Elektrodynamika
Część 9
Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie
Ryszard Tanaś
Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika
Część 9
Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie
Ryszard Tanaś
Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Spis treści
10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie
3
. . . . . . . . . . . . . .
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie
10.1 Wprowadzenie potencjałów
10.1.1 Potencjały skalarny i wektorowy
(i)
∇ · E =
1
0
ρ,
(iii)
∇ × E = −
∂B
∂t
,
(ii)
∇ · B = 0,
(iv)
∇ × B = µ
0
J + µ
0
0
∂E
∂t
,
równania
Maxwella
10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie
10.1 Wprowadzenie potencjałów
10.1.1 Potencjały skalarny i wektorowy
(i)
∇ · E =
1
0
ρ,
(iii)
∇ × E = −
∂B
∂t
,
(ii)
∇ · B = 0,
(iv)
∇ × B = µ
0
J + µ
0
0
∂E
∂t
,
równania
Maxwella
Jakie są pola
E(r, t)
i
B(r, t)
jeśli znamy
ρ(r, t)
i
J (r, t)
?
10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie
10.1 Wprowadzenie potencjałów
10.1.1 Potencjały skalarny i wektorowy
(i)
∇ · E =
1
0
ρ,
(iii)
∇ × E = −
∂B
∂t
,
(ii)
∇ · B = 0,
(iv)
∇ × B = µ
0
J + µ
0
0
∂E
∂t
,
równania
Maxwella
Jakie są pola
E(r, t)
i
B(r, t)
jeśli znamy
ρ(r, t)
i
J (r, t)
?
B = ∇ × A
10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie
10.1 Wprowadzenie potencjałów
10.1.1 Potencjały skalarny i wektorowy
(i)
∇ · E =
1
0
ρ,
(iii)
∇ × E = −
∂B
∂t
,
(ii)
∇ · B = 0,
(iv)
∇ × B = µ
0
J + µ
0
0
∂E
∂t
,
równania
Maxwella
Jakie są pola
E(r, t)
i
B(r, t)
jeśli znamy
ρ(r, t)
i
J (r, t)
?
B = ∇ × A
∇ × E = −
∂
∂t
(∇ × A)
z prawa Faradaya
∇ ×
E +
∂A
∂t
!
= 0
∇ ×
E +
∂A
∂t
!
= 0
E +
∂A
∂t
= −∇V
∇ ×
E +
∂A
∂t
!
= 0
E +
∂A
∂t
= −∇V
E = −∇V −
∂A
∂t
∇ ×
E +
∂A
∂t
!
= 0
E +
∂A
∂t
= −∇V
E = −∇V −
∂A
∂t
∆V +
∂
∂t
(∇ · A) = −
1
0
ρ
z (i)
∇ ×
E +
∂A
∂t
!
= 0
E +
∂A
∂t
= −∇V
E = −∇V −
∂A
∂t
∆V +
∂
∂t
(∇ · A) = −
1
0
ρ
z (i)
∇ × (∇ × A) = µ
0
J − µ
0
0
∇
∂V
∂t
!
− µ
0
0
∂
2
A
∂t
2
z (iv)
∇ ×
E +
∂A
∂t
!
= 0
E +
∂A
∂t
= −∇V
E = −∇V −
∂A
∂t
∆V +
∂
∂t
(∇ · A) = −
1
0
ρ
z (i)
∇ × (∇ × A) = µ
0
J − µ
0
0
∇
∂V
∂t
!
− µ
0
0
∂
2
A
∂t
2
z (iv)
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∆A
tożsamość wektorowa
∆A − µ
0
0
∂
2
A
∂t
2
!
− ∇
∇ · A + µ
0
0
∂V
∂t
!
= −µ
0
J
10.1.2 Przekształcenia cechowania
Możemy narzucić dodatkowe warunki na potencjały, które nie
zmienią pól
E
i
B
.
∆A − µ
0
0
∂
2
A
∂t
2
!
− ∇
∇ · A + µ
0
0
∂V
∂t
!
= −µ
0
J
10.1.2 Przekształcenia cechowania
Możemy narzucić dodatkowe warunki na potencjały, które nie
zmienią pól
E
i
B
.
A
0
= A + α,
V
0
= V + β
zmieniamy potencjały
∆A − µ
0
0
∂
2
A
∂t
2
!
− ∇
∇ · A + µ
0
0
∂V
∂t
!
