http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/
fizyka1.html
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I
4. Nieinercjalne układy odniesienia
INERCJALNE UKŁADY ODNIESIENIA
Układy inercjalne (inercyjne)
-
układy, do których odnosi się I zasada
dynamiki Newtona: przyspieszenie odosobnionego punktu materialnego
równe
jest 0 gdy nie
działa na nie żadna siła.
Wniosek: Dwa inercjalne
układy odniesienia mogą się poruszać względem
siebie tylko ruchem
postępowym jednostajnym prostoliniowym (na razie bez
dowodu).
Rozpatrzymy dwa
układy odniesienia, z których jeden (x,y,z) uważamy za
nieruchomy, podczas gdy drugi
(x’,y’,z’) porusza się ruchem postępowym z
prędkością v.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Założenie:
W chwili t=0
początki obu układów
oraz ich osie
się pokrywają.
TRANSFORMACJE GALILEUSZA
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Związek między położeniem punktu materialnego w obu układach:
(w układzie kartezjańskim: układ trzech równań)
Są to tzw. transformacje (przekształcenia) Galileusza.
Uzupełniamy je jeszcze równaniem:
Związki między prędkościami i przyspieszeniami:
Stąd również:
Równania Newtona dla punktu materialnego (i układów punktów materialnych)
są jednakowe we wszystkich inercjalnych układach odniesienia – są to tzw.
niezmienniki przekształcenia Galileusza.
Mechaniczna zasada względności (zasada względności Galileusza):
Jednostajny prostoliniowy ruch układu jako całości nie ma wpływu na bieg
zachodzących procesów mechanicznych.
t
u
r
r
'
'
t
t
u
v
v
'
'
a
a
'
F
F
NIEINERCJALNE UKŁADY ODNIESIENIA
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Ziemia nie jest układem inercjalnym. Wykonuje ruch
obrotowy wokół swej osi a ponadto obiega Słońce po elipsie.
W pewnych przypadkach można zaniedbać efekty nieinercjalności
układu odniesienia, związanego z Ziemią (np. ze względu na duży okres
obiegu wokół Słońca, można traktować ruch Ziemi po orbicie
wokółsłonecznej jako postępowy, jednostajny).
Istnieją jednak zjawiska, które można wytłumaczyć tylko wtedy, gdy
przestanie się zaniedbywać „odstępstwa od inercjalności” układu:
•obrót płaszczyzny wahań wahadła (wahadło Foucault);
•odchylanie się na wschód ciał swobodnie spadających;
•podmywanie jednego z brzegów rzek płynących wzdłuż południków;
•„skręcenie” kierunku wiatrów w niżach i wyżach na obu półkulach.
KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Rozpatrzmy ruch punktu materialnego M względem dwóch kartezjańskich
układów współrzędnych:
•x, y, z – inercjalny; przyjmiemy, że jest nieruchomy;
ruch ciała względem tego układu nazwiemy ruchem bezwzględnym;
•x’, y’, z’ – nieinercjalny, porusza się dowolnie
względem pierwszego układu; ruch ciała względem
tego układu nazywamy ruchem względnym.
Położenie punktu M w układzie inercjalnym
wyrażone przez położenie w układzie nieinercjalnym:
'
ˆ
'
'
ˆ
'
'
ˆ
'
'
0
0
k
z
j
y
i
x
r
r
r
r
Biorąc pod uwagę zależność między wektorami i
:
możemy napisać:
gdzie to
prędkość ruchu postępowego ruchomego układu współrzędnych.
KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Prędkość punktu M względem nieruchomego (inercyjnego) układu
współrzędnych nazywamy prędkością bezwzględną:
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
r
d
v
ˆ
ˆ
ˆ
r
'
r
dt
r
d
v
dt
r
d
dt
r
d
dt
r
d
v
'
'
0
0
0
v
'
0
r
r
r
Ostatni człon w równaniu, wiążącym prędkości w obu układach, jest równy:
gdzie
oznacza prędkość kątową.
KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Układ nieinercjalny może się poruszać zarówno z prędkością postępową
(zmiany w
wartościach x’, y’ i z’) jak i obrotową (zmiany położenia wersorów
w czasie), więc:
'
ˆ
,
'
ˆ
,
'
ˆ
k
j
i
dt
k
d
z
dt
j
d
y
dt
i
d
x
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
v
v
'
ˆ
'
'
ˆ
'
'
ˆ
'
'
ˆ
'
'
ˆ
'
'
ˆ
'
0
Prędkość punktu M względem ruchomego układu współrzędnych – prędkość
względna punktu M:
'
ˆ
'
'
ˆ
'
'
ˆ
'
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
v
w
'
'
ˆ
'
'
ˆ
'
'
ˆ
'
r
dt
k
d
z
dt
j
d
y
dt
i
d
x
KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Możemy więc ostatecznie napisać równanie, wiążące ruch punktu w obu
układach jako:
gdzie nazywana jest prędkością unoszenia punktu M – wyraża bowiem
prędkość bezwzględną tego punktu układu ruchomego, przez który w
danym momencie przechodzi rozpatrywany punkt M.
w
u
w
v
v
v
r
v
v
'
0
u
v
KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Podobnie jak w przypadku prędkości, należy znaleźć zależności
pomiędzy przyspieszeniami w obu układach.
