Niwelacja trygonometryczna

Ogólne zasady niwelacji trygonometrycznej

Niwelacja trygonometryczna, zwana również trygonometrycznym pomiarem wysokości,

jest jedną z podstawowych metod geodezyjnych pomiarów wysokościowych stosowaną

głównie do:

-

wyznaczania różnic wysokości lub wysokości punktów stosunkowo znacznie od siebie

odległych lub bliskich, ale trudno dostępnych,

-

określania długości pionowych (wysokości) różnych budowli lub poszczególnych ich

elementów, trudnych do pomiaru bezpośredniego.

Zasada niwelacji trygonometrycznej opiera się na rozwiązywaniu trójkąta prostokątnego w

którym jest znana (zmierzona lub wyznaczona w sposób pośredni ) odległość pozioma d

i

czy

przestrzenna d

i

’ pomiędzy instrumentem i punktem celu, oraz kąt pionowy φ

i

lub zenitalny z

i

,

zmierzony na stanowisku instrumentu do punktu celowania

Ogólna zasada wyznaczania przewyższenia w niwelacji trygonometrycznej

W wyniku rozwiązania wspomnianego trójkąta otrzymuje się długość odcinka pionowego h

i

leżącego w tym trójkącie naprzeciw kąta φ

i

, zwaną wysokością punktu celowania względem

horyzontu instrumentu lub krótko przewyższeniem. Wielkość tego przewyższenia wyznacza

się z zależności

i

i

i

tg

d

h

ϕ

⋅

=

lub

i

i

i

ctgz

d

h

⋅

=

i

i

i

d

h

ϕ

⋅

=

sin

'

lub

i

'

i

i

z

cos

d

h

⋅

=

2

W praktyce niwelację trygonometryczną stosuje się najczęściej do wyznaczania różnic

wysokości ∆H punktów lub ich wysokości H. Ze względów czysto praktycznych (potrzeba

uzyskania poprawnego przebiegu linii celowania) pomiar kąta pionowego lub zenitalnego

wykonuje się instrumentem ustawionym nad jednym z punktów na wysokości i i celuje się na

sygnał ustawiony na wysokości s nad drugim punktem

Wyznaczenie różnicy wysokości niwelacją trygonometryczną

W takim przypadku różnicę wysokości ∆H tych punktów obliczamy z zależności

s

h

i

H

AB

−

+

=

∆

zaś wysokość H

B

punktu wyznaczanego B – przy znanej wysokości H

A

punktu A – wyliczamy

według wzoru

s

h

i

H

H

H

H

A

AB

A

B

−

+

+

=

+

=

∆

Długości odcinków pionowych i oraz s mierzy się ruletką, łatą niwelacyjną czy innym

przymiarem, lub wyznacza pośrednio

3

Wyznaczanie przewyższeń, różnic wysokości oraz długości

odcinków pionowych i wysokości punktów niedostępnych,

przy różnych długościach celowych d

Ze względu na cechy i właściwości towarzyszące pomiarowi kątów pionowych

(zenitalnych) i wyznaczanych na ich podstawie przewyższeń h lub różnic wysokości

∆

H, w

zależności od długości celowych, w praktyce wyróżnia się najczęściej dwa przypadki, a

mianowicie:

-

jeśli długości występujących celowych nie przekraczają wartości do około 350 m

-

jeśli długości te są większe niż 350 m (na wyznaczaną wartość h

i

mają wpływ

krzywizna powierzchni odniesienia i refrakcja) i wówczas wartości h

i

wyznacza się

według wzoru

i

i

s

i

i

k

R

d

tg

R

H

d

h

ϕ

ϕ

2

2

cos

1

2

1

−

⋅

+

⋅













+

⋅

=

lub jego uproszczonej postaci

(

)

k

R

d

tg

d

h

i

i

i

−

⋅

+

⋅

=

1

2

2

ϕ

gdzie:

H

s

– wysokość przebiegu celowej, liczona jako średnia z wysokości bezwzględnej położenia

instrumentu i sygnału,

R – promień krzywizny powierzchni odniesienia, utożsamianej najczęściej z powierzchnią

kuli ziemskiej

φ

– kąt pionowy,

k – wartość współczynnika refrakcji, przyjmowana powszechnie jako 0,13 – dla obserwacji

prowadzonych nad lądami oraz 0,16 – nad wodami,

d – odległość punktu celowania od instrumentu.

W takich przypadkach wzór na wyznaczaną trygonometrycznie różnicę wysokości ∆H

przyjmie postać

s

i

k

R

d

R

H

d

H

s

−

+

ϕ

−

⋅

+

ϕ

⋅













+

⋅

=

∆

2

2

cos

1

2

1

tg

lub przy niewielkich wartościach H

s

i φ, występujących powszechnie w praktyce – postać

s

i

k

R

d

d

H

−

+

−

⋅

+

ϕ

⋅

=

∆

)

1

(

2

2

tg

4

Przewidywaną wartość błędu

H

m

∆

tak wyznaczanej różnicy wysokości ∆H można oszacować

wykorzystując zależność w postaci

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

cos

1

s

i

k

R

d

H

m

m

m

R

d

m

k

R

d

m

d

m

k

R

d

m

+

+

⋅













+

⋅













−

+

⋅













ϕ

+

⋅









−

+

ϕ

±

=

ϕ

∆

tg

lub jej postać przybliżoną

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

cos

s

i

k

d

H

m

m

m

R

d

m

d

m

m

+

+

⋅













+

⋅













ϕ

+

ϕ

±

=

ϕ

∆

tg

,

a przy krótkich celowych (do około 350 m) – zależność

2

2

2

2

2

2

2

cos

s

i

d

H

m

m

m

d

m

m

+

+

⋅













ϕ

+

⋅

ϕ

±

=

ϕ

∆

tg

lub

(

)

2

2

2

2

2

s

i

d

H

m

m

m

cos

d

m

sin

m

+

+

⋅

⋅

+

⋅

±

=

ϕ

∆

ϕ

ϕ

Występujące w powyższych wzorach oznaczenia m z odpowiednimi symbolami u dołu

oznaczają błąd średni pomiaru (wyznaczenia) danej wielkości użytej do obliczeń. Wszystkie

pozostałe symbole i oznaczenia – jak we wzorach wcześniejszych.

5

WYZNACZENIE WYSOKOŚCI PUNKTÓW NIEDOSTĘPNYCH

z dwu stanowisk w jednej płaszczyźnie pionowej przechodzącej przez cel

6

wcięciem przestrzennym

7

z jednego stanowiska z nawiązaniem do punktu o znanej H

8

WYZNACZENIE DŁUGOŚCI ODCINKÓW PIONOWYCH

- istnieje możliwość pomiaru odległości d

- obiekt jest dostępny ale nie ma możliwości pomiaru odległości d

9

-

nie ma możliwości pomiaru odległości d i obiekt jest niedostępny

10

Wyznaczanie różnic wysokości punktów dostępnych przy większych

długościach celowych d

Dziś niwelację trygonometryczną realizuje się powszechnie w sposób klasyczny,

wykorzystując do tego celu tachimetry elektroniczne. Różnice wysokości poszczególnych

odcinków łączące wyznaczane punkty w ciągi lub sieci wysokościowe wyznacza się

najczęściej metodą:

-

w przód lub

-

ze środka wybierając stanowisko pomiarowe w przybliżeniu pośrodku między

punktami ograniczającymi odcinek AB

Rys. Schemat wyznaczania różnicy wysokości metodą „w przód”

Rys.. Schemat wyznaczania różnicy wysokości metodą „ze środka”

ϕ

A

ϕ

B

s

B

s

A

B

i

I

I

A

∆

H

AB

a

b

H

B

H

A

d

AB

11

Wartości różnic wysokości

∆

H w obu wymienionych przypadkach wyznacza się

powszechnie dwukrotnie: w przypadku pierwszym – w kierunku głównym i powrotnym, zaś

w przypadku drugim - przy dwóch różnych ustawieniach instrumentu. Do obliczeń wartości

różnic wysokości w przypadku pierwszym wykorzystuje się powyższe zależności, zaś w

przypadku drugim – jako sumę różnic wysokości części składowych odcinka z zależności

(

)

B

B

A

A

B

A

AB

d

d

s

s

H

ϕ

−

ϕ

−

−

=

∆

tg

tg

gdzie:

B

A

s

,

s

- wysokości sygnałów ustawionych na punktach A lub B,

B

A

,

ϕ

ϕ

- wartości kątów pionowych mierzonych na stanowisku I do sygnałów

ustawionych w punktach A lub B,

B

A

d

,

d

- odległości stanowiska I do punktów A lub B.

