X L V I I I K O N F E R E N C J A N AU K O W A

KOMITETU INŻ YNIERII LĄ DOWEJ I WODNEJ PAN

I KOMITETU NAUKI PZITB

Opole – Krynica

2002

Rajmund Leszek IGNATOWICZ

1

Ernest KUBICA

2

ANALIZA STATECZNOŚ CI SŁ UPÓ W STALOWYCH

OBCIĄŻ ONYCH Ś CISKANIEM ZMIENNYM W CZASIE

1. Wprowadzenie

Wspó łczesne metody obliczania konstrukcji stalowych, ujęte w formie przepisó w i wytycz-
nych w normatywach krajowych i europejskich, dotyczą analiz konstrukcji dla obcią ż eń o
charakterze quasi-statycznym. Pojawienie się w konstrukcji oddziaływań dynamicznych np.
ś ciskanie słupa siłą wzrastają cą w czasie, nie pozwala na wyznaczenie wspó łczynnikó w
niestatecznoś ci ogó lnej

j

z zależ noś ci zawartych w opracowaniach [1], [6], [8], [9]. Wartoś ć

krytyczna obcią ż enia zależ y od jego przebiegu [3], [7], jest inna dla obcią ż eń szybkozmien-
nych, inna w przypadku obcią ż eń mają cych charakter wolnozmienny. W pracy podjęto pró bę
wyznaczenia ś cież ki ró wnowagi dynamicznej słupa stalowego obcią ż onego ś ciskaniem
zmiennym w czasie. W celu uproszczenia analiz teoretycznych i numerycznych, przyjęto
założ enie, ż e przekró j poprzeczny słupa jest w klasie 1 wg kryterió w zawartych w polskiej
normie [9].

awaryjne napełnianie

zbiornika buforowego

wybuch

a.

b.

Rys. 1. Wybrane przykłady obcią ż eń szybko (a) i wolno zmiennych (b)

1

Dr inż ., Wydział Budownictwa Lą dowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej

2

Dr hab. inż., Prof. PWr, Wydział Budownictwa Lą dowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej

54

Wyboczenie dynamiczne pręta jest stanem ruchu, podczas któ rego ugięcia wykazują tenden-
cję nieograniczonego wzrostu. Ruch ten został wzbudzony ś ciskaniem podłuż nym.

Pochodzenie siły ś ciskają cej dynamicznie pręt moż e być rezultatem uderzenia pewnego

ciała sztywnego i nazywa się to wyboczeniem uderzeniowym. Siła ś ciskają ca moż e pocho-
dzić od fali ciś nienia (np. po wybuchu), wó wczas obcią ż enie wzrasta do wartoś ci maksymal-
nej w okreś lonym czasie (rys.1).

Wzbudzenie ruchu poprzecznego przez obcią ż enie wzrastają ce w czasie wymaga ist-

nienia pewnych czynnikó w inicjują cych tzn.: wstępnego wygięcia, mimoś rodowoś ci siły
ś ciskają cej, niejednorodnoś ci materiałowej, imperfekcji strukturalnych itp. W rozważ aniach
analitycznych najczęś ciej uwzględnia się tylko jeden z tych czynnikó w, mianowicie odstęp-
stwo od prostoliniowoś ci osi geometrycznej pręta.

Wspó łczesne badania ś wiatowe dotyczą analiz konstrukcji pod obcią ż eniami typu uda-

rowego tzn. obcią ż enia typu kró tkotrwałego impulsu [3], [5].

2. Schemat statyczny i obcią ż enie słupa

Analiza dotyczy zachowania się pręta zginanego siłą ś ciskają cą w kierunku osiowym z po-
minięciem sił bezwładnoś ci w tym kierunku. Pomija się w ten sposó b problem drgań po-
dłuż nych, a więc sprzęż eń , jakie w rzeczywistoś ci istnieją pomiędzy ruchem poprzecznym i
podłuż nym. Przyjęcie takiego założ enia jest moż liwe, gdy są spełnione dwa warunki [3].
Pierwszy z nich stanowi, ż e obliczenia dotyczą wyłą cznie pó źniejszej fazy ruchu (stłumienie
drgań podłuż nych) [7], [3], [5], zaś dominują cą formą ruchu stały się quasi-stacionarne drga-
nia giętne. To oczywiś cie moż na sprowadzić do przyjęcia intensywnego tłumienia we-
wnętrznego (cecha większoś ci materiałó w konstrukcyjnych). Drugi warunek dotyczy obcią -
ż enia tzn. obcią ż enie musi działać przez dostatecznie długi czas i zmieniać się stosunkowo
powoli; przyrost obcią ż enia w czasie ró wnym okresowi drgań podłuż nych pręta powinien
być mały wobec wartoś ci maksymalnej.

Pominięcie w rozważ aniach bezwładnoś ci osiowej znacznie upraszcza analizę, pozwa-

lają c sprowadzić problem z układu ró wnań ró ż niczkowych do ró wnania o pochodnych czą st-
kowych ze wspó łczynnikiem funkcyjnym.

Zakłada się, ż e materiał podlega prawu Hooke’a – rozwią zanie dotyczy tylko obszaru

spręż ystego. Przyjęto następują ce falowe ró wnanie ró ż niczkowe drgań giętnych pręta ś ci-
skanego (model Bernoulliego-Eurela):

4

4

2

2

2

2

4

4

x

w

t

w

x

w

x

w

0

¶

¶

=

¶

¶

+

¶

¶

×

e

+

¶

¶

(1)

gdzie:

0;

);

1

,

0

[

;

)

(

;

;

/

;

)/

(

)

(

2

³

Î

×

=

e

×

×

×

=

=

=

t

x

F

E

t

N

F

ρ

J

E

L

t

t

L

x

x

L

x,t

w

x,t

w

L - długoś ć pręta, t - czas, E - wspó łczynnik spręż ystoś ci podłuż nej, J - moment bezwładno-
ś ci przekroju słupa,

r

- cięż ar objętoś ciowy materiału, F - pole przekroju słupa.

Pierwsze sformułowanie zagadnienia statecznoś ci dynamicznej pręta, o przyrastają cym

w czasie skró ceniu podał Hoff [3] uzyskują c rozwią zanie asymptotyczne, któ re zostało roz-
wią zane z większą dokładnoś cią przez Schoenberg’a [3].

55

f

o

L

l

= L/r

N[t]

D

=

s t

Rys. 2. Model statyczny słupa

W analizie przyjęto schemat statyczny jak na rys.2, zaś funkcje przemieszczeń w posta-

ci następują cych wyraż eń :

( )

(

)

π

m

sin

)

,

(

m

x

t

f

r

t

x

w

×

×

×

×

=

,

(2)

(

)

x

f

r

x

w

o

×

p

×

×

×

=

m

sin

)

(

0

,

(3)

gdzie: r – promień bezwładnoś ci przekroju poprzecznego pręta,

)

1

,

0

(

Î

x

.

Rozpatrują c zachowanie się pręta dwuprzegubowego z wygięciem wstępnym, obcią ż o-

nego siłą ś ciskają cą powodują cą jednostajne zbliż anie koń có w (

t

s

×

=

D

, gdzie s - stała),

moż na skró cenie słupa wyrazić wzorem:

(

)

2

0

2

)

(

2λ

π

m

)

(

f

t

f

t

s

t

m

-

×

÷

ø

ö

ç

è

æ ×

-

×

=

e

.

(4)

Podstawiają c powyż sze wzory (2), (3) do ró wnania (1) i odpowiednio przekształcają c

otrzymuje się następują ce ró wnanie ró wnowagi [3],[7]:

(

)

0

4

2

2

2

2

2

..

Ω

4

f

m

f

f

f

m

τ

m

Ω

m

f

m

o

m

m

×

×

=

×

ú

û

ù

ê

ë

é

-

×

+

-

×

×

+

,

(5)

gdzie:

r

=

t

=

×

×

÷

ø

ö

ç

è

æ

p

l

=

l

p

×

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

W

E

d

f

d

f

L

t

s

τ

s

c

m

m

c

;

;

;

2

2

..

2

2

2

2

.

Ró wnanie (5) jest ró wnaniem nieliniowym ze wspó łczynnikiem funkcyjnym i z tego

powodu nie ma rozwią zania zamkniętego. Rozwią zania ró wnania (5) moż na poszukiwać za
pomocą rozwią zań asymptotycznych jak to uczynił Hoff [3]. Druga moż liwoś ć, to nume-
ryczne całkowanie ró wnania (5) np. metodą Rungego-Kutty. Taką drogę przyjęto w pracy
rozwią zują c zagadnienie numerycznie w zintegrowanym ś rodowisku modelowania matema-
tycznego programu Mathematica v.3.0 [10] dla każ dego przypadku osobno.

Poszukiwanie siły krytycznej dla słupa obcią ż onego ś ciskaniem w sposó b powyż ej opi-

sany, obarczonego wstępnym wygięciem w

o

(t) nie jest moż liwe przy takim sformułowaniu

zagadnienia. Jest to zagadnienie teorii II rzędu. Warunki rzeczywistej pracy słupó w o duż ych

56

smukłoś ciach zmuszają do analizy pręta z wstępnym wygięciem, bowiem w istotny sposó b
wpływa ono na przebieg ś cież ki ró wnowagi i wartoś ć maksymalnego obcią ż enia.

Zagadnienie to moż na ograniczyć do takich wartoś ci sił osiowych przy któ rych pojawia

pierwsze gwałtowne przejś cie ze stanu spoczynku w wyraźny ruch drgają cy. Przy znanym
przebiegu funkcji f

m

(t) moż liwe staje się wyznaczenie pierwszego lokalnego maksimum sił

osiowych z zależ noś ci:

( )

(

)

÷

÷
ø

ö

ç

ç
è

æ

-

×

÷

ø

ö

ç

è

æ

l

×

p

×

-

×

×

×

=

2

0

2

2

)

(

2

f

t

f

m

t

s

F

E

t

N

m

,

(6)

co moż na uznać za tzw. umowną ,,siłę krytyczną ''.

Tak opracowany algorytm rozwią zywania pozwala sporzą dzić procedurę obliczeniową

w programie Mathematica v.3.0 [10]. Przykładowe schematyczne zależ noś ci do wyznaczenia
tzw. "umownych parametró w krytycznych" pokazano na rys. 3.

1.0

t

f

m

(

t

)

rozwiazanie

statyczne

1

1

t

N

m

(

t

)/N

kr

1

t

f

m stat.

/f

m dyn

a)

b)

c)

0.005

1

2

3

4

Rys. 3. Przykładowo wyznaczone zależnoś ci uzyskane drogą numerycznego całkowania
ró wnania (5): a) przemieszczenia względne ś rodka słupa f

m

(

t

), b) zależnoś ć siły osiowej

N

m

(

t

), c) stosunek przemieszczeń statycznych do dynamicznych, w funkcji umownego czasu

Na podstawie tak sporzą dzonych wykresó w wykonano obliczenia słupó w o ró ż nych

smukłoś ciach, dla ró ż nych wielkoś ci wygięć wstępnych. Obliczenia wykonano dla wybra-
nych prędkoś ci przyrostu siły ś ciskają cej.

3. Wybrane wyniki analiz teoretycznych i numerycznych

W pierwszym kroku analiz podjęto pró bę okreś lenia wielkoś ci wpływu wstępnego wygięcia na
wielkoś ć maksymalnej siły osiowej. Na rys. 4 pokazano zależ noś ć N

m

(

t

) dla ró ż nych wielkoś ci

wygięcia wstępnego pręta o smukłoś ci

l

= 250 i prędkoś ci przyrostu skró cenia koń có w s =

0,0002. Wyraźnie widać, ż e im większa strzałka wstępnego wygięcia tym mniejsza wartoś ć
maksymalnej siły osiowej, jednak w każdym przypadku jest ona większa niż wartoś ć siły kry-
tycznej dla obcią żeń statycznych. Całe zjawisko ma bezpoś rednie przełożenie na chwilową
sztywnoś ć słupa. Na rys. 5 poró wnano przemieszczenia ś rodka słupa dla obcią żeń zmiennych i
quasi-statycznych. Moż na stwierdzić, że przemieszczenia dla obcią żeń dynamicznych są nawet
kilkakrotnie mniejsze od swoich odpowiednikó w dla obcią żeń statycznych.

57

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

t

N

m

(

t

)/N

kr

l

= 250

fo=1/1000

N[

t

]

f

m

[

t

]

s = 0,00021

fo=1/500

fo=1/250

Rys. 4. Zależ noś ć maksymalnej siły osiowej od wielkoś ci począ tkowego wygięcia

dla słupa o smukłoś ci prętowej

l

= 250.

1

2

3

fo=1/1000

fo=1/500

fo=1/250

f

m stat.

/f

m dyn.

N[

t

]

f

m

[

t

]

1

1.4

t

l

= 250

s = 0,00021

Rys. 5. Poró wnanie ugięć statycznych i dynamicznych dla słupa

o smukłoś ci prętowej

l

= 250

58

W drugim kroku analizy zbadano jaki wpływ wywiera wielkoś ć prędkoś ci obcią ż enia

na wartoś ć pierwszego lokalnego maksimum siły osiowej N

m

(

t

).

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0.5

1.0

1.5

2.0

t

N

m

(t)/N

kr

l

= 200

N[

t

]

f

m

[

t

]

f

o

= L/200

v =7.1kN/s

v =43.1kN/s

v =13.0kN/s

Rys. 6. Zależ noś ć N

m

(

t

) dla ró ż nych prędkoś ci przyłoż enia obcią ż enia

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

v =43.1kN/s

v =7.1kN/s

v =13.0kN/s

rozwiązanie
statyczne

f

m dyn.

N[

t

]

f

m

[

t

]

l

= 200

f

o

= 1/200

1.0

2.0

0,5

1,5

t

Rys. 7. Zależ noś ć f

m

(

t

) dla ró ż nych prędkoś ci przyłoż enia obcią ż enia

Na rys. 6 przedstawiono zależ noś ć N

m

(

t

) dla słupa o smukłoś ci prętowej

l

= 200

i f

o

= 1/200, dla ró ż nych prędkoś ci przyłoż enia obcią ż enia v. Wraz ze wzrostem prędkoś ci

obcią ż enia v obserwuje się zwiększenie maksymalnej siły osiowej, po przekroczeniu któ rej
następują oscylacje o amplitudach tym większych im większa jest prędkoś ć przyrostu obcią -

59

żenia. Wartoś ci maksymalnej siły ś ciskają cej mogą być większe o nawet 48% od siły krytycznej
wyznaczonej dla identycznego schematu statycznego, ale przy obcią żeniu stycznym.

Wzrost maksymalnej siły osiowej wynika z opó źniają cego działania sił bezwładnoś ci,

co moż na doskonale przedstawić w formie wykresó w f

m

(

t

). Na rys. 7 przedstawiono zależ -

noś ci f

m

(

t

) dla ró ż nych prędkoś ci obcią ż enia. Wydać wyraźne opó źniają ce działanie sił bez-

władnoś ci tym większe im większa jest prędkoś ć przyrostu obcią ż enia.

0.75

1.25

1.50

1.75

1.00

f

m stat.

/f

m dyn.

N[

t

]

f

m

[

t

]

l

= 200

f

o

= 1/200

v =43.1kN/s

v =13.0kN/s

v =7.1kN/s

0.5

1.0

1.5

2.0

t

Rys. 8. Zależnoś ć przemieszczeń w funkcji umownego czasu

t

dla ró żnych prędkoś ci obcią żenia

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 110 120 130 140 150

l

= 250

l

= 2

00

l

= 1

50

l

= 1

00

t [sek]

N/N

kr

f

o

=

1/1000

L

l

= L/r

N[t]

Rys. 9. Poró wnanie „umownej siły krytycznej” w stosunku do siły Eulera, dla wybranych

smukłoś ci prętowych, w funkcji potrzebnego czasu do osią gnięcia N

m max

(t)

4. Wnioski

Podsumowują c moż na stwierdzić, ż e dla prętó w obcią ż onych ś ciskaniem zmiennym w cza-
sie, szybki wzrost ugięć zaczyna się z chwilą przekroczenia odpowiedniej wartoś ci eulerow-

60

skiej. Szybkoś ć tych zmian jest wpełni zależ na od prędkoś ci obcią ż enia i wielkoś ci wstępne-
go ugięcia. Po osią gnięciu pierwszego maksimum krzywa ugięć dynamicznych i siły osiowej
oscyluje wokó ł rozwią zania dla obcią ż eń quasi-statycznych, przewyż szają c je tym bardziej
im większa jest szybkoś ć obcią ż enia. Syntezą tego typu analiz są krzywe obrazują ce zależ -
noś ć maksymalnej siły osiowej od czasu potrzebnego do osią gnięcia obcią ż enia maksymal-
nego (rys. 9).

Jak widać na podstawie przeprowadzonych analiz, problem okreś lenia parametró w kry-

tycznych dla opisanych powyż ej obcią ż eń jest na tyle złoż ony, iż nie moż na stworzyć prostej
formuły okreś lania parametró w krytycznych. Analizę konstrukcji dla tego typu obcią ż eń
należ y rozszerzyć na obszar spręż ysto-plastyczny oraz elementy cienkoś cienne, co jest dla
autoró w kolejnym wyzwaniem.

Literatura

[1] BIEGUS A., Nośność graniczna stalowych konstrukcji prę towych, Warszawa-Wrocław,

PWN, 1997.

[2] BREZINA W., Stateczność prę tów konstrukcji metalowych, Arkady, Warszawa 1966.
[3] GRYBOŚ R., Stateczność konstrukcji pod obcią żeniem uderzeniowym, Warszawa,

PWN, 1980.

[4] IGNATOWICZ R., KUBICA E., Analiza statecznoś ci płyt obcią ż onych ś ciskaniem

zmiennym w czasie. Konferencja naukowa Badania nośności granicznej konstrukcji
metalowych. II Konferencja Naukowa, Wrocław-Karpacz, 18-20 października 2001.

[5] KENNY S., PEGG N., TAHERI F., Dynamic elastic buckling of a slender beam with

geometric imperfections subject to an axial impulse, Finite Elements in Analysis and
Design, Elsevier, No 35, 2000.

[6] KUBICA E., Noś noś ć graniczna i sztywnoś ci słupó w stalowych o przekrojach skrzyn-

kowych zamkniętych, Prace Naukowe Instytutu Budownictwa PWr, Nr 60, 1991.

[7] LEPIK U., On dynamic buckling of elastic-plastic beams, International Journal of Non-

linear Mechanics, No.35, 2000, s.721-734.

[8] PN-ENV 1993-1-1/AK. Eurokod 3, Projektowanie konstrukcji stalowych cz.1.1.

COBPKM „Mostostal” S.A., Warszawa, 1993.

[9] PN-90/B-03200, Konstrukcje stalowe. Obliczenia statyczne i projektowanie.
[10] Mathematica v.3.0, Wolfram Research, New York, 1998.

ANALYSIS OF STABILITY OF STEEL COLUMN

UNDER COMPRESSION VARIABLE IN TIME TERM

Summary

Changes of path of the dynamic equilibrium for column under loading variable in time term
have been presented. The analysis has been carried out considering nonlinear equations of
the slender column equilibrium when the both inertion factor and geometrical imperfections
are taken into account. Problem has been solved numerically by Runge-Kutty. The main aim
of the paper is to shed light on the problem how the deflection and critical load depend on
the velocity of the acting load.