RACHUNEK WYRÓWNAWCZY PROF DR HAB INŻ BOGDAN WOLSKI(2)

Bogdan Wolski

ateriały dydaktyczne opracowane dla potrzeb projektu

„Opracowanie i wdrożenie programu studiów inżynierskich geodezja

i kartografia w Społecznej Wyższej Szkole Przedsiębiorczości

i Zarządzania w Łodzi”

Społeczna Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Zarządzania

Łódź 2011

Spis treści

1. Algebra macierzy

1.1. Rodzaje macierzy, Operacje na macierzach ……………………………... 3
1.2. Rozkład macierzy na czynniki trójkątne i trapezowe ............................... 3
1.3. Odwrotność macierzy. Wyznaczanie macierzy odwrotnej za pomocą
kofaktorów ………………………………………………………………….…. 5
1.4. Rozwiązywanie układów równań liniowych ……………………………….. 6

2. Elementy teorii błędów. Przedziały ufności …………………… ……….… 10

3. Wyrównanie obserwacji bezpośrednich. Propagacja błędów

3.1. Wyrównanie obserwacji bezpośrednich……………………………….…... 15
3.2. Propagacja błędów ………………………………………………………….. 18
3.3. Optymalizacja programu obserwacji ………………………………………. 19

4. Metoda parametryczna. Wyrównanie sieci niwelacyjnej

4.1. Model zagadnienia wyrównawczego ……………...……………….……… 21

4.2. Metoda najmniejszych kwadratów. Układ równań normalnych ………… 22
4.3. Algorytm obliczeń ……………………………………………………………. 24
4.4. Przykład wyrównania sieci niwelacyjnej ………………….……………….. 25

5. Metoda parametryczna. Wyrównanie sieci liniowo-kątowej

5.1. Model zagadnienia wyrównawczego ………

…

….………………………… 29

5.2. Ocena dokładności ……………………………………………………..…… 32
5.3. Algorytm obliczeń ……………………………………………………………. 33
5.4. Przykład wyrównania sieci liniowo-kątowej ………

…

…….………………. 34

6. Metoda warunkowa

6.1. Model zagadnienia wyrównawczego …………………………………….. 41
6.2. Przykłady równań warunkowych ………………

…

………….…………… 41

6.3. Algorytm metody warunkowej ……………………………………..……… 43
6.4. Przykład wyrównania sieci niwelacyjnej …………………………………. 45

7. Metody mieszane ………………………………………………………………..

7.1. Metoda parametryczna z warunkami dla parametrów …………………. 49
7.2.Metoda uproszczona ……………......………………………

…

….………… 52

1. Algebra macierzy

1.1. Rodzaje macierzy. Operacje na macierzach

Macierz

A - tablica liczb o wymiarach n, m

...

Macierz transponowana

n,m

Macierz diagonalna

i,j

= 0 dla i

¹ j

Macierz symetryczna

i,j

= D

Macierz kwadratowa

n = m

Dwie macierze mogą być przez siebie pomnożone, o ile liczba kolumn pierwszej z
nich jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy

Iloczyn wielu macierzy

Iloczyn macierzy z kontrolą

1.2. Rozkład macierzy na czynniki trójkątne i trapezowe

Macierz A np. stopnia trzeciego można rozłożyć na macierze trójkątne H

i G

Macierze H

i G wyznaczane są z definicji mnożenia macierzy przy założeniu

elementów oporowych.

§

Macierz prostokątną poziomą A n < m można rozłożyć na trójkątną H

i trapezową G

Macierz symetryczną można rozłożyć na iloczyn macierzy, z których jedna
jest transpozą drugiej

Przykład 1.1.

Macierz A o wymiarach n=2 oraz m=2 rozłożyć na macierze

trójkątne H

i G

× 1 ® h

× g

® g

A H

1.3. Odwrotność macierzy. Wyznaczanie macierzy odwrotnej za
pomocą kofaktorów

Jeżeli macierz kwadratowa A o wymiarach n

´n jest nieosobliwa tj. det(A)¹0, to

istnieje jedna macierz odwrotna

( )

[

]

adj

)

det(

....

)

adj(

przy czym kofaktorem k

elementu a

wyznacznika det(A) nazywane jest wyrażenie

( )

= 1

gdzie i – numer wiersz, j – numer kolumny. Wartości minorów M

wyznacznika

det(A) obliczane są jako podwyznaczniki utworzone z pozostałych elementów
wyznacznika det(A) po wykreśleniu i-tego wiersza oraz j-tej kolumny

Przykład 1.2.

Wyznaczyć odwrotność macierzy A za pomocą macierzy kofaktorów.

( )

adj

Podwyznaczniki – wartości minorów M

wyznacznika det(A) utworzone po

wykreśleniu i-tego wiersza oraz j-tej kolumny

236

det

222

det

369

det

( )

369

222

236

adj

Det(A) = 9

´8´42 + 6´10´3 + 3´6´10 - 3´8´3 - 9´10´10 - 6´6´42

Det(A) = 900

369

222

236

900

1.4. Rozwiązywanie układów równań liniowych

1.4.1. Metoda nieoznaczona; za pomocą odwrotności macierzy

Układ równań

...

..........

zapisany macierzowo ma postać

....

...

Przykład 1.3. Zapisać macierzowo układ równań

0400

0800

0400

0800

4100

2467

0400

2467

2622

+ 3x

- x

= -1

- x

= 0

- 2x

= 1

é-

W metodzie nieoznaczonej wykorzystuje się inwers macierzy powstały przy
przekształceniu równania

-1

×A×X = A

-1

×L

Przykład 1.4.

Rozwiązać układ równań metodą nieoznaczoną

Det(A) = 10

( )

[

]

adj

)

Det(

é-

1.4.2. Metoda oznaczona; macierze

, G

Ze współczynników przy niewiadomych (macierz A) i wyrazów wolnych (wektor L)
tworzymy macierz blokową B = [A;L], którą rozkładamy na macierz trójkątną H

i trapezową G

= [G;L

...

....

...

....

A L H

G L

...

Niewiadome- elementy wektora X - wyznaczamy rozwiązując układ równań

×X = L

Przykład 1.5. Rozwiązać układ równań liniowych metodą oznaczoną rozkładając
macierz B na macierz trójkątną H

i trapezową G

= [G;L

]

4x + 2y = 8
2x + 4y = 13

Wyznacznik Det(A) = 16 - 6 = 10, macierz nie jest osobliwa, daje się więc rozłożyć
na dwie macierze trójkątne

A L H

G L

Zgodnie z wzorem

×X = L

Poprawność rozwiązania sprawdzamy podstawiając wyznaczone niewiadome do
układu równań

× 0.5 + 2 × 3 = 8

× 0.5 + 4 × 3 = 13

1.4.3. Metoda oznaczona; macierze

, R

Gdy macierz A jest symetryczna, tworzymy macierz blokową B = [A;L], którą
rozkładamy na macierz trójkątną R

i trapezową R

= [R;L

G X L

...

