41 42 43 44 45 46 47

background image

ZAD. 41
Na bloczku (patrz rys. obok) o promieniu R i momencie bezwładno ci I

0

zawieszono dwa ci arki o masach m

1

i m

2

. Znale warto

a przyspieszenia tych mas oraz naci gi nici po lewej N

L

i prawej N

P

stronie bloczka. Obliczenia wykona dla R = 0,1 m, m

1

= 1 kg,

m

2

= 3 kg oraz I

0

= 0,1 kg⋅m

2

. Jakie b dzie przyspieszenie ciała m

1

je li ci ar m

2

zast pi siła F = 30 N?

Odp.: a) a = 1,43 m/s

2

; b) a = 1,82 m/s

2

.

Rozwi zanie:

a)

Z drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego zastosowanej dla bloczka mamy:

(

)

0

0

1

2

I

R

a

I

R

N

N

=

ε

=

, gdzie wykorzystano, e

R

a

ε

=

Dla obu ciał m

1

i m

2

mo emy napisa :

a

m

g

m

N

g

m

a

m

N

a

m

N

g

m

a

m

g

m

N

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

=

+

=

=

=

Wstawiaj c obliczone N

1

oraz N

2

do pierwszego równania dostajemy:

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

s

m

m

kg

0,1

1

0,1

3

0,1

m

s

m

kg

0,1

10

1

3

43

,

1

2

2

2

1

0

2

1

2

2

2

2

1

0

2

1

2

0

1

1

2

2

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

=

R

m

R

m

I

gR

m

m

a

R

m

R

m

I

a

gR

m

m

I

R

a

gR

m

aR

m

aR

m

gR

m

b)

Z drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego zastosowanej dla bloczka mamy:

(

)

0

0

1

I

R

a

I

R

N

F

=

ε

=

, gdzie wykorzystano, e

R

a

ε

=

Dla ciała m

1

mo emy napisa :

g

m

a

m

N

a

m

g

m

N

1

1

1

1

1

1

+

=

=

Wstawiaj c obliczone N

1

do pierwszego równania dostajemy:

(

)

(

)

(

)

(

) ( )

( )

2

2

2

2

2

2

s

m

m

kg

0,1

1

0,1

m

s

m

kg

0,1

10

1

30

82

,

1

2

1

0

2

1

2

1

0

2

1

0

1

1

=

+

=

+

=

+

=

=

R

m

I

R

g

m

F

a

R

m

I

a

R

g

m

F

I

R

a

gR

m

aR

m

FR


ZAD. 42

Na bloczku o promieniu R i momencie bezwładno ci I

0

jest nawini ta ni , na której ko cu wisi ciało o masie m. Jak pr dko k tow

b dzie miał bloczek w chwili, gdy ciało opu ci si na odległo h?
Odp.:
Rozwi zanie:
Dla ruchu obrotowego bloczka I

0

mamy:

(1)

0

I

R

a

NR

=

(naci g N jest jedyn siła wywołuj ca ruch obrotowy bloczka)

Dla ruchu post powego ciała m zachodzi:

(2)

ma

mg

N

ma

N

mg

=

=

Obliczone z (2) N wstawiamy do (1) otrzymuj c

(

)

2

0

2

0

mR

I

mgR

a

I

R

a

R

ma

mg

+

=

=

ah

v

a

v

a

v

a

h

a

v

t

at

v

at

h

2

2

2

2

2

2

2

=

=

=

=

=

=

Dla ruchu obrotowego bloczka zachodzi zwi zek

R

v

ω

=

, zatem

2

0

2

0

2

2

2

2

mR

I

mgh

R

h

mR

I

mgR

R

ah

R

v

+

=

+

=

=

=

ω

a

m

1

m

2

m

2

g

m

1

g

N

2

N

2

N

1

N

1

I

0

a

R

m

1

m

1

g

N

1

N

1

I

0

a

a

F

R

h

R

I

0

mg

N

N

background image


ZAD. 43
Na stole le y szpula, na któr nawini ta jest ni . Promie zewn trzny szpuli R = 20 cm, wewn trzny r = 10 cm, a jej masa wynosi

