ZAD. 41
Na bloczku (patrz rys. obok) o promieniu R i momencie bezwładno ci I
0
zawieszono dwa ci arki o masach m
1
i m
2
. Znale warto
a przyspieszenia tych mas oraz naci gi nici po lewej N
L
i prawej N
P
stronie bloczka. Obliczenia wykona dla R = 0,1 m, m
1
= 1 kg,
m
2
= 3 kg oraz I
0
= 0,1 kg⋅m
2
. Jakie b dzie przyspieszenie ciała m
1
je li ci ar m
2
zast pi siła F = 30 N?
Odp.: a) a = 1,43 m/s
2
; b) a = 1,82 m/s
2
.
Rozwi zanie:
a)
Z drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego zastosowanej dla bloczka mamy:
(
)
0
0
1
2
I
R
a
I
R
N
N
=
ε
=
⋅
−
, gdzie wykorzystano, e
R
a
ε
=
Dla obu ciał m
1
i m
2
mo emy napisa :
a
m
g
m
N
g
m
a
m
N
a
m
N
g
m
a
m
g
m
N
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
−
=
+
=
=
−
=
−
Wstawiaj c obliczone N
1
oraz N
2
do pierwszego równania dostajemy:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
s
m
m
kg
0,1
1
0,1
3
0,1
m
s
m
kg
0,1
10
1
3
43
,
1
2
2
2
1
0
2
1
2
2
2
2
1
0
2
1
2
0
1
1
2
2
=
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
−
=
+
+
⋅
−
=
+
+
⋅
=
⋅
−
=
−
−
−
R
m
R
m
I
gR
m
m
a
R
m
R
m
I
a
gR
m
m
I
R
a
gR
m
aR
m
aR
m
gR
m
b)
Z drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego zastosowanej dla bloczka mamy:
(
)
0
0
1
I
R
a
I
R
N
F
=
ε
=
⋅
−
, gdzie wykorzystano, e
R
a
ε
=
Dla ciała m
1
mo emy napisa :
g
m
a
m
N
a
m
g
m
N
1
1
1
1
1
1
+
=
=
−
Wstawiaj c obliczone N
1
do pierwszego równania dostajemy:
(
)
(
)
(
)
(
) ( )
( )
2
2
2
2
2
2
s
m
m
kg
0,1
1
0,1
m
s
m
kg
0,1
10
1
30
82
,
1
2
1
0
2
1
2
1
0
2
1
0
1
1
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
=
+
⋅
−
=
+
⋅
=
⋅
−
=
−
−
R
m
I
R
g
m
F
a
R
m
I
a
R
g
m
F
I
R
a
gR
m
aR
m
FR
ZAD. 42
Na bloczku o promieniu R i momencie bezwładno ci I
0
jest nawini ta ni , na której ko cu wisi ciało o masie m. Jak pr dko k tow
b dzie miał bloczek w chwili, gdy ciało opu ci si na odległo h?
Odp.:
Rozwi zanie:
Dla ruchu obrotowego bloczka I
0
mamy:
(1)
0
I
R
a
NR
=
(naci g N jest jedyn siła wywołuj ca ruch obrotowy bloczka)
Dla ruchu post powego ciała m zachodzi:
(2)
ma
mg
N
ma
N
mg
−
=
=
−
Obliczone z (2) N wstawiamy do (1) otrzymuj c
(
)
2
0
2
0
mR
I
mgR
a
I
R
a
R
ma
mg
+
=
=
−
ah
v
a
v
a
v
a
h
a
v
t
at
v
at
h
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
Dla ruchu obrotowego bloczka zachodzi zwi zek
R
v
ω
=
, zatem
2
0
2
0
2
2
2
2
mR
I
mgh
R
h
mR
I
mgR
R
ah
R
v
+
=
+
=
=
=
ω
a
m
1
m
2
m
2
g
m
1
g
N
2
N
2
N
1
N
1
I
0
a
R
m
1
m
1
g
N
1
N
1
I
0
a
a
F
R
h
R
I
0
mg
N
N
ZAD. 43
Na stole le y szpula, na któr nawini ta jest ni . Promie zewn trzny szpuli R = 20 cm, wewn trzny r = 10 cm, a jej masa wynosi
M = 1 kg. Ni przerzucono przez niewa ki bloczek i przyło ono do niej sił F = 10 N (w dół).