....

...

....

Niewiadome X wyznaczamy rozwiązując zredukowany układ równań

...

Przykład 1.6.

Rozwiązać układ równań

9x + 6y + 3z = 18
6x + 8y + 10z = 24
3x +10y +42z = 55

rozkładając macierz B na macierz trójkątną R

i trapezową R

=[R;L

]. Det A≠ 0.

R X L

Kontrola obliczeń

9·1 + 6·1 + 3·1 = 18
6·1 + 8·1 + 10·1 = 24
3·1 +10·1 + 42·1 = 55

A L R

R L

R X L

A L R

R L

2. Elementy teorii błędów. Przedziały ufności

W praktyce pomiarowej występują trzy rodzaje błędów:
§

grube,

systematyczne,

przypadkowe.

Według kryterium metody pomiaru obserwacje mogą być:
§

bezpośrednie,

pośrednie.

Według kryterium dokładności wyniki pomiaru dzielimy na:
§

jednakowo dokładne,

różnodokładne.

Cel zagadnień wyrównawczych:
§

wyznaczenie wartości najprawdopodobniejszych,

oszacowanie dokładności obserwacji pojedynczych, względnych, wartości

przeciętnych oraz funkcji wyznaczonych analizowanych zmiennych.

Podstawowymi parametrami opisującymi zmienną losową x są: wartość przeciętna

śr

(2.1)

i odchylenie standardowe σ

(

)

śr

(2.2)

W zadaniach praktycznych odchylenie standardowe σ

zastępowane jest jego

estymatorem. Wartość ta wyznaczona jest na podstawie wyników pomiaru i w tej
postaci nazywana jest błędem średnim. W zadaniach geodezyjnych (tylko)
oznaczana przez m. W innych dyscyplinach określana jest mianem błędu
standardowego i oznaczana jest symbolem s.

(

)

śr

(2.3)

Rozkład normalny. Rozkład empiryczny w miarę wzrostu liczby danych przyjmuje
kształt rozkładu normalnego o funkcji gęstości opisanej wartością przeciętną oraz
odchyleniem standardowym.

(

)

exp

)

(

śr

(2.4)

Zmienna standaryzowana. Wprowadzenie tzw. zmiennej standaryzowanej t

śr

(2.5)

przy założeniu

s = 1 przekształca wzór (2.4) do postaci

exp

)

(

(2.6)

Rys. 2.1. Funkcja gęstości rozkładu normalnego zmiennej standaryzowanej

Dystrybuanta. Przy rozwiązywaniu zadań praktycznych wykorzystywana jest
dystrybuanta

(

)

śr

exp

)

(

(2.7)

exp

)

(

(2.8)

Dystrybuanta określa prawdopodobieństwo wystąpienia wartości zmiennej x w
przedziale

á- ¥, x

ñ, jak na rys. 2.2.

ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï

s s 0 s 2s

0,4

0,2

ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï

2 1 0 1 2

Rys. 2.2. Dystrybuanta rozkładu normalnego. Rzędna D(t = 0,8) jest miarą powierzchni

zakreślonej na rys. 2.1.

Przedziały ufności. Aby wyznaczyć prawdopodobieństwo P, że zmienna x
znajdzie się w przedziale

áx

, x

ñ należy wyznaczyć dystrybuanty dla obu wartości

zmiennej x po ich uprzedniej standaryzacji wzorem (2.5). Szukane
prawdopodobieństwo P{x

á x á x

} jest różnicą wartości prawdopodobieństw.

P{x

áx áx

} = P(x

) - P(x

) = D(t

) - D(t

) (2.9)

Zadania praktyczne rozwiązuje się za pomocą tablic.

Przykład 2.1. Dla zbioru danych stanowiącego wynik pomiaru odległości {145.33,
145.39, 145.30} obliczyć prawdopodobieństwo P{ x

ñ 145.39 }

Dla podanych wartości wyznaczamy:
· wartość przeciętną

śr

= 145,34

· błąd standardowy pojedynczej obserwacji m = 0,045

· zmienną standaryzowaną

045

145

śr

0,5

D(t = 0,8)

1.0

D(t)

ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï

- 2 - 1 0 1 2

ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï

- 2

s - s 0 s 2s

_
_
_

t = 0,8

0.5

P(t)

ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï

- 2 - 1 0 1 2

_
_

ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï

- 2 - 1 0 1 2

Rys. 2.3. Ilustracja do przykładu 2.1

Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego dla zmiennej t = 1.11 odczytujemy
P(t) = 0,279. Szukane prawdopodobieństwo wynosi

P{x

áxáx

}= 0,5 + 0,366 = 0,866

Przykład 2.2. Obliczyć prawdopodobieństwo P {145.33

á x

śr

á 145.36} dla wyników

obserwacji jak w przykładzie 2.1.

Podobnie jak w przykładzie 2.1 parametry rozkładu wynoszą d

śr

= 145,34,

m = 0,045 , m

śr

= 0,026.

Stąd

385

026

145

śr

769

026

145

śr

Rys. 2.4. Ilustracja do przykładu 2.2

_
_

1.0

0,5

ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï

2 1 0 1 2

ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï

śr

0 m

śr

D(t)

śr

_
_
_

1.0

0,5

ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï

2m m 0 m 2m

D(t)

ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï

- 2 - 1 0 1 2

Z tablic odczytujemy P(t

) = 0,149 oraz P(t

) = 0,279, stąd

P{145.38

á x

śr

á 145.45} = P(t

) + P(t

) = 0,428

P{145.38

á x

śr

á 145.45} = 0,428

Przykład 2.3. Dla zmiennej

a obliczyć przedział ufności áa

ñ o prawdopodo-

bieństwie P = 0,90, dla danych {112.71

, 112,75

, 112,76

}, przy założeniu, że

| = |

Wartość przeciętna

śr

i błąd standardowy m wyznaczone dla zbioru danych

wynoszą:

śr

= 112,74

, m = 0,026

Ponieważ przedmiotem analizy jest tylko zmienna

a nie ma potrzeby wyznaczania

błędu m

śr

. Dla P/2 (przedział jest symetryczny), w tablicy dystrybuanty rozkładu

normalnego znajdujemy t

= 1,65. Wartość

wyznaczana jest ze wzoru na

zmienną standaryzowaną.

śr

112

026

śr

112

026

śr

Szukany przedział wyznaczają granice

á112.70, 112.78

ñ.