M = 1 kg. Ni przerzucono przez niewa ki bloczek i przyło ono do niej sił F = 10 N (w dół).

a) Z jakim przyspieszeniem a

0

b dzie

poruszał si rodek masy szpuli?

b) Wyznacz przyspieszenie a

1

rodka masy szpuli, je li zamiast siły F u y ci arka o masie

m = 1 kg, czyli takiego, którego ci ar jest równy sile F. UWAGA: Nale y przyj , e rowek szpuli, na który nawini ta jest ni maj

zaniedbywaln szeroko , wobec czego ich moment bezwładno ci jest I

0

= ½ mR

2

. Dodatkowo przyj , e toczenie szpuli pierwszej

odbywa si bez po lizgu (co nie znaczy, e bez tarcia!).
Rozwi zanie
a) Wariant I

Z drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego

zastosowanej dla bloczka mamy:

0

0

I

R

a

I

R

T

r

F

=

ε

=

+

, gdzie wykorzystano, e

R

a

ε

=

Uwzgl dniaj c ruch post powy bloczka M mo emy napisa :

Ma

F

T

Ma

T

F

=

=

Wstawiaj c obliczone T do pierwszego równania dostajemy:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

s

m

m

0,2

kg

1

3

m

0,2)

N(0,1

10

2

15

3

2

2

2

2

1

2

0

2

0

0

=

+

==

+

=

+

+

=

+

+

=

+

=

+

=

+

MR

R

r

F

MR

MR

R

R

r

F

MR

I

R

R

r

F

a

MR

I

a

R

R

r

F

I

R

a

R

Ma

F

r

F

Wariant II (prostszy)

Z wykorzystaniem osi chwilowej oraz twierdzenia Steinera.

Drug zasad dynamiki ruchu obrotowego zapiszemy wtedy

(

)

(

)

2

0

MR

I

R

a

I

r

R

F

+

=

ε

=

+

,

gdzie moment siły F

⋅(R+r) liczony jest wzgl dem osi chwilowej

(osi przechodz cej przez punkt styku szpuli z podło em oraz

równoległej do osi obrotu przechodz cej przez rodek masy

szpuli). Ponadto, I jest momentem bezwładno ci wzgl dem osi
chwilowej, a I

0

− wzgl dem osi przechodz cej przez rodek masy).

Szukan warto przyspieszenia a otrzymujemy natychmiast z powy szego równania.

(

)

2

s

m

15

2

0

=

+

+

=

MR

I

R

R

r

F

a

b) Wariant I

(1)

0

0

I

R

a

I

R

T

r

N

=

ε

=

+

(dla ruchu obrotowego szpuli)

(2)

Ma

T

N

=

(dla ruchu post powego szpuli)

(3)

/

ma

N

mg

=

(dla ruchu post powego ci arka)

gdzie

a

R

r

R

a

+

=

/

jest przyspieszeniem za jakim porusza si ciało m

(i jednocze nie ni ). Przyspieszenie a

/

jest wi ksze od przyspieszenia a

gdy pr dko nici jest wi ksza ni pr dko rodka masy szpuli (patrz rys.)

Jest to układ trzech równa z trzema niewiadomymi a, N i T.

Z (2) obliczamy sił tarcia

Ma

N

T

=

i wstawiamy do (1) otrzymuj c

(

)

0

I

R

a

R

Ma

N

r

N

=

+

Do powy szego równania wstawiamy N obliczone z (3) tzn.

a

R

r

R

m

mg

ma

mg

N

+

=

=

/

, co daje

0

I

R

a

R

Ma

a

R

r

R

m

mg

r

a

R

r

R

m

mg

=

+

+

+

Po przekształceniach otrzymujemy wynik

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

0

2

2

0

0

2

2

0

2

2

2

2

0

2

2

2

2

0

2

R

r

m

MR

I

R

R

r

mg

a

R

r

m

Mr

I

a

R

R

r

mg

aI

MaR

R

r

ma

R

R

r

mg

aI

MaR

maR

maRr

mar

mgR

mgrR

aI

Mar

maRr

maR

mgR

mar

maRr

mgrR

I

R

a

MaR

mar

maR

mgR

ar

R

r

R

m

mgr

+

+

+

+

=

+

+

+

=

+

=

+

+

=

+

=

+

=

+

+

R)