= −µ
0
J
10.1.2 Przekształcenia cechowania
Możemy narzucić dodatkowe warunki na potencjały, które nie
zmienią pól
E
i
B
.
A
0
= A + α,
V
0
= V + β
zmieniamy potencjały
∇ × α = 0
⇒
α = ∇λ
∆A − µ
0
0
∂
2
A
∂t
2
!
− ∇
∇ · A + µ
0
0
∂V
∂t
!
= −µ
0
J
10.1.2 Przekształcenia cechowania
Możemy narzucić dodatkowe warunki na potencjały, które nie
zmienią pól
E
i
B
.
A
0
= A + α,
V
0
= V + β
zmieniamy potencjały
∇ × α = 0
⇒
α = ∇λ
∇β +
∂α
∂t
= 0
⇒
∇
β +
∂λ
∂t
!
= 0
nawias nie zależy
od położenia
β = −
∂λ
∂t
+ k(t),
k(t)
można włączyć do
λ
β = −
∂λ
∂t
+ k(t),
k(t)
można włączyć do
λ
A
0
= A + ∇λ
V
0
= V −
∂λ
∂t
przekształcenia cechowania
10.1.3 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza
∇ · A = 0
cechowanie Coulomba
10.1.3 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza
∇ · A = 0
cechowanie Coulomba
∆V = −
1
0
ρ
równanie Poissona
10.1.3 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza
∇ · A = 0
cechowanie Coulomba
∆V = −
1
0
ρ
równanie Poissona
V (r, t) =
1
4π
0
Z
ρ(r
0
, t)
R
dτ
rozwiązanie gdy
V = 0
w
nieskończoności
10.1.3 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza
∇ · A = 0
cechowanie Coulomba
∆V = −
1
0
ρ
równanie Poissona
V (r, t) =
1
4π
0
Z
ρ(r
0
, t)
R
dτ
rozwiązanie gdy
V = 0
w
nieskończoności
∆A − µ
0
0
∂
2
A
∂t
2
= −µ
0
J + µ
0
0
∇
∂V
∂t
!
10.1.3 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza
∇ · A = 0
cechowanie Coulomba
∆V = −
1
0
ρ
równanie Poissona
V (r, t) =
1
4π
0
Z
ρ(r
0
, t)
R
dτ
rozwiązanie gdy
V = 0
w
nieskończoności
∆A − µ
0
0
∂
2
A
∂t
2
= −µ
0
J + µ
0
0
∇
∂V
∂t
!
Samo
V (r, t)
nie wystarcza do wyznaczenia pola
E(r, t)
!
∇ · A = −µ
0
0
∂V
∂t
cechowanie Lorentza
∇ · A = −µ
0
0
∂V
∂t
cechowanie Lorentza
∆A − µ
0
0
∂
2
A
∂t
2
= −µ
0
J
∇ · A = −µ
0
0
∂V
∂t
cechowanie Lorentza
∆A − µ
0
0
∂
2
A
∂t
2
= −µ
0
J
∆V − µ
0
0
∂
2
V
∂t
2
= −
1
0
ρ
∇ · A = −µ
0
0
∂V
∂t
cechowanie Lorentza
∆A − µ
0
0
∂
2
A
∂t
2
= −µ
0
J
∆V − µ
0
0
∂
2
V
∂t
2
= −
1
0
ρ
∆ − µ
0
0
∂
2
∂t
2
≡
dalambercjan
∇ · A = −µ
0
0
∂V
∂t
cechowanie Lorentza
∆A − µ
0
0
∂
2
A
∂t
2
= −µ
0
J
∆V − µ
0
0
∂
2
V
∂t
2
= −
1
0
ρ
∆ − µ
0
0
∂
2
∂t
2
≡
dalambercjan
(i)
V = −
1
0
ρ
(ii)
A = −µ
0
J
niejednorodne
równania falowe
10.2 Rozkłady ciągłe
10.2.1 Potencjały opóźnione
P
r
r
′
R
dτ
′
θ
′
∆V = −
1
0
ρ,
∆A = −µ
0
J
dla pól statycznych
10.2 Rozkłady ciągłe
10.2.1 Potencjały opóźnione
P
r
r
′
R
dτ
′
θ
′
∆V = −
1
0
ρ,
∆A = −µ
0
J
dla pól statycznych
V (r) =
1
4π
0
Z
ρ(r
0
)
R
dτ
0
,
A(r) =
µ
0
4π
Z
J (r
0
)
R
dτ
0
„Wieści” elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła!
t
r
≡ t −
R
c
czas opóźniony
„Wieści” elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła!
t
r
≡ t −
R
c
czas opóźniony
V (r, t) =
1
4π
0
Z
ρ(r
0
, t
r
)
R
dτ
0
A(r, t) =
µ
0
4π
Z
J (r
0
, t
r
)
R
dτ
0
potencjały opóźnione
„Wieści” elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła!
t
r
≡ t −
R
c
czas opóźniony
V (r, t) =
1
4π
0
Z
ρ(r
0
, t
r
)
R
dτ
0
A(r, t) =
µ
0
4π
Z
J (r
0
, t
r
)
R
dτ
0
potencjały opóźnione
Czy wzory te są poprawne?
„Wieści” elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła!
t
r
≡ t −
R
c
czas opóźniony
V (r, t) =
1
4π
0
Z
ρ(r
0
, t
r
)
R
dτ
0
A(r, t) =
µ
0
4π
Z
J (r
0
, t
r
)
R
dτ
0
potencjały opóźnione
Czy wzory te są poprawne?
∇V =
1
4π
0
Z
"
(∇ρ)
1
R
+ ρ∇
1
R
#
dτ
0
∇ρ = ˙
ρ∇t
r
= −
1
c
˙
ρ∇R
∇ρ = ˙
ρ∇t
r
= −
1
c
˙
ρ∇R
∇R = ˆ
R,
∇
1
R
= −
ˆ
R
R
2
∇ρ = ˙
ρ∇t
r
= −
1
c
˙
ρ∇R
∇R = ˆ
R,
∇
1
R
= −
ˆ
R
R
2
∇V =
1
4π
0
Z
"
−
˙
ρ
c
ˆ
R
R
− ρ
ˆ
R
R
2
#
dτ
0
∇ρ = ˙
ρ∇t
r
= −
1
c
˙
ρ∇R
∇R = ˆ
R,
∇
1
R
= −
ˆ
R
R
2
∇V =
1
4π
0
Z
"
−
˙
ρ
c
ˆ
R
R
− ρ
ˆ
R
R
2
#
dτ
0
∆V =
1
4π
0
Z
−
1
c
ˆ
R
R
· (∇ ˙
ρ) + ˙
ρ∇ ·
ˆ
R
R
!
−
ˆ
R
R
2
· (∇ρ) + ρ∇ ·
ˆ
R
R
2
!
dτ
0
∇ ˙
ρ = −
1
c
¨
ρ∇R = −
1
c
¨
ρ ˆ
R
∇ ˙
ρ = −
1
c
¨
ρ∇R = −
1
c
¨
ρ ˆ
R
∇ ·
ˆ
R
R
!
=
1
R
2
,
∇ ·
ˆ
R
R
2
!
= 4πδ
3
(R)
∇ ˙
ρ = −
1
c
¨
ρ∇R = −
1
c
¨
ρ ˆ
R
∇ ·
ˆ
R
R
!
=
1
R
2
,
∇ ·
ˆ
R
R
2
!
= 4πδ
3
(R)
∆V =
1
4π
0
Z
1
c
2
¨
ρ
R
− 4πρδ
3
(R)
dτ
0
=
1
c
2
∂
2
V
∂t
2
−
1
0
ρ(r, t)
∇ ˙
ρ = −
1
c
¨
ρ∇R = −
1
c
¨
ρ ˆ
R
∇ ·
ˆ
R
R
!
=
1
R
2
,
∇ ·
ˆ
R
R
2
!
= 4πδ
3
(R)
∆V =
1
4π
0
Z
1
c
2
¨
ρ
R
− 4πρδ
3
(R)
dτ
0
=
1
c
2
∂
2
V
∂t
2
−
1
0
ρ(r, t)
∆V −
1
c
2
∂
2
V
∂t
2
= −
1
0
ρ(r, t)
∇ ˙
ρ = −
1
c
¨
ρ∇R = −
1
c
¨
ρ ˆ
R
∇ ·
ˆ
R
R
!
=
1
R
2
,
∇ ·
ˆ
R
R
2
!
= 4πδ
3
(R)
∆V =
1
4π
0
Z
1
c
2
¨
ρ
R
− 4πρδ
3
(R)
dτ
0
=
1
c
2
∂
2
V
∂t
2
−
1
0
ρ(r, t)
∆V −
1
c
2
∂
2
V
∂t
2
= −
1
0
ρ(r, t)
Potencjał opóźniony spełnia niejednorodne równanie falowe.