Przyspieszenie bezwzględne punktu M to przyspieszenie względem
(nieruchomego) inercjalnego układu odniesienia xyz:
dt
v
d
a
Różniczkując wyrażenie na prędkość, otrzymujemy:
gdzie
- to przyspieszenie ruchu postępowego układu nieinercjalnego;
- to przyspieszenie kątowe ruchu obrotowego tego układu.
dt
v
d
dt
r
d
r
dt
d
dt
v
d
a
w
'
'
0
0
0
a
dt
v
d
dt
d
albo inaczej:
gdzie:
to przyspieszenie unoszenia (analogicznie jak prędkośc);
to przyspieszenie Coriolisa
KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Pamiętając, że:
oraz uwzględniając, że:
gdzie:
- to przyspieszenie względne punktu M (czyli w układzie x’y’z’)
możemy ostatecznie otrzymać:
w
v
r
dt
r
d
'
'
w
w
w
a
v
dt
v
d
w
a
w
w
a
v
r
r
a
a
2
'
'
0
w
C
u
a
a
a
a
'
'
0
r
r
a
a
u
w
C
v
a
2
KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
W przypadku układów inercjalnych, mamy:
a więc również:
i ostatecznie związki między wielkościami w obu układach upraszczają się do:
oraz
czyli transformacji Galileusza.
0
0
a
0
0
0
v
v
u
0
C
a
0
u
a
w
v
v
v
0
w
a
a
W przypadku, gdy układ ruchomy porusza się tylko ruchem postępowym (a
więc nie jest inercjalny, ale się nie obraca!), mamy:
oraz
w
v
v
v
0
dt
v
d
a
a
a
a
w
w
0
0
DYNAMIKA RUCHU WZGLĘDNEGO
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Zasady Newtona nie spełniają się w nieinercjalnych
układach odniesienia!
Przyspieszenie punktu materialnego względem nieinercjalnego układu
odniesienia nie jest bowiem równe stosunkowi wypadkowej wszystkich
sił, jakimi inne ciała działają na ten punkt, do masy tego punktu:
Zasady Newtona spełnione są bowiem dla przyspieszenia w układzie
inercjalnym:
m
F
a
w
m
F
a
DYNAMIKA RUCHU WZGLĘDNEGO
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wyraźmy przyspieszenie względne w układzie nieinercjalnym poprzez
przyspieszenie bezwzględne oraz przyspieszenie unoszenia i Coriolisa:
C
u
w
a
a
a
a
Możemy sformułować poprawnie II zasadę dynamiki Newtona jako:
gdzie:
- to siła bezwładności unoszenia;
- to siła bezwładności Coriolisa.
C
u
w
F
F
F
a
m
u
u
a
m
F
C
C
a
m
F
DYNAMIKA RUCHU WZGLĘDNEGO
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Siły bezwładności rzeczywiście działają na punkt materialny w
układzie nieinercjalnym;
Można je mierzyć (np. wagą sprężynową);
Ale nie sposób związać ich z żadnymi ciałami, od których mogłyby
pochodzić!
Dlatego nie można do nich stosować III zasady dynamiki Newtona.
Siły bezwładności są więc dla każdego ciała układu siłami zewnętrznymi.
Dlatego:
W nieinercjalnych układach odniesienia nie mają zastosowania zasady
zachowania pędu, momentu pędu i energii.
NIEZWYKLE WAŻNE
2-2=4
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Przypadek I:
Układ porusza się ruchem postępowym z przyspieszeniem
0
0
a
W tym przypadku:
przyspieszenie unoszenia:
przyspieszenie Coriolisa:
Na ciało działa więc tylko:
- siła bezwładności unoszenia:
Przykład: winda wznosząca się lub opadająca ruchem jednostajnie
przyspieszonym
w
kierunku
pionowym
(nie
uwzględniamy ruchu
obrotowego Ziemi). Zawiesimy w niej
ciało o masie m na dynamometrze
(wadze
sprężynowej).