a) Z jakim przyspieszeniem a
0
b dzie
poruszał si rodek masy szpuli?
b) Wyznacz przyspieszenie a
1
rodka masy szpuli, je li zamiast siły F u y ci arka o masie
m = 1 kg, czyli takiego, którego ci ar jest równy sile F. UWAGA: Nale y przyj , e rowek szpuli, na który nawini ta jest ni maj
zaniedbywaln szeroko , wobec czego ich moment bezwładno ci jest I
0
= ½ mR
2
. Dodatkowo przyj , e toczenie szpuli pierwszej
odbywa si bez po lizgu (co nie znaczy, e bez tarcia!).
Rozwi zanie
a) Wariant I
Z drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego
zastosowanej dla bloczka mamy:
0
0
I
R
a
I
R
T
r
F
=
ε
=
⋅
+
⋅
, gdzie wykorzystano, e
R
a
ε
=
Uwzgl dniaj c ruch post powy bloczka M mo emy napisa :
Ma
F
T
Ma
T
F
−
=
=
−
Wstawiaj c obliczone T do pierwszego równania dostajemy:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
s
m
m
0,2
kg
1
3
m
0,2)
N(0,1
10
2
15
3
2
2
2
2
1
2
0
2
0
0
=
⋅
⋅
+
⋅
==
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
⋅
−
+
⋅
MR
R
r
F
MR
MR
R
R
r
F
MR
I
R
R
r
F
a
MR
I
a
R
R
r
F
I
R
a
R
Ma
F
r
F
Wariant II (prostszy)
Z wykorzystaniem osi chwilowej oraz twierdzenia Steinera.
Drug zasad dynamiki ruchu obrotowego zapiszemy wtedy
(
)
(
)
2
0
MR
I
R
a
I
r
R
F
+
=
ε
=
+
⋅
,
gdzie moment siły F
⋅(R+r) liczony jest wzgl dem osi chwilowej
(osi przechodz cej przez punkt styku szpuli z podło em oraz
równoległej do osi obrotu przechodz cej przez rodek masy
szpuli). Ponadto, I jest momentem bezwładno ci wzgl dem osi
chwilowej, a I
0
− wzgl dem osi przechodz cej przez rodek masy).
Szukan warto przyspieszenia a otrzymujemy natychmiast z powy szego równania.
(
)
2
s
m
15
2
0
=
+
+
=
MR
I
R
R
r
F
a
b) Wariant I
(1)
0
0
I
R
a
I
R
T
r
N
=
ε
=
⋅
+
⋅
(dla ruchu obrotowego szpuli)
(2)
Ma
T
N
=
−
(dla ruchu post powego szpuli)
(3)
/
ma
N
mg
=
−
(dla ruchu post powego ci arka)
gdzie
a
R
r
R
a
+
=
/
jest przyspieszeniem za jakim porusza si ciało m
(i jednocze nie ni ). Przyspieszenie a
/
jest wi ksze od przyspieszenia a
gdy pr dko nici jest wi ksza ni pr dko rodka masy szpuli (patrz rys.)
Jest to układ trzech równa z trzema niewiadomymi a, N i T.
Z (2) obliczamy sił tarcia
Ma
N
T
−
=
i wstawiamy do (1) otrzymuj c
(
)
0
I
R
a
R
Ma
N
r
N
=
⋅
−
+
⋅
Do powy szego równania wstawiamy N obliczone z (3) tzn.
