______________________________________________________________________________________________
Laboratorium Metody Numeryczne w Wymianie Ciepła, Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa, PW
Mirosław Seredyński,

[e-mail]

Piotr Łapka,

[e-mail]

Przykład 1: Krzepni

ę

cie w kostce

.

(czyste przewodzenie – brak konwekcji, model liniowy g

s

(T))

Model fizyczny

Na rysunku 1 przedstawiony jest fragment wykresu równowagi fazowej dla stopu podwójnego z
eutektyką (pkt. E) w układzie współrzędnych temperatura – stężenie.

Rysunek 1

Wykres równowagi fazowej dla stopu podwójnego z eutektyką. Początkowe stężenie stopu

wynosi C

0

, stężenie odpowiadające eutektyce C

E

, stężenia w fazie stałej i ciekłej odpowiednio C

s

i C

l

.

Faza ciekła jest ograniczona od dołu linią liquidusu, faza stała jest ograniczona od góry linią
solidusu. Na wykresie zostały przedstawione w postaci zlinearyzowanej. W tym przypadku
można przedstawić je w postaci funkcji:

C

k

m

T

T

C

m

T

T

p

l

m

Sol

l

m

Liq

+

=

+

=

gdzie T

m

to temperatura krzepnięcia czystej substancji A, m

l

– współczynnik nachylenia linii

liquidusu, k

p

– współczynnik rozdziału faz, C – stężenie składnika B w fazie ciekłej.

Współczynniki m

l

i k

p

są zdefiniowane następująco:

faza stała

T

0

E

C

S

T

m

C

E

T

E

T

C

T

C

L

C

0

linia
liquidusu

linia
solidusu

100% A

100% B

ciecz

L

1

L

2

S

1

S

2

______________________________________________________________________________________________
Laboratorium Metody Numeryczne w Wymianie Ciepła, Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa, PW
Mirosław Seredyński,

[e-mail]

Piotr Łapka,

[e-mail]

s

l

p

E

E

m

l

C

C

k

C

T

T

m

=

−

−

=

Ponieważ występują różne rozpuszczalności składnika B w fazach stałej i ciekłej, na granicy faz
ma miejsce segregacja składnika. Stężenie w fazie ciekłej zmienia się wzdłuż linii L

1

do L

2

,

stężenie w fazie stałej zmienia się wzdłuż linii S

1

do S

2

.

W programie FLUENT istnieje tylko jeden wbudowany model krzepnięcia stopu binarnego,
oparty na założeniu, że udział fazy ciekłej jest funkcją liniową w zakresie pomiędzy temperaturą
solidusu i liquidusu (rys. 2).

Rysunek 2

Zależość udziału fazy stałej od temperatury w modelu krzepnięcia dostępnym w programie

FLUENT.

Model matematyczny

Równanie przewodzenia ciepła, w warunkach braku konwekcji ma postać

(

)

t

g

L

T

k

t

T

c

S

w

∂

∂

+

∇

⋅

∇

=

∂

∂

ρ

ρ

gdzie c

w

– ciepło właściwe, ρ – gęstość, k – współczynnik przewodzenia ciepła, L – ciepło

topnienia, g

S

– udział fazy stałej.

W równaniu tym pojawia się człon źródłowy (drugi po prawej stronie) związany w wydzielaniem
ciepła podczas procesu krzepnięcia. Równanie to uzupełnione jest o zależność łączącą udział fazy
stałej i temperaturę (rys. 2)

g

S

T

T

Liq

(C

0

)

T

Sol

(C

0

)

1

0

______________________________________________________________________________________________
Laboratorium Metody Numeryczne w Wymianie Ciepła, Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa, PW
Mirosław Seredyński,

[e-mail]

Piotr Łapka,

[e-mail]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )















<

<

<

−

−

<

=

T

C

T

dla

C

T

T

C

T

dla

C

T

C

T

T

C

T

C

T

T

dla

g

Liq

Liq

Sol

Sol

Liq

Liq

Sol

S

0

0

0

0

0

0

0

0

1

Warunki brzegowe na ściankach:

•

ś

cianka lewa – α = 1000 W/(m

2

K), T

f

= 300 K

•

ś

cianka dolna – α = 1000 W/(m

2

K), T

f

= 300 K

•

ś

cianka prawa – adiabatyczna

•

ś

cianka górna – adiabatyczna.