3. Wyrównanie obserwacji bezpośrednich
Propagacja błędów

3.1. Wyrównanie obserwacji bezpośrednich

Wyrównanie obserwacji zbioru

[

]

,...

obejmuje wyznaczenie wartości

przeciętnych oraz błędów standardowych.

Przykład 3.1. Różnicę wysokości Δh

pomierzono 4 razy z jednakową

dokładnością. Wyznaczyć wartość średnią, błąd średni pojedynczej obserwacji i
błąd średni wartości przeciętnej.

473

475

470

474

śr

= 1.473 v

= l

śr

- l

000

002

003

001

Błąd średni pojedynczej obserwacji wynosi

m =

006

Błąd średni wartości przeciętnej

śr

= 0.003 mm

Interpretacja błędów

= 1.474 ± 0.006

á1.468, 1.480ñ

= 1.470 ± 0.006

á1.464, 1.476ñ

= 1.475 ± 0.006

á1.469, 1.481ñ

= 1.473 ± 0.006

á1.467, 1.469ñ

= 1.473 ± 0.003

á1.470, 1.476ñ

Błąd standardowy średniej arytmetycznej

śr

.....

Na podstawie prawa przenoszenia błędów można przyjąć, że

.........

śr

÷÷

çç

÷÷

çç

÷÷

çç

.........

lśś

..........

lsr

lśś

(

)

(

lśś

Wyrównanie obserwacji bezpośrednich niejednakowo dokładnych

...

....

(

)

(

)

(

)

(

)

(

śr

Przykład 3.2. Różnicę wysokości Δh

pomierzono 4 razy. Każdy pomiar

wykonano innym instrumentem z różną dokładnością (m). Wyznaczyć wartość
najprawdopodobniejszą, błąd średni wartości przeciętnej m

śr

i błędy średnie

poszczególnych obserwacji m

473

475

470

474

[ ]

003

002

001

004

003

002

001

004

100

111111

250000

1000000

62500

śr

...

4713

141

449

207

[

]

0017

0037

0013

0027

[

]

0017

0037

0013

0027

100

0017

0037

0013

0027

pv = 5,8389

395

8389

- wartość niemianowana

Błąd średni wartości przeciętnej m

śr

0012

141

395

Błędy średnie obserwacji m

3.2. Propagacja błędów pomiaru

W większości zadań geodezyjnych
poszukiwane wartości wyznaczane są
pośrednio ze związku funkcyjnego

0042

395

0028

395

0014

100

395

0057

395

u = f(x,y,z…), w którym bezpośrednio mierzone są wielkości x, y, z. Jeśli wielkości
mierzone bezpośrednio są losowe i znane są parametry ich rozkładów normalnych
(wartości przeciętne i błędy średnie), to błąd średni m

można wyznaczyć za

pomocą prawa przenoszenia się błędów.

(

) (

)

.....

...

÷÷

çç

(3.1)

Δx = x - x

, Δy = y - y

, Δz = z - z

(

)

.....

...

÷÷

çç

(3.2)

Bląd standardowy m

wyznaczany jest ze wzoru

...

÷÷

çç

(3.3)

Wzór (3.3) jest poprawny pod warunkiem, że zmienne x,y,z,… są losowe i
nieskorelowane, czyli wzajemnie niezależne. W przypadku, gdy ten ostatni
warunek nie jest spełniony, w prawie przenoszenia się błędów należy uwzględnić
korelację zmiennych opisanych za pomocą macierzy kowariancji.

Przykład 3.3. Współrzędne punktu 1 wyznaczono metodą biegunową ze
stanowiska B w nawiązaniu do punktu osnowy A, jak na rys. 3.2. Obliczyć błędy
standardowe m

, m

punktu 1 dla danych:

Azumut Az

= 165.88

, m

= 0.02

β = 72.40

, m

= 0.01

l = 87.10 m, m

= 0.02

= 0.06 m , m

= 0.04 m

Współrzędne punktu 1 wyznaczane są z zależności:

cos

sin

Na podstawie prawa propagacji błędów losowych błędy standardowe wyznaczane
są z zależności:

sin

cos

sin

Rys. 3.2

Uwzględniając w powyższych zależnościach, że

oraz wyrażając błędy standardowe kąta β oraz wyznaczonych azymutów, tj. Az

B1,

, Az

w jednostkach łukowych (w zadaniu podano je w jednostkach

gradowych)

400

)

(

)

(

wzory na m

, m

przyjmują postać

(

)

(

)

sin

200

cos

(

)

(

)

cos

200

sin

Podstawiając do powyższych wzorów dane liczbowe otrzymujemy

(

) (

)

(

)

(

)

238

sin

200

238

cos

(

) (

)

(

)

(

)

238

cos

200

238

sin

Szukane wartości błędów standardowych współrzędnych punktu 1 wynoszą:

= 0.07 [m]

= 0.05 [m].

3.3. Optymalizacja programu obserwacji

rawo przenoszenia się błędów jest wykorzystywane przy projektowaniu

pomiaru. Zadanie optymalizacji polega na dopasowaniu błędów składowych tak, by
ich suma wyznaczona z prawa przenoszenia się błędów nie przekroczyła przyjętej
wartości.

Przykład 3.4. Z jaką dokładnością należy wykonać pomiary zbiornika o wymiarach
(przybliżonych) h = 12 m i promieniu R = 8 m, aby jego kubaturę wyznaczyć
z błędem standardowym m

= 0,1%.

Ponieważ kubatura zbiornika w przybliżeniu wynosi V = π R

h = 2400 m

, stąd

oczekiwany błąd standardowy wynosi m

@ 2,5 m

. Przyjmując, że promień walca

zostanie wyznaczony na podstawie pomiaru obwodu zbiornika, tj. ze wzoru R = L/π,
objętość obliczyć można ze wzoru

Stosując prawo przenoszenia się błędów

÷
ø

ç
è

i podstawiając L = 2πR oraz m

= m

= m otrzymujemy

( )

Stąd szukana dokładność pomiaru m wynosi

0,14 [m]

5. Metoda parametryczna.
Wyrównanie sieci liniowo-kątowej

5.1. Model zagadnienia wyrównawczego

W metodzie parametrycznej zwanej również metod pośredniczącą wielkości

mierzone są funkcją wyznaczanych wielkości (parametrów), czyli

(

)

(

)

(

)

....

..........

....

(5.1)

Celem obliczeń jest wyznaczenie wyrównanych wartości l

wyr

, z których każda różni

się od wartości obserwowanej l

o wartość poprawki v

wyr

dla i <1,n > (5.2)

Po rozpisaniu zależności (5.2) dla wszystkich n wyników pomiarów powstaje układ
równań poprawek stanowiący podstawę procesu wyrównawczego. Jeśli w
zależnościach (5.1) funkcja F(X

..X

) ma postać nieliniową, to konieczne jest

przekształcenie równań obserwacyjnych za pomocą szeregu Taylora

(

)

(

...