a
R
r
R
m
mg
ma
mg
N
+
−
=
−
=
/
, co daje
0
I
R
a
R
Ma
a
R
r
R
m
mg
r
a
R
r
R
m
mg
=
⋅
−
+
−
+
⋅
+
−
Po przekształceniach otrzymujemy wynik
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
0
2
2
0
0
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
R
r
m
MR
I
R
R
r
mg
a
R
r
m
Mr
I
a
R
R
r
mg
aI
MaR
R
r
ma
R
R
r
mg
aI
MaR
maR
maRr
mar
mgR
mgrR
aI
Mar
maRr
maR
mgR
mar
maRr
mgrR
I
R
a
MaR
mar
maR
mgR
ar
R
r
R
m
mgr
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
−
+
−
+
=
−
−
−
−
+
=
−
−
−
+
−
−
=
−
−
−
+
+
−
R)
przez
obustronne
(mno enie
N = F
F
a
R
r
T
M
N = F
F
a
R
r
T
M
R+r
P
N
N
m
R
r
mg
T
a
v(R+r)/R
R
v
2v
v = 0
r
Uwzgl dniaj c, e
2
2
1
0
MR
I
=
dostajemy:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
3
s
m
6
s
m
4
m
0,2
m
0,2
m
0,1
s
m
s
m
m
0,2
0,1
kg
1
m
0,2
kg
1
m
0,2
0,1
m
0,2
kg
1
=
⋅
+
=
+
=
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
+
+
+
=
+
+
+
+
=
⋅
a
R
R
r
a
g
R
r
m
MR
R
r
mR
R
r
m
MR
MR
R
r
mgR
a
/
2
2
2
2
3
2
2
2
2
1
4
10
Wariant II Wynik ten mo na otrzyma wykorzystuj c o chwilow oraz twierdzenie Steinera. Wtedy:
(
)
(
)
.
)
2
(
)
1
(
1
/
2
0
+
=
=
−
+
=
+
ci arka)
(dla
gdzie
szpuli),
(dla
a
R
R
r
a
ma
N
mg
MR
I
R
a
R
r
N
Z (2) obliczamy napi cie nici N
(
)
R
a
R
r
m
mgR
a
R
R
r
m
mg
ma
mg
N
+
−
=
+
−
=
−
=
/
i wstawiamy do (1)
(
) ( )
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
2
2
0
2
0
2
2
0
R
r
m
MR
I
R
r
mgR
a
a
MR
I
a
R
r
m
R
r
mgR
MR
I
R
a
R
r
R
a
R
r
m
mgR
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
−
Uwzgl dniaj c, e
2
2
1
0
MR
I
=
dostajemy:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
3
s
m
6
s
m
4
m
0,2
m
0,2
m
0,1
s
m
s
m
m
0,2
0,1
kg
1
m
0,2
kg
1
m
0,2
0,1
m
0,2
kg
1
=
⋅
+
=
+
=
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
+
+
+
=
+
+
+
+
=
⋅
a
R
R
r
a
g
R
r
m
MR
R
r
mR
R
r
m
MR
MR
R
r
mgR
a
/
2
2
2
2
3
2
2
2
2
1
4
10
ZAD. 44
Szpula o masie m = 1 kg, promieniu wewn trznym r = 2 cm oraz zewn trznym R = 10 cm wisi na nierozci gliwej i niewa kiej nici
przymocowanej do sufitu.
a) W jakim czasie szpula odwinie si na odległo h = 1 m, je li w chwili pocz tkowej była nieruchoma i
dotykała sufitu.
b) W jakim czasie osi gnie t odległo je li do osi szpuli podwieszony zostanie dodatkowy ci ar o masie M = 1 kg?
c) Wyznacz ten czas je li zamiast ci aru M u y siły F = 10 N przyło onej do rodka masy szpuli oraz skierowanej pionowo w dół.
(Moment bezwładno ci szpuli jest I
0
= ½ mR
2
).
