Derywacje

Andrzej Nowicki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki,

ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń

(e-mail: [e-mail])

Maj 1995

Spis treści

1

Derywacje algebr ogólnych

1

1.1

Pojęcia wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Szeregi z podzielonymi potęgami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.3

Funktor prawostronnie sprzężony do funktora zapominania

. . . . . . . . . . . . . . .

3

2

Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe

5

2.1

Pierścień wielomianów różniczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2

Twierdzenie Ritta-Raudenbusha

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3

Rozszerzeniach ciał różniczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.4

Rozszerzenia uniwersalne i silnie-normalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.5

Ciała różniczkowo domknięte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.6

Różniczkowe twierdzenie Hilberta o zerach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3

Różniczkowa teoria Galois

9

3.1

Pojęcia wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2

Problemy różniczkowej teorii Galois

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.3

Ogólne fakty

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.4

Wrońskiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.5

Pierścień wielomianów różniczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.6

Rozszerzenia Picarda-Vessiot

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.7

Główne twierdzenia o PV-rozszerzeniach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.8

Dwa specjalne przypadki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.9

Rozszerzenia Liouville’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Spis cytowanej literatury

15

i

1. Derywacje algebr ogólnych

1

1

Derywacje algebr ogólnych

1.1

Pojęcia wstępne

Niech k będzie pierścieniem przemiennym z 1. Algebrą ogólną nad k lub k-algebrą ogólną nazy-

wamy każdy lewy k-moduł A wraz z odwzorowaniem k-dwuliniowym ( , ) : A × A −→ A, zwanym
mnożeniem. Jeśli A jest k-algebrą ogólną, to element postaci (x, y), gdzie x, y ∈ A, zapisujemy jako
xy. Dwuliniowość mnożenia oznacza, że:

(αx)y = α(xy) = x(αy),

(x + y)z = xz + yz,

z(x + y) = zx + zy,

dla wszystkich x, y, z ∈ A, α ∈ k. Algebrą ogólną jest w szczególności każda k-algebra przemienna z
jedynką lub k-algebra łączna lub k-algebra Liego.

Homomorfizmem ogólnych k-algebr A i B nazywamy każde odwzorowanie k-liniowe f : A −→ B

takie, że f (xy) = f (x)f (y), dla wszystkich x, y ∈ A.

Niech A będzie k-algebrą ogólną. Każde k-liniowe odwzorowanie d : A −→ A, spełniające warunek

d(ab) = d(a)b + ad(b),

dla a, b ∈ A,

nazywamy k-derywacją k-algebry A.

Jeśli i

1

, . . . , i

s

są nieujemnymi liczbami całkowitymi, to przez hi

1

, . . . , i

s

i oznaczamy nieujemną

liczbę całkowitą, zwaną liczbą Newtona, zdefiniowaną wzorem

hi

1

, . . . , i

s

i =

(i

1

+···+i

s

)!

i

1

! ··· i

s

!

.

Poniższy wzór, zwany wzorem Leibniza, jest dobrze znany w przypadku przemiennym lub łącznym.

Jego dowód jest standardowym sprawdzeniem.

Stwierdzenie 1.1.1. Jeśli d jest k-derywacją ogólnej k-algebry A, to

d

n

(xy) =

X

i+j=n

hi, jid

i

(x)d

j

(y),

dla wszystkich n

> 0, x, y ∈ A.

Suma i iloczyn Liego dwóch k-derywacji są k-derywacjami. Jeśli d jest k-derywacją i α ∈ k, to αd

jest k-derywacją. Jeśli algebra A posiada jedynkę, to dla każdej k-derywacji d tej algebry zachodzi
równość d(1) = 0.

Każdą parę postaci (A, d), gdzie A jest ogólną k-algebrą i d jest jej k-derywacją, nazywamy k-

algebrą różniczkową (ogólną). Homomorfizmem k-algebr różniczkowych (A, d

A

) i (B, d

B

) nazywamy

każdy k-algebrowy homomorfizm f : A −→ B taki, że d

B

f = f d

A

. Złøżenie homomorfizmów jest

homomorfizmem. Odwzorowanie tożsamościowe jest homomorfizmem.

Zmierzamy do wykazania, że istnieje funktor z kategorii k-algebr ogólnych do kategorii k-algebr

różniczkowych, który jest prawostronnie sprzężony do funktora zapominania (A, d) 7→ A.

1.2

Szeregi z podzielonymi potęgami

Niech A będzie algebrą ogólną nad pierścieniem k (przemiennym z jedynką). Niech

A =

∞

Y

n=0

At

n

1. Derywacje algebr ogólnych

2

będzie produktem przeliczalnej ilości k-modułu A, tzn. k-modułem wszystkich ciągów (x

0

, x

1

, . . . ), o

wyrazach należących do A. Ciąg postaci (x

0

, x

1

, . . . ) oznaczać będziemy przez

P

∞
n=0

x

n

t

n

. Dodawanie

i mnożenie przez skalar w

A są więc określone następująco:

∞

X

n=0

x

n

t

n

+

∞

X

n=0

y

n

t

n

=

∞

X

n=0

(x

n

+ y

n

)t

n

,

α

∞

X

n=0

x

n

t

n

=

∞

X

n=0

(αx

n

)t

n

.

Określamy w A mnożenie przyjmując

∞

X

n=0

x

n

t

n

·

∞

X

n=0

y

n

t

n

=

∞

X

n=0

z

n

t

n

,

gdzie z

n

=

X

i+j=n

hi, jix

i

y

j

.

Stwierdzenie 1.2.1. Moduł A, wraz z powyższym mnożeniem, jest k-algebrą ogólną. Odwzorowanie
A −→ A, x 7−→ xt

0

+ 0t

1

+ 0t

2

+ · · · , jest k-algebrową injekcją.

Algebrę A nazywamy algebrą szeregów z podzielonymi potęgami algebry A.

Stwierdzenie 1.2.2. Jeśli algebra A jest łączna lub przemienna lub z jedynką lub Liego, to tę samą
własność ma algebra A.

Dowód. Jeśli p, q, j są nieujemnymi liczbami całkowitymi, to

hp + q, jihp, qi = hp, q, ji.

Stąd wynika, że jeśli x =

P x

n

t

n

, y =

P y

n

, z =

P z

n

są elementami należącymi do A, to (xy)z =

P a

n

t

n

, x(yz) =

P b

n

t

n

, gdzie

a

n

=

X

p+q+j=n

hp, q, ji(x

p

y

q

)z

j

,

b

n

=

X

p+q+j=n

hp, q, jix

p

(y

q

z

j

).

Jeżeli więc algebra A jest łączna, to a

n

= b

n

(dla wszystkich n) i stąd (xy)z = x(yz).

Jest oczywiste, że jeśli A jest przemienne, to A również. Jeśli A posiada jedynkę, to element 1t

0

jest jedynką w A.

Załóżmy teraz, że A jest algebrą Liego. Z powyższych wzorów wynika, że każde trzy elementy

x, y, z ∈ A spełniają równość Jacobiego. Równość xx = 0, dla x =

P x

n

t

n

∈ A, wynika z równości

hi, iix

i

x

i

= 0,

hi, jix

i

x

j

+ hj, iix

j

x

i

= hi, ji(x

i

x

j

+ x

j

x

i

) = 0.

