane,
wykazują cechy charakterystyczne dla fal. Dyfrakcja neutronów jest po-
wszechnie stosowaną techniką eksperymentalną używaną do badania
struktury ciał stałych.
Tak więc, zarówno dla materii, jak i dla światła, musimy przyjąć istnienie
dwoistego ich charakteru.
31.1 Struktura atomu i fale stojące
Jeżeli na ruch fali nie ma żadnych ograniczeń to fala może mieć do-
wolną długość. Inaczej sytuacja przedstawia się gdy ruch fal zostanie
ograniczony przez nałożenie pewnych warunków fizycznych. Np. dla fal w
strunie odpowiada to wyodrębnieniu odcinka struny zamocowanego na
obu końcach (np. struna w skrzypcach).
Występują wtedy dwie ważne różnice:
• ruch jest teraz opisywany przez
falę stojącą
(a nie bieżącą),
• mogą występować tylko pewne długości fal tzn. mamy do czynienia
z
kwantyzacją
długości fali wynikającą z ograniczeń nałożonych na falę
(rysunek poniżej).
Na rysunku widać trzy pierwsze stany kwantowe dla drgającej struny.
3415
l
0
n = 1
0
l
n = 3
0
l
n = 2
Jeżeli więc ruch elektronów jest ograniczony w atomach to możemy się
spodziewać przez analogię, że:
• ruch elektronów może być opisany przez
stojące fale materii
,
• ruch ten zostaje
skwantowany
.
Rysunek poniżej przedstawia stojącą falę materii związaną z orbitą o pro-
mieniu r. Długość fali de Broglie’a została dobrana tak, aby orbita o pro-
mieniu r zawierała całkowitą liczbę n fal materii.
3416
r
Wtedy otrzymujemy
λ
π
n
r =
2
czyli
p
h
n
r =
π
2
Prowadzi to natychmiast do
,....
3
,
2
,
1
2
=
=
=
n
h
n
pr
L
π
3417
Warunek kwantyzacji Bohra jest teraz konsekwencją przyjęcia, że elektron
jest reprezentowany przez odpowiednią falę materii i zastosowania odpo-
wiednich warunków brzegowych.