Ruch obrotowy bryły sztywnej

Podstawowe pojęcia:

1. Bryła sztywna
2. Moment siły
3. Moment pędu
4. Moment bezwładności

Bryła sztywna

Bryłą sztywną nazywamy takie ciało, w którym wszystkie punkty mają zawsze względem
siebie stałe odległości.

nie zależy od czasu i nie
zmienia się pod wpływem
działających sił

ik

r

const



Ciała rozciągłe (bryły sztywne) będziemy rozpatrywać jako układy punktów materialnych
(dzieląc w myśli bryłę sztywną na bardzo małe elementy).

Ruch obrotowy:

Torami punktów P

1

i P

2

są

okręgi współśrodkowe.

Moment siły

- moment siły F przyłożonej w

punkcie P względem punktu O

M r F

 

sin

m r F



  

M

M

1

1

1

2

2

2

M

r F

M

r

F

 

 



1

2

M

M

M





Jeśli M

1

= M

2

, to M = 0

Ciało mogące obracać się wokół danej osi, znajduje się w stanie równowagi,
jeżeli suma momentów sił względem tej osi jest równa zero.

Para sił

Moment pary sił nie zależy od wyboru punktu względem którego go badamy.

F

1

=F

2

Moment pędu

gdzie:
l – moment pędu punktu P
względem punktu O

sin

l

r p

l rp



 



Moment pędu względem dowolnego punktu O pojedynczego punktu materialnego P,
poruszającego się ze stałą prędkością, pozostaje stały podczas ruchu.

1

1

2

2

1

2

sin

sin

r

r

r

r

l

l















Momenty pędu planet układu słonecznego:

Jowisz

-

190 x 10

41

kgm

2

/s

Saturn

-

78 - , -

Uran

-

17 - , -

Neptun

-

30 - , -

Pluton

-

1,4 - , -

Neptun

r

r = 5

.

10

12

km

T = 5

.

10

9

s

m = 10

26

kg

l = m

.

v

.

r = m

.

.

r

l = 30

.

10

41

kg m

2

/s

2πr

T

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Słońce M, W,

Z, Ma

Jowisz Saturn

Uran

Neptun Pluton

Słońce

6

M, W, Z, Ma

0,5

Jowisz

190

Saturn

78

Uran

17

Neptun

30

Pluton

1,4

x 10

41

kgm

2

/s

Masa planet stanowi 1/700 masy całego układu.
Planety niosą 98% momentu pędu.

Słońce skupia prawie całą masę układu, ale niesie tylko 2% momentu pędu.

Moment pędu punktu materialnego względem osi.

Wyznaczamy moment pędu punktu materialnego P względem punktu O leżącego na osi.







-



2

v

m

R

l











0

v



Wartość wynosi:


Rozłóżmy na dwie składowe i . Wykażemy, że składowa nie zależy od wyboru punktu
O na osi.

o

l

sin90

o

l

mRv

mRv





oy

l

o

l



Ale , stąd

Z rysunku widać, że zatem . Ponieważ

cos

cos

sin

2

oy

o

o

o

l

l

l

l

















-











sin

oy

l

mRv





sin

R

r





v

r





2

oy

l

mr





Momentem pędu punktu materialnego względem osi nazywamy składową

(równoległa do osi) momentu pędu wyznaczonego względem dowolnego

punktu tej osi.

Składowa zależy od wyboru punktu O.

o

l



sin

cos

cos

OA

2

o

o

o

l

l

l

mRv

mv

 













-















o

l

oy

l

mvR

l 

0

mvr

l

y



0

Moment pędu względem osi układu punktów materialnych

Oś obrotu przechodzi przez środek mas

'

2

1 1

'

1 1

"

2

2 2

"

2 2

oy

o

oy

o

l

m r

l

m r OS

l

m r

l

m r

OS





















Ponieważ S jest środkiem mas, więc . Zatem

1 1

2 2

m r

m r



'

"

o

o

l

l











'

"

'

"

2

2

1 1

2 2

0

o

o

oy

oy

l

l

l

l

m r

m r

















Oznaczmy:

oy

oy

oy

L

l

l











''

'

zaś

I

r

m

r

m





2

2

2

2

1

1

Możemy zapisać: lub









 I

L

oy









 I

L

Jeśli dany jest układ punktów materialnych: m

1

, m

2

, ...., m

n

odległych od osi obrotu o r

1

, r

2

, ..., r

n

to wówczas

2

1

n

i i

i

I

m r







2

2

2

1 1

2 2

+ ...

n n

I m r

m r

m r







nazywamy momentem bezwładności ciała
względem danej osi obrotu

Przykłady obliczania momentu bezwładności względem danej

osi:

2

2

2

I

r dm r dm mr











1. Sztywna, cienka obręcz o

promieniu r obracająca się

dookoła stałej osi prostopadłej

do płaszczyzny obręczy i

przechodzącej przez jej środek

mas.

gdzie:

m

– masa obręczy

I = m

.

