Wartość bezwzględna Medianauka pl

Wpisz szukaną frazę

Szukaj

Test wiedzy

Nauka

Matematyka

Działania matematyczne

Wartość bezwzględna

Definicja

Wartość bezwzględną liczby x oznaczamy symbolem |x| i określamy w następujący sposób:

Mówiąc inaczej, wartość bezwzględna liczby nieujemnej to ta sama liczba, natomiast wartość bezwzględna liczby
ujemnej, to liczba do niej przeciwna.

Przykład

Własności wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna ma następujące własności:

1. |a|≥0, |a|=0 ⇔a=0;
2. |a|=|-a|;
3. |a·b|=|a|·|b|;
4. Jeżeli b≠0, to |a/b|=|a|/|b|;
5. a≤|a|;
6. |a+b|≤|a|+|b|;
7. ||a|-|b||≤|a-b|.

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Zapis |a| można zinterpretować, jako odległość liczby a od początku układu współrzędnych.

Z kolei zapis |a-b| interpretujemy jako odległość na osi liczbowej między punktami a i b.

Obliczanie wartości bezwzględnej

Aby obliczyć wartość bezwzględną wyrażenia, należy ustalić, czy wyrażenie to jest dodatnie, czy ujemne. Jeżeli
jest ujemne, zmieniamy znak na przeciwny.

Przykład

Obliczmy |4-√3|

Szacujemy, że √3≈1,73, więc gdy odejmiemy tę liczbę od 4, otrzymamy liczbę dodatnią. Możemy więc napisać,
że: |4-√3|=4-√3

Obliczmy |√3-4|

Szacujemy, że √3≈1,73, więc gdy odejmiemy od tej liczby 4, otrzymamy liczbę ujemną, a zatem wyrażenie pod
wartością bezwzględną jest mniejsze od zera - musimy zmienić znak podczas "opuszczania" wartości
bezwzględnej. W tym przypadku musimy napisać, że: |√3-4|=-√3+4

Przyjrzyjmy się wyrażeniu:

. Jeżeli za a podstawimy na przykład liczbę 5, to otrzymamy zdanie

prawdziwe. Kiedy natomiast do wyrażenia wstawimy za a liczbę -5, równości nie jest już prawdziwa. Obowiązuje
zatem wyłącznie dla liczb nieujemnych. Z całą pewnością możemy zatem napisać, że:

Przykład

Kiedy prawdziwa jest równość |a|=-a?

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że nie ma takiej liczby, która spełniałaby powyższe równanie, gdyż wiemy, że
wartość bezwzględna liczby jest zawsze dodatnia. Jednak w równaniu mamy do czynienia z wyrazem ogólnym a,
który może przybierać różne wartości. Wyraz a nie zawsze oznacza liczbę dodatnią, natomiast -a nie musi
oznaczać wartości ujemnej. Prawa strona równania jest dodatnia, kiedy za a podstawimy liczbę ujemną, np. -
(-5)=5. Zauważamy, że równanie jest w takim przypadku spełnione, bo np. |-5| = -(-5) = 5.

Zatem równanie jest spełnione dla liczb ujemnych.

Jak pozbyć się wartości bezwzględnej z równania?

Aby pozbyć się wartości bezwzględnej z dowolnego równania korzystamy bezpośrednio z definicji. Mamy do
rozpatrzenia dwa przypadki:

przypadek pierwszy - gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne, wówczas możemy opuścić
symbol wartości bezwzględnej podczas przepisywania równania;
przypadek drugi - gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne, wówczas zapisujemy wyrażenie
przeciwne do tego, które znajduje się pod wartością bezwzględną.

Przykład

Przykład, którym wartość bezwzględna jest tylko częścią wyrażenia:

I jeszcze jeden ciekawy przykład:

Ponieważ x

+1 jest zawsze dodatnie, możemy pominąć w zapisie wartość bezwzględną.

Pytania

Czy wartość bezwzględna liczby i moduł to jest to samo?

Moduł liczby rzeczywistej i wartość bezwzględna liczby rzeczywistej ma tę samą wartość. Pojęcia "moduł" używa
się w szerszym kontekście, bo także dla liczb zespolonych. Jednak i w tym przypadku można używać zamiennie
tych terminów. Moduł odnosi się do miary długości odcinka. Staje się to jasne, gdy spojrzymy na interpretację
geometryczną wartości bezwzględnej (patrz wyżej).

Jak obliczyć wartość bezwzględną w programie Excel?

Korzystamy z funkcji MODUŁ.LICZBY. Dla przykładu wpiszmy w dowolną komórkę formułę "=MODUŁ.LICZBY(-5)" i
naciśnijmy ENTER. Otrzymamy wartość 5.

Jak rozwiązywać równania z wartością bezwzględną?

Zagadnieniu temu poświęciliśmy osobne artykuły:

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną
Nierówności z wartością bezwzględną

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wartość bezwzględna

Zadanie - wartość bezwzględna, własności pierwiastków - Zadanie: Uprościć wyrażenia

Uprościć wyrażenie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 9, matura 2014

Dla każdej liczby x, spełniającej warunek -3<x<0 , wyrażenie