Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa II, 25 I 2005
cześć zadaniowa
¸
Prosze wybrać cztery z poniższych zadań i pisać rozwiązanie każdego z nich
¸
na osobnej kartce. Jeśli ktoś odda rozwiązania pieciu zadań, uwzglednione zostaną
¸ ¸
cztery najniższe oceny, wiec nie doradzam takiego postepowania.
¸ ¸
Za każde zadanie można otrzymać maksymalnie 15 punktów.
1. Rzeczywiste zmienne losowe X0, X1, X2, . . . określone są na przestrzeni
probabilistycznej (&!, F, I ) i tworzą łańcuch Markowa o wartościach w
P
dwuelementowej przestrzeni stanów {1, 2}. Określamy naturalną filtracje
¸
Fn = Ã(X0, X1, . . . , Xn) dla n = 0, 1, 2, . . . WiedzÄ…c, że ciÄ…g (Xn, Fn)"
n=0
jest martyngałem i że I (X0 = 1) = I (X0 = 2) = 1/2, prosze udowod-
P P ¸
nić, iż jest on jednorodny (w czasie) i wyznaczyć jego macierz przejścia.
2. Rzeczywista zmienna losowa Y ma funkcje charakterystycznÄ… zadanÄ… wzo-
¸
p
rem ÕY (t) = e-|t| , gdzie p " (0, 2]. Prosze wyznaczyć wszystkie wartoÅ›ci
¸
parametru p, dla których E|Y | < ".
3. Prosze podać pełny dowód faktu mówiącego, że jeśli rzeczywista zmienna
¸
losowa Z ma skończony absolutny n-ty moment dla pewnej liczby nat-
uralnej n, to jej funkcja charakterystyczna jest n-krotnie różniczkowalna.
Wolno korzystać z twierdzeń z wykładu analizy, pod warunkiem podania ich
precyzyjnego sformułowania.
4. Niezależne rzeczywiste zmienne losowe X1, X2, . . . mają jednakowy rozkład:
"k I (Xk = 1/2) = I (Xk = 2) = 1/2. Niech Yn = (X1 · X2 · . . . · Xn2)1.
P P
Prosze udowodnić, że istnieje zmienna losowa rzeczywista Y taka, iż ciąg
¸
Yn zbiega do Y według rozkładu przy n ". Prosze też obliczyć gestość
¸ ¸
tej zmiennej.
5. Mamy rozegrać co najmniej jedną, a co najwyżej dziesieć tur gry w trzy
¸
karty. W każdej turze możemy postawić dowolną nieujemną kwote nie
¸
wiekszą niż nasz aktualny stan posiadania. Jeśli wygrywamy, co dzieje sie
¸ ¸
z prawdopodobieństwem 1/3, dostajemy naszą stawke z powrotem i wygry-
¸
wamy drugie tyle. Jeśli przegramy, co dzieje sie z prawdopodobieństwem
¸
2/3, to postawione pieniądze tracimy. Wyniki poszczególnych tur (tzn. to,
czy je wygramy, czy przegramy) są niezależne. Zaczynamy z kapitałem 100
zł i chcemy zmaksymalizować prawdopodobieństwo tego, że zakończymy
gre z kapitałem nie mniejszym niż 200 zł. Jedna strategia gry jest szczegól-
¸
nie prosta: stawiamy całe 100 zł w pierwszej turze - z prawdopodobieńst-
wem 1/3 wygrywamy i na tym możemy zakończyć gre, bo mamy już wt-
¸
edy 200 zł, natomiast z prawdopodobieństwem 2/3 przegrywamy i na tym
gra sie kończy (bo nie mamy już za co grać). Udowodnić, że inna strate-
¸
gia nie da wiekszej szansy na zakończenie gry z 200 zł. Uwaga: strate-
¸
gia musi wyznaczać wielkość stawek w kolejnych turach bez uwzglednienia
¸
wyników tych tur gry, które jeszcze sie nie odbyły (nie umiemy przewidy-
¸
wać przyszłości)!
Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa II, 25 I 2005
cześć testowa
¸
IMIE I NAZWISKO: ......................................
¸
Prosze podawać same odpowiedzi, tylko one bedą oceniane.
¸ ¸
1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (&!, F, I ), gdzie &! = {1, 2, 3},
P
1
F = 2&!, I = (´1 + ´2 + ´3). Rozważamy w niej filtracje zadanÄ… przez
P ¸
3
F0 = {", {1, 3}, {2}, &!} i Fn = F dla n e" 1. Na &! dany jest moment stopu
Ä wzgledem filtracji (Fn)" taki, że Ä(1) = Ä(3) = 1, Ä(2) = 0. Prosze
¸ ¸
n=0
obliczyć moc Ã-ciaÅ‚a FÄ : . . .
2. Rzucamy milion razy symetrycznÄ… monetÄ…. KorzystajÄ…c z twierdzenia de
Moivre a-Laplace a, prosze podać przybliżoną wartość prawdopodobieństwa
¸
tego, że orłów wypadnie co najmniej o tysiąc wiecej niż reszek. Wynik
można wyrazić używając funkcji Ś (dystrybuanty rozkładu N (0, 1)).
Odpowiedz
: . . .
3. W potasowanej talii 52 kart jest 26 kart czarnych i 26 kart czerwonych.
W kolejnych turach gry losujemy z tej talii bez zwracania po jednej kar-
cie. Niech Xn oznacza liczbe czerwonych kart wyciÄ…gnietych do n-tej tury
¸ ¸
wÅ‚Ä…cznie, zaÅ› Fn = Ã(X1, X2, . . . , Xn) dla n = 1, 2, . . . , 52. Czy ciÄ…g
(Xn, Fn)52 jest
n=1
a) nadmartyngałem? (TAK / NIE) ...
b) martyngałem? (TAK / NIE) ...
c) podmartyngałem? (TAK / NIE) ...
4. Dany jest jednorodny łańcuch Markowa określony na przestrzeni stanów
{1, 2, 3}. Prawdopodobieństwa przejścia spełniają równości
p1,1 = p1,2 = p2,1 = p2,3 = p3,2 = p3,3 = 1/2.
a) Czy ten łańcuch Markowa jest nieprzywiedlny? (TAK / NIE) ...
b) Prosze obliczyć rozkład stacjonarny: ...
¸
5. Czy poniższe funkcje są funkcjami charakterystycznymi rzeczywistych
zmiennych losowych:
a) Õ(t) = cos(4t)? (TAK / NIE) ...
b) Õ(t) = | cos t|? (TAK / NIE) ...
c) Õ(t) = cos5 t (TAK / NIE) ...