Za ostateczne wartości wyznaczanych dwukrotnie różnic wysokości przyjmuje się

wartość średnią z obu wyznaczeń o ile ich różnice nie przekraczają wielkości podanych w

tabeli 6.1.

Tabela

Dopuszczalne różnice bezwzględnych wartości dwukrotnego wyznaczenia różnicy

wysokości

∆

H metodą niwelacji trygonometrycznej

Długość celowej

d [km]

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Dopuszczalne różnice

d

∆∆∆∆

H [m]

0,020

0,035

0,050

0,070

0,090

0,105

12

Wyznaczanie różnic wysokości punktów dostępnych przy uwzględnieniu

odchylenia linii pionu

Elipsoida

Geoida

Teren

linia

pionu

N

A

N

A

- odchylenie pionu

w kierunku A-P

A

H

A

v

prostopadła do elipsoidy

v

dz

dHv

P

D

dD

D - dD

H

P

H

A

dR

N

P

H

P

= H

A

+ dz + dHv + N

A

+ dR – N

P

czyli H

P

= H

A

+ dz + dHv + dR – dN

Rys. Wyznaczenie wysokości niwelacyjnej punktu P

•

ze względu na krzywiznę Ziemi

R

D

dR

2

2

=

gdzie R to promień kuli Ziemi równy średniemu promieniowi elipsoidy R = 6383287

na szerokości 52

0

.

•

nierównoległość geoidy i elipsoidy (w przypadku łączenia pomiarów tachimetrycznych

i RTK GPS)

dN = N

P

- N

A

gdzie odstępy geoidy od elipsoidy są obliczane programem geoida niwelacyjna

•

odchylenie pionu – w azymucie mierzonego kierunku (w przypadku łączenia pomiarów

tachimetrycznych i RTK GPS)

v

D

dH

V

*

=

13

Wyznaczenie wysokości normalnej punktu P

Z

kierunek linii pionu

normalna

do elipsoidy

P

H

n

przekrój terenu

H

e

N

P

g

płat geoidy

przekrój geoidy

P

e

elipsoida WGS 84

przekrój elipsoidy

Y

X

Rys.. Graficzna ilustracja zależności H

n

=H

e

-N

Pierwsze z nich wyznaczane są na podstawie wyników wysokościowych pomiarów

geodezyjnych, drugie zaś – na podstawie obserwacji satelitarnych.

W praktyce powszechnie używamy wysokości normalnych H

n

zaś coraz częściej

wyznaczamy wysokości elipsoidalne H

e

. Wynika więc potrzeba przeliczania tych ostatnich na

wysokości normalne czego dokonuje się wprost, zgodnie z rysunkiem z zależności

H

n

= H

e

– N

14

Obliczanie

wysokości

punktów

tworzących

ciągi

lub

sieci

wysokościowe, wyznaczane metodą niwelacji trygonometrycznej

Przedstawione dotychczas metody wykorzystywania niwelacji trygonometrycznej

dotyczyły wyznaczania różnic wysokości lub wysokości pojedynczych punktów. W praktyce

bardzo często stosuje się niwelację trygonometryczną do wyznaczania jednocześnie różnic

wysokości tworzących najczęściej ciągi wysokościowe, dwustronnie nawiązane (rys. 6.20)

lub nawiązane wielopunktowo sieci wysokościowe, o mniej lub bardziej skomplikowanej

konstrukcji (rys. 6.21). Wysokości punktów występujących w tych ciągach lub sieciach

oblicza się łącznie z wyrównaniem liczonych z powyższych zależności metodą przybliżoną

lub jedną z metod ścisłych: warunkową lub powszechnie pośredniczącą.