r

2

2. Cienki jednorodny pręt, wirujący wokół osi prostopadłej do pręta

i przechodzącej przez środek mas.

l

– długość pręta

m

– masa pręta



– gęstość

S

– pole poprzecznego przekroju

3

3

2

2

2

2

3

2

2

2

2

3

3

3

2

2

8

8

3

3

24

24

12

12

12

l

l

l

l

l

l

m

l

l

I

r dm

r S dr S r

S

S

l

l

l

l

l

S

S

S

Sl

m























-

-

-

-









-

















2

12

ml

I 

3

oś obrotu









dr

S

dm

Twierdzenie Steinera

I

s

-

moment bezwładności bryły

względem tej osi

2

s

I I

mh

 

Moment bezwładności bryły względem osi OO’ jest równy sumie momentu
bezwładności względem osi równoległej do OO’ i przechodzącej przez środek masy
oraz iloczynu masy ciała przez kwadrat odległości obu osi.

oś przechodząca przez środek mas,
równoległa do osi OO’.

0

M

l

r p

dl

dr

dp

p r

dt

dt

dt

dl

v p r F

dt

dl

M

dt

 



  

   



Prawa ruchu obrotowego bryły sztywnej

Szybkość zmiany momentu pędu równa się momentowi siły wypadkowej
działającej na punkt o masie m.

W przypadku układu punktów materialnych (bryły sztywnej):

M

dt

L

d







Ponieważ

L = I ω

.

M

dt

I

d







 )

(



M

dt

d

I









M

I



 





ε –

przyspieszenie kątowe

M



- moment sił zewnętrznych

I

M





M

~



I

1

~



Jeżeli M = 0, to ------ = 0, czyli L = const

a więc:

dL

dt

I

.

ω = const.

I

1

ω

1

=I

2

ω

2

Zasada zachowania momentu pędu

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym





2

2

1 1

4 4

2

2

2

2

1 1

4 4

2

2

2

1 1

4 4

2

...

2

2

...

2

2

...

2

2

k

k

k

k

m v

m v

v

r

m r

m r

m r

m r

I





















 





 

 





Uwaga

W przypadku rozpatrywanej obręczy ma ten sam kierunek co wektor . Słuszny był

wzór:

L



L I





Z sytuacją taką mamy do czynienia wtedy, gdy spełnione są następujące warunki:

ruch obrotowy zachodzi dookoła stałej osi, przechodzącej przez środek masy ciała
i będącej jego osią symetrii.

M

I





Ciała o symetrii obrotowej nazywamy

bąkami

.

Jeśli moment sił zewnętrznych bąk nazywamy swobodnym.

Oś obrotu, względem której moment bezwładności przyjmuje wartość ekstremalną
(maksymalną lub minimalną) jest stabilną osią obrotu.

0

M 

Stabilna oś obrotu

Niestabilna oś obrotu

Bąk pod działaniem sił zewnętrznych

Wektor , a razem z nim oś symetrii obręczy, obróci się dookoła osi X!

Zjawisko to nosi nazwę efektu giroskopowego.

L

L’ = L

zmienia się tylko kierunek

wektora momentu pędu

'

dL

M

dt

L

M

t

L M t

L

L

L









  

  

,

Rozważmy ruch bąka w polu siły ciężkości

sin

s

s

M

r mg

M

mgr



 




Pod wpływem momentu siły M
działającego w czasie Δt,
moment pędu bąka zmienia się
o ΔL=M Δt

Wektor L wykonuje ruch precesyjny.
Oś obrotu, wektor L zakreślają
powierzchnię stożka.Koniec wektora L
porusza się po okręgu.

Prędkość kątowa precesji:

t

p









R

L









sin

L

R 

t

M

L









sin

s

mgr

M 

t

L

t

mgr

s

p

















sin

sin

L

mgr

s

p





ale

zatem otrzymujemy

Częstość precesji jest niezależna od kąta φ

φ

Ziemia

φ=23

o

27’

płaszczyzna ekliptyki

Precesja astronomiczna

26 000 lat ...

Ruch postępowo-obrotowy bryły sztywnej

Toczenie np. walca można opisać jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego lub jako „czysty”
ruch obrotowy dookoła chwilowej osi obrotu.

2

2

2

2

2

(

)

2

p

k

p

s

s

k

I

I

I

mr

I

mr











 





2

2

2

2

2

2

2

2

2

s

k

s

k

I

mr

I

mv



















2

2

s

k

I







2

2

k

mv





Energia kinetyczna w ruchu obrotowym wokół osi
przechodzącej przez środek masy S

Energia kinetyczna ruchu postępowego

r







v



p mv



L I





F

M

dp

F

dt



dL

M

dt



2

2

k

mv





2

2

k

I







Ruch postępowy

Ruch obrotowy

przesunięcie

kąt obrotu

prędkość

prędkość kątowa

masa

m

moment bezwładności

I

pęd

moment pędu

siła

moment siły

podstawowe prawo:

podstawowe prawo:

energia kinetyczna:

energia kinetyczna: