HYDROLOGIA,
METEOROLOGIA
I KLIMATOLOGIA
Cz. II  HYDROLOGIA
W 6  Wody podziemne 3
M. Nawalany
Prawo zachowania masy
Objętość kontrolna, stan ustalony:
~
qx
- składowa x strumienia masy wody
kg
�� ł�
M
~ s
q =�
ę� ś�
2
S
��m ��
gdzie:
M [kg/s]  wydatek (przepływ) masowy
S [m2]  pole powierzchni przez którą
przepływa wydatek M
Prawo zachowania masy  c.d.
~
q
Związek pomiędzy strumieniem masowym a strumieniem
objętościowym q :
~
q =� q ���
gdzie: r� [kg/m3]  gęstość cieczy.
Prawo ciągłości dla ośrodków porowatych ma postać:
ś�(�r�n)�
=� -�div(�~)�
q
ś�t
Z postaci tej widać, że woda może być gromadzona w ośrodku albo
wskutek zmiany gęstości, albo wskutek zmiany geometrii ośrodka, czyli
zmiany wartości n.
Przypadki prawa ciągłości
1. Przypadek ogólny:
ś�(�r�n)�
=� -�div(�~)�
q
ś�t
~
-� div(�q)�
Człon reprezentuje nadmiar masy wpływającej nad masą
wypływająca z elementarnej objętości w jednostce czasu.
2. Przypadek szczególny - płyn nieściśliwy (r� = const.), brak
zmian geometrii ośrodka (n =const.),
ś�(�r�n)�
~
=� 0 div(�q)�=� r� div(�q)�=� 0
stąd oraz
ś�t
ś�q
ś�q ś�q
y
x z
+� +� =� 0
div(�q)�=� 0
czyli:
ś�x ś�y ś�z
Prawo Darcy
Eksperyment Darcy:
W doświadczeniu
zaobserwowano, że:
Q ~ A,
Q ~ D�H = H2  H1,
Q ~ 1/L
Wynika stąd, że:
Q D�H
q =� =� -�k
A D�L
Prawo Darcy  c.d.
Prawo Darcy w najprostszej postaci :
ś�F�
qx =� -�k
ś�x
ś�F�
qy =� -�k
ś�y
ś�F�
qz =� -�k
ś�z
Równanie przepływu wód podziemnych
Po wstawieniu prawa Darcy do prawa ciągłości otrzymuje się
trójwymiarowe równanie przepływu dla wód podziemnych:
ć� ��
ś�F� ś� ś�F� ś� ś�F� ś� ś�F�
ć� �� ć� ��
S =� k +� �� k �� +� k
�� �� �� ��
S
�� ��
ś�t ś�x ś�x ś�y ś�y ś�z ś�z
Ł� ł� Ł� ł�
Ł� ł�
Dwuwymiarowe przybliżenie płaskie przepływu wód podziemnych:
~ ~ ~
ć� �� ć� ��
ś�F� ś� ś�F� ś� ś�F�
��
S =�
z 1 z 2
��T ś�x �� +� ś�y �� ś�y �� +� q (z ) -� q (z )
�� ��T ��
ś�t ś�x
Ł� ł� Ł� ł�
gdzie:
S [-]  współczynnik wodopojemności sprężystej: S = SS l,
Ti [m2/s]  współczynnik przewodności hydraulicznej: Ti = ki l
z2
1
~
F�(�x, y,t)�=�
��F�(�x, y, z,t)�dz wysokość hydrauliczna uśredniona po
l miąższości warstwy wodonośnej
z1
Przykład  dopływ do rowu
Dla przepływu ze swobodnym zwierciadłem T = k H. Ustalony przepływ swobodny
jednowymiarowy w jednorodnej warstwie wodonośnej przy braku zasilania
infiltracyjnego oraz podsiąku opisany jest prostym równaniem Laplace a.
2
ś� H2 (x)
=� 0
2
ś�x
Przykład  dopływ do rowu  c.d.
2
H (x) =� Bx +� C
Rozwiązanie ogólne ma postać:
Dla rozpatrywanego równania i warunków brzegowych H(0) = H1 , H(L)
= H2 - parametry B oraz C wynoszą odpowiednio:
2 2
H2 -� H1
2
C =� H1
B =� ,
2
L
H2 -� H12
2
Stąd rozwiązanie szczególne: H (x) =� x +� H12
L
Rozwiązanie to nazywa się PARABOL
DUPUITA.
Dopływ do rowu wyznaczony z paraboli Dupuita wynosi:
2
ś�H (x) 1 ś�H (x)
~
Qx =� -�DkH (x) =� -� Dk
ś�x 2 ś�x
2
ć� ��
kD H12 -� H2 ��
~
Qx =� ��
�� ��
2 L
Ł� ł�
Równanie transportu masy w strumieniu wód podziemnych
Mechanizmy transportu masy wyrażone jako strumienie masy (kg/m2/s):
1. Transport adwekcyjny
Jadw =� VC
2. Transport dyfuzyjny
ś�C ś�C ś�C
x y z
Jdyf =� -�Ddyf Jdyf =� -�Ddyf Jdyf =� -�Ddyf
ś�x ś�y ś�z
3. Transport dyspersyjny
ś�C
x
ś�C
ś�C
y
z
Jdysp =� -�Dxx,dysp
Jdysp =� -�Dyy,dysp
J =� -�Dzz,dsp
zz,dysp
ś�x
ś�y
ś�z
Po podstawieniu sumy trzech strumieni do prawa zachowania masy:
równanie transportu masy w wodach podziemnych.
ć� ��
ś�C ś� ś�C ś� ś�C ś� ś�C ś� ś� ś�
ć� ć�
��
=� Dxx �� +� �� Dyy �� +� Dzz �� -� VxC -� VyC -� VzC +� r
�� �� �� ��
��
ś�t ś�x ś�x ś�y ś�y ś�z ś�z ś�x ś�y ś�z
Ł� ł� Ł� ł�
Ł� ł�
Przykład  dopływ zanieczyszczeń do studni
Dana jest studnia zupełna ujmująca wodę w obszarze rolniczym z warstwy
wodonośnej o zwierciadle napiętym. Warstwa wodonośna jest jednorodna i
izotropowa. Zasilanie pochodzi z wód opadowych. Wody te infiltrując wymywają z
powierzchni pestycydy używane do ochrony roślin. W warstwie wodonośnej
C(t) =� C0 exp(�-�l�t)�
pestycydy ulegają biodegradacji zgodnie z prawem rozpadu:
ln 2
l� =�
Czyli: gdzie: - okres połowicznego rozpadu.
T0.5
T0.5
Dane są: H, n, k, T0.5, Q0, c0.
Poszukuje się stężenia wody
pobieranej przez studnię przy
założeniu, że jedynym
mechanizmem transportu masy
pestycydu jest adwekcja.
Stężenie pestycydu w wodzie
pobieranej w studni wynosi:
M 1
cw =� =� c0
[kg/m3]
l�Hn
Q0
+�1
N