Zatem

A jest k-algebrą Liego.

Pewne własności i zastosowania algebr szeregów z podzielonymi potęgami w przypadku przemien-

nym opisane są w [7] 79-105, [2] oraz AlgHom

3

251-269 i 302-308, D

4

54-61, 96-124, 131-175.

Lemat 1.2.3. Jeśli x

0

, x

1

, . . . , y

0

, y

1

, . . . są elementami k-algebry ogólnej A, to dla każdej nieujemnej

liczby całkowitej n zachodzi równość

X

i+j=n+1

hi, jix

i

y

j

=

X

p+q=n

hp, qi(x

p+1

y

q

+ x

p

y

q+1

).

Dowód. Sprawdzamy to tak samo jak w sytuacji przemiennej. Patrz D

4

112.

Niech δ

A

: A −→ A będzie odwzorowaniem określonym wzorem

δ

A

(

∞

X

n=0

x

n

t

n

) =

∞

X

n=0

x

n+1

t

n

.

1. Derywacje algebr ogólnych

3

Stwierdzenie 1.2.4. Odwzorowanie δ

A

jest k-derywacją k-algebry A.

Dowód. Liniowość odwzorowania δ

A

jest oczywista. Niech x, y ∈

A i niech x =

P x

n

t

n

, y =

P y

n

t

n

. Pokażemy, że δ

A

(xy) = δ

A

(x)y + xδ

A

(y). W tym celu wykorzystamy poprzedni lemat. Spraw-

dzamy:

δ

A

(xy)

=

δ

A

P

n

P

i+j=n

hi, jix

i

y

j

t

n

=

P

n

P

i+j=n+1

hi, jix

i

y

j

t

n

=

P

n

P

i+j=n

hi, ji(x

i+1

y

j

+ x

i

y

j+1

)

t

n

=

P

n

P

i+j=n

hi, jix

i+1

y

j

t

n

+

P

n

P

i+j=n

hi, jix

i

y

j+1

t

n

=

P

n

x

n+1

t

n

·

P

n

y

n

t

n

+

P

n

x

n

t

n

·

P

n

y

n+1

t

n

=

δ

A

(x)y + xδ

A

(y).

Niech (A, d) będzie ogólną k-algebrą różniczkową. Definiujemy odwzorowanie

η

(A,d)

: (A, d) −→ (A, δ

A

),

x 7−→

∞

X

n=0

d

n

(x)t

n

.

Stwierdzenie 1.2.5. Odwzorowanie η

(A,d)

jest homomorfizmem k-algebr różniczkowych.

Dowód. Niech η = η

(A,d)

i niech a, b ∈ A. Pokażemy, że η(ab) = η(a)η(b) oraz ηd = δ

A

d. Pierwsza

równość wynika ze wzoru Leibniza:

η(ab)

=

P

n

d

n

(ab)t

n

=

P

n

P

i+j=n

hi, jid

i

(a)d

j

(b)

t

n

=

P

n

d

n

(a)t

n

·

P

n

d

n

(b)t

n

=

η(a)η(b).

Sprawdzamy drugą równość:

ηd(a) =

P

n

d

n+1

(a)t

n

= δ

A

(

P

n

d

n

(a)t

n

) = δ

A

η(a).

1.3

Funktor prawostronnie sprzężony do funktora zapominania

Niech Alg

k

, DAlg

k

oznaczają odpowiednio kategorię ogólnych k-algebr i kategorię ogólnych k-algebr

różniczkowych. Niech F : DAlg

k

−→ Alg

k

, (A, d) 7−→ A, będzie funktorem zapominania.

Zdefiniujemy teraz funktor G : Alg

k

−→ DAlg

k

. Jeśli A jest ogólną k-algebrą, to przyjmujemy

G(A) = (A, δ

A

),

gdzie A jest algebrą szeregów z podzielonymi potęgami algebry A oraz δ

A

: A −→ A jest k-derywacją

wprowadzoną w poprzednim podrozdziale, tzn. δ

A

(

P

n

x

n

t

n

) =

P

n

x

n+1

t

n

.

Jeśli f : A −→ B jest homomorfizmem ogólnych k-algebr, to przyjmujemy G(f ) = f , gdzie

f : A −→ B,

X

n

x

n

t

n

7−→

X

n

f (x

n

)t

n

.

Łatwo sprawdzić, że f jest homomorfizmem k-algebr różniczkowych G(A) = (A, δ

A

) i G(B) = (B, δ

B

).

1. Derywacje algebr ogólnych

4

Twierdzenie 1.3.1 (D

4

116). Funktor G : Alg

k

−→ DAlg

k

jest prawostronnie sprzężony do funktora

zapominania F : DAlg

k

−→ Alg

k

. Innymi słowy: jeśli (A, d) jest różniczkową k-algebrą i B jest k-

algebrą ogólną, to istnieje naturalny izomorfizm

α

−→

DAlg

k

((A, d), G(B))

≈

Alg

k

(F (A, d), B) .

←−

β

Dowód. Jeśli B jest ogólną k-algebrą, to przez ε

B

: B −→ B oznaczamy k-algebrowy homomorfizm

określony wzorem

P

n

x

n

t

n

7−→ x

0

.

Przypomnijmy, że jeśli (A, d) jest k-algebrą różniczkową, to

η

(A,d)

: (A, d) −→ (A, δ

A

),

x 7−→

∞

X

n=0

d

n

(x)t

n

jest homomorfizmem różniczkowych k-algebr (patrz poprzedni podrozdział).

Przyporządkowania α, β definiujemy w następujący sposób. Niech f : (A, d) −→ G(B) = (B, δ

B

)

będzie homomorfizmem różniczkowych k-algebr. Wtedy przyjmujemy:

α(f ) = ε

B

◦ F (f ).

Jeśli g : F (A, d) = A −→ B jest homomorfizmem ogólnych k-algebr, to przyjmujemy:

β(g) = G(g) ◦ η

(A,d)

.

Pokażemy, że funkcje α i β są wzajemnie odwrotne. Niech η = η

(A,d)

, ε = ε

B

i niech a ∈ A. Wtedy:

αβ(g)(a)

=

α(G(g)η)(a) = εF (G(g)η)(a) = ε(G(g)(η(a)))

=

εG(g)(

P

n

d

n

(a)t

n

) = ε(

P

n

gd

n

(a)t

n

) = gd

0

(a)

=

g(a).

Zatem złożenie αβ jest tożsamością. Niech teraz f (a) =

P

n

f

n

(a)t

n

, gdzie elementy postaci f

n

(a)

należą do B. Zauważmy, że wtedy δ

n

B

f (a) =

P

p

f

n+p

(a)t

p

. Mamy więc:

βα(f )(a)

=

β(εF (f ))(a) = G(εF (f ))η(a)

=

G(εF (f ))(

P

n

d

n

(a)t

n

) =

P

n

(εF (f )d

n

(a))t

n

=

P

n

(εf d

n

(a))t

n

=

P

n

(εδ

n

B

f (a))t

n

=

P

n

(εδ

n

B

(

P

p

f

p

(a)t

p

))t

n

=

P

n

(ε(

P

p

f

n+p

(a)t

p

))t

n

=

P

n

f

n

(a)t

n

=

f (a).

Zatem złożenie βα jest również tożsamością. Naturalność funkcji α i β sprawdza się w standardowy
sposób (szczegóły są w D

4

119 − 124).

Powyższe konstrukcje i dowody oraz Stwierdzenie 1.2.2 świadczą o tym, że Twierdzenie 1.3.1

zachodzi także, gdy parę kategorii (DAlg

k

, Alg

k

) zastąpimy parą kategorii k-algebr specjalnego typu.

Wniosek 1.3.2. Niech Alg

k

będzie jedną z następujących kategorii k-algebr

(a) łącznych,
(b) łącznych z jedynką,
(c) przemiennych,
(d) Liego.

Niech DAlg

k

będzie odpowiednią kategorią k-algebr różniczkowych. Wtedy funktor G : Alg

k

−→ DAlg

k

jest prawostronnie sprzężony do funktora zapominania F : DAlg

k

−→ Alg

k

.

2. Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe

5

2

Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe

Na podstawie [3], [4], [1], [5], [6], D

1

-D

11

, DC

1

, PH

3

.

Algebra różniczkowa, to dział algebry rozpatrujący obiekty, w których obok operacji dodawania i

mnożenia występują operacje różniczkowania. Algebra różniczkowa zajmuje się między innymi pier-
ścieniami różniczkowymi, modułami różniczkowymi, ciałami różniczkowymi, a także różniczkowymi
rozmaitościami algebraicznymi.

Wielomian różniczkowy, to jeden z głównych obiektów algebry różniczkowej; odpowiednik zwykłego

wielomianu w algebrze przemiennej.

Przypomnijmy, że algebrą Ritta nazywamy każdy różniczkowy pierścień (przemienny) zawierający

ciało Q liczb wymiernych.

2.1

Pierścień wielomianów różniczkowych

Jeśli (R, d) jest pierścieniem różniczkowym, to przez R{y} oznaczamy pierścień wielomianów róż-

niczkowych jednej zmiennej y nad R. Pierścień ten jest zwykłym pierścieniem wielomianów przeliczal-
nej ilości zmiennych

y

(0)

= y, y

(1)

, y

(2)

, . . .

nad R. Posiada on standardową derywację d, będącą rozszerzeniem derywacji d : R −→ R taką, że
d(y

(n)

) = y

(n+1)

.

Pierścień wielomianów różniczkowych nad R zmiennych y

1

, . . . y

n

(który oznacza się przez R{y

1

, . . . , y

n

})

definiuje się indukcyjnie przyjmując

R{y

1

, . . . , y

n

} = R{y

1

, . . . , y

n−1

}{y

n

}.

Jeśli K jest ciałem, to ciało ułamków pierścienia K{y

1

, . . . , y

n

} oznacza się przez Khy

1

, . . . , y

n

i.

W szczególności Khyi jest ciałem ułamków pierścienia K{y}.

Stwierdzenie 2.1.1 (DC

1

70).

Jeśli K jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero, to

K{y

1

, . . . , y

n

}

d

= Khy

1

, . . . , y

n

i

d

= K

d

.

2.2

Twierdzenie Ritta-Raudenbusha

Twierdzenie, o którym teraz powiemy jest różniczkową wersją twierdzenia Hilberta o bazie.

Nie jest prawdą, że jeśli R jest różniczkowym pierścieniem, w którym każdy wstępujący ciąg ideałów

różniczkowych stabilizuje sią, to R{y} jest również takim pierścieniem. Nie jest to prawdą nawet wtedy,
gdy R jest różniczkowym ciałem. W tym przypadku mamy na przykład następujący ciąg ideałów
różniczkowych, który nie stabilizuje się.

[y

2

] ⊂ [y

2

, d(y)

2

] ⊂ [y

2

, d(y)

2

, d

2

(y)

2

] ⊂ . . . .

Przez [A] oznaczamy najmniejszy ideał różniczkowy zawierający zbiór A.

Mówimy, że różniczkowy pierścień R jest radykalnie różniczkowo noetherowski (w skrócie: RRN)

jeśli każdy wstępujący ciąg radykalnych ideałów różniczkowych stabilizuje się.

Twierdzenie 2.2.1 (Ritta-Raudenbusha, [1] 45, D

1

222).

Niech R jest RRN algebrą Ritta, to

R{y} również jest RRN.

Każdy zwykły pierścień przemienny jest pierścieniem różniczkowym (z zerową derywacją). Z do-

wodu powyższego twierdzenia można uzyskać następujący wniosek.

Wniosek 2.2.2. Jeśli R jest zwykłym radykalnie noetherowskim pierścieniem przemiennym zawiera-
jącym Q, to pierścień zwykłych wielomianów R[X] jest radykalnie noetherowski.

2. Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe

6

Zanotujmy również:

Wniosek 2.2.3. Jeśli K jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero, to K{y

1

, . . . , y

n

} jest RRN.

W pierścieniu RRN każdy radykalny ideał różniczkowy jest przekrojem skończonej ilości pierwszych

ideałów różniczkowych. Rozkład nieskracalny jest jednoznaczny.

2.3

Rozszerzeniach ciał różniczkowych

Przez ciało różniczkowe rozumie się w ogólnym przypadku parę (K, ∆), w której K jest ciałem, a ∆

jest zbiorem derywacji ciała K. Mówimy, że ciało różniczkowe (L, ∆) jest rozszerzeniem różniczkowego
ciała (K, ∆

0

), jeśli K ⊆ L oraz ∆ | K = ∆

0

, tzn. ∆

0

= {δ | K; δ ∈ ∆}. W tym przypadku mówimy

również, że ciało różniczkowe (K, ∆

0

) jest różniczkowym podciałem różniczkowego ciała (L, ∆). Zbiór

∆

0

oznaczać będziemy też przez ∆. Przez cały czas zakładać będziemy, że każdy zbiór postaci ∆ jest

przemienny.

Niech K ⊆ L będzie rozszerzeniem ciał różniczkowych. Przekrój dowolnej ilości różniczkowych

podciał jest różniczkowym podciałem. Jeśli Σ jest podzbiorem ciała L, to przez KhΣi ozanczamy
najmniejsze podciało różniczkowe w L zawierające K i Σ. Mówimy w tym przypadku, że KhΣi jest
różniczkowym rozszerzeniem ciała K generowanym przez Σ. Jeśli Σ jest zbiorem skończonym, to mó-
wimy o rozszerzeniu skończenie generowanym. Jeśli natomiast Σ jest zbiorem jednoelementowym, to
mówimy o rozszerzeniu pojedyńczym. Złożeniem różniczkowych podciał K

1

i K

2

nazywamy różnicz-

kowe podciało K

1

K

2

= K

1

hK

2

i = K

2

hK

1

i.

Niech Θ będzie wolną półgrupą przemienną o bazie ∆. Elementy półgrupy Θ nazywa się operato-

rami różniczkowymi.

Niech A będzie podzbiorem różniczkowego ciała L ⊇ K. Mówimy, że zbiór A jest różniczkowo

algebraicznie zależny nad K, jeśli zbiór {θa; a ∈ A, θ ∈ Θ} jest algebraicznie zależny nad K. W
przeciwnym wypadku mówimy o różniczkowo algebraicznej niezależności W podobny sposób definiuje
się zależnoćć (lub niezależność) różniczkowo rozdzielczą.