6.20. Szkic ciągu wysokościowego pomierzonego metodą niwelacji trygonometrycznej

B

∆

H

3,B

1

∆

H

A,B

∆

H

1,2

3

∆

H

A,1

2

∆

H

2,3

A

A

2

3

B

1

15

6.21. Szkic sieci wysokości pomierzonej metodą niwelacji trygonometrycznej

Obliczanie wysokości punktów w ciągach niwelacji trygonometrycznej

W praktyce ciągi niwelacji trygonometrycznej wyrównuje się najczęściej metodą

przybliżoną, rozdzielając występującą odchyłkę f

∆

H

w ciągu na różnice wysokości na

poszczególnych odcinkach tworzący dany ciąg, proporcjonalnie do kwadratów długości tych

odcinków. Wynika to z potrzeby dokładnościowego zróżnicowania tych wartości za pomocą

błędów, których wielkości określa się z wystarczającą praktycznie dokładnością z

przybliżonego wzoru w postaci

m

∆

H

= d

⋅

m

ϕ

Realizacja przedstawionej powyżej zasady obliczania ciągu niwelacji trygonometrycznej

sprowadza się do wykonania obliczeń następujących wartości:

-

∑

∆

p

i

H

, jako sumy wartości średnich różnic wysokości poszczególnych odcinków,

liczonych na podstawie rezultatów uzyskanych z pomiarów:

ϕ

, d oraz i, s,

-

∑

∆

t

i

H

, jako różnicy wartości wysokości punktów nawiązania ciągu (końcowego - K i

początkowego - P),

10

∆

H

1

1151

∆

H

2

11

∆

H

7

∆

H

8

∆

H

3

1104

∆

H

10

1152

∆

H

9

1531

∆

H

6

1105

∆

H

4

∆

H

5

12

16

-

odchyłki

i

H

f

∆

- z zależności w postaci

∑

∑

∆

−

∆

=

∆

t

i

p

i

H

H

H

f

i

,

- sumy kwadratów

2

i

d długości odcinków tworzących ciąg,

- poprawki jednostkowej v

j

dla sumy H

∆

w całym ciągu, określonej ze wzoru

∑

−

=

2

i

i

H

j

d

f

v

∆

,

- wartości poprawek v

i

dla różnic wysokości poszczególnych odcinków, liczonych z

zależności

2
j

j

i

d

v

v

⋅

=

- wartości poprawionych różnic wysokości

w

i

H

∆

, z zależności

i

p

i

w

i

v

H

H

+

∆

=

∆

,

- wysokości ostatecznych (

w

i

H

) kolejno wszystkich punktów tworzących ciąg, liczonych z

zależności

w

i

w

i

w

i

H

H

H

∆

+

=

+

1

Wyznaczanie wysokości punktów sieci niwelacji trygonometrycznej

Wysokości punktów rozpatrywanych sieci wyznacza się łącznie z wyrównaniem

tworzących je elementów, najczęściej metodą pośredniczącą, przy czym w przeważającej

ilości przypadków, wyrównaniu poddaje się nie wielkości obserwowane, lecz obliczone na

ich podstawie różnice wysokości ∆H, wyznaczone z odpowiednią dokładnością (błędem).

W przypadku zastosowania przy wyrównaniu sieci niwelacji trygonometrycznej metody

pośredniczącej dla każdej z wyznaczanych różnic wysokości układa się równanie błędów w

postaci:

(

)

i

i

i

i

H

H

H

H

dH

dH

v

i

∆

−

−

+

−

=

+

+

∆

0

0

1

1

gdzie:

i

H

v

∆

- poprawka i-tej różnicy wysokości pomiędzy punktami o numerach i oraz i+1,

1

+

i

i

dH

,

dH

- niewielkie przyrosty, jakie otrzymują w procesie wyrównania sieci,

wysokości przybliżone

0

i

H

oraz

0

1

+

i

H

na skutek zmiany różnicy wysokości

i

H

∆

o poprawkę

i

H

v

∆

.

17

Ponieważ każda z różnic wysokości ∆H

i

jest wyznaczona z inną dokładnością, przy

wyrównaniu niezbędne jest uwzględnienie ich wag

i

H

p

∆

. Wagi te obliczamy z zależności

2

2

0

i

i

H

H

m

m

p

∆

∆

=

gdzie:

0

m

- błąd średni typowego spostrzeżenia, za które można przyjąć błąd określenia ∆H dla

typowej długości boku w sieci (np. 1 km)

i

H

m

∆

- błąd średni wyznaczenia i-tej różnicy wysokości

Zestawiony układ równań błędów zostaje równoważony i rozwiązany zgodnie z

zasadami rachunku wyrównawczego. Z rozwiązania układu równań normalnych uzyskujemy

poszukiwane wartości

i

dH

i

1

+

i

dH

, które dodane do wartości przybliżonych wysokości

punktów wyznaczanych

0

i

H

i

0

1

+

i

H

pozwalają obliczyć ostateczne ich wysokości zgodnie z

zależnością

dH

H

H

o

P

P

+

=

.

Możemy również wyznaczyć poprawki

i

H

v

∆

, a na ich podstawie określić charakterystykę

dokładnościową sieci po wyrównaniu, wykorzystując zależności na wartości:

-

błędu średniego jednostkowego

0

m

wyznaczenia różnicy wysokości ∆H, wyliczonego

ze wzoru

u

n

v

v

p

m

i

i

i

H

H

H

−

±

=

∆

∆

∆

]

[

0

,

-

błędu średniego

i

H

m

wyznaczenia wysokości H

i

i-tego punktu sieci, wyliczonego z

zależności

ii

H

Q

m

m

i

⋅

=

0

gdzie:

n

- liczba wszystkich wyznaczonych w sieci różnic wysokości ∆H,

u

-

liczba wyznaczanych punktów w sieci,

ii

Q

- współczynnik, właściwy dla i-tego punktu element macierzy wariancyjno –

- kowariancyjnej.

18

Problemy związane z zapewnieniem wymaganej dokładności

wyznaczenia różnic wysokości punktów wyznaczanych metodą

niwelacji trygonometrycznej

Dokładność wyznaczenia różnicy wysokości metodą niwelacji trygonometrycznej zależy

od:

a) ścisłości przyjętych do jej obliczeń wzorów,

b) błędów średnich wyznaczenia (pomiaru) elementów występujących w tych

wzorach,

c) wymiarów geometrycznych elementów tworzących konstrukcję pomiarową, w

tym głównie długości celowych d

i

,

d) zastosowanej techniki pomiarowej,

e) warunków atmosferycznych i terenowych panujących na obiekcie podczas

pomiaru, które mają zasadniczy wpływ na kształtowanie się i zmienność

współczynnika refrakcji k.

Ad. a) Wartość określanej różnicy wysokości można wyznaczyć różnymi wzorami. Główna

różnica między nimi to opuszczanie jako zaniedbywalne wyrażeń występujących w tych

wzorach składników:

R

H

S

,

R

d

2

2

czy

R

kd

2

2

.

Przy ustalonym parametrze R

-

pierwszy z nich związany jest ze średnią wysokością przebiegu linii celowania,

-

drugi z długością tej linii,

-

trzeci zaś długością linii celowania i współczynnikiem refrakcji k.

Wartość każdego z tych czynników, z mniejszą lub większą dokładnością, może być

wyznaczona i uwzględniona we wspomnianych powyżej wzorach, lub opuszczona jako

zaniedbywalna. Wybór i przyjęcie do obliczeń jednej z tych opcji decyduje o dokładności

wyznaczania wartości różnicy wysokości

∆

H

.

Wartość wyrażenia

R

H

S

warunkach polskich może być najczęściej zaniedbywalna.

Wartość wyrażenia

R

d

2

2

osiągać może duże wartości, w zależności od długości celowej d

(przy d = 0,36 km osiąga ona 1 cm, przy d = 1 km - jest równa prawie 8 cm, przy d = 5 km –

19

około 20 cm a przy d = 10 km - aż 785 cm). Musi więc być ona obliczona i uwzględniona

jako poprawka przy liczeniu właściwej wartości określanej różnicy

∆

H

, szczególnie przy

dużych długościach celowych d.

Poprawka refrakcyjna k zależy od niestabilności współczynnika k, nawet w tym samym

miejscu, w różnych porach roku i dnia, może podlegać zmianom, nie tylko co do wartości, ale

nawet co do znaku i nie może być uwzględniana poprawnie niejako mechanicznie. Dlatego

wartość tego współczynnika najlepiej byłoby wyznaczyć w czasie pomiaru lub ograniczyć

jego wpływ przez zastosowanie odpowiedniej procedury postępowania podczas pomiaru

kierunków pionowych.

Ad. b) Stosując prawo narastania błędów do w/w wzorów na obliczenie różnic wysokości

można określić, w jaki sposób i w jakim stopniu błąd wyznaczenia

∆

H

zależy od błędów

pomiarów występujących w nich elementów pomiarowych. Dzięki nim można więc określić z

jaką dokładnością, przy ustalonej z góry żądanej dokładności wyznaczenia różnicy

∆

H

,

należy określać elementy pomiaru występujących przy obliczaniu tej wielkości, aby nie

przekroczyć wartości ustalonego błędu wyznaczenia

∆

H

Ad. c) Z przybliżonej analizy dokładności dokonanej dla w/w wzorów wynika, że w

przeciętnych

warunkach

pomiarowych,

towarzyszących

rozpatrywanym

pomiarom,

występujących na obszarze Polski wartość obu wyrażeń tych wzorów zależą głównie od:

-

długości celowych d

i

oraz

-

błędu pomiaru kierunku kąta pionowego.

Spostrzeżenie to można wykorzystać przy projektowaniu dostosowania odpowiedniej

procedury postępowania prowadzenia tych pomiarów pozwalających na ograniczenie czy

wyeliminowanie ujemnego skutku rozpatrywanych zjawisk, głownie poprzez skróceniu

długości celowej d.

20

Ad. d) Analizując sytuację przedstawioną na rysunkach 6.24 i 6.25 oraz uzyskane przy tym

spostrzeżenia i uwagi dobrze byłoby obliczaną różnicę wysokości wyznaczać stosując:

-

możliwe krótkie długości celowych (rzędu do 1 km),

-

podział dłuższych celowych na dwie części, o możliwie zbliżonej i racjonalnej

długości (ze środka)

-

pomiar kierunków pionowych prowadzić równocześnie z obu końców

mierzonego odcinka (rys. 6.25),

-

wyznaczać na okres pomiaru średnią wartość współczynnika refrakcji k

występującego na obszarze objętym pomiarem.

6.24. Interpretacja geometryczna zasady pomiaru wysokości metodą niwelacji

trygonometrycznej

C”

kd

2

C

′

2R

h

δ

h

właściwe

ϕ

poziom geometryczny

d

d

2

2R

A

C

poziom geodezyjny

21

6.25. Interpretacja geometryczna pomiaru różnicy wysokości metodą równoczesnego pomiaru

kątów pionowych na obu końcach mierzonego odcinka

Z praktyki wiadomo, że z wymienionych powyżej zabiegów najczęściej stosowana jest

procedura wymieniona jako pierwsza, rzadziej jako druga czy trzecia a najrzadziej jako

czwarta.

Ad. e) Skuteczność i poprawność obliczania rozpatrywanej poprawki ze względu na refrakcję

pionową towarzyszącą pomiarowi kierunków pionowych, zależy od precyzji wyznaczenia

wartości współczynnika refrakcji k na obszarze wykonywania tych pomiarów oraz jego

stabilności podczas ich prowadzenia w różnych częściach tego obszaru oraz w różnych

okresach (porach roku i dnia). Na podstawie doświadczeń zebranych podczas wieloletniej

obserwacji prowadzonych nad tym zagadnieniem na stosunkowo dużych wysokościach ponad

powierzchnią terenu (ponad 5 m) ustalono, że wartość tego współczynnika kształtuje się

przeciętnie na poziomie od około 0,13 do 0,16 – w zależności od rodzaju zagospodarowania

(pokrycia) terenu (uprawy, rodzaju gruntu, pokrycia akwenami wodnymi czy drzewami lub

domami), a jej wartość wyznacza się z błędem rzędu od 5 do 25% jej wartości.