Odp.: a) t = 1,64 s, b) t = 1,2 s, c) t = 1,16 s
Rozwi zanie:
a)
wariant 1
ruch post powy szpuli
(1)
ma
N
Q
=
−
ruch obrotowy szpuli
(2)
2
0
0
2
1
mR
r
a
I
r
a
I
Nr
=
=
ε
=
z (1) obliczamy N
ma
mg
ma
Q
N
−
=
−
=
Obliczone N wstawiamy do (2)
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
s
m
s
m
10
m
0,02
2
m
0,1
m
0,02
2
74
,
0
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
=
⋅
⋅
+
⋅
=
⋅
+
=
=
−
=
−
g
r
R
r
a
maR
mar
mgr
mR
r
a
mar
mgr
s
1,64
s
2,7
s
m
0,74
m
1
2
2
2
=
=
⋅
=
=
=
a
h
t
at
h
2
2
2
wariant 2 (o chwilowa)
(
)
2
s
m
74
,
0
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
=
⋅
+
=
+
=
+
=
+
=
=
g
r
R
r
mr
mR
mgr
a
mr
mR
r
a
mr
I
r
a
I
r
a
Qr
s
1,64
=
=
=
a
h
t
at
h
2
2
2
(jak poprzednio)
N
N
m
R
r
mg
T
a
Q
N
Q
N
h
b)
wariant 1
(1)
2
0
0
2
1
mR
r
a
I
r
a
I
Nr
=
=
ε
=
(ruch obrotowy szpuli)
(2)
ma
N
N
Q
=
−
+
1
(ruch post powy szpuli)
(3)
Ma
N
Mg
=
−
1
(ruch post powy ci arka)
Układ trzech równa z trzema niewiadomymi: N, N
1
i a.
Z (2) liczymy N
1
i wstawiamy do (3)
Q
ma
N
N
ma
N
N
Q
−
+
=
=
−
+
1
1
Obliczone N
1
wstawiamy do (3)
(
)
Ma
ma
mg
Mg
N
Ma
Q
ma
N
Mg
−
−
+
=
=
−
+
−
N wstawiamy do (1)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
amR
mar
Mar
mgr
Mgr
mR
r
a
mar
Mar
mgr
Mgr
+
+
=
+
=
−
−
+
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
s
m
m
0,02
kg
1
2
m
0,02
kg
1
2
m
0,1
kg
1
m
0,1
s
m
10
kg
1
2
m
0,1
s
m
10
kg
1
2
38
,
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
+
+
+
=
Mr
mr
mR
Mgr
mgr
a
s
s
m
m
1
2
2
2
,
1
38
,
1
2
2
2
=
⋅
=
=
=
a
h
t
at
h
wariant 2 (o chwilowa)
(1)
(
)
(
)
+
=
+
=
=
⋅
+
2
2
2
0
1
2
1
mr
mR
r
a
mr
I
r
a
I
r
a
r
N
Q
(ruch obrotowy szpuli)
(2)
Ma
N
Mg
=
−
1
(ruch post powy ci arka)
Z (2) obliczamy N
1
Ma
Mg
N
Ma
N
Mg
−
=
=
−
1
1
i wstawiamy do (1)
(
)
2
s
m
38
,
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
=
−
+
Mr
mr
mR
Mgr
mgr
a
Mr
mr
mR
a
Mgr
mgr
mr
mR
r
a
Mar
Mgr
mgr
s
2
,
1
2
2
2
=
=
=
a
h
t
at
h
c)
wariant 1
ruch post powy szpuli
(1)
ma
N
Q
F
=
−
+
ruch obrotowy szpuli
(2)
2
0
0
2
1
mR
r
a
I
r
a
I
Nr
=
=
ε
=
z (1) obliczamy N
ma
mg
F
ma
Q
F
N
−
+
=
−
+
=
Obliczone N wstawiamy do (2)
(
)
(
)
( )
( )
( )
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
s
m
m
kg
0,0108
m
N
0,16
m
0,02
2
0,1
kg
1
m
0,02
s
m
10
kg
1
N
10
2
48
,
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
=
+
+
=
+
+
=
=
−
+
=
−
+
r
R
m
r
mg
F
mr
mR
mgr
Fr
a
maR
mar
mgr
Fr
mR
r
a
mar
mgr
Fr
s
1,16
s
m
m
1
2
2
=
⋅
=
=
=
48
,
1
2
2
2
a
h
t
at
h
wariant 2 (o chwilowa)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
s
m
48
,
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
=
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
=
+
=
+
=
=
⋅
+
mr
mR
r
F
mg
mr
mR
r
F
Q
a
mr
mR
r
a
mr
I
r
a
I
r
a
r
F
Q
)
poprzednio
(jak
s
1,16
=
=
=
a
h
t
at
h
2
2
2
Q
N
Q
N
h
F
F
Q
N
N
h
M
Mg
N
1
N
1
Q
M
Mg
N
1
N
1
Zad. 45
Jaki b dzie stosunek energii kinetycznej ruchu post powego do energii kinetycznej ruchu obrotowego w przypadku walca pełnego,
cienko ciennego i kuli staczaj cych si z równi pochyłej bez po lizgu? (Momenty bezwładno ci tych brył wynosz odpowiednio:
MR
2
/2, MR
2
i 2MR
2
/5).
Odp.: dla walca 2, dla puszki 1, dla kuli 2,5
Rozwi zanie:
( )
5
,
2
1
2
2
2
;
2
;
2
2
5
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
1
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
ω
ω
=
ω
=
ω
=
ω
=
=
MR
MR
I
MR
E
E
MR
MR
I
MR
E
E
MR
MR
I
MR
E
E
I
MR
I
R
M
I
Mv
E
E
R
v
oraz
I
E
Mv
E
obr
k
post
k
obr
k
post
k
obr
k
post
k
obr
k
post
k
obr
k
post
k
kuli
dla
puszki
dla
walca
dla
Zad 46
Walec o promieniu R i masie M stacza si bez po lizgu z równi o k cie nachylenia
α. Napisa równania ruchu walca oraz znale
przyspieszenie liniowe rodka masy w przypadku walca pełnego i cienko ciennego ("puszka bez denek") oraz kuli. (Momenty
bezwładno ci tych brył wynosz odpowiednio: MR
2
/2, MR
2
i 2MR
2
/5).
Odp.:
Rozwi zanie:
Metoda „klasyczna” (dla osi obrotu przechodz cej przez rodek masy bryły)
α
µ
=
α
µ
=
µ
=
α
=
α
=
cos
cos
sin
sin
Mg
Q
N
T
Mg
Q
Q
(dla ruchu obrotowego)
−
α
=
=
−
α
=
=
−
=
Ma
Mg
T
Ma
T
Mg
I
R
a
TR
Ma
T
Q
I
R
a
TR
sin
sin
0
0
o)
post poweg
ruchu
(dla
)
obrotowego
ruchu
(dla
(
)
(
)
7
sin
5
sin
sin
2
sin
sin
sin
3
sin
2
sin
sin
sin
sin
sin
2
5
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
α
=
+
α
=
+
α
=
α
=
+
α
=
+
α
=
α
=
+
α
=
+
α
=
+
α
=
+
=
α
=
−
α
g
MR
MR
R
Mg
I
MR
R
Mg
a
g
MR
MR
R
Mg
I
MR
R
Mg
a
g
MR
MR
R
Mg
I
MR
R
Mg
a
I
MR
R
Mg
a
I
MR
a
R
Mg
I
R
a
R
Ma
Mg
kuli
dla
puszki
dla
walca
dla
Metoda z osi chwilow
(
)
2
0
2
2
0
2
2
0
sin
MR
I
R
mg
MR
I
R
Q
a
MR
I
R
a
I
R
a
R
Q
+
α
=
+
=
+
=
=
reszta analogicznie (walec, puszka, kula...)
Zad 47
Szpula o masie m i promieniu r oraz ci ar o masie M poł czone s nici , przerzucon przez niewa ki bloczek.
a) W jakim czasie
ró nica ich wysoko ci wyniesie h je li w chwili pocz tkowej znajdowały si na tej samej wysoko ci?
b) Wyznacz ten czas je li
niewa ki bloczek na którym wisz ciała zast pi bloczkiem o masie M
b
i momencie bezwładno ci I
1
. Zało y , e bloczek jest walcem
jednorodnym o momencie bezwładno ci I
1
= ½ MR
2
Do samodzielnego rozwi zania dla ambitnych (zadanie nieco trudniejsze)
Q
T
Q
Q
⊥
α
α
α