Dla rozszerzeń ciał różniczkowych istnieje następujący analog twierdzenia Abela o elemencie pry-

mitywnym.

Twierdzenie 2.3.1 ([5]

4

900).

Jeśli K ⊆ Kha

1

, . . . , a

s

i jest różniczkowo algebraicznym rozszerze-

niem rozdzielczym, to istnieje element b taki, że Kha

1

, . . . , a

s

i = Khbi.

Istnieje również analog twierdzenia L¨

urotha (w przypadku, gdy zbiór ∆ jest jednoelementowy).

Twierdzenie 2.3.2 ([5]

4

900).

Jeśli K ⊆ M ⊆ Khai są różniczkowymi ciałami, to istnieje b ∈ M

takie, że M = Khbi.

Załóżmy, że K jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero z jedną derywacją. Niech f ∈ K{y}

będzie nieprzywiedlnym wielomianem różniczkowym jednej zmiennej. Załóżmy ponadto, że a, b są
elementami pewnego ciała różniczkowego zawierającego K takimi, że f (a) = f (b) = 0. Następujące
pytanie, to tzw. problem Ritta.

Pytanie 2.3.3. Czy istnieje różniczkowy K-izomorfizm Khai −→ Khbi ?

Jeśli f jest wielomianem rzędu co najwyżej 2 (tzn. w wielomianie f nie występują zmienne y

(s)

, dla

S > 2), to odpowiedź na to pytanie jest pozytywna. Udowodnił to Ritt. Znane są różne dowody tego
faktu. Istnieją też pewne drobne uogólnienia wyniku Ritta (B. Lando, R. M. Cohn). Problem jest
jednak nadal otwarty.

2. Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe

7

2.4

Rozszerzenia uniwersalne i silnie-normalne

Zakładamy, że K jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero (ze skończonym zbiorem ∆, parami
przemiennych derywacji). Jeśli K ⊆ L jest różniczkowo skończenie generowanym rozszerzeniem ciał
różniczkowych, to fakt ten zapisujemy jako ”K ⊆

f g

L”.

Definicja 2.4.1 ([6]).

Mówimy, że rozszerzenie ciał różniczkowych K ⊆ U jest uniwersalne (co

zapisujemy jako ”K ⊆

u

U ”) jeśli dla każdego rozszerzenia ciał różniczkowych K ⊆

f g

F ⊆ U oraz dla

każdego F ⊆

f g

G istnieje ciało różniczkowe F

0

takie, że K ⊆ F ⊆ F

0

⊆ U i F

0

≈ G nad F .

Twierdzenie 2.4.2 ([5]

4

900). Dla każdego różniczkowego ciała K charakterystyki zero istnieje róż-

niczkowe rozszerzenie uniwersalne K ⊆

u

U .

Niech U będzie ustalonym uniwersalnym ciałem różniczkowym charakterystyki zero i niech K

będzie jego ciałem stałym. Załóżmy, że M jest ciałem różniczkowym zawartym w U i σ : M −→ U
jest różniczkowym homomorfizmem.

Definicja 2.4.3 ([5]

4

902).

Mówimy, że homomorfizm σ jest silny jeśli:

(1) σ(a) = a, dla wszystkich a ∈ M

∆

,

(2) σ(M ) ⊆ KM ,
(3) M ⊆ Kσ(M ).

Definicja 2.4.4 ([5]

4

902).

Niech L ⊆ M ⊆ U będzie rozszerzeniem ciał różniczkowych. Mówimy,

że rozszerzenie L ⊆ M jest silnie-normalne jeśli:

(a) L ⊆

f g

L,

(b) każdy L-homomorfizm różniczkowy z M do U jest silny.

Rozszerzenia silnie-normalne odgrywają pewną rolę w różniczkowej teorii Galois. Wyjaśnimy to

później.

Załóżmy teraz, że L ⊆ M ⊆ U jest rozszerzeniem ciał różniczkowych charakterystyki zero, przy

czym rozszerzenie L ⊆ U jest uniwersalne. Można udowodnić, że jeśli rozszerzenie L ⊆ M jest róż-
niczkowo skończenie generowane lub jest różniczkowo algebraiczne, to rozszerzenie M ⊆ U jest uni-
wersalne.

Twierdzenie 2.4.5 (Kolchin 1980, [6] 82).

Jeśli rozszerzenie L ⊆ M jest silnie-normalne, to

rozszerzenie M ⊆ U jest uniwersalne.

2.5

Ciała różniczkowo domknięte

Na podstawie [6], PH

3

91.

Z ciałami różniczkowo domkniętymi były i są nadal problemy. Ciała te pojawiły się w pracach

Ritta i Seidenberga. W 1959 roku A. Robinson pokazał, na gruncie teorii logiki, że ciała różniczkowe
dopuszczają ”modelowe dopełnienia”. Podał definicję ciała różniczkowo domkniętego. Aksjomatykę
takiego ciała podał L. Blum w 1977.

Definicja 2.5.1 ([6] 82).

Niech K będzie ciałem różniczkowym charakterystyki zero. Mówimy, że

ciało K jest różniczkowo domknięte jeśli dowolny system składający się z równania różniczkowego
P (y) = 0 rzędu n (gdzie P (y) ∈ K{y}) i nierówności postaci Q(y) 6= 0, gdzie Q(y) jest wielomianem
różniczkowym należącym do K{y} rzędu ostro mniejszego od n, ma rozwiązanie w K.

Dzięki wynikom prac F. Bluma, P. Bluma i S. Shelah’a z lat siedemdziesiątych można było wpro-

wadzić pojęcie różniczkowego domknięcia danego różniczkowego ciała charakterystyki zero.

Definicja 2.5.2 ([6] 82).

Różniczkowym domknięciem różniczkowego ciała K nazywamy rożnicz-

kowe ciało K takie, że:

(1) K ⊆ K jest rozszerzeniem ciał różniczkowych,
(2) ciało K jest różniczkowo domknięte,
(3) jeśli Ω jest różniczkowo domkniętym ciałem różniczkowym zawierającym K, to istnieje K-

homomorfizm różniczkowy K −→ Ω.

2. Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe

8

Definicja 2.5.3 ([6] 82).

Mówimy, ˙,ze różniczkowe domknięcie K jest minimalne jeśli nie istnieje

różniczkowy K-homomorfizm σ : K −→ L ⊂ K, gdzie L 6= K.

Przypuszczano najpierw (G. E. Sacks 1972), że każde różniczkowe domknięcie jest minimalne.

Tak jednak w ogólności nie jest. W 1973 roku Kolchin, Shelah i Rosenlicht pokazali niezależnie, że
różniczkowe domknięcie ciała Q, liczb wymiernych, nie jest minimalne.

M. F. Singer (lata siedemdziesiąte) udowodnił, że różniczkowe ciała rzeczywiste uporządkowane

posiadają różniczkowe domknięcia i domknięcia te są minimalne.

Powyższe wyniki dotyczą charakterystyki zero. Istnieją prace (np. C. Wood 1974) o podobnej

tematyce dla ciał charakterystyki dodatniej. Istnieją w tym przypadku różniczkowe domknięcia, ale
nie można mówić o minimalności.

