Elektrodynamika

Część 9

Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie

Ryszard Tanaś

Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas

Spis treści

10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie

3

10.1 Wprowadzenie potencjałów

. . . . . . . . . . . . . .

3

10.2 Rozkłady ciągłe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie

10.1 Wprowadzenie potencjałów

10.1.1 Potencjały skalarny i wektorowy

(i)

∇ · E =

1

0

ρ,

(iii)

∇ × E = −

∂B

∂t

,

(ii)

∇ · B = 0,

(iv)

∇ × B = µ

0

J + µ

0

0

∂E

∂t

,











równania

Maxwella

10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie

10.1 Wprowadzenie potencjałów

10.1.1 Potencjały skalarny i wektorowy

(i)

∇ · E =

1

0

ρ,

(iii)

∇ × E = −

∂B

∂t

,

(ii)

∇ · B = 0,

(iv)

∇ × B = µ

0

J + µ

0

0

∂E

∂t

,











równania

Maxwella

Jakie są pola

E(r, t)

i

B(r, t)

jeśli znamy

ρ(r, t)

i

J (r, t)

?

10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie

10.1 Wprowadzenie potencjałów

10.1.1 Potencjały skalarny i wektorowy

(i)

∇ · E =

1

0

ρ,

(iii)

∇ × E = −

∂B

∂t

,

(ii)

∇ · B = 0,

(iv)

∇ × B = µ

0

J + µ

0

0

∂E

∂t

,











równania

Maxwella

Jakie są pola

E(r, t)

i

B(r, t)

jeśli znamy

ρ(r, t)

i

J (r, t)

?

B = ∇ × A

10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie

10.1 Wprowadzenie potencjałów

10.1.1 Potencjały skalarny i wektorowy

(i)

∇ · E =

1

0

ρ,

(iii)

∇ × E = −

∂B

∂t

,

(ii)

∇ · B = 0,

(iv)

∇ × B = µ

0

J + µ

0

0

∂E

∂t

,











równania

Maxwella

Jakie są pola

E(r, t)

i

B(r, t)

jeśli znamy

ρ(r, t)

i

J (r, t)

?

B = ∇ × A

∇ × E = −

∂

∂t

(∇ × A)

z prawa Faradaya

∇ ×

E +

∂A

∂t

!

= 0

∇ ×

E +

∂A

∂t

!

= 0

E +

∂A

∂t

= −∇V

∇ ×

E +

∂A

∂t

!

= 0

E +

∂A

∂t

= −∇V

E = −∇V −

∂A

∂t

∇ ×

E +

∂A

∂t

!

= 0

E +

∂A

∂t

= −∇V

E = −∇V −

∂A

∂t

∆V +

∂

∂t

(∇ · A) = −

1

0

ρ

z (i)

∇ ×

E +

∂A

∂t

!

= 0

E +

∂A

∂t

= −∇V

E = −∇V −

∂A

∂t

∆V +

∂

∂t

(∇ · A) = −

1

0

ρ

z (i)

∇ × (∇ × A) = µ

0

J − µ

0

0

∇

∂V

∂t

!

− µ

0

0

∂

2

A

∂t

2

z (iv)

∇ ×

E +

∂A

∂t

!

= 0

E +

∂A

∂t

= −∇V

E = −∇V −

∂A

∂t

∆V +

∂

∂t

(∇ · A) = −

1

0

ρ

z (i)

∇ × (∇ × A) = µ

0

J − µ

0

0

∇

∂V

∂t

!

− µ

0

0

∂

2

A

∂t

2

z (iv)

∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∆A

tożsamość wektorowa

∆A − µ

0

0

∂

2

A

∂t

2

!

− ∇

∇ · A + µ

0

0

∂V

∂t

!

= −µ

0

J

10.1.2 Przekształcenia cechowania

Możemy narzucić dodatkowe warunki na potencjały, które nie

zmienią pól

E

i

B

.

∆A − µ

0

0

∂

2

A

∂t

2

!

− ∇

∇ · A + µ

0

0

∂V

∂t

!

= −µ

0

J

10.1.2 Przekształcenia cechowania

Możemy narzucić dodatkowe warunki na potencjały, które nie

zmienią pól

E

i

B

.

A

0

= A + α,

V

0

= V + β

zmieniamy potencjały

∆A − µ

0

0

∂

2

A

∂t

2

!

− ∇

∇ · A + µ

0

0

∂V

∂t

!