÷÷

çç

÷÷

çç

(

)

......

...

÷÷

çç

÷÷

çç

(5.3)

Po przekształceniu powstaje układ równań poprawek

...

(5.4)

...

(5.5)

÷
ø

ç
è

÷
ø

ç
è

Równanie poprawek kąta poziomego. W przypadku kąta poziomego

b funkcja

(5.1) zdefiniowana jest przez współrzędne trzech punktów

(

)

arctg

(5.6)

Rys.5.1

Zgodnie z wzorem (5.3) należy wyznaczyć pochodne funkcji

b (5.6) względem

wszystkich parametrów występujących we wzorze (9.8), tj. X

, Y

, X

, Y

, X

, Y

Przykładowo pierwsza pochodna cząstkowa względem X

, ma postać

(

)

(

)

ú
û

ê
ë

÷÷

çç

(

)

(

)

sin

÷÷

çç

ú
û

ê
ë

÷÷

çç

Po obliczeniu wszystkich pochodnych cząstkowych względem poszczególnych
współrzędnych postać równania obserwacji kąta poziomego β wynosi

÷
ø

ç
è

÷
ø

ç
è

)

(

cos

)

(

sin

)

(

cos

)

(

sin

)

(

cos

)

(

sin

(5.7)

lub w postaci

L(X

)

P(X

)

C(X

)

( )

( ) ( )

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

gdzie

(

)

(5.8)

Równanie poprawek dla długości odcinka. W przestrzeni dwuwymiarowej
odcinek PK zdefiniowany jest jednoznacznie przez współrzędne X,Y jego końców,

(

) (

)

. (5.9)

Rys. 5.2

Dla wyznaczenia równania poprawek należy przekształcić zależność (5.9) do
postaci liniowej za pomocą wzoru Taylora. W tym celu należy wyznaczyć
pochodne wielkości mierzonej względem poszczególnych parametrów

(współrzędnych końców odcinka. W przypadku parametru Y

wynosi

(

) (

)

[

]

(

)

(

)

sin

(5.10)

Uwzględniając azymut analizowanej długości (Az

), równanie poprawek dla

długości d przyjmuje ostatecznie postać

dPK

= cos Az

(dX

- dX

) + sin Az

(dY

- dY

) + l

(5.11)

lub

dPK

)

(

)

(

(5.12)

gdzie

(

)

(5.13)

Równanie poprawek dla różnicy wysokości. Ponieważ różnica wysokości
h=F(H

) zapisana jest w postaci liniowej

= H

– H

+ h (5.14)

stąd równanie poprawek można wyprowadzić bez zastosowania wzoru Taylora.

= dH

– dH

+ h

(5.15)

5.2. Ocena dokładności

Ocena formułowana jest za pomocą:

błędu położenia punktu,

elipsy ufności,

błędów średnich wyrównanych obserwacji.

Błąd położenia punktu określa formuła

(5.16)

Obszar ufności najpełniej określa elipsa ufności (rys.5.3).

Rys. 5.3. Pole elipsy wewnątrz której punkt znajduje się z prawdopodobieństwem

Elipsę identyfikują jej półosie a, b oraz kąt skręcenia

-1

(5.17)

-1

(5.18)

(

)

(5.19)

(

)

(5.20)

Y’

X’

Y’

(

)

XiYi

(5.21)

Kąt skręcenia

j wyznaczany jest ze wzoru

XiYi

arctg

(5.22)

We wzorach na wartości własne macierzy

(5.19),

(5.20) oraz kąt skręcenia

(5.22) wielkości P są wyznaczane z zależności

(5.23)

Wartość F konieczna przy obliczaniu elementów elipsy przyjmowana jest z tablic
F - Snedecora dla n - r stopni swobody (n – liczba obserwacji, r – liczba
niewiadomych). Najczęściej stosowane wartości F podano w tab. 5.1.

Tablica 5.1

n - r

0,95

0,99

1
2
3
4

199.50

19.00

9.55
6.94

5000

99.01
30.83
17.99

5.3. Algorytm obliczeń

Obliczenia wykonywane są według algorytmu, który oparty jest na metodzie

najmniejszych kwadratów. Algorytm jest realizowany w następujących etapach.

Zestawienie wyników obserwacji
Układ równań obserwacyjnych
Równania poprawek
Układ równań normalnych.
Rozwiązanie układu równań normalnych
Wektor poprawek
Wyrównane wartości wielkości obserwowanych

Kontrole obliczeń
Współczynnik wariancji m

Macierz kowariancji i błędy średnie wyznaczanych parametrów
Błędy średnie wyrównanych wielkości obserwowanych
Przedział (obszar) ufności, elipsa ufności.

Kontrola 1 polega na porównaniu wartości s = s' obliczonych ze wzorów

s = V

V lub s = V

s’ = L

×A×X + L

×L

W kontroli 2 wartości wyrównane wyliczane są dwoma sposobami

wyr

= l

+ V

wyr

= A

×dX + L

Proces iteracyjny. Istotną częścią algorytmu jest iteracyjny tryb obliczeń. Model
zagadnienia jest nieliniowy, a w algorytmie aproksymacji wykorzystuje się tylko
pierwszą pochodną. Wyniki pierwszego rozwiązania są traktowane jako wartości
przybliżone i wprowadzone do algorytmu w drugiej iteracji. Obliczenia są
prowadzone w pętli programu komputerowego tak długo, aż wartość korekty
będzie dostatecznie mała, np. równa 0.1 wyniku uzyskanego w poprzedniej iteracji.
Duże znaczenie ma dokładność przybliżonych wartości niewiadomych
stanowiących punkt startowy. Im wartości te są bliższe prawidłowego rozwiązania,
tym mniej iteracji trzeba dla uzyskania poprawnego wyniku. Jeśli jednak punkt
startowy będzie zbyt odległy, proces iteracyjny może nie dać poprawnego
rozwiązania, lub być rozbieżny.

5.4. Przykład wyrównania sieci liniowo-kątowej

Wyrównać elementarną sieć liniowo-kątową przedstawioną na rys. 5.4. Wyniki
pomiarów zestawiono w tabl. 5.2. Obliczyć:

współrzędne p.3

błędy średnie wyrównanych obserwacji

, β

, d

1,3

, d

2,3

Wyniki pomiarów Tablica 5.2

Wielkość

pomierzona

Wynik

pomiaru

Błąd

pomiaru

69.4555

73.2860

57,2635

1,3

174.960

0.02 m

2,3

169.954

0.01 m

Punkt

100.000

200.000

100.000

350.000

Rys. 5.4

Oznaczenie kąta

Wartość kąta Błąd pomiaru

βi

69,4555

73,2860

57,2635

Oznaczenie długości

Długość boku Błąd pomiaru

174.960

0.020

169.954

0.010

Przybliżone wartości niewiadomych - współrzędnych p.3(X

) oraz wielkości

obserwowanych

, β

, d

1,3

, d

2,3

wyznaczono p

rzyjmując

1,3

= d

1,3

Na podstawie tak ustalonych współrzędnych wyznaczono następnie wartości

2,3

oraz azymuty Az

i Az

255.2054

69.4555

1,3

174.9600 m

280.7606

73.28628

2,3

169.9495 m

57,25822

30.54450

373.28628

Równania poprawek

V = A

×dX + L; L = L

- L

( )

( ) ( )

gdzie

Macierze występujące w układzie równań normalnych

407412

913245

461594

887091

134

193

723

3205

955

3420

138

1526

822

3227

585

1679

00452

Jednostki elementów macierzy A, L, P są metryczne i kątowe.

Układ równań normalnych

×A ×dX + A

×L = 0

Rozwiązanie układu równań normalnych

dX = – (A

×A)

-1

×P×L

135679,623

43170,941

55758,808

70686

439226

157

(

)

7795

57172

37967

00172

00415

Wartości parametrów - wyrównanych współrzędnych pkt.3

= X

+ dX

= 255,20544 - 0,00415 = 255,20129

= 280,76059-0,00172 = 280,75887

Wektor poprawek

V = A

×dX + L

Wyrównane wartości wielkości obserwowanych

wyr

+ v

wyr

+ v

Wielkość

pomierzona

Wynik pomiaru

Poprawka

Wartości

wyrównane

69.4555

-1,4

69.4554

73.2860

-9,4

73.2851

57,2635

-39,2

57,2596

1,3

174.960 m

-0,0045 m

174.9555 m

2,3

169.954 m

-0,0076 m

169.9464 m

Kontrola 1

×V = L

×A×dX + L

×P×L

2,575729 = 2,575729

Kontrola 2. Obliczenie wyrównanych wartości obserwacji na podstawie wyrówna-
nych współrzędnych. W tym celu należy wyznaczyć azymuty Az

, Az

wyr

(

) (

)

(

) (

)

wyr

255,2013

wyr

69.45535

wyr

280,7589

wyr

73.28506

wyr

100.0000

wyr

57.25958

wyr

30.54465

1,3

wyr

174.9555 m

wyr

373.28507

2,3

wyr

169.9464 m

Wartości wyrównane obliczone dwoma sposobami są identyczne.

II iteracja
Jako przybliżone wartości niewiadomych - współrzędnych p.3 (X

) oraz

wielkości obserwowanych

, β

, d

1,3

, d

2,3

rzyjmujemy wyniki I iteracji.

255,2013

69.45535

280,7589

73.28506

57,25959

1,3

174.9555 m

2,3

169.9464 m

407429

913237

461597

887090

088

193

867

3205

988

3420

231

1526

900

3227

636

1679

00762

00445

Układ równań normalnych

×A ×dX + A

×L = 0

Rozwiązanie układu równań normalnych

dX = – (A

×A)

-1

×P×L

]

[

135685,4

43173,2

55762,08

[ ]

é-

181563

47316

(

)

[ ]

77909

57136

37954

[ ]

000028

000013

Wartości parametrów - wyrównanych współrzędnych pkt.3.

= X

+ dX

= 255,20129 + 0,00170 = 255,20299

= 280,75887+ 0,00035 = 280,75922

Uzyskany wynik jest praktycznie identyczny z rezultatem I iteracji z dokładnością
do kilku setnych części milimetra.
Wektor poprawek V = A

×dX + L

Wielkość

pomierzona

Wynik pomiaru

Poprawka

Wartości

wyrównane

69.4555

-1.4

69.4554

73.2860

-9.4

73.2851

57.2635

-39.2

57.2596

1,3

174.960 m

-0,0045 m

174.9555 m

2,3

169.954 m

-0,0076 m

169.9464 m

Kontrola obliczeń 1

×V = L

×dX + L

×P×L

2,57562 = 2,57562

Kontrola obliczeń 2. Obliczenie wyrównanych wartości obserwacji na podstawie
wyrównanych współrzędnych

wyr

69.45536

100.000

200.000

wyr

73.28506

100.000

350.000

wyr

57.25959

255.2013 280.7589

1-3

wyr

174.9555 m

2-3

wyr

169.9464 m

ANALIZA DOKŁADNOŚCI

Współczynnik wariancji m

16818

0,504547

Macierz kowariancji

(

)

= m

77909

57136

37954

16818

Błędy średnie wyznaczanych parametrów

0020

37954

4101

0013

77909

4101

Błędy średnie wyrównanych obserwacji

(

)

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

0016

4074

9132

77909

57136

37954

4074

9132

4101

0021

4616

8871

77909

57136

37954

4616

8871

4101

193

3205

77909

57136

37954

193

3205

4101

3420

1526

77909

57136

37954

3420

1526

4101

3227

1679

77909

57136

37954

3227

1679

4101

Wyznaczenie błędów średnich wyrównanych obserwacji za pomocą
ich macierzy kowariancji.

583

793

0603

0385

0219

793

701

0810

0759

0051

0603

0810

297

254

156

208

0385

0759

156

208

938

248

0219

0051

16818

0016

583

4101

0021

701

4101

297

254

4101

9383

248

4101

Elipsa błędów, półosie a, b

135679,623

43170,9409

55758,8079

D = 13843444328

(

)

XiYi

= 36894,66

(

)

= 154552,83

(

)

a = 0,0093

-1

b = 0,0046

l F

-1

Kąt skręcenia

j = 26,23

XiYi

arctg

Rys. 5.5. Elipsa błędów punktu 3 dla prawdopodobieństwa

= 95%

X’

Y’

6. Metoda warunkowa

6.1. Model zagadnienia wyrównawczego

W metodzie warunkowej przedmiotem analizy są zależności pomiędzy
wielkościami podlegającymi wyrównaniu. W trójkącie np. zachodzi

200

Model zagadnienia ma postać układu „f” niezależnych równań warunkowych

(

)

(

)

(

)

,...

.......

..........

,...

W powyższym układzie równań, inaczej niż w metodzie parametrycznej, nie
występują parametry – współrzędne punktów. Dzięki temu metoda warunkowa
może być stosowana także w przypadku, gdy nie ma punktów stałych.

6.2. Przykłady równań warunkowych

+ h

- h

+ H

- H

= 0

- h

+ h

= 0

- h

+ h

= 0

+ α

- 200

= 0

+ α

- 200

= 0

- α

= 0

D
°

Rp. 1

Rp. 2

H.1

H.2

H.3

+ α

- 3

´200

– A

= 0

cos(A

+ α

– 200

)

- d

cos(A

+ α

+ α

– 400

) – X

+ X

= 0

sin(A

+ α

– 200

)

- d

sin(A

+ α

+ α

– 400

) – Y

+ Y

= 0

Liczba równań warunkowych, defekt sieci

Liczbę równań warunkowych

ustala się z wzoru

f = n – r + d

f – liczba równań warunkowych,
n - liczba obserwacji,
r – liczba niewiadomych,
d – defekt.
Defekt d wyznaczany jest jako suma defektu zewnętrznego d

i wewnętrznego d

d = d

+ d

Defekt zewnętrzny równa się liczbie stopni swobody całej sieci względem osi
układu współrzędnych. Są to obroty i przesunięcia względem tych osi. Sieć jest
swobodna jeśli defekt d

¹ 0.

Defekt wewnętrzny charakteryzuje możliwość wzajemnego przemieszczania się
punktów sieci. Praktycznie jest to liczba brakujących obserwacji niezbędnych.
Defekt eliminuje nawiązanie sieci do punktów o znanych współrzędnych.

Przykłady sieci elementarnych

n = 3
d

= 3

= 1 (trójkąt może się powiększać)

d = d

+ d

= 4

r = 3

´ 2 = 6

f = n – r + d = 3 – 6 + 4 = 1

n = 4
d

= 1 (możliwy jest tylko obrót)

= 0

d = d

+ d

= 1

r = 2

´2 = 4

f = n – r + d = 4 – 4 + 1 = 1

n = 3
d

= 1

= 0

d = d

+ d

= 0

r = 1

´ 3 = 3 (Rzędne H trzech punktów)

f = n – r + d = 3 – 3 + 1 = 1

n = 3
d

= 0

d = d

+ d

= 0

r = 1

´ 2 = 2 (Rzędne H dwóch punktów)

f = n – r + d = 3 – 2 + 0 = 1

n = 6
d

= 3

= 0

d = d

+ d

= 3

r = 4

´ 2 = 8 (X,Y czterech punktów)

f = n – r + d = 6 – 8 + 3 = 1. Jedno równanie
wykorzystujące wzór sinusów.

6.3. Algorytm metody warunkowej

Jeśli w układzie

(

)

(

)

(

)

,...

.......

..........

,...

(6.1)

podstawić w miejsce x

wyrażenie

= x

obs

+ v

(6.2)

to uzyskujemy:

(

)

(

)

(

)

,...

.......

..........

,...

(6.3)

Co macierzowo zapisujemy w postaci

(

)

Jeśli równania (6.3) nie są liniowe, to każdą z funkcji

y rozwijamy w szereg Taylora

ograniczając się do pierwszych tj. liniowych wyrazów

( )

(

) ( )

( )

. (6.4)

Szukamy następnie

( )

{

}

min

gdzie V - minimalizuje funkcję celu

( )

a także spełnia równanie warunkowe

BV + L = 0

(6.5)

Przy rozwiązaniu r układu równań wprowadza się tzw. korelaty. Są to mnożniki

= [k

, k

, ..... k

]

których wektor wyznacza się ze wzoru

k = - (BP

-1

)

-1

(6.6)

Wektor poprawek i obserwacji wyrównanych wyznaczane są ze wzorów

V = P

-1

(6.7)

Wyrównane wartości rzędnych wyznaczane są na podstawie poprawek.

wyr

= x

+ V

(6.8)

w przypadku przewyższeń

wyr

= h

+ V

Kontrola 1 s = s’

PV = - k

Kontrola 2. Kontrola polega na sprawdzeniu warunków (6.1)

Ocena dokładności.

Błąd średni wyrównanych wysokości wyznaczany jest jako

funkcja wyrównanych wysokości

[

]

)

(BP

= m

j = 1, 2....r (6.9)

gdzie

,......

(6.10)

Błąd średni wyrównanych wysokości obliczany jest na podstawie macierzy
wyrównanych obserwacji wyznaczanej ze wzoru

[

]

)

(BP

= m

wyr

(6.11)

[

]

wyr

(6.12)

Wartości [C

x,wyr

]

i,i

odczytywane są z macierzy (6.11).

6.4. Przykład wyrównania sieci niwelacyjnej

Wyrównać sieć niwelacyjną metodą warunkową

Wyniki pomiaru

= - 0.663 m m

= 0,01 H

= 111.770 m

= 2.308 m m

= 0,02 H

= 115.430 m

= - 2.008 m m

= 0,02

= - 0.624 m m

= 0,01

= - 2.920 m m

= 0,02

= 1.370 m m

= 0,01

Obliczyć:

wyrównane rzędne reperów H

wyr

wyrównane wartości przewyższeń h

wyr

, h

wyr

, h

wyr

, h

wyr

, h

wyr

błędy średnie wyrównanych wysokości m

, m

błędy średnie wyrównanych przewyższeń m

Liczba równań warunkowych

n = 6, r = 3, d = d

+ d

= 0

f = n – r + d = 6 – 3 + 0 = 3

Równania warunkowe

- h

+ h

= 0

1 +

– h

+ H

– H

= 0

- h

+ h

- h

= 0

Rp. 1

Rp. 2

H.1

H.2

H.3

Po podstawieniu h

= h

+ v

– h

- v

+ h

+ v

= 0

+ v

+ h

+ v

– h

– v

+ H

– H

= 0

-h

– v

+ h

+ v

– h

– v

= 0

Układ równań warunkowych

– v

+ v

+ 0.012 = 0

+ v

– v

– 0.007

= 0

– v

+ v

- v

+ 0.014

= 0

Zestawienie macierzy

[ ]

014

007

012

10000

2500

10000

2500

10000

Wektor korelat k = - (BP

-1

)

-1

(

)

úû

êë

3170

1951

1219

1951

2585

1365

1219

1365

1853

0006

0004

0001

0004

0009

0004

0001

0004

0009

683

61,805

48,878

Wektor poprawek V = P

-1

i wektor obserwacji (przewyższeń) wyrównanych h

wyr

= h

+ V

[ ]

0073

0196

0024

0044

0052

0062

[ ]

wyr

3773

2,9396

0,6264

2,0036

2,3132

0,6568

370

2,920

0,624

2,008

2,308

0,663

Wyrównane wysokości reperów H

wyr

= F

wyr

)

wyr

= H

Rp1

+ h

wyr

= 111.1132

wyr

= H

Rp2

+ h

wyr

= 113.4264

wyr

= H

Rp2

– h

wyr

= 114.0527

Kontrola 1. s = s’

s = V

PV = 2.036732

s’ = - k

L = 2.036732

Kontrola 2. Sprawdzenie warunków

- h

+ h

= 0,0000

1 +

– h

+ H

– H

= 0,0000

- h

+ h

- h

= 0,0000

Ocena dokładności

67891

036732

Błąd wyrównanych wysokości

[

]

)

(BP

= m

Dla wyznaczenia wysokości H

, H

przyjęto następujące zależności:

= H

Rp1

+ h

= H

Rp2

+ h

= H

Rp2

– h

Wzory te wykorzystano przy wyznaczaniu błędów średnich wyrównanych wartości
rzędnych H

, H

Błąd średni wyrównanej wysokości H

[

]

[

]

0,0001

)

(BP

2,5854E-05

[

]

)

(BP

67891

= 5,03387-05

= 0,0071 [m]

Błąd średni wyrównanej wysokości H

[

]

[

]

0,0004

)

(BP

- 1,1994E-08

[

]

)

(BP

67891

= 0,00027157

= 0,0165 [m]

Błąd średni wyrównanej wysokości H

[

]

[

]

)

(BP

[

]

)

(BP

67891

= 4,63646E-05

= 0,0068 [m]

Błędy średnie wyrównanych obserwacji h

wyr

wyr

)

(

[

]

)

(BP

= m

wyr

)

41463

(

= 0,0071 [m]

0001268

= m

= 0,0093 [m]

0001034

= m

= 0,0084 [m]

)

41463

(

= 0,0071 [m]

0001034

= m

= 0,0084 [m]

)

82927

(

= 0,0068 [m]

7. Metody mieszane

7.1. Metoda parametryczna z warunkami dla parametrów

W niektórych zadaniach pomiarowych równocześnie występują elementy

modelu parametrycznego i warunkowego. Warunki mogą np. dotyczyć
współrzędnych punktów sieci, gdy zadane jest ich wzajemne położenie. W takim
przypadku poza układem równań obserwacyjnych l

= F(x):

(

)

(

)

(

)

........

..........

należy utworzyć układ równań warunkowych

Y(X) = 0 wiążących parametry X

(

)

(

)

(

)

........

..........

Układ równań

( )

można przekształcić do liniowej postaci równań poprawek

AdX

a równania warunkowe

( )

= można zastąpić układem równań

BdX

Zadanie wyrównawcze polega na rozwiązaniu problemu optymalizacyjnego przy
warunku

min

sformułowanego układem:

BdX

AdX

Algorytm rozwiązania zadania wyrównawczego obejmuje wyznaczenie korelat k,
poprawek dx oraz poprawek v:

(

)

(

)

úû

êë

é -

úû

êë

(

) (

)

AdX

Przykład 7.1. Obliczyć współrzędne pkt.

5 wyznaczającego narożnik

projektowanego obiektu jak na rys. 7.1, przy warunku d

= 182,312m. Znane są

współrzędne punktów 1, 2, 3, 4 w układzie (X,Y) oraz odległości d

= 151,581 m,

= 244,275 m, d

= 255,235 m.

Tablica 5.1

Punkt

X [m]

Y[m]

Wynik

pomiaru

Błąd pomiaru

1 400,200

389,750

151,581

0,012

1 450,080

550,150

244,275

0,012

1 359,880

640,360

255,235

0,005

1 219,960

589,840

Rys. 7.1

Współrzędne przybliżone punktu 5:

860

2409

180

1250

Równania poprawek, budowane na podstawie ogólnego równania (5.11) – str.31.

cos

sin

cos

)

(

sin

cos

obs

sin

cos

obs

sin

cos

Zestawienie macierzy

9030

4297

5745

8185

1336

9910

sin

cos

sin

cos

sin

cos

219

Równanie warunkowe

(

) (

)

(postać nieliniowa)

sin

cos

(postać zlinearyzowana) gdzie

499

182

Zestawienie macierzy

[

] [

]

9862

1656

sin

cos

187

Obliczenie poprawek

03503

01787

01886

(

)

102

(

)

(

)

0136

úû

êë

(

)

oraz

(

)

(

)

285

úû

êë

é -

úû

êë

(

) (

)

é-

154

212

]

[

Adx

Wyrównane współrzędne punktu Z

014

2410

154

860

2409

968

1249

212

180

1250

wyr

Kontrola obliczeń

(

) (

)

312

182

wyr

7.2. Metoda wag

Jeżeli zadanie opisuje układ równań poprawek

V = A·dx + L

oraz warunek

B dV +

= 0

to równanie warunkowe można traktować jako dodatkowe równanie parametryczne
o nieskończenie dużej wadze.

Takie podejście spełnia założenia metod mieszanych, jakkolwiek w sposób
uproszczony. Z praktycznego punktu widzenia metoda uproszczona jest w pełni
wystarczająca i poprawna.

Przykład 7.1. Wyznaczyć współrzędne punktu 5 dla zadania jak na rys. 7.2.
Współrzędne punktów 1, 2, 3 (przyjęte jako bezbłędne) oraz wyniki pomiaru
odległości zamieszczono w tablicy 7.2. W zadaniu należy spełnić warunek
β = 103.8622

Tablica 7.2

Punkt

X [m]

Y[m]

Wynik

pomiaru

Błąd pomiaru

310,055

604,728

171,580

0,008

635.417

701,009

210.671

0,015

566,200

780, 080

148,235

0,005

381,725

834,716

113,609

0,010

Rys. 7.2

Układ równań poprawek rozpisany według ogólnego wzoru (5.11) tworzą cztery
równania dla długości oraz jedno równanie dla kąta β.

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

÷
ø

ç
è

÷
ø

ç
è

)

(

cos

)

(

sin

Zestawienie macierzy

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

103.8622

113,609

148,235

210.671

171,580

-2

0,010

0,005

0,015

0,008

W macierzy wag przyjęto, że błąd pomiaru kąta m

= 0,000001

. Stąd waga p

[ ]

Algorytm rozwiązania zadania jest identyczny jak w metodzie parametrycznej;
(przykład 5.4).

Wartości liczbowe funkcji gęstości rozkładu normalnego

exp

)

(

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0

3989

3989 3988 3986

3984 3982 3980

3977 3973

0,1

3970

3965

3961 3956 3951

3945 3939 3932

3925 3918

0,2

3910

3902

3894 3885 3876

3867 3857 3847

3836 3825

0,3

3814

3802

3790 3778 3765

3752 3739 3726

3712 3697

0,4

3683

3668

3653 3637 3621

3605 3589 3572

3555 3538

0,5

3521

3503

3485 3467 3448

3429 3410 3391

3372 3352

0,6

3392

3312

3292 3271 3251

3230 3209 3187

3166 3144

0,7

3123

3101

3079 3056 3034

3011 2989 2966

2943 2920

0,8

2897

2874

2850 2827 2803

2780 2756 2732

2709 2685

0,9

2661

2637

2613 2589 2565

2541 2516 2492

2468 2444

1,0

2420

2396

2371 2347 2323

2299 2275 2251

2227 2203

1,1

2179

2155

2131 2107 2083

2059 2036 2012

1989 1965

1,2

1942

1919

1895 1672 1849

1826 1804 1781

1758 1736

1,3

1714

1601

1669 1647 1626

1604 1582 1561

1539 1518

1,4

1497

1476

1456 1435 1415

1394 1374 1354

1334 1315

1,5

1295

1276

1257 1238 1219

1200 1182 1163

1145 1127

1,6

1109

1092

1074 1057 1040

1023 1006 0989

0973 0957

1,7

0940

0925

0909 0893 0878

0863 0848 0833

0818 0804

1,8

0790

0775

0761 0748 0734

0721 0707 0694

0681 0669

1,9

0656

0644

0632 0620 0608

0596 0584 0573

0562 0551

2,0

0540

0529

0519 0508 0498

0488 0478 0468

0459 0449

2,1

0440

0431

0422 0413 0404

0396 0387 0379

0371 0363

2,2

0355

0347

0339 0332 0325

0317 0310 0303

0297 0290

2,3

0283

0277

0270 0264 0258

0252 0246 0241

0235 0229

2,4

0224

0219

0213 0208 0203

0198 0194 0189

0184 0180

2,5

0175

0171

0167 0163 0158

0154 0151 0147

0143 0139

2,6

0136

0132

0129 0126 0122

0119 0116 0113

0110 0107

2,7

0104

0101

0099 0096 0093

0091 0088 0086

0084 0081

2,8

0079

0077

0075 0073 0071

0069 0067 0065

0063 0061

2,9

0060

0058

0056 0055 0053

0051 0050 0048

0047 0046

3,0

0044

0043

0042 0040 0039

0038 0037 0036

0035 0034

3,5

0009

0008

0008 0008 0008

0007 0007 0007

0007 0006

4,0

0001

0001 0001 0001

0001 0001

Dystrybuanta rozkładu normalnego

exp

D(t) = 0,5 + F|t| dla t

ñ 0

D(t) = 0,5 – F|t| dla t

á 0

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0

0000

0040

0080 0120 0159

0199 0239 0270

0319 0359

0,1

0398

0438

0478 0517 0557

0596 0636 0675

0714 0753

0,2

0793

0832

0871 0910 0948

0987 1026 1064

1103 1141

0,3

1179

1217

1255 1293 1331

1368 1406 1443

1480 1517

0,4

1554

1591

1628 1664 1700

1736 1772 1808

1844 1879

0,5

1915

1950

1985 2019 2054

2088 2123 2157

2190 2224

0,6

2257

2291

2324 2357 2389

2422 2454 2486

2518 2549

0,7

2580

2612

2642 2673 2704

2734 2764 2794

2823 2852

0,8

2881

2910

2939 2967 2995

3023 3051 3078

3106 3133

0,9

3159

3186

3212 3238 3264

3289 3315 3340

3365 3389

1,0

3413

3438

3461 3485 3508

3531 3554 3577

3599 3621

1,1

3643

3665

3686 3718 3729

3749 3770 3790

3810 3830

1,2

3849

3869

3888 3907 3925

3944 3962 3980

3997 4015

1,3

4032

4049

4066 4083 4099

4115 4131 4147

4162 4177

1,4

4192

4207

4222 4236 4251

4265 4279 4292

4306 4319

1,5

4332

4345

4357 4370 4382

4394 4406 4418

4430 4441

1,6

4452

4463

4474 4485 4495

4505 4515 4525

4535 4545

1,7

4554

4564

4573 4582 4591

4590 4608 4616

4625 4633

1,8

4641

4649

4656 4664 4671

4678 4686 4693

4699 4706

1,9

4713

4719

4726 4732 4738

4744 4750 4758

4762 4767

2,0

4773

4778

4783 4788 4793

4798 4803 4808

4812 4817

2,1

4821

4826

4830 4834 4838

4842 4846 4850

4854 4857

2,2

4861

4865

4868 4871 4875

4878 4881 4884

4887 4890

2,3

4893

4896

4898 4901 4904

4906 4909 4911

4913 4916

2,4

4918

4920

4922 4925 4927

4929

4931

4932

4934

4936

2,5

4938

4940

4941 4943 4945

4946

4948

4949

4951

4952

2,6

4953

4955

4956 4957 4959

4960

4961

4962

4953

4964

2,7

4965

4966

4967 4968 4969

4970

4971

4972

4973

4974

2,8

4974

4975

4976 4977 4977

4978

4979

4980

4900

4981

2,9

4981

4982

4963 4984 4934

4984

4985

4986

3,0

4986

4987

4987 4988 4988

4988

4989

4990

3,5

49977 4991 4991 4991 4992

4992 4992 4992

4993 4993

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
czesc III, WSKiZ, Materialoznawstwo w, Materialoznawstwo prof. dr hab. inz Boleslaw Jurkowski [ częś
czesc II, WSKiZ, Materialoznawstwo w, Materialoznawstwo prof. dr hab. inz Boleslaw Jurkowski [ część
czesc I, WSKiZ, Materialoznawstwo w, Materialoznawstwo prof. dr hab. inz Boleslaw Jurkowski [ część
Projektowanie baz danych [ prof dr hab inz Zbyszko Krolikowski], Transformacja EER material dydaktyc
Zarządzanie Projektem prof dr hab inż J ?sl
prof dr hab inż Handkiewicz Andrzej, Elektronika Cyfrowa, Automat synchroniczny 2
prof dr hab inż Handkiewicz Andrzej, Elektronika Cyfrowa, Rejestr cykliczny 2
Egzamin - pytania IFP, Studia Finanse i Rachunkowość FiR UMCS, Instrumenty finansowania przedsiębior
3687 Podanie,o,zwolnienie,z,czesci,oplat,za,punkty,ECTS,do,dr,hab ,inz ,Pawel,Drozdziel,prof ,PL
dr hab inż prof P P Andrzej Rybarczyk, Elektrotechnika, Zadania
strona startowa na prof zw dr hab inż Józefa Wojnarowskiego, dr h c
I Frejman, Metodologia badań pedagogicznych - wykład - prof. dr hab. S. Frejman
PEDcw w4s6, aaa VI semestr, PEDcw prof. dr hab. J.Pięta
egzamin prof dr hab Urlich
BUD WODNE Wyklad 1 dr hab inz Nieznany
TEORIA STOSUNKÓW MIĘDZYNARODOWYCH, Uczelnia - notatki, prof. dr hab. Sebastian Wojciechowski
II Frejman, Metodologia badań pedagogicznych - wykład - prof. dr hab. S. Frejman
prof dr hab M Smejda,Harmoniza Nieznany

więcej podobnych podstron