2.6

Różniczkowe twierdzenie Hilberta o zerach

Zakładamy, że K jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero, którego ciało stałych jest algebra-

icznie domknięte. Zakładamy ponadto, że Ω jest uniwersalnym ciałem różniczkowym zawaierającym
ciało K.

Jeśli A jest podzbiorem pierścienia K{y

1

, . . . , y

n

}, to przez V(A) oznaczmy podzbiór w Ω

n

zdefi-

niowany jako

V(A) = {a ∈ Ω

n

; ∀

f ∈A

f (a) = 0}.

Jest oczywiste, że

V(A) = V((A)) = V([A]) = V({A}),

gdzie (A) jest ideałem generowanym przez A, [A] jest najmniejszym ideałem różniczkowym zawierają-
cym A oraz {A} jest najmniejszym radykalnym ideałem różniczkowym zawierającym A. Z twierdzenia
Ritta-Raudenbusha (tzn. z różniczkowego twierdzenia Hilberta o bazie) wynika, że istnieje skończony
podzbiór A

0

⊆ A taki, że V(A) = V(A

0

).

Rodzina wszystkich zbiorów postaci V(A), gdzie A ⊆ K{y

1

, . . . , y

n

}, spełnia wszystkie aksjomaty

rodziny zbiorów domkniętych. Mamy zatem topologię na zbiorze Ω

n

, zwaną różniczkową topologią

Zariskiego.

Istnieje następujący różniczkowy analog twierdzenia Hilberta o zerach.

Twierdzenie 2.6.1 ([5]

2

242).

Niech f

1

, . . . , f

s

będą wielomianami różniczkowymi należącymi do

pierścienia K{y

1

, . . . , y

n

}. Niech g ∈ K{y

1

, . . . , y

n

} będzie takim wielomianem różniczkowym, który

zeruje się we wszystkich punktach zbioru V(f

1

, . . . , f

s

). Wtedy pewna potęga wielomianu g należy, do

ideału różniczkowego [f

1

, . . . , f

s

].

Stąd wynika w szczególności, że jeśli V(A) jest zbiorem pustym, to [A] = {A} = K{y

1

, . . . , y

n

}.

Następne dwa twierdzenia, to równoważne sformułowania twierdzenia powyższego.

Twierdzenie 2.6.2. Jeśli A ⊆ K{y

1

, . . . , y

n

}, to IV(A) = {A}, gdzie

I(X) = {f ∈ K{y

1

, . . . , y

n

}; f (a) = 0 dla a ∈ X}.

Twierdzenie 2.6.3. Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy zbiorami domkniętymi
w Ω

n

, a radykalnymi ideałami różniczkowymi w K{y

1

, . . . , y

n

}.

Każdy zbiór domknięty w Ω

n

jest skończoną sumą domkniętych zbiorów nieprzywiedlnych. Zbiorom

nieprzywiedlnym odpowiadają różniczkowe ideały pierwsze w K{y

1

, . . . , y

n

}.

Nie ma dobrych twierdzeń i algorytmów dotyczących rozkładu na sumę nieprzywiedlnych zbiorów

domkniętych.

3. Różniczkowa teoria Galois

9

3

Różniczkowa teoria Galois

Na podstawie [3], [4], [1], [5], [6], D

1

, D

5

53-65, PH

3

76-106, Teczka ”Różniczki”.

3.1

Pojęcia wstępne

Ciałem różniczkowym nazywamy parę (L, d), w której L jest ciałem, a d : L −→ L jest derywacją.

Homomorfizmem ciał różniczkowych (L, d), (M, δ) nazywamy każdy homomorfizm ciał f : L −→ M
taki, że δd = f d.

Mówimy, źe ciało K jest podciałem różniczkowym (krótko d-podciałem) różniczkowego ciała (L, d),

jeśli d(K) ⊆ K. Jeśli K jest d-podciałem w (L, d), to para (K, d|K) jest ciałem różniczkowym. Włoże-
nie K ,→ L jest wtedy homomorfizmem ciał różniczkowych. Zdanie ”K ⊆ L są ciałami różniczkowymi”
oznacza, że ”K jest d-podciałem różniczkowego ciała (L, d)”. W tym przypadku mówić będziemy rów-
nież, że K ⊆ L jest rozszerzeniem ciał różniczkowych.

Niech K ⊆ L będą ciałami różniczkowymi.

Zwykłą grupę Galois rozszerzenia K ⊆ L oznaczamy przez G

K

(L). Przypomnijmy, że G

K

(L) jest

zbiorem wszystkich K-auotomorfizmów ciała L, tzn. wszystkich automorfizmów σ : L −→ L takich,
że σ|K = 1

K

.

Przez Gd

K

(L) oznaczać będziemy grupę wszystkich różniczkowych K-automorfizmów ciała L.

Nazywać ją będziemy różniczkową grupą Galois rozszerzenia K ⊆ L. Odwzorowanie σ : L −→ L
należy do Gd

K

(L) wtedy i tylko wtedy, gdy σ jest zwykłym automorfizmem ciała L takim, że dσ = σd

oraz σ|K = 1

K

. Jest oczywiste, że Gd

K

(L) jest podgrupą grupy G

K

(L).

Jeśli H jest podzbiorem grupy Gd

K

(L), to przez L

H

oznaczamy zbiór

L

H

= {a ∈ L; ∀

σ∈H

σ(a) = a}.

Zbiór L

H

jest d-podciałem ciała L zawierającym ciało K.

3.2

Problemy różniczkowej teorii Galois

Z rozszerzeniem K ⊆ L (ciał różniczkowych) stowarzyszone są dwa następujące zbiory.

K

=

zbiór wszystkich ciał różniczkowych M takich, że K ⊆ M ⊆ L,

G

=

zbiór wszystkich podgrup grupy Gd

K

(L).

Są to zbiory częściowo uporządkowane ze względu na inkluzję ⊆. Definiujemy dwa antymorfizmy (tzn.
odwzorowania zmieniające inkluzję, patrz [8]) α : K −→ G, β : G −→ K przyjmując

α(M )

=

Gd

M

(L),

dla M ∈ K,

β(H)

=

L

H

,

dla H ∈ G.

Nie jest trudno wykazać, że antymorfizmy α, β tworzą związek Galois (patrz [8]), tzn.

∀

M ∈K

M ⊆ βα(M ),

∀

H∈G

H ⊆ αβ(H).

Mówimy, że ciało M ∈ K jest stacjonarne (lub domknięte) jeśli βα(M ) = M . Mówimy, że podgrupa
H ∈ G jest stacjonarna (lub domknięta) jeśli αβ(H) = H.

Spełnione są założenia ogólnej teorii Galois ([8]). Mamy zatem dwa główne problemy:

Problem G1. Opisać ciała i podgrupy stacjonarne.

Problem G2. Kiedy odwzorowania α i β są wzajemnie odwrotne?

3. Różniczkowa teoria Galois

10

3.3

Ogólne fakty

Niech K ⊆ L będzie rozszerzeniem ciał różniczkowych.

Stwierdzenie 3.3.1. Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy ciałami stacjonarny-
mi należącymi do K, a podgrupami stacjonarnymi należącymi do G.

