Egzamin poprawkowy z Rachunku Prawdopodobieństwa II, 28 II 2005
(część pierwsza)
1. Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych (a, b), dla których funkcja
Õ(t) = a cos t + b sin t + ab jest funkcjÄ… charakterystycznÄ… pewnej rzeczy-
wistej zmiennej losowej. (15 p.)
2. Niech E = {1, 2, 3, 4}. Zmienne losowe X i Y o wartościach w zbiorze E
mają tę własność, że ciąg X, Y, X, Y, X, Y, X, Y, . . . jest łańcuchem Markowa
na przestrzeni stanów E. Czy wynika stąd, że istnieją x, y " E takie, iż
P (X = x) = 1 i P (Y = y) = 1? (20 p.)
3. Rzeczywiste zmienne losowe G, X1, X2, X3, . . . są niezależne i G ma rozkład
N (0, 1). Niech Zn = Xn + G dla n = 1, 2, . . . Udowodnić, że jeśli ciąg
Zn zbiega według rozkładu do pewnej rzeczywistej zmiennej losowej przy
n ", to ciąg Xn także zbiega według rozkładu do pewnej rzeczywistej
zmiennej losowej, gdy n ". (15 p.)
WSZYSTKIE ODPOWIEDZI NALEŻY UZASADNIĆ!
Egzamin poprawkowy z Rachunku Prawdopodobieństwa II, 28 II 2005
(część druga)
1. Podać dokładne sformułowanie Centralnego Twierdzenia Granicznego
w wersji Lindeberga. (10 p.)
2
2. Martyngał (Xn, Fn)" ma tę własność, że także ciąg (Xn, Fn)" jest
n=0 n=0
martyngałem. Udowodnić, że P (Xn+1 = Xn) = 1 dla n = 0, 1, 2, .. (25
p.)
3. Ciąg (Xn)" , zbieżny według rozkładu do pewnej rzeczywistej zmien-
n=0
nej losowej Y przy n ", jest jednorodnym łańcuchem Markowa na
przestrzeni stanów E = {1, 2, 3}. Ma on symetryczną macierz przejścia
A = (ai,j)1d"i,jd"3, w której a1,1 = a1,2 = a1,3 = a2,2 = a2,3 = a3,3.
Obliczyć P (Y = 2). (15 p.)
WSZYSTKIE ODPOWIEDZI NALEŻY UZASADNIĆ!