Wykład 3

Miara zewnętrzna

Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ

∗

przyporządkowującą każdemu podzbio-

rowi A danej przestrzeni X liczbę µ

∗

(A) ∈ [0, +∞] (a więc określoną na rodzinie wszystkich

podzbiorów przestrzeni X) nazywamy miarą zewnętrzną jeśli:

(i) µ

∗

(∅) = 0,

(ii) dla dowolnych zbiorów A ⊂ X, A

n

⊂ X, n ∈ N zachodzi

A ⊂

∞

[

n=1

A

n

⇒ µ

∗

(A) ¬

∞

X

n=1

µ

∗

(A

n

).

Twierdzenie 3.1 (własności miary zewnętrznej) Jeśli µ

∗

jest miarą zewnętrzną okre-

śloną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X, to

(i) A ⊂

m

S

n=1

A

n

⇒ µ

∗

(A) ¬

m

P

n=1

µ

∗

(A

n

),

(ii) µ

∗

(

∞

S

n=1

A

n

) ¬

∞

P

n=1

µ

∗

(A

n

),

(iii) µ

∗

(

m

S

n=1

A

n

) ¬

m

P

n=1

µ

∗

(A

n

),

(iv) A ⊂ B ⇒ µ

∗

(A) ¬ µ

∗

(B),

dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ X i A

n

⊂ X, n ∈ N.

Dowód Wykażemy wszystkie warunki po kolei.

(i) Wynika z Definicji 3.1 (i) i (ii) jeśli przyjmiemy A

m+1

= A

m+2

= . . . = ∅.

1

(ii) Wynika z Definicji 3.1 (ii) jeśli przyjmiemy A =

∞

S

n=1

A

n

.

(iii) Wynika z (i) jeśli przyjmiemy A =

m

S

n=1

A

n

.

(iv) Wynika z (i) jeśli przyjmiemy A

1

= B i m = 1.



Twierdzenie 3.2 (Carath´

eodory’ego) Niech µ

∗

będzie miarą zewnętrzną określoną na

rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X. Oznaczmy przez M rodzinę wszystkich

podzbiorów A przestrzeni X spełniających warunek:

(car)

^

Z⊂X

µ

∗

(Z) = µ

∗

(Z ∩ A) + µ

∗

(Z \ A).

Wówczas zachodzą warunki:

(i) M jest σ-ciałem w X,

(ii)

V

A⊂X

(µ

∗

(A) = 0 ⇒ A ∈ M),

(iii) funkcja µ = µ

∗

|M, tj. funkcja µ

∗

ograniczona do rodziny M, jest miarą określoną na

σ-ciele M i dodatkowo jest to miara zupełna.

Miarę µ będziemy nazywali miarą wyznaczoną przez miarