Równania z wartością bezwzględną Medianauka pl

Wpisz szukaną frazę

Szukaj

Równanie liniowe

Równanie liniowe z jedną
niewiadomą jest to równanie w
postaci: ax+b=0, gdzie a i b są
liczbami rzeczywistymi, x -

niewiadoma.

Rozwiązywanie równań
liniowych

Rozwiązywanie równań liniowych z
jedną niewiadomą, Równanie
liniowe z parametrem, Zadania z

treścią

Test wiedzy

Nauka

Matematyka

Równania i nierówności

Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartością bezwzględną to takie równania, w których niewiadoma znajduje się pod wartością
bezwzględną. Tutaj zajmiemy się wyłącznie równaniami pierwszego stopnia.

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Rozwiązywanie równania z wartością bezwzględną wymaga rozpatrywania kilku przypadków. Wynika to

bezpośrednio z

definicji wartości bezwzględnej

Zgodnie z definicją:

Należy więc rozpatrzyć co najmniej dwa przypadki.

Przykład

Rozwiązać równanie: |x|-1=0.
1) Dla

mamy |x|=x, więc:

Spełnione jest założenie, więc liczba 1 jest pierwiastkiem równania.

2) Dla

mamy z definicji wartości bezwzględnej |x|=-x, więc:

Spełnione jest założenie (x<0), więc liczba -1 jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: Pierwiastkami równania |x|-1=0 są liczby -1 i 1.

Naszkicujmy

wykres funkcji

y=|x|-1.

Jak widać wykres tej funkcji ma dwa

miejsca zerowe

, są to jednocześnie pierwiastki rozpatrywanego równania.

Przykład

Rozwiązać równanie: |x|+1=0.
1) Dla

mamy |x|=x, więc:

Niestety nie jest spełnione założenie

, więc liczba -1 nie jest pierwiastkiem równania.

2) Dla

mamy z definicji wartości bezwzględnej |x|=-x, więc:

I znów nie jest spełnione jest założenie (x<0), więc liczba 1 nie jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązań; jest sprzeczne.

Naszkicujmy wykres funkcji y=|x|+1.

Jak się należało spodziewać, wykres tej

funkcji

nie ma miejsc zerowych.

W przypadku gdy pod wartością bezwzględną znajduje się całe wyrażenie zawierające zmienną, rozpatrujemy

przypadki, gdy całe to wyrażenie przyjmuje różne znaki. Ilustruje to poniższy przykład.

Przykład

Rozwiązać równanie:

1) Dla

otrzymujemy równanie:

2) Dla

otrzymujemy równanie:

Otrzymaliśmy sprzeczność.

Odpowiedź: Równanie ma jeden pierwiastek x=0

Jeżeli w równaniu pojawia się więcej wartości bezwzględnych,

np. |x+1|-x=|x|-1, wówczas musimy rozpatrywać odpowiednio więcej przypadków (kiedy obie wartości pod
wartościami bezwzględnymi są ujemne, obie dodatnie oraz jedna z nich dodatnia, druga ujemna i odwrotnie).

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Równania z wartością bezwzględną

Zadanie - równanie z wartością bezwzględną

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność liniowa z wartością bezwzględną

Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność z wartością bezwzględną

Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną