Politechnika Świętokrzyska
Wydział Mechatroniki i Budowy Maszyn
Centrum Laserowych Technologii Metali PŚk i PAN
Zakład Informatyki i Robotyki
Przedmiot: Podstawy Automatyzacji – laboratorium, rok III, sem. II


Ćwiczenie nr 1

Modelowanie i badanie podstawowych elementów liniowych automatyki – symulacja

komputerowa

1. Własności układów automatyki

Opis cech i własności układów lub elementów automatyki przeprowadza się na

podstawie modelu układu. Zazwyczaj jest to model matematyczny w postaci równania

algebraicznego dla układu statycznego lub równania różniczkowego dla układu

dynamicznego. Model ten w uproszczony sposób przedstawia układ rzeczywisty i najczęściej

jest zależnością pomiędzy wyjściem a wejściem elementu. Na podstawie uzyskanego modelu

matematycznego możemy wyznaczyć charakterystyki (statyczną i dynamiczną układu)

w postaci graficznej.

Stan ustalony występuje wtedy, gdy zarówno wielkość

wejściowa x , jak i wyjściowa

y osiągnęły już

określoną

wartość

i nie ulegają

zmianie w czasie x

=

const , y

=

const.

W stanie ustalonym określa się właściwości statyczne układu.

Charakterystyka statyczna wyznaczana jest w stanie ustalonym i opisuje zależność

pomiędzy sygnałem wejściowym x a sygnałem wyjściowym y. Wyznacza się ja na dwa

sposoby:

a)

analitycznie – model układu w postaci zależności matematycznej przedstawia się

graficznie,

b)

doświadczalnie – na wejście rzeczywistego układu podaje się sygnał o ustalonej,

niezmiennej wartości x

1

i przy takim wymuszeniu dokonuje się pomiaru sygnału

wyjściowego y

1

; opisaną powyżej operacje powtarza się dla innych wartości

sygnałów, otrzymując pary liczb (x,y), które zaznacza się na wykresie a następnie

aproksymuje.

Porównując wykresy otrzymane za pomocą tych dwóch metod, można sprawdzić

poprawność zastosowanego w metodzie analitycznej modelu matematycznego. Im lepszy

model matematyczny tym mniej różnią się te charakterystyki. W układzie statycznym

ustalona wielkość wyjściowa zależy tylko od bieżącej wartości wejściowej.

Właściwości dynamiczne elementu lub układu automatyki, określa się:

a)

Analitycznie na podstawie równań różniczkowych, ich rozwiązania i interpretacji

geometrycznej. Najczęściej stosowana formą zapisu jest tzw. transmitancja

operatorowa (1).

)

(

)

(

)

(

s

X

s

Y

s

G

=

,

(1)

gdzie:

Y(s) – postać operatorowa sygnału wejściowego (w postaci zmiennej zespolonej) y(t),

X(s) – postać operatorowa sygnału wejściowego (w postaci zmiennej zespolonej) x(t).

b)

Doświadczalnie poprzez podawanie zmiennej wartość sygnału wejściowego x(t)

i odczytanie sygnału wyjściowego y(t)

.

Charakterystyka dynamiczna powstaje poprzez rejestrację odpowiedzi układu lub

elementu automatyki na wymuszenie standardowe. Wymuszeniem nazywamy sygnał

wejściowy. Zbiór najważniejszych charakterystyk wymuszeń standardowych oraz równania je

opisujące przedstawiono na rys. 1.1.

Charakterystyka dynamiczna przedstawia jak zmienia się sygnał wyjściowy y(t), na

zmienny w czasie sygnał wymuszenia x(t). Zarówno gdy, x(t) jak i y(t) przed podaniem

wymuszenia znajdują się w stanie ustalonym, a układ jest stabilny, czyli po upływie

odpowiednio długiego czasu t, na wyjściu tego układu pojawia się wartość skończona, to po

podaniu dowolnego wymuszenia układ po dłuższym lub krótszym czasie znajdzie się w stanie

ustalonym. Charakterystyka dynamiczna często nazywana jest funkcją przejścia pomiędzy

dwoma stanami ustalonymi. Model matematyczny układu dynamicznego jest znacznie

bardziej skomplikowany (złożony) od modelu statycznego. W układzie dynamicznym

w odróżnieniu od układu statycznego, wartość wielkości sygnału wyjściowego zależy nie

tylko od bieżącej wartości sygnału wejściowego, ale również od stanu układu w chwili

poprzedzającej podanie sygnału wejściowego.

Rys. 1.1. Typowe wymuszenia w układach automatyki

Odpowiedzią skokową h(t) układu jednowymiarowego, liniowego nazywamy sygnał

otrzymany na jego wyjściu po podaniu na wejście wymuszenia skokowego, przy zerowych

warunkach początkowych. Jeżeli przyjmiemy, że wartość amplitudy sygnału wymuszającego

wyniesie 1, to sygnał skokowy możemy nazwać skokiem jednostkowym. Odpowiedź

skokowa jest najczęściej stosowana w celu określenia właściwości dynamicznych układów

automatyki. Charakterystykę odpowiedzi skokowej wyznacza się:

a)

Doświadczalnie – wyznacza się ja jak typową charakterystykę dynamiczną, poprzez

podanie na wejście układu wartości 1(t) a następnie rejestruje się zmiany sygnału

wyjściowego.

b)

Analitycznie – gdy model układu jest zależnością matematyczną w formie równania

różniczkowego, to odpowiedz skokową wyznacza się korzystając z przekształcenia

Laplace’a. Aby otrzymać postać operatorową odpowiedzi skokowej H(s), należy

pomnożyć transmitancję operatorową układu G(s) poprzez transformatę skoku

jednostkowego 1(s):

)

(

1

)

(

)

(

s

s

G

s

H

⋅

=

(2)

Kształt uzyskanej charakterystyki lub równania opisujące układ rzeczywisty decydują

o podziale elementów układów lub modeli na liniowe i nieliniowe.

2. Podstawowe człony automatyki i ich własności

Elementy lub układy występujące w modelu matematycznym nazywamy członami

układu sterowania. Pojecie to jest bardzo szerokie ponieważ, członem nazwiemy zarówno:

kondensator, zawór, wzmacniacz itp.

Elementy automatyki możemy podzielić ze względu na: budowę, zastosowanie itp.

W dalszej części człony automatyki zostaną sklasyfikowane ze względu na ich właściwości

dynamiczne. Wyróżniamy:

•

człon proporcjonalny,

•

człon inercyjny I rzędu (oraz wyższych rzędów),

•

człon całkujący,

•

człon różniczkujący,

•

człon oscylacyjny,

•

człon opóźniający.

We wszystkich opisanych poniżej właściwościach członów automatyki założono zerowe

warunki początkowe.

2.1. Człon proporcjonalny

W elemencie proporcjonalnym, sygnał wyjściowy y(t) jest w każdej chwili

t proporcjonalny do sygnału wejściowego x(t). Czyli:

)

(

)

(

t

x

k

t

y

⋅

=

.

(3)

Stała k, która występuje we (3) jest nazywana współczynnikiem wzmocnienia lub

współczynnikiem proporcjonalności. Transmitancja operatorowa członu bezinercyjnego ma

postać:

k

s

G

=

)

(

.

(4)

Charakterystykę czasową będącą odpowiedzią na wymuszenie skokowe przedstawia rys. 2.1.

Rys. 2.1. Odpowiedź na skok jednostkowy członu proporcjonalnego

Przykłady członów proporcjonalnych: dynamometr, sprężyna, idealny wzmacniacz,

prądnica tachometryczna, dźwignia dwustronna, układ wspomagających kół zębatych,

rezystorowy dzielnik napięcia itp.

2.2. Człon inercyjny I rzędu

W elemencie inercyjnym I rzędu zależność pomiędzy wejściem x(t) i wyjściem y(t)

opisana jest równaniem różniczkowym:

)

(

)

(

)

(

t

kx

t

y

dt

t

dy

T

=

+

⋅

,

(5)

gdzie:

T – stała czasowa, czyli przedział czasu, jaki upływa od zaistnienia wymuszenia skokowego

na wejściu elementu do chwili, w której sygnał wyjściowy osiąga 0.632 jego wartości

ustalonej;

k – współczynnik wzmocnienia.

Przyjmuje się, że przebieg wyjściowy ustala się po 3 do 5 stałych czasowych, wynika

to z faktu, że czas potrzebny od osiągnięcia 0 - 50% stanu ustalonego jest taki sam jak czas

przejścia od 50 - 75% i 75-87,5% itd. Transmitancja operatorowa członu z bezwładnością

(inercją) (6) oraz wykres charakterystyki (patrz rys. 2.2) pokazano poniżej.

Transmitancja operatorowa członu inercyjnego I rzedu:

sT

k

s

G

+

=

1

)

(

.

(6)

Rys. 2.2. Odpowiedz skokowa członu inercyjnego I rzędu

Przykłady członów inercyjnych: układy elektroniczne RC i RL, wirujące maszyny

elektryczne, zbiornik z dopływem i odpływem cieczy, układy grzejne itp.

2.3. Człon całkujący idealny

W członie całkującym idealnym sygnał wyjściowy y(t) jest proporcjonalny do całki

sygnału wejściowego x(t):

∫

=

t

dt

t

x

k

t

y

0

)

(

)

(

,

(7)

gdzie:

k – współczynnik wzmocnienia.

Transmitancja operatorowa członu całkującego idealnego jest równa:

s

k

s

G

1

)

(

⋅

=

.

(8)

Rys. 2.3. Odpowiedz na skok jednostkowy członu całkującego idealnego

Przykłady idealnych członów całkujących: idealny kondensator, idealna cewka,

wzmacniacz suwakowy (bez uwzględniania oporów ruchu), zbiornik z dopływem cieczy,

przekładnie mechaniczne (bez uwzględniania oporów).

2.4. Człon całkujący z inercją (rzeczywisty)

Człon całkujący z inercją różni się od członu całkującego idealnego tym, że opis

elementu uwzględnia bezwładność. Człon całkujący z inercją opisuje równanie:

∫

=

+

⋅

t

dt

t

x

k

t

y

dt

t

dy

T

0

)

(

)

(

)

(

,

(9)

gdzie:

T – stała czasowa, która charakteryzuje bezwładność procesów zachodzących

w rzeczywistym członie całkującym,

k – współczynnik wzmocnienia.

Transmitancja operatorowa członu całkującego rzeczywistego (10) oraz wykres

charakterystyki (patrz rys. 2.4) pokazano poniżej.

Transmitancja operatorowa członu całkującego rzeczywistego:

)

1

(

)

(

sT

s

k

s

G

+

=

.

(10)

Rys. 2.4. Odpowiedź skokowa członu całkującego rzeczywistego

Przykłady członów całkujących rzeczywistych; układy elektryczne rezystorów,

kondensatorów i cewek, silnik obcowzbudny prądu stałego, siłownik pneumatyczny, siłownik

hydrauliczny, przekładnie zębate ( z uwzględnieniem oporów ruchu).

2.5. Człon różniczkujący idealny

W członie różniczkującym idealnym sygnał wyjściowy y(t) jest proporcjonalny do

pochodnej sygnału wejściowego x(t) względem czasu:

dt

t

dx

k

t

y

)

(

)

(

⋅

=

,

(11)

gdzie:

k – współczynnik wzmocnienia.

Jest to więc taki człon, w którym sygnał wejściowy zależy od szybkości zmian

sygnału wejściowego – wynika to bezpośrednio z właściwości pochodnej funkcji. Wzór

transmitancji operatorowej członu różniczkowego przedstawiono poniżej (12):

s

k

s

G

⋅

=

)

(

.

(12)

Należy zwrócić uwagę, że człon różniczkujący idealny, jego odpowiedz skokowa

przedstawiona jest na rys. 2.5, nie występuje w rzeczywistości jako pojedynczy element. W

praktyce istnieje tylko człon rzeczywisty.