przez

obustronne

(mno enie

N = F

F

a

R

r

T

M

N = F

F

a

R

r

T

M

R+r

P

N

N

m

R

r

mg

T

a

v(R+r)/R

R

v

2v

v = 0

r

background image

Uwzgl dniaj c, e

2

2

1

0

MR

I

=

dostajemy:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

3

s

m

6

s

m

4

m

0,2

m

0,2

m

0,1

s

m

s

m

m

0,2

0,1

kg

1

m

0,2

kg

1

m

0,2

0,1

m

0,2

kg

1

=

+

=

+

=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

+

=

a

R

R

r

a

g

R

r

m

MR

R

r

mR

R

r

m

MR

MR

R

r

mgR

a

/

2

2

2

2

3

2

2

2

2

1

4

10

Wariant II Wynik ten mo na otrzyma wykorzystuj c o chwilow oraz twierdzenie Steinera. Wtedy:

(

)

(

)

.

)

2

(

)

1

(

1

/

2

0

+

=

=

+

=

+

ci arka)

(dla

gdzie

szpuli),

(dla

a

R

R

r

a

ma

N

mg

MR

I

R

a

R

r

N

Z (2) obliczamy napi cie nici N

(

)

R

a

R

r

m

mgR

a

R

R

r

m

mg

ma

mg

N

+

=

+

=

=

/

i wstawiamy do (1)

(

) ( )

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

2

2

0

2

0

2

2

0

R

r

m

MR

I

R

r

mgR

a

a

MR

I

a

R

r

m

R

r

mgR

MR

I

R

a

R

r

R

a

R

r

m

mgR

+

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

=

+

+

Uwzgl dniaj c, e

2

2

1

0

MR

I

=

dostajemy:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

3

s

m

6

s

m

4

m

0,2

m

0,2

m

0,1

s

m

s

m

m

0,2

0,1

kg

1

m

0,2

kg

1

m

0,2

0,1

m

0,2

kg

1

=

+

=

+

=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

+

=

a

R

R

r

a

g

R

r

m

MR

R

r

mR

R

r

m

MR

MR

R

r

mgR

a

/

2

2

2

2

3

2

2

2

2

1

4

10

ZAD. 44

Szpula o masie m = 1 kg, promieniu wewn trznym r = 2 cm oraz zewn trznym R = 10 cm wisi na nierozci gliwej i niewa kiej nici

przymocowanej do sufitu.

a) W jakim czasie szpula odwinie si na odległo h = 1 m, je li w chwili pocz tkowej była nieruchoma i

dotykała sufitu.

b) W jakim czasie osi gnie t odległo je li do osi szpuli podwieszony zostanie dodatkowy ci ar o masie M = 1 kg?

c) Wyznacz ten czas je li zamiast ci aru M u y siły F = 10 N przyło onej do rodka masy szpuli oraz skierowanej pionowo w dół.

(Moment bezwładno ci szpuli jest I

0

= ½ mR

2

).

Odp.: a) t = 1,64 s, b) t = 1,2 s, c) t = 1,16 s

Rozwi zanie:
a)

wariant 1

ruch post powy szpuli

(1)

ma

N

Q

=

ruch obrotowy szpuli

(2)

2

0

0

2

1

mR

r

a

I

r

a

I

Nr

=

=

ε

=

z (1) obliczamy N

ma

mg

ma

Q

N

=

=

Obliczone N wstawiamy do (2)

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

s

m

s

m

10

m

0,02

2

m

0,1

m

0,02

2

74

,

0

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

=

+

=

+

=

=

=

g

r

R

r

a

maR

mar

mgr

mR

r

a

mar

mgr

s

1,64

s

2,7

s

m

0,74

m

1

2

2

2

=

=

=

=

=

a

h

t

at

h

2

2

2

wariant 2 (o chwilowa)

(

)

2

s

m

74

,

0

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

=

+

=

+

=

+

=

+

=

=

g

r

R

r

mr

mR

mgr

a

mr

mR

r

a

mr

I

r

a

I

r

a

Qr

s

1,64

=

=

=

a

h

t

at

h

2

2

2

(jak poprzednio)

N

N

m

R

r

mg

T

a

Q

N

Q

N

h

background image

b)

wariant 1

(1)

2

0

0

2

1

mR

r

a

I

r

a

I

Nr

=

=

ε

=

(ruch obrotowy szpuli)

(2)

ma

N

N

Q

=

+

1

(ruch post powy szpuli)

(3)

Ma

N

Mg

=

1

(ruch post powy ci arka)

Układ trzech równa z trzema niewiadomymi: N, N

1

i a.