Dowód. Odpowiedniość tę zadaje związek Galois (α, β). Jest to oczywisty fakt ogólnej teorii Ga-

lois. Każde ciało stacjonarne jest postaci β(H), gdzie H ∈ G. Natomiast każda podgrupa stacjonarna
jest postaci α(M ), gdzie M ∈ K. Ponadto, αβα = α, βαβ = β.

Jeśli A jest podgrupą grupy B, to przez (B : A) oznaczamy indeks grupy B względem A. Jeśli

natomiast C jest podciałem ciała D, to przez (D : C) oznaczamy wymiar przestrzeni liniowej D nad
C.

Stwierdzenie 3.3.2 ([1] 18, D

5

54).

(1) Niech M

1

, M

2

∈ K, M

1

⊆ M

2

. Jeśli (M

2

: M

1

) = n < ∞, to (α(M

1

) : α(M

2

))

6 n.

(2) Niech H

1

, H

2

∈ G, H

1

⊆ H

2

. Jeśli (H

2

: H

1

) = n < ∞, to (β(H

1

) : β(H

2

))

6 n.

Stwierdzenie 3.3.3 ([1] 19, D

5

54).

(1) Niech M

1

, M

2

∈ K, M

1

⊆ M

2

. Jeśli ciało M

1

jest stacjonarne i (M

2

: M

1

) = n < ∞, to ciało

M

2

również jest stacjonarne.

(2) Niech H

1

, H

2

∈ G, H

1

⊆ H

2

. Jeśli podgrupa H

1

jest stacjonarna i (H

2

: H

1

) = n < ∞, to

podgrupa H

2

również jest stacjonarna.

Stwierdzenie 3.3.4 ([1] 19, D

5

55).

Niech G = Gd

K

(L).

(1) Jeśli H jest dzielnikiem normalnym w G, to σ(β(H)) = β(H), dla każdego σ ∈ G.
(2) Niech M ∈ K będzie takim ciałem, że σ(M ) = M , dla wszystkich σ ∈ G. Wtedy grupa α(M )

jest dzielnikiem normalnym w G i grupa ilorazowa G/α(M ) jest grupą wszystkich różniczkowych au-
tomorfizmów ciała M zachowujących K i dających się rozszerzyć do L.

Stwierdzenie 3.3.5 (D

5

55).

Jeśli H jest dzielnikiem normalnym w Gd

K

(L), to αβ(H) jest dziel-

nikiem normalnym w Gd

K

(L).

3.4

Wrońskiany

Niech (K, d) będzie ciałem różniczkowym i niech y

1

, . . . , y

n

∈ K.

Definicja 3.4.1. Wrońskianem elementów y

1

, . . . , y

n

nazywamy wyznacznik (n×n) macierzy [d

i

(y

j

)],

gdzie i = 0, . . . , n − 1, j = 1, . . . , n.

Stwierdzenie 3.4.2 ([1] 21).

Elementy y

1

, . . . , y

n

∈ K są liniowo zależne nad K

d

wtedy i tylko

wtedy, gdy wrońskian tych elementów jest równy zero.

3.5

Pierścień wielomianów różniczkowych

Jeśli (R, d) jest pierścieniem różniczkowym, to przez R{y} oznaczamy pierścień wielomianów róż-

niczkowych jednej zmiennej y nad R. Pierścień ten jest zwykłym pierścieniem wielomianów przeliczal-
nej ilości zmiennych

y

(0)

= y, y

(1)

, y

(2)

, . . .

nad R. Posiada on standardową derywację d, będącą rozszerzeniem derywacji d : R −→ R taką, że
d(y

(n)

) = y

(n+1)

.

Załóżmy teraz, że (K, d) jest ciałem różniczkowym. Jeśli charakterystyka ciała K jest równa zero,

to K{y}

d

= K

d

. Ciało ułamków pierścienia K{y} oznacza się przez Khyi. W zerowej charakterystyce

Khyi

d

= K

d

(patrz DC

1

70). Pierścień wielomianów różniczkowych nad K zmiennych y

1

, . . . y

n

(który

oznacza się przez K{y

1

, . . . , y

n

}) definiuje się indukcyjnie przyjmując

K{y

1

, . . . , y

n

} = K{y

1

, . . . , y

n−1

}{y

n

}.

Ciało ułamków takiego pierścienia oznacza się zwykle przez Khy

1

, . . . , y

n

i.

3. Różniczkowa teoria Galois

11

3.6

Rozszerzenia Picarda-Vessiot

Niech (K, d) będzie ciałem różniczkowym. Rozpatrzmy wielomian różniczkowy F (y) ∈ K{y} po-

staci

F (y) = y

(n)

+ a

1

y

(n−1)

+ · · · + a

n−1

y

(1)

+ a

n

y.

Jest to jednorodny wielomian różniczkowy liniowy o współczynnikach z ciała K. Zerem tego wielo-
mianu nazywamy każdy element b należący do ciała K (lub do różniczkowego rozszerzenia ciała K)
taki, że F (b) = 0, gdzie

F (b) = d

n

(b) + a

1

d

n−1

(b) + · · · + a

n−1

d

1

(b) + a

n

b.

Ze Stwierdzenia 3.4.2 wynika, że wielomian F (y) może mieć, co najwyżej n zer liniowo niezależnych
nad K

d

.

Definicja 3.6.1. Mówimy, że różniczkowe ciało L jest rozszerzeniem Picarda-Vessiot (lub PV-rozszerzeniem)
ciała K względem równania F (y) = 0 jeśli:

(1) ciało stałych ciała L jest identyczne z ciałem stałych ciała K,
(2) istnieją elementy b

1

, . . . , b

n

∈ L, liniowo niezależne nad K

d

, będą zerami wielomianu F (y) i

takie, że L = Khb

1

, . . . , b

n

i (najmniejsze podciało różniczkowe ciała L, zawierające K oraz b

1

, . . . , b

n

).

Jeśli K jest ciałem funkcji meromorficznych (określonych na pewnym obszarze płaszczyzny), to

pewne klasyczne twierdzenie mówi, że istnieje PV-rozszerzenie każdego równania postaci F (y) = 0,
gdzie F (y) jest takie, jak powyżej.

Można (dosyć łatwo) podać przykład takiego PV-rozszerzenia pewnego różniczkowego ciała K

(charakterystyki zero) względem pewnego równania, że różniczkowa grupa Galois tego rozszerzenia
jest pełną grupą liniową GL

n

(K

d

) ([1] 22, D

1

126).

Stwierdzenie 3.6.2 (PH

3

81).

Niech K ⊆ L będzie PV-rozszerzeniem równania F (y) = 0. Niech

σ ∈ Gd

K

(L). Jeśli b ∈ L jest zerem równania F (y) = 0, to σ(b) również jest zerem tego równania.

Dowód. Niech F (y) = y

(n)

+ a

1

y

(n−1)

+ · · · + a

n−1

y

(1)

+ a

n

y, gdzie a

1

, . . . , a

n

∈ K. Wtedy

σ(a

i

) = a

i

, dla i = 1, . . . , n oraz σd = dσ. Mamy zatem

0 = σ(0) = σ(d

n

(b) + · · · + a

n

b) = d

n

(σ(b)) + · · · a

n

σ(b) = F (σ(b)).

Stwierdzenie 3.6.3 (PH

3

81).