= −µ

0

J

10.1.2 Przekształcenia cechowania

Możemy narzucić dodatkowe warunki na potencjały, które nie

zmienią pól

E

i

B

.

A

0

= A + α,

V

0

= V + β

zmieniamy potencjały

∇ × α = 0

⇒

α = ∇λ

∆A − µ

0

0

∂

2

A

∂t

2

!

− ∇

∇ · A + µ

0

0

∂V

∂t

!

= −µ

0

J

10.1.2 Przekształcenia cechowania

Możemy narzucić dodatkowe warunki na potencjały, które nie

zmienią pól

E

i

B

.

A

0

= A + α,

V

0

= V + β

zmieniamy potencjały

∇ × α = 0

⇒

α = ∇λ

∇β +

∂α

∂t

= 0

⇒

∇

β +

∂λ

∂t

!

= 0

nawias nie zależy

od położenia

β = −

∂λ

∂t

+ k(t),

k(t)

można włączyć do

λ

β = −

∂λ

∂t

+ k(t),

k(t)

można włączyć do

λ

A

0

= A + ∇λ

V

0

= V −

∂λ

∂t











przekształcenia cechowania

10.1.3 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza

∇ · A = 0

cechowanie Coulomba

10.1.3 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza

∇ · A = 0

cechowanie Coulomba

∆V = −

1

0

ρ

równanie Poissona

10.1.3 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza

∇ · A = 0

cechowanie Coulomba

∆V = −

1

0

ρ

równanie Poissona

V (r, t) =

1

4π

0

Z

ρ(r

0

, t)

R

dτ

rozwiązanie gdy

V = 0

w

nieskończoności

10.1.3 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza

∇ · A = 0

cechowanie Coulomba

∆V = −

1

0

ρ

równanie Poissona

V (r, t) =

1

4π

0

Z

ρ(r

0

, t)

R

dτ

rozwiązanie gdy

V = 0

w

nieskończoności

∆A − µ

0

0

∂

2

A

∂t

2

= −µ

0

J + µ

0

0

∇

∂V

∂t

!

10.1.3 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza

∇ · A = 0

cechowanie Coulomba

∆V = −

1

0

ρ

równanie Poissona

V (r, t) =

1

4π

0

Z

ρ(r

0

, t)

R

dτ

rozwiązanie gdy

V = 0

w

nieskończoności

∆A − µ

0

0

∂

2

A

∂t

2

= −µ

0

J + µ

0

0

∇

∂V

∂t

!

Samo

V (r, t)

nie wystarcza do wyznaczenia pola

E(r, t)

!

∇ · A = −µ

0

0

∂V

∂t

cechowanie Lorentza

∇ · A = −µ

0

0

∂V

∂t

cechowanie Lorentza

∆A − µ

0

0

∂

2

A

∂t

2

= −µ

0

J

∇ · A = −µ

0

0

∂V

∂t

cechowanie Lorentza

∆A − µ

0

0

∂

2

A

∂t

2

= −µ

0

J

∆V − µ

0

0

∂

2

V

∂t

2

= −

1

0

ρ

∇ · A = −µ

0

0

∂V

∂t

cechowanie Lorentza

∆A − µ

0

0

∂

2

A

∂t

2

= −µ

0

J

∆V − µ

0

0

∂

2

V

∂t

2

= −

1

0

ρ

∆ − µ

0

0

∂

2

∂t

2

≡

dalambercjan

∇ · A = −µ

0

0

∂V

∂t

cechowanie Lorentza

∆A − µ

0

0

∂

2

A

∂t

2

= −µ

0

J

∆V − µ

0

0

∂

2

V

∂t

2

= −

1

0

ρ

∆ − µ

0

0

∂

2

∂t

2

≡

dalambercjan

(i)

V = −

1

0

ρ

(ii)

A = −µ

0

J

niejednorodne

równania falowe

10.2 Rozkłady ciągłe

10.2.1 Potencjały opóźnione

P

r

r

′

R

dτ

′

θ

′

∆V = −

1

0

ρ,

∆A = −µ

0

J

dla pól statycznych

10.2 Rozkłady ciągłe

10.2.1 Potencjały opóźnione

P

r

r

′

R

dτ

′

θ

′

∆V = −

1

0

ρ,

∆A = −µ

0

J

dla pól statycznych

V (r) =

1

4π

0

Z

ρ(r

0

)

R

dτ

0

,

A(r) =

µ

0

4π

Z

J (r

0

)

R

dτ

0

„Wieści” elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła!

t

r

≡ t −

R

c

czas opóźniony

„Wieści” elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła!

t

r

≡ t −

R

c

czas opóźniony

V (r, t) =

1

4π

0

Z

ρ(r

0

, t

r

)

R

dτ

0

A(r, t) =

µ

0

4π

Z

J (r

0

, t

r

)

R

dτ

0

potencjały opóźnione

„Wieści” elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła!

t

r

≡ t −

R

c

czas opóźniony

V (r, t) =

1

4π

0

Z

ρ(r

0

, t

r

)

R

dτ

0

A(r, t) =

µ

0

4π

Z

J (r

0

, t

r

)

R

dτ

0

potencjały opóźnione

Czy wzory te są poprawne?

„Wieści” elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła!

t

r

≡ t −

R

c

czas opóźniony

V (r, t) =

1

4π

0

Z

ρ(r

0

, t

r

)

R

dτ

0

A(r, t) =

µ

0

4π

Z

J (r

0

, t

r

)

R

dτ

0

potencjały opóźnione

Czy wzory te są poprawne?

∇V =

1

4π

0

Z

"

(∇ρ)

1

R

+ ρ∇

1

R

#

dτ

0

∇ρ = ˙

ρ∇t

r

= −

1

c

˙

ρ∇R

∇ρ = ˙

ρ∇t

r

= −

1

c

˙

ρ∇R

∇R = ˆ

R,

∇

1

R

= −

ˆ

R

R

2

∇ρ = ˙

ρ∇t

r

= −

1

c

˙

ρ∇R

∇R = ˆ

R,

∇

1

R

= −

ˆ

R

R

2

∇V =

1

4π

0

Z

"

−

˙

ρ

c

ˆ

R

R

− ρ

ˆ

R

R

2

#

dτ

0

∇ρ = ˙

ρ∇t

r

= −

1

c

˙

ρ∇R

∇R = ˆ

R,

∇

1

R

= −

ˆ

R

R

2

∇V =

1

4π

0

Z

"

−

˙

ρ

c

ˆ

R

R

− ρ

ˆ

R

R

2

#

dτ

0

∆V =

1

4π

0

Z







−

1

c





ˆ

R

R

· (∇ ˙

ρ) + ˙

ρ∇ ·

ˆ

R

R

!





−





ˆ

R

R

2

· (∇ρ) + ρ∇ ·

ˆ

R

R

2

!











dτ

0

∇ ˙

ρ = −

1

c

¨

ρ∇R = −

1

c

¨

ρ ˆ

R

∇ ˙

ρ = −

1

c

¨

ρ∇R = −

1

c

¨

ρ ˆ

R

∇ ·

ˆ

R

R

!

=

1

R

2

,

∇ ·

ˆ

R

R

2

!

= 4πδ

3

(R)

∇ ˙

ρ = −

1

c

¨

ρ∇R = −

1

c

¨

ρ ˆ

R

∇ ·

ˆ

R

R

!

=

1

R

2

,

∇ ·

ˆ

R

R

2

!

= 4πδ

3

(R)

∆V =

1

4π

0

Z

1

c

2

¨

ρ

R

− 4πρδ

3

(R)

dτ

0

=

1

c

2

∂

2

V

∂t

2

−

1

0

ρ(r, t)

∇ ˙

ρ = −

1

c

¨

ρ∇R = −

1

c

¨

ρ ˆ

R

∇ ·

ˆ

R

R

!

=

1

R

2

,

∇ ·

ˆ

R

R

2

!

= 4πδ

3

(R)

∆V =

1

4π

0

Z

1

c

2

¨

ρ

R

− 4πρδ

3

(R)

dτ

0

=

1

c

2

∂

2

V

∂t

2

−

1

0

ρ(r, t)

∆V −

1

c

2

∂

2

V

∂t

2

= −

1

0

ρ(r, t)

∇ ˙

ρ = −

1

c

¨

ρ∇R = −

1

c

¨

ρ ˆ

R

∇ ·

ˆ

R

R

!

=

1

R

2

,

∇ ·

ˆ

R

R

2

!

= 4πδ

3

(R)

∆V =

1

4π

0

Z

1

c

2

¨

ρ

R

− 4πρδ

3

(R)

dτ

0

=

1

c

2

∂

2

V

∂t

2

−

1

0

ρ(r, t)

∆V −

1

c

2

∂

2

V

∂t

2

= −

1

0

ρ(r, t)

Potencjał opóźniony spełnia niejednorodne równanie falowe.