Z (2) liczymy N

1

i wstawiamy do (3)

Q

ma

N

N

ma

N

N

Q

+

=

=

+

1

1

Obliczone N

1

wstawiamy do (3)

(

)

Ma

ma

mg

Mg

N

Ma

Q

ma

N

Mg

+

=

=

+

N wstawiamy do (1)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

amR

mar

Mar

mgr

Mgr

mR

r

a

mar

Mar

mgr

Mgr

+

+

=

+

=

+

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

s

m

m

0,02

kg

1

2

m

0,02

kg

1

2

m

0,1

kg

1

m

0,1

s

m

10

kg

1

2

m

0,1

s

m

10

kg

1

2

38

,

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

+

+

+

=

+

+

+

=

Mr

mr

mR

Mgr

mgr

a

s

s

m

m

1

2

2

2

,

1

38

,

1

2

2

2

=

=

=

=

a

h

t

at

h

wariant 2 (o chwilowa)

(1)

(

)

(

)

+

=

+

=

=

+

2

2

2

0

1

2

1

mr

mR

r

a

mr

I

r

a

I

r

a

r

N

Q

(ruch obrotowy szpuli)

(2)

Ma

N

Mg

=

1

(ruch post powy ci arka)

Z (2) obliczamy N

1

Ma

Mg

N

Ma

N

Mg

=

=

1

1

i wstawiamy do (1)

(

)

2

s

m

38

,

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

+

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

Mr

mr

mR

Mgr

mgr

a

Mr

mr

mR

a

Mgr

mgr

mr

mR

r

a

Mar

Mgr

mgr

s

2

,

1

2

2

2

=

=

=

a

h

t

at

h

c)
wariant 1

ruch post powy szpuli

(1)

ma

N

Q

F

=

+

ruch obrotowy szpuli

(2)

2

0

0

2

1

mR

r

a

I

r

a

I

Nr

=

=

ε

=

z (1) obliczamy N

ma

mg

F

ma

Q

F

N

+

=

+

=

Obliczone N wstawiamy do (2)

(

)

(

)

( )

( )

( )

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

s

m

m

kg

0,0108

m

N

0,16

m

0,02

2

0,1

kg

1

m

0,02

s

m

10

kg

1

N

10

2

48

,

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

=

+

=

+

r

R

m

r

mg

F

mr

mR

mgr

Fr

a

maR

mar

mgr

Fr

mR

r

a

mar

mgr

Fr

s

1,16

s

m

m

1

2

2

=

=

=

=

48

,

1

2

2

2

a

h

t

at

h

wariant 2 (o chwilowa)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

s

m

48

,

1

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

=

+

+

=

+

+

=

+

=

+

=

=

+

mr

mR

r

F

mg

mr

mR

r

F

Q

a

mr

mR

r

a

mr

I

r

a

I

r

a

r

F

Q

)

poprzednio

(jak

s

1,16

=

=

=

a

h

t

at

h

2

2

2

Q

N

Q

N

h

F

F

Q

N

N

h

M

Mg

N

1

N

1

Q

M

Mg

N

1

N

1

background image

Zad. 45
Jaki b dzie stosunek energii kinetycznej ruchu post powego do energii kinetycznej ruchu obrotowego w przypadku walca pełnego,

cienko ciennego i kuli staczaj cych si z równi pochyłej bez po lizgu? (Momenty bezwładno ci tych brył wynosz odpowiednio:

MR

2

/2, MR

2

i 2MR

2

/5).