Niech K ⊆ L = Khb

1

, . . . , b

n

i będzie PV-rozszerzeniem równania

F (y) = 0. Wówczas różniczkowa grupa Galois Gd

K

(L) jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy

GL

n

(K

d

).

Dowód. Niech σ ∈ Gd

K

(L). Z powyższych faktów wynika, że wówczas

σ(b

i

) =

n

X

j=1

k

ij

b

j

,

k

ij

∈ K

d

.

Mamy więc przyporządkowanie σ 7→ [k

ij

]. Oczywiśćie [k

ij

] ∈ GL

n

(K

d

), gdyż σ jest automorfizmem

(ma więc automorfizm odwrotny). Złożeniu automorfizmów odpowiada iloczyn macierzy.

3.7

Główne twierdzenia o PV-rozszerzeniach

Przedstawiamy (bez dowodów) główne fakty dotyczące PV-rozszerzeń.

Twierdzenie 3.7.1 ([3], [1] 36).

Różniczkowa grupa Galois PV-rozszerzenia jest algebraiczną gru-

pą macierzową nad ciałem stałych.

Twierdzenie 3.7.2 (Kolchin [3]).

Niech (K, d) będzie różniczkowym ciałem charakterystyki zero

takim, że ciało stałych K

d

jest algebraicznie domknięte. Wówczas dla każdego równania postaci F (y) =

0 istnieje PV-rozszerzenie ciała K.

3. Różniczkowa teoria Galois

12

Dowód tego twierdzenia opracowany jest w D

1

. Trudna część dowodu: wykazanie, że ciała stałych

są identyczne.

Mówimy, że rozszerzenie ciał różniczkowych K ⊆ L jest różniczkowo normalne (lub, że jest d-

normalne) jeśli

∀

a∈LrK

∃

σ∈Gd

K

(L)

σ(a) 6= a.

Stwierdzenie 3.7.3. Niech K ⊆ L będzie rozszerzeniem ciał różniczkowych i niech G = Gd

K

(L).

Następujące warunki są równoważne.

(1) Rozszerzenie K ⊆ L jest d-normalne.
(2) Istnieje podgrupa H ∈ G taka, że L

H

= K.

(3) L

G

= K.

Dowód. (3) ⇒ (1). Niech a ∈ L r K. Wtedy a 6∈ L

G

, więc σ(a) 6= a dla pewnego σ ∈ G.

(1) ⇒ (3). Przypuśćmy, że K L

G

. Niech a ∈ L

G

r K. Wtedy a ∈ L r K oraz σ(a) = a dla

wszystkich σ ∈ G. Jest to sprzeczne z (1).

(3) ⇒ (2) oczywiste.
(2) ⇒ (3). H ⊆ G, więc K = L

H

⊇ L

G

⊇ K, czyli L

G

= K.

Z powyższego stwierdzenia wynika, że jeśli rozszerzenie K ⊆ L jest d-normalne, to K jest ciałem

stacjonarnym. Stąd wynika również, że każde rozszerzenie d-normalne jest rozszerzeniem normalnym w
zwykłym (nieróżniczkowym) sensie. W charakterystyce zerowej są więc to zawsze rozszerzenia Galois.

Twierdzenie 3.7.4 ([3], [1] 36).

Niech (K, d) będzie różniczkowym ciałem charakterystyki zero ta-

kim, że ciało stałych K

d

jest algebraicznie domknięte. Wtedy każde PV-rozszerzenie ciała K jest

d-normalne

Załóżmy, że K ⊆ L jest PV-rozszerzeniem. Wiemy (Twierdzenie 3.7.1), że wtedy różniczkowa

grupa Galois Gd

K

(L) jest algebraiczną grupą macierzową. Mamy wtedy dwa następujące zbiory.

K

=

zbiór wszystkich ciał różniczkowych M takich, że K ⊆ M ⊆ L,

G

0

=

zbiór wszystkich algebraicznych podgrup grupy Gd

K

(L).

Są to zbiory częściowo uporządkowane ze względu na inkluzję ⊆.

Twierdzenie 3.7.5 ([3], [1] 38).

Niech (K, d) będzie różniczkowym ciałem charakterystyki zero ta-

kim, że ciało stałych K

d

jest algebraicznie domknięte. Załóżmy, że różniczkowe ciało (L, d) jest PV-

rozszerzeniem ciała (K, d). Istnieje wówczas wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy ciałami
różniczkowymi należącymi do K, a podgrupami należącymi do G

0

. Przy tej odpowiedniości podgrupom

normalnym odpowiadają rozszerzenia d-normalne ciała K.

3.8

Dwa specjalne przypadki

Zakładamy ,że (K, d) jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero. Niech b będzie elementem

pewnego różniczkowego ciała zawierającego ciało K. Załóżmy, że

b 6∈ K,

d(b) = a ∈ K,

d(u) 6= a,

dla u ∈ K.

Stwierdzenie 3.8.1 ([1] 23, D

1

154).

(1) Element b jest przestępny nad K.
(2) Ciało Khbi jest ciałem K(b), funkcji wymiernych jednej zmiennej.
(3) Khbi

d

= K

d

.

(4) Elementy 1, b są zerami różniczkowego wielomianu F (y) ∈ K{y}, gdzie

F (y) = y

(2)

−

d(a)

a

y

(1)

.

(5) Rozszerzenie K ⊂ Khbi jest PV-rozszerzeniem równania F (y) = 0.
(6) Różniczkowa grupa Galois Gd

K

(Khbi) jest addytywną grupą ciała K

d

.

3. Różniczkowa teoria Galois

13

Dowód. (1). Przypuśćmy, że element b jest algebraiczny nad K. Wtedy

b

n

+ u

1

b

n−1

+ · · · + u

n

= 0,

dla pewnych u

1

, . . . , u

n

∈ K. Załóżmy, że n jest minimalne. Działając derywacją d otrzymujemy

nb

n−1

a + d(u

1

)b

n−1

+ (n − 1)u

1

b

n−2

a + · · · = 0.

Ponieważ n jest minimalne, więc na + d(u

1

) = 0, czyli a = d(−n

−1

u

1

) wbrew temu, że a nie jest

postaci d(u), dla u ∈ K.

(2). Z (1) wiemy, że K(b) jest ciałem funkcji wymiernych zmiennej b nad K. Ciało K(b) jest

oczywiście zawarte w Khbi. Każdy element z Khbi jest postaci G(b)/H(b), gdzie G(y), H(y) ∈ K{y}.
Ponieważ d(b) ∈ K więc G(b), H(b) ∈ K[b], a zatem G(b)/H(b) ∈ K(b).

(3). Najpierw pokażemy, że K[b]

d

= K

d

. Niech u

n

b

n

+· · ·+U

1

b

1

+u

0

∈ K[b]

d

, gdzie u

n

, . . . , u

0

∈ K

i u

n

6= 0. Przypuśćmy, że n > 1. Wtedy

0 = d(u

n

b

n

+ · · · + u

0

) = d(u

n

)b

n

+ nu

n

ab

n−1

+ d(u

n−1

)b

n−1

+ · · · ,

a zatem d(u

n

) = 0 oraz nu

n

a + d(u

n−1

) = 0. Stąd wynika, że

a = d(−

u

n−1

nu

n

),

wbrew temu, że element a nie jest postaci d(u), u ∈ K. Zatem n = 0, czyli K[B]

d

= K

d

.