0
a
a
u
0
C
a
0
a
m
F
u
Obserwator nieruchomy:
- Na ciało działają dwie siły przeciwnie skierowane: ciężar ciała
oraz reakcja
dynamometru
. Wypadkowa tych sił nadaje ciału przyspieszenie
. Z II zasady
dynamiki:
A siła, która działa na dynamometr (i którą on wobec tego wskaże):
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
0
a
T
g
R
P
g
m
P
R
0
a
R
g
m
a
m
0
0
a
g
m
R
T
g
m
P
a
Jeśli uwolnimy ciało, będzie się ono poruszać pod działaniem
własnego ciężaru, czyli spadać swobodnie z przyspieszeniem:
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
0
a
g
T
R
P
u
F
Obserwator ruchomy (w windzie):
„ciało jest nieruchome, więc działające na niego siły się równoważą”
gdzie:
jest
siłą bezwładności (unoszenia), której istnienie obserwator czuje wszak również na
sobie!
Biorąc pod uwagę kierunki tych sił i ich wartości:
a
stąd, jak poprzednio, siła, która działa na dynamometr:
u
F
0
u
F
R
P
0
0
a
m
R
g
m
0
a
g
m
R
T
Jeśli uwolnimy ciało, będzie się ono poruszać pod działaniem dwóch sił: oraz i uzyska
przyspieszenie:
P
u
F
0
a
g
m
F
P
a
u
w
Przypadek II:
Układ obraca się jednostajnie z prędkością kątową
i porusza się ruchem
jednostajnym ze stałą prędkością
.
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
0
0
v
W tym przypadku:
przyspieszenie unoszenia:
przyspieszenie Coriolisa:
'
r
a
u
w
C
v
a
2
Na ciało działają więc następujące siły bezwładności:
- siła bezwładności unoszenia:
liczbowo równa:
i skierowana od osi obrotu na zewnątrz – nazywana
siłą odśrodkową bezwładności;
- siła bezwładności Coriolisa:
skierowana prostopadle do płaszczyzny, wyznaczonej przez
i
.
'
r
m
a
m
F
u
u
2
m
F
w
C
v
m
F
2
w
v
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Siła odśrodkowa bezwładności
związana jest z obrotem poruszającego się układu.
Przykłady zastosowań:
- pompy odśrodkowe;
- separatory (np. centryfuga w analizie medycznej);
- odśrodkowy regulator Watta;
Ale też – konieczność równoważenia sił odśrodkowych przy
projektowaniu szybko wirujących (i o dużych masach, a ściślej: dużych
momentach bezwładności!) części maszyn.
Siła odśrodkowa bezwładności może też stanowić „namiastkę” siły
grawitacyjnego przyciągania Ziemi w statkach (stacjach) kosmicznych.
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Siła Coriolisa
związana jest z ruchem postępowym ciał w układzie obracającym się
.
Przykład:
Ziemia jako obracający się, nieinercjalny układ odniesienia (ruch dobowy, z zachodu na
wschód, z okresem 24 godziny).
E
W
N
S
h
Swobodny spadek ciała z wieży: następuje
odchylenie miejsca upadku względem pionu,
wyznaczonego przez siły grawitacji, o pewną
wielkość
, największą na równiku, zerową
na biegunie.
w
v
C
F
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Obserwator nieruchomy (inercjalny):
Siła przyciągania ziemskiego
nadaje ciału przyspieszenie, skierowane do
środka Ziemi. Jest ona prostopadła do prędkości początkowej ciała
(w ruchu
obrotowym), więc nie zmienia wartości tej prędkości. Tymczasem podstawa wieży
ma mniejszą prędkość liniową
(bo ma tę samą prędkość kątową):
E
W
0
v
1
v
P
P
1
v
0
v
h
R
h
R
v
v
0
1
i dlatego ciało spadnie na Ziemię na
wschód od wierzchołka wieży.
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Obserwator ruchomy (nieinercjalny):
Na ciało działają siły: przyciągania ziemskiego , siła odśrodkowa i siła
Coriolisa . Siły i powodowałyby pionowe spadanie, ale siła Coriolisa ,
prostopadła do kierunku prędkości początkowej spadania, powoduje ruch ciała po
paraboli i przesunięcie punktu upadku na wschód.
v
E
W
P
u
F
C
F
P
u
F
u
F
C
F
C
F
P
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Podobieństwo
istniejące
pomiędzy
siłami
bezwładności
i
siłami
grawitacyjnymi:
obie
są
proporcjonalne do mas punktów materialnych i nadają
im jednakowe przyspieszenie względne.
Wobec tego działanie sił bezwładności na punkt
materialny można zastąpić działaniem równoważnego
im pola ciążenia!
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Zasada równoważności ruchu:
Ruch ciała względem nieinercjalnego układu odniesienia jest
równoważny jego ruchowi względem układu inercyjnego. Ten ruch
zachodzi pod wpływem wszystkich ciał rzeczywiście współdziałających
z danym ciałem a także pod wpływem jakiegoś dopełniającego pola
ciążenia.
Nie
jest
to
stwierdzenie
identyczności
sił
bezwładności
i
grawitacyjnych! (Zmiany pola „równoważnego” powinny rozchodzić się
w przestrzeni z prędkością nieskończenie wielką).