LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ

Instrukcja do ćwiczenia

Wyznaczanie momentów bezwładności elementów

1b

maszyn metodą wahadła fizycznego

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie z eksperymentalnymi i analitycznymi metodami wy-znaczania masowych momentów bezwładności części maszyn. W ramach realizowa-nego ćwiczenia stosuje się metodę wahadła fizycznego.

.

Literatura

1. J.Leyko, Mechanika Ogólna, tom II, rozdz. VII.

2. K.Zarankiewicz, Mechanika Teoretyczna, tom III, rozdz. X.

Zagadnienia kontrolne

1. Definicje masowych momentów bezwładności bryły sztywnej i układu punktów materialnych:

a) względem płaszczyzny,

b) względem osi,

c) względem punktu.

2. Zależności pomiędzy momentami bezwładności w prostokątnym układzie współrzęd-nych (np. momentem biegunowym a momentami względem trzech prostopadłych osi).

3. Moment dewiacyjny dla układu punktów materialnych i bryły sztywnej 4. Twierdzenie Steinera dla osi równoległych i umiejętność jego stosowania przy wyznaczaniu momentu bezwładności

5. Masowe momenty bezwładności względem osi: walca, pręta, prostopadłościanu, płyty prostokątnej, tarczy kołowej, pierścienia – wzory i umiejętność stosowania 6. Promień bezwładności i masa zredukowana dla momentów bezwładności 7. Główne i główne centralne osie bezwładności

8. Równanie ruchu obrotowego bryły sztywnej

9. Okres wahań wahadła fizycznego i jego pomiar

10. Wielkości, od których zależy okres wahań i częstość kołowa ruchu wahadła fizycznego

11. Opis matematyczny ruchu wahadła fizycznego (dokładny i przybliżony) i warunek przejścia do przybliżonego równania ruchu

12. Zależność pomiędzy częstością kołową a okresem

13. Analityczne wyznaczenie momentów bezwładności ciała złożonego z prostych elementów

14. Zasadniczy przebieg ćwiczenia

wer. 2014 MT

1

Uwaga! Instrukcja dotyczy podstaw samego ćwiczenia. Aby opanować materiał

dotyczący powyższych zagadnień należy sięgnąć do podanej literatury.

1. Podstawy teoretyczne dotyczące przeprowadzenia eksperymentu

Wahadłem fizycznym nazywamy dowolne ciało sztywne mogące się obracać wo-kół osi poziomej, które wykonuje drgania pod wpływem siły grawitacji (rysunek 1).

Rys. 1. Przekrój wahadła fizycznego i punkty zawieszenia A i B

Na rysunku 1 przedstawiono przekrój takiego ciała w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu i przechodzącej przez środek masy ciała. Wybrany punkt, w którym oś obrotu przebija wspomnianą płaszczyznę, możemy nazwać punktem zawieszenia wahadła (na rysunku punkt A lub B w zależności od sposobu zawieszenia wahadła).

Mamy wyznaczyć moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez środek masy C i równoległej do osi obrotu przechodzącej przez punkt A.

Okres drgań wahadła fizycznego wynosi odpowiednio:

- gdy oś obrotu przechodzi przez punkt A:

J

T

A

= π

2

,

(1a)

A

mag

- gdy oś obrotu przechodzi przez punkt B:

J

T

B

= 2π

,

(1b)

B

m l

( − a) g

gdzie: JA –moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez punkt A,

JB –moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez punkt B, a – odległość punktu A od środka masy C,

l – odległość pomiędzy punktami A i B z rysunku 1 (między osiami obrotu), m – masa wahadła.

Stąd, momenty bezwładności względem osi przechodzących odpowiednio przez punkty A i B wynoszą:

wer. 2014 MT

2

2

mgaTA

J =

[

2

kg ⋅ m ]

(2a)

A

2

4π

mg( l − a) 2

TB

J =

[

2

kg ⋅ m ]

(2b)

B

2

4π

Korzystając z twierdzenia Steinera i z zależności (2a i 2b) można określić moment bezwładności badanego elementu względem osi przechodzącej przez środek masy oraz odległość punktu zawieszenia A od środka masy:

 agT 2



J

A

=

− a 2 m

c



[

2

kg ⋅ m ]

2



 4π



(3)

glT 2

2

− 4π l 2

B

[ m]

a =

(4)

g( T 2 + T 2

2

− 8π

A

B )

l

2. Oszacowanie niepewności pomiarowej

Załóżmy dalej, że niepewności poszczególnych pomiarów są niezależne i losowe.

Aby uprościć obliczenia przyjmijmy, że niepewność oszacowania g (przyspieszenia ziemskiego) jest pomijalnie mała (bliska zeru) w porównaniu do innych niepewności.

Dla uproszczenia przyjmijmy, że pomiar a obarczony jest niepewnością: (5)

a

∆ ≈ l

∆

Ogólna zależność określająca jak przenoszą się błędy wielkości mierzonych na wyznaczaną pośrednio wielkość, przy założeniu niezależności błędów wielkości mierzonych, przedstawia się następująco1:

2

2

 ∂ y



 ∂ y



∆ y = 

∆ x + ... + 

∆ z

 ∂ x



 ∂ z



(6)

gdzie y( x,.. z) jest wielkością wyznaczaną metodą pośrednią na podstawie pomiaru wartości x,.. . z.

Ostatecznie można zapisać, że niepewność oszacowania momentu bezładności elementu względem osi przechodzącej przez środek ciężkości wynosi: 2

2

2

2

2







gT

 2



agmT









agT

A

A

A

2

∆ J

[

2

kg ⋅ m ]

(7)

c =





− a ∆

m a + 

∆ T 

A

+ 



− a ∆ m



2



2



2



 4



π







4π





 4



π





1 Aby poszerzyć wiedze z tego zakresu sięgnij po książkę: John R. Taylor; Wstęp do analizy błędu pomiarowego; PWN Warszawa 1999 i późniejsze wydania (rozdział 3).

wer. 2014 MT

3

Podobnie niepewność towarzyszącą pomiarowi metodą pośrednią momentu bezwładności elementu względem osi przechodzącej przez punkt A i punkt B można oszacować jako:

2

2

2

2

2





gaT

 2 mgaT









A



∆ J

[

2

kg ⋅ m

A =

∆ m +

mgT



A ∆ T 



A



A

+

∆



a

2



2



2



 4π

]





4π



 4π



(8)

2

2

2

2

2

2

2

 g( l − a)



T

 2 mg( l

B

− a) T















∆ J

[

2

kg ⋅ m ]

B =

∆ m +

mgT

mgT



B ∆ T 



B





B



B

+

∆ a +

∆



l

2



2



2





2





4π





4π



 4π



 4π



gdzie: T

∆ , T

∆ , l

∆ są niepewnościami pomiarowymi wielkości mierzonych bezpo-A

B

średnio: okresów wahań wahadła podwieszonego na osiach przechodzących przez punkty A i B oraz odległości pomiędzy A i B.

3. Przebieg ćwiczenia

Opis kolejnych kroków, które należy wykonać znajduje się w arkuszu sprawozdania.

Poniżej zwrócono uwagę na pewne istotne zagadnienia.

1. Ćwiczenie można wykonać w różnych wariantach dokręcając do zasadniczej części wahadła dodatkowe walce (wariant ćwiczenia zadaje prowadzący).

Poniżej przedstawiono tabelę dotyczącą możliwych wariantów ćwiczenia. Dla ułatwienia weryfikacji wyników przestrzegaj ściśle tego co podano w tabeli i zamieszczono na szkicu obok.

Dodatkowy

element I

Podwieszenie A

Wariant

Dodatkowy ele-

Dodatkowy ele-

ment I

ment II

1

bez

bez

2

o większej masie

bez

3

o mniejszej masie

bez

4

o większej masie

o mniejszej masie

5

oba elementy połą-

bez

czone ze sobą

Podwieszenie B

Dodatkowy

element II

2. Narysuj badane wahadło fizyczne zgodnie z zasadami rysunku technicznego i zwymiaruj je. Zrób to tak, aby móc później na podstawie rysunku obliczyć analitycznie moment bezwładności badanego wahadła.

3. Określ masę całego wahadła (razem z dodatkowymi elementami jeśli występu-ją) i w późniejszych obliczeniach przyjmij jednorodność materiału wszystkich elementów wahadła fizycznego. Gęstość materiału, z którego wykonane jest wahadło należy określić na podstawie objętości bryły wahadła i zmierzonej wer. 2014 MT

4

masy. Możesz sprawdzić swój wynik odnosząc się do przybliżonej wartości tablicowej gęstości mosiądzu.

4. Określ odległość pomiędzy osiami podwieszeń (czy też punktami A i B z rysunku 1) z dokładnością do ±0,5 mm.

5. Przy doświadczalnym wyznaczaniu momentu bezwładności należy zmierzyć czas 10 wahnięć (10 okresów ruchu) elementu.

6. Każdy pomiar należy powtórzyć 20 razy dla dwóch różnych podwieszeń elementu A i B.

7. Przy wyznaczaniu analitycznym momentów bezwładności wykorzystaj wcze-

śniej obliczoną gęstość oraz przyjmij, że pręt łączący dwie tuleje wahadła ma przekrój kołowy. Przyjmij średnicę zastępczą przy takim uproszczeniu. We wnioskach wyjaśnij dlaczego przyjąłeś taką a nie inna wartość.

8. Obliczenia przeprowadź w sposób weryfikowalny tzn. wyjaśnij poszczególne kroki (nazwij konkretnie to co w danym momencie obliczasz), przedstaw wzór, podstawienie i wynik.

9. We wnioskach, oprócz wspomnianych wyżej zagadnień, należy ustosunkować się do otrzymanych wyników, a w szczególności do przyczyn ewentualnie wy-stępujących różnic pomiędzy wartościami uzyskanymi z obliczeń analitycz-nych oraz z eksperymentu, uwzględniając przy tym oszacowanie niepewności pomiarowej. Dodatkowo możesz wykonać symulacje i odpowiedzieć na pyta-nie: czy np. wybór innej charakterystycznej średnicy przekroju kołowego zmie-ni istotnie wynik? We wnioskach zamieścić swoje spostrzeżenia. Zastanów się także nad najbardziej istotnymi źródłami niepewności pomiarowej w przyję-

tej metodzie.

wer. 2014 MT

5