Rys. 2.5. Odpowiedz na skok jednostkowy członu różniczkującego idealnego

Przykłady członów różniczkujących idealnych: idealny kondensator i cewka, idealna

sprężyna, prądnica tachometryczna bezstratna, idealny tłumik olejowy czy gazowy.

2.6. Człon różniczkujący rzeczywisty

Człon różniczkujący rzeczywisty posiada w odróżnieniu do członu idealnego

dodatkowo inercję (bezwładność) i jest opisany formułą (13):

dt

t

dx

k

t

y

dt

t

dy

T

)

(

)

(

)

(

⋅

=

+

⋅

,

(13)

gdzie:

T – stała czasowa,

k – współczynnik wzmocnienia.

Postać operatorowa członu różniczkującego rzeczywistego ma postać (14). Jego

odpowiedź na skok jednostkowy przedstawiona jest na rys. 2.6.

T

s

s

k

s

G

⋅

+

⋅

=

1

)

(

(14)

Rys. 2.6. Odpowiedź skokowa członu różniczkującego rzeczywistego

Przykłady członów różniczkujących rzeczywistych: układy elektryczne RLC,

sprężyna, prądnice i silniki, transformatory, tłumik olejowy czy gazowo-olejowy.

2.7. Człon oscylacyjny

W członie oscylacyjnym zależność pomiędzy wejściem x oraz wyjściem y dana jest

liniowym równaniem różniczkowym drugiego rzędu :

)

(

)

(

)

(

2

)

(

2

2

2

t

x

k

t

y

dt

t

dy

T

dt

t

y

d

T

⋅

=

+

⋅

⋅

⋅

+

⋅

ξ

,

(15)

gdzie:

T – stała czasowa,

ξ – współczynnik tłumienia,

k – współczynnik wzmocnienia.

Transmitancja operatorowa członu oscylacyjnego dana jest równaniem:

1

2

)

(

2

2

+

⋅

⋅

⋅

+

⋅

=

s

T

s

T

s

G

ξ

.

(16)

Oscylacje występują najczęściej w układach, w których zachodzi przemiana energii

jednego rodzaju w drugi (kondensator – cewka, masa drgająca na sprężynie). W członie tym

przy wymuszeniu jednostkowym bardzo ważny jest współczynnik tłumienia, który może

określić czy układ jest: stabilny, na granicy stabilności, czy niestabilny (patrz rys. 2.7).

Rys. 2.7. Odpowiedzi na skok jednostkowy członu oscylacyjnego

Przykłady członów oscylacyjnych: układy elektryczne RLC, silniki prądu stałego,

masa na sprężynie, silnik tłokowy, ciało poruszające się po okręgu.

2.8. Człon opóźniający

Człon opóźniający ze względu posiadania opóźnienia ma charakterystykę czasową

silnie nieliniową. Równanie członu opóźniającego jest następujące:

)

(

)

(

0

t

t

x

k

t

y

−

⋅

=

,

(17)

gdzie:

k – współczynnik wzmocnienia,

t

0

– opóźnienie.

Odpowiedź skokowa członu opóźniającego przedstawiono na rys. 2.8, wyraźnie

widać, że po upływie pewnego czasu t

0

sygnał wejściowy pojawia się na wyjściu elementu.

Rys. 2.8. Odpowiedź skokowa członu opóźniającego

Przykłady członów opóźniających: linia długa, rurociąg, taśmociąg, procesy

produkcyjne, ekonomiczne.

3. Narzędzie MatLab

Przy jego pomocy istnieje możliwość analizy numerycznej systemów liniowych i

nieliniowych, a także kreślenia dowolnych charakterystyk.

3.1. Posługiwanie się MatLabem

System ten jest interpretatorem wprowadzanego tekstu będącego komendami.

Przykład 1.

<kalkulator>

Przykład 2.