Należy jednak pamiętać, że wartość wymienionego powyżej współczynnika k ustalono

dla górnych warstw atmosfery, zalegających w miarę regularnie na tych wysokościach,

przyjmując ich rozkład w sposób wyidealizowany (modelowy). W praktyce trzeba jednak

liczyć się nawet z dużym zakłóceniem tego przebiegu modelowego, szczególnie w

ϕ

A

s

B

i

B

B

s

A

ϕ

A

H

B

i

A

H

A

A

d

oAB

A

0

Poziom odniesienia B

0

22

przypadkach pomiarów prowadzonych obecnie powszechnie w przyziemnych warstwach

atmosfery. Jego wielkość zależy bowiem od:

-

stanu atmosfery zmieniającej się w ciągu pory roku, miesiąca czy nawet dnia,

w zależności od rozkładu i zmienności warunków atmosferycznych (ciśnienia,

temperatury, wilgotności, nasłonecznienia, zanieczyszczenia),

-

rodzaju i sposobu pokrycia terenu oraz jego ukształtowania pionowego i

pokrycia roślinnością (teren pustynny, zadrzewiony, bagnisty, pokryty

akwenami wodnymi, równinny lub o mocno zróżnicowanym ukształtowaniu

pionowym),

-

bliskości przebiegu celowych nad powierzchnią terenu lub innymi obiektami

na nim istniejącymi.

W związku z powyższym wyznaczonej w określonym terenie wartości współczynnika k

nie należy przypisywać zbyt dużej pewności i uogólniać ją na rozległy obszar. Posiada on

bowiem cechę parametru lokalnego, charakteryzującego dany obszar w niezbyt odległym od

niego otoczeniu i odnosi się do sytuacji jaka na tym terenie istnieje.

Wyznaczenie wartości współczynnika refrakcji k

Z przedstawionego powyżej stopnia złożoności omawianego problemu wynika, że nie da

się go rozwiązać przy pomocy jednego współczynnika k, przyjętego globalnie dla całego

kraju, czy nawet jego większych fragmentów. Czasem wystąpić może potrzeba określania

jego wartości dla konkretnego obszaru, o specyficznych warunkach terenowych i

występujących na nim uwarunkowaniach atmosferycznych. Niekiedy rozbieżności w

określeniu wartości tego współczynnika na poszczególnych obszarach mogą być tak znaczne i

zróżnicowane, że powstaje problem czy i jak poprawnie uwzględnić go przy opracowywaniu

wyników pomiarów niwelacji prowadzonej metodą trygonometryczną.

W praktyce stosuje się różne metody wyznaczenia wartości tego współczynnika. Dla

celów praktycznych stosowane są najczęściej dwie z nich, a mianowicie:

-

pierwsza, bazująca na wynikach równoczesnego wyznaczenia wartości różnicy

wysokości określanego odcinka metodą niwelacji geometrycznej (

∆

H

g

) i

trygonometrycznej (

∆

H

t

), wykorzystująca zależność w postaci

23

(

)

g

H

s

i

d

d

R

k

∆

−

−

+

ϕ

+

=

tg

2

2

1

lub w postaci

(

)

s

i

d

H

d

R

k

g

+

−

ϕ

−

∆

−

=

tg

2

2

1

;

-

druga, bazująca na wynikach jednoczesnego pomiaru:

•

kąta pionowego (

ϕ

) na obu końcach danego odcinka, wykorzystująca

zależność w postaci

(

)

(

) (

)

[

]

B

A

B

A

B

A

s

s

i

i

d

R

d

R

k

−

−

−

+

ϕ

+

ϕ

+

=

2

1

tg

tg

lub

•

zenitalnego (z), wykorzystujące zależność w postaci

(

) (

)

[

]

(

)

B

A

B

A

B

A

z

z

d

s

s

i

i

d

R

k

ctg

ctg

+

+

−

−

−

+

=

2

1

czy w postaci













ρ

+

−

Π

+

=

B

A

z

z

d

R

k

1

gdzie:

k – wartość wyznaczanego współczynnika refrakcji,

R – promień krzywizny odniesienia określony z odpowiednich zależności na kuli z

dokładnością rzędu 10 km, utożsamiany z powierzchnią Ziemi,

d – długość odcinka na którym pomiar wykonywano,

i

i

– wysokość ustawienia instrumentu nad punktem A lub B,

s

i

– wysokość ustawienia sygnału nad punktem A lub B,

∆

H

g

– różnica wysokości wybranego odcinka wyznaczona metodą niwelacji

geometrycznej,

∆

H

t

– różnica wysokości wybranego odcinka wyznaczona metodą niwelacji

trygonometrycznej,

ϕ

i

– kąt pionowy na i-tym punkcie (A lub B) odcinka AB,

z

i

– kąt zenitalny na i-tym punkcie (A lub B) odcinka AB.