8. MIARA ZEWNĘTRZNA

1. Niech



∗

będzie miarą zewnętrzną określoną na

2

X

. Wykazać, że jeżeli

A , B⊂X , 

∗

B=0 , to   

∗

 A∪B=

∗

 A ∖ B=

∗

A .

2. Niech  

∗

 A=

{

0

jeśli A=∅

1

jeśli ∅≠A − skończony

∞

jeśli  A − nieskończony

, dla 

A⊂X

. Udowodnić, że 



∗

jest

 miarą zewnętrzną oraz zbadać czy jest miarą. 

3. Niech



∗

 będzie miarą zewnętrzną określoną na

2

X

, 

 A

n



­ wstępującym ciągiem

 podzbiorów X. Sprawdzić, czy 

∗

A

n

 jest ciągiem niemalejącym zbieżnym do



∗



∐

n =1

∞

A

n



.

4. Niech X będzie dowolną przestrzenią, . Pokazać, że podana funkcja



∗

 jest miarą

 zewnętrzną. Wyznaczyć rodzinę zbiorów



∗

­ mierzalnych:

4.1 

∗

 A=

{

0 

 gdy  A=∅

1

 gdy ∅≠ A⊂X

,

    4.2 

∗

 A=

{

0

jeśli A=∅

1

jeśli  A⊂ X i A≠∅ , X

2

jeśli  A=X

.

5. Niech

X =ℕ

oraz 

∗

 A=

{

A

=

1 A

=

 gdy  A  jest zbiorem skończonym 

1

 gdy  A  jest zbiorem nieskończonym 

.

Pokazać, że funkcja



∗

 jest miarą zewnętrzną. Wyznaczyć rodzinę zbiorów 



∗

­ 

mierzalnych.

6. Wykazać, że jeżeli A jest zbiorem



∗

­ mierzalnym i 

A∩B=∅

, to

  

∗

 A∪B=

∗

 A

∗

 B .

7. Pokazać, że jeżeli dowolny zbiór borelowski jest



∗

­ mierzalny, to



∗

jest zewnętrzną 

miarą metryczną,  
Wsk. Zauważyć, że jeśli 

 A , B0

, to istnieje zbiór otwarty zawierający zbiór A 

i rozłączny ze zbiorem B.