<kreśl funkcję>

» a=3;b=4;c=9;

» 2*a+b^2*sqrt(c)

ans =

54

» t=(0:0.1:6*pi);
» hold on
» plot(t,sin(t));
» plot(t,cos(t),'r');
» grid;
» title('wykres funkcji cos(t) i sin(t)');
» xlabel('czas');
» ylabel('cos(t) i sin(t)');
» holdoff

Znak:

(;)

– nie wyświetlaj wyniku danego wyrażenia,

(^)

– podnieś do potęgi,

(sqrt(x)) – pierwiastek kwadratowy z x.

Poniżej (przykład 3,4) pokazano odpowiedzi układu opisanego transmitancją

operatorową na wymuszenia odpowiednio jednostkowe i impulsowe.

Przykład 3.

<odpowiedź skokowa>

Przykład 4.

<odpowiedź impulsowa>

» n=[1];

» d=[1 0.1 1];

» s=tf(n,d)

Transfer function:

1

---------------

s^2 + 0.1 s + 1

» t=0:0.1:10;

» step(s)

» s=tf([1],[1,0.1,1])

Transfer function:

1

---------------

s^2 + 0.1 s + 1

» t=0:0.1:10;

» impulse(s)

»ltiview({'impulse'},s)

6. Reguły przekształcania schematów blokowych

Poniżej (rys. 6.1) przedstawiono sposoby zamiany schematów wieloblokowych na

równoważne jednoblokowe.

Rys. 6.1. Sposoby przekształcania schematów blokowych

Do obliczania transmitancji zastępczej w programie MatLab służą funkcje:

•

series(G1,G2) – połączenie szeregowe,

•

paralel(G1,G2) – połączenie równoległe,

•

feedback(G1,G2) – ujemne sprzężenie zwrotne (G2 w torze sprzężenia).

7. Przebieg ćwiczenia

a)

Dla wybranych 2 różnych układów o znanej transmitancji proszę:

- wykreślić odpowiedzi na skok jednostkowy jak w przykładzie 5 (pełen tok obliczeń

zamieścić w sprawozdaniu).

Przykład 5

Układ jest opisany transmitancją operatorową

1

4

3

1

)

(

2

+

+

=

s

s

s

G

.

(18)

Wykreślić charakterystykę skokową.

Transformata sygnału wyjściowego Y(s) dana będzie wyrażeniem

s

C

s

B

s

A

s

s

s

s

X

s

G

s

Y

+

+

+

+

=

⋅

+

+

=

⋅

=

1

1

3

1

1

4

3

1

)

(

)

(

)

(

2

.

(19)

Korzystając z przekształceń matematycznych i odwrotnej transformaty

Laplace’a możemy odczytać oryginał funkcji (tablice matematyczne)

(

)

)

(

1

3

1

)

(

)

(

3

1

t

C

e

B

e

A

s

Y

L

t

y

t

t

⋅















+

⋅

+

⋅

⋅

=

=

−

−

,

(20)

gdzie:

A =

2

9

−

, B =

2

1

, C = 1.

Rys.7.1. Charakterystyka skokowa dla transmitancji (18) <kolor czerwony>

t

e

t

y

−

−

=

2

1

)

(

2

3

1

2

3

)

(

t

e

t

y

−

−

=

)

(t

y

)

(

1 t

- przeprowadzić przybliżona analizę wyników:

•

wartość początkowa

))

(

(

lim

0

t

y

t

+

→

•

wartość końcowa

))

(

(

lim

t

y

t

+∞

→

•

wartości charakterystyczne funkcji składowych y

1,

y

2,

itd.

b)

Dla czterech wybranych układów o znanej transmitancji operatorowej wyznaczyć w

MatLab charakterystyki skokowe i impulsowe (przykłady 3,4). W otrzymanych

przebiegach wskazać czas regulacji, czas narastania, wartość sygnału w stanie

ustalonym.

c)

Korzystając z funkcji MatLab’a podanego w punkcje 6 dokonaj obliczeń wybranego

przykładu (zbudowany z co najmniej 5 elementów G

x

różnie połączonych).

Zweryfikuj obliczenia analitycznie.