Niech teraz w ∈ Khbi = K(b) będzie dowolnym elementem ciała Khbi

d

. Niech w = f /g, gdzie

f, g ∈ K[b]. Możemy założyć, że wielomian g jest unormowany i jego stopień jest minimalny. Jeśli
deg g = 0, to w ∈ K[b]

d

= K. Przypuśćmy, że deg g > 0. Ponieważ d(w) = 0 więc w = f /g =

d(f )/d(g). Mamy zatem sprzeczność z minimalnością stopnia (bowiem deg d(g) < deg g.

(4). F (1) = d

2

(1) −

d(a)

a

d(1) = 0, F (b) = d

2

(b) −

d(a)

a

d(b) = d(a) −

d(a)

a

a = 0.

(5) Khbi = Kh1, bi. Elementy 1, b są liniowo niezależnymi nad K

d

zerami równania F (y) = 0 oraz

(na mocy (2)) Khbi

d

= K

d

.

(6). Niech σ ∈ Gd

K

(Khbi). Wtedy d(σ(b)) = a. Istotnie,

d(σ(b)) = σ(d(b)) = σ(a) = a.

Zatem d(σ(b)−b) = a−a = 0, czyli σ(b) = b+c, dla pewnego c ∈ Khbi

d

= K

d

. Zachodzi też oczywiście

odwrotnie; jeśli c ∈ K

d

, to istnieje dokładnie jeden różniczkowy automorfizm σ ∈ Gd

K

(Khbi) taki,

że σ(b) = b + c. Stąd wynika, że grupa Gd

K

(Khbi) jest izomorficzna z grupą wszystkich liniowych

K

d

-automorfizmów σ K

d

-przestrzeni liniowej K

d

· 1 + K

d

· b takich, że σ(b) = b + c, σ(1) = 1, czyli

automorfizmów liniowych o macierzy

1

c

0

1

,

c ∈ K

d

.

Zatem Gd

K

(Khbi) ≈ (K

d

, +).

Ciało postaci Khbi, gdzie b jest takim elementem jak powyżej, nazywamy rozszerzeniem całkowym

ciała K.

Zajmiemy się teraz drugim przykładem PV-rozszerzenia. Niech w będzie elementem pewnego róż-

niczkowego ciała L zawierającego K. Załóżmy, że

d(w) = aw,

dla pewnego a ∈ K.

Wówczas ciało Khwi pokrywa się z ciałem K(w) (najmniejszym podciałem w L zawierającym K oraz
w).

Jeśli element w jest taki jak powyżej i Khwi

d

= K

d

, to ciało Khwi nazywamy wykładniczym

rozszerzeniem ciała K.

3. Różniczkowa teoria Galois

14

Stwierdzenie 3.8.2. Wykładnicze rozszerzenie jest PV-rozszerzeniem (ciała K).

Dowód. Wynika to z definicji PV-rozszerzenia. Oczywiście F (w) = 0, gdzie F = y

(1)

− ay.

Założenie Khwi

d

= K

d

jest tutaj istotne i może w ogólnym przypadku nie zachodzić.

Przykład 3.8.3.

Niech K = k(x) będzie ciałem funkcji wymiernych jednej zmiennej x nad ciałem

k charakterystyki zero. Niech d : K −→ K będzie k-derywacją taką, że d(x) = x. Mamy wtedy
różniczkowe ciało (K, d) i K

d

= k. Niech L = k(x, y) będzie ciałem funkcji wymiernych dwóch

zmiennych. Rozszerzamy derywację d do k-derywacji ciała L przyjmując d(y) = y. Wtedy Khyi =
k(x, y), d(y) = 1y oraz Khyi

d

6= K

d

= k, gdyż x/y ∈ Khyi

d

r k. Rozszerzenie Khyi nie jest więc

PV-rozszerzeniem ciała K.

Stwierdzenie 3.8.4 ([1] 23, D

1

154). Jeśli Khwi jest rozszerzeniem wykładniczym ciała K, to róż-

niczkowa grupa Galois Gd

K

(Khwi) jest izomorficzna z podgrupą multyplikatywnej grupy ciała K

d

.

Dowód. Niech, tak jak poprzednio, d(w) = aw, gdzie a ∈ K. Wiemy, że Khwi = K(w). Niech σ ∈

Gd

K

(K(w)). Wtedy d(σ(w)) = σ(d(w)) = σ(aw) = aσ(w). Zatem d(σ(w)/w)) = 0, czyli σ(w)/w ∈

K(w)

d

= K

d

. Stąd wynika, że σ(w) = cw, dla pewnego niezerowego c ∈ K

d

.

Można łatwo wykazać (D

1

160), że jeśli (Khwi) jest rozszerzeniem wykładniczym i w jest elemen-

tem algebraicznym nad K, to grupa Gd

K

(Khwi) jest skończona. Jeśli natomiast w jest elementem

przestępnym nad K, to Gd

K

(Khwi) ≈ K

d

r {0} .

3.9

Rozszerzenia Liouville’a

Mówimy, że rozszerzenie ciał różniczkowych K ⊆ L jest Liouville’a jeśli L

d

= K

d

oraz istnieje

skończony ciąg różniczkowych ciał pośrednich

K = K

0

⊆ K

1

⊆ K

2

⊆ · · · ⊆ K

n

= L

takich, że każde rozszerzenie K

i

⊆ K

i+1

jest całkowe lub wykładnicze.

Stwierdzenie 3.9.1 ([1] 24).

Jeśli K ⊆ L jest rozszerzeniem Liouville’a, to różniczkowa grupa

Galois Gd

K

(L) jest rozwiązalna.

Istnieją również uogólnione rozszerzenia Liouville’a. Różniczkowa grupa Galois takich uogólnionych

rozszerzeń jest algebraiczna i jej składowa jedności jest grupą rozwiązalną.

Teoria PV-rozszerzeń została uogólniona przez Kolchina na klasę różniczkowych rozszerzeń silnie-

normalnych. Różniczkowa grupa Galois dla taich rozszerzeń jest również algebraiczna. Istnieje tutaj
wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy różniczkowymi ciałami pośrednimi, a podgrupami
różniczkowej grupy Galois.

Literatura

15

Literatura

[1] I. Kaplansky, An Introduction to Differential Algebra, Hermann, Paris, 1976.

[2] W. F. Keigher, Adjunctions and comonads in differential algebra, Pac. J. Math., 59(1975).

[3] E. R. Kolchin, Algebraic matric groups and the Picard-Vessiot theory of homogeneous linear ordi-

nary differential equations, Bull. Amer. Math. Soc., 54(1948), 1-42.

[4] E. R. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, Academic Press, New York, London,

1973.

[5] Matematyczna Encyklopedia, Tomy 1 - 5, Moskwa, 1977 - 1985.

[6] A. V. Mikhalev, E. V. Pankrat’ev, Differential and difference algebra, Itogi Nauki, 1987, 67–139.

[7] A. Nowicki, Differential ideals and rings, Ph. D. thesis (Polish), Toruń UMK, 1978.

[8] A. Nowicki, Wybrane zagadnienia algebry, Preprint 1995.