Temperatura początkowa wynosi 950 K.

______________________________________________________________________________________________
Laboratorium Metody Numeryczne w Wymianie Ciepła, Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa, PW
Mirosław Seredyński,

[e-mail]

Piotr Łapka,

[e-mail]

Obliczenia w programie FLUENT.

1.

Otwarcie programu FLUENT– przez kliknięcie odpowiedniej ikonki na pulpicie.

Uruchomienie programu w wersji 2D, obliczenia prowadzone są w podwójnej precyzji

(wybór wersji 2ddp).

2.

Wczytanie siatki z programu GAMBIT (*.msh)

File → Read → Case

3.

Sprawdzenie siatki

Grid → Check
Wyświetlany jest m. in. minimalna objętość i pole najmniejszej ścianki (muszą być dodatnie)
oraz zakres współrzędnych, jaki zajmuje siatka. Warto w tym miejscu sprawdzić jednostki, w
których wykonana jest siatka i w razie potrzeby przeskalować obszar lub wprowadzać
przeskalowane wartości parametrów fizycznych.

4.

Podstawowe ustawienia solvera

Define → Models → Solver (segregated, 2D, unsteady) → OK
Define → Models → Energy (Energy equation: OK) → OK (dołączenie równania energii)
Define → Models → Solidification & melting (Solidification/melting: OK; mushy zone
constant: 100000) → OK (model liniowy g

s

(T))

Pojawia się informacja, że trzeba zdefiniować nowe parametry fizyczne.
Wartość stałej w polu „mushy zone” na znaczenie tylko w przypadku konwekcji.

5.

Właściwości materiałowe

Define → Materials
Dopisać nowy materiał:

•

name: al_cu (wpisać z klawiatury)

•

change/create

•

overwrite air?: no (nie zapisywać w miejsce powietrza)

•

z menu rozwijalnego Fluid materials wybrać al_cu

•

density: 2450 [kg/m

3

]

•

cp – będzie wyrażona w funkcji temperatury jako funkcja kawałkami liniowa.
Należy więc określić wartości ciepła właściwego dla pewnego zbioru temperatur.

T [K]

Cp [J/(kg K)]

300

766

873

766

923

1175

960

1175

Dokonuje się tego wybierając z listy rozwijalnej opcję „piecewise-linear”. Ciepło

______________________________________________________________________________________________
Laboratorium Metody Numeryczne w Wymianie Ciepła, Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa, PW
Mirosław Seredyński,

[e-mail]

Piotr Łapka,

[e-mail]

właściwe wyrażone jest w funkcji temperatury (domyślnie) w 4 punktach
charakterystycznych, należy wybrać cyfrę 4 po prawej stronie, następnie wpisać
wartości temepratur i Cp dla tych punktów

•

thermal conductivity - będzie wyrażona w funkcji temperatury jako funkcja
kawałkami liniowa

T [K]

k [J/(kg K)]

300

153

873

153

923

77

960

77

Wartości te wprowadza się podobnie jak wyżej Cp.

•

viscosity: (nie ma znaczenia w przypadku braku konwekcji)

•

melting heat: 3,778E5 [J/ kg]

•

solidus temperature: 873 [K]

•

liquidus temperature: 923 [K]

•

change/create

•

close

Założenia dot. materiału:

•

zależność udziału fazy stałej od temperatury jest w granicach zakresu topnienia
funkcją liniową.

•

Parametry fizyczne są stałe w obrębie faz oraz zależą liniowo od udziału fazy

6.

Warunki brzegowe
Define → Boundary conditions → sc_dolna (nazwa zdefiniowana przez użytkownika) →
set

•

convection (warunek brzegowy III rodzaju)

•

heat transfer coefficient: 1000 [W/m

2

K]

•

Free stream temperature: 300 [K]

Tak samo dla ścianki po lewej stronie.
Dla ścianek po prawej stronie i na górze ustalić symetrię (np. Define → Boundary
conditions → sc_prawa (nazwa zdefiniowana przez użytkownika) → symmetry →
OK). Można też nie modyfikować ustawień dla tych ścianek, w programie domyślnie
przyjęte jest, że gęstość strumienia ciepła jest równa zero.

7.

Przypisanie substancji do wnętrza obszaru.

Define → Boundary conditions → wnetrze (nazwa zdefiniowana przez użytkownika) →
set

•

material name: al_cu

•

source terms: no

•

fixed values: no

•

porous zone: no

______________________________________________________________________________________________
Laboratorium Metody Numeryczne w Wymianie Ciepła, Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa, PW
Mirosław Seredyński,

[e-mail]

Piotr Łapka,

[e-mail]

•

OK

8.

Wybór i ustawienia solvera
Solve → Controls → Solution

•

equations: energy (wyłączyć równania przepływu)

•

OK

9.

Inicjalizacja
Solve → Initialize → Initialize

•

temperature: 950 K (temperatura początkowa)

•

Init

10.

Wizualizacja zbieżności
Solve → Monitors → Residual

•

options → plot: OK

•

OK

11.

Zapisanie historii udziału fazy ciekłej w obszarze do pliku
Solve → Monitors → Volume...

•

Volume monitors: 1

•

name: udzial_gl (plot: no, print: no, write: yes, every: time step)

define →

•

Field variable: solidification/melting

•

(w oknie poniżej): liquid fraction

•

Cell zones: wnetrze (nazwa wnetrza wprowadzona przez użytkownika)

•

Report type: Volume-Average

•

file name: udzial_gl.out

•

OK

•

OK

12.

Całkowanie po czasie.

•

time step size: 1 [s]

•

number of time steps: 50

•

time stepping method: fixed

•

max iterations per time step: 100

•

iterate

13.

Zapisanie wyników do pliku.

File → Write → Case&Data

14.

Graficzne przedstawienie wyników.
Wykres temperatury
Display → Contours

•

options → filled: OK

______________________________________________________________________________________________
Laboratorium Metody Numeryczne w Wymianie Ciepła, Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa, PW
Mirosław Seredyński,

[e-mail]

Piotr Łapka,

[e-mail]

•

contours of: temperature

•

display

Zapisywanie do pliku.
File → Hardcopy

•

Format: ....

•

save

Wykres udziału fazy ciekłej
Display → Contours

•

options → filled: OK

•

contours of: solidification/melting

•

fiquid fraction

•

display

______________________________________________________________________________________________
Laboratorium Metody Numeryczne w Wymianie Ciepła, Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa, PW
Mirosław Seredyński,

[e-mail]

Piotr Łapka,

[e-mail]

Profil temperatury wzdłuż przekątnej obszaru.

Przekątna:

Surface → Line/Rake

•

Type: Line

•

x0: 0

•

y0: 0

•

x1: 0.1

•

y1: 0.1

•

New Surface Name: przekatna

Plot → XY Plot ...

•

Plot Direction (x: 1, y: 1)

•

Y axis function: Temperature

•

(okno poniżej): Static Temeprature

•

X axis function: Curve Length

•

Surfaces: przekatna (nazwa przekątnej wprowadzona przez użytkownika)

zmiana ustawień linii wykresu.....
→

curves...

•

Line style: pattern: (z listy rozwijalnej – ciągła)

•

Line style: weight: 3

•

Apply

•

Close

•

Plot

zmiana ustawień opisu osi....
→

Axes...

•

Axis: Y

•

Number format: float

•

Precision: 0

•

Apply

•

Close

ponownie tworzę wykres....

•

Plot (efekt poniżej)

______________________________________________________________________________________________
Laboratorium Metody Numeryczne w Wymianie Ciepła, Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa, PW
Mirosław Seredyński,

[e-mail]

Piotr Łapka,

[e-mail]