Odp.: dla walca 2, dla puszki 1, dla kuli 2,5
Rozwi zanie:

( )

5

,

2

1

2

2

2

;

2

;

2

2

5

2

2

0

2

2

2

0

2

2

2

1

2

0

2

0

2

2

0

2

2

0

2

2

0

2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

ω

ω

=

ω

=

ω

=

ω

=

=

MR

MR

I

MR

E

E

MR

MR

I

MR

E

E

MR

MR

I

MR

E

E

I

MR

I

R

M

I

Mv

E

E

R

v

oraz

I

E

Mv

E

obr

k

post

k

obr

k

post

k

obr

k

post

k

obr

k

post

k

obr

k

post

k

kuli

dla

puszki

dla

walca

dla

Zad 46

Walec o promieniu R i masie M stacza si bez po lizgu z równi o k cie nachylenia

α. Napisa równania ruchu walca oraz znale

przyspieszenie liniowe rodka masy w przypadku walca pełnego i cienko ciennego ("puszka bez denek") oraz kuli. (Momenty

bezwładno ci tych brył wynosz odpowiednio: MR

2

/2, MR

2

i 2MR

2

/5).

Odp.:

Rozwi zanie:

Metoda „klasyczna” (dla osi obrotu przechodz cej przez rodek masy bryły)

α

µ

=

α

µ

=

µ

=

α

=

α

=

cos

cos

sin

sin

Mg

Q

N

T

Mg

Q

Q

(dla ruchu obrotowego)

α

=

=

α

=

=

=

Ma

Mg

T

Ma

T

Mg

I

R

a

TR

Ma

T

Q

I

R

a

TR

sin

sin

0

0

o)

post poweg

ruchu

(dla

)

obrotowego

ruchu

(dla

(

)

(

)

7

sin

5

sin

sin

2

sin

sin

sin

3

sin

2

sin

sin

sin

sin

sin

2

5

2

2

2

0

2

2

2

2

2

0

2

2

2

2

1

2

2

0

2

2

0

2

2

0

2

2

0

α

=

+

α

=

+

α

=

α

=

+

α

=

+

α

=

α

=

+

α

=

+

α

=

+

α

=

+

=

α

=

α

g

MR

MR

R

Mg

I

MR

R

Mg

a

g

MR

MR

R

Mg

I

MR

R

Mg

a

g

MR

MR

R

Mg

I

MR

R

Mg

a

I

MR

R

Mg

a

I

MR

a

R

Mg

I

R

a

R

Ma

Mg

kuli

dla

puszki

dla

walca

dla

Metoda z osi chwilow

(

)

2

0

2

2

0

2

2

0

sin

MR

I

R

mg

MR

I

R

Q

a

MR

I

R

a

I

R

a

R

Q

+

α

=

+

=

+

=

=

reszta analogicznie (walec, puszka, kula...)

Zad 47

Szpula o masie m i promieniu r oraz ci ar o masie M poł czone s nici , przerzucon przez niewa ki bloczek.

a) W jakim czasie

ró nica ich wysoko ci wyniesie h je li w chwili pocz tkowej znajdowały si na tej samej wysoko ci?

b) Wyznacz ten czas je li

niewa ki bloczek na którym wisz ciała zast pi bloczkiem o masie M

b

i momencie bezwładno ci I

1

. Zało y , e bloczek jest walcem

jednorodnym o momencie bezwładno ci I

1

= ½ MR

2

Do samodzielnego rozwi zania dla ambitnych (zadanie nieco trudniejsze)

Q

T

Q

Q

α

α

α

background image


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
HLP - oświecenie - opracowania lektur, 30. Jan Potocki, Rękopis znaleziony w Saragossie. DZIEŃ 43, 4
44 45 46
45-46-47, 45
45,46,47,48
41 42 43 id 38542 Nieznany (2)
44-45-46
2002 1 44,45,46
Lumel re41 42 43 44
Słówka na test STANAG READING 1 2, 3 4,5 6, 31,32,33,45,46,47 (1)
39 40 41 42 43
40 41 42 44 46 47
42(43 47) IIp
42 + 45 + 46 histologia struktur bioracych w procesie filtracji w cialku nerkowym
43 44
page 42 43
02 1995 43 44

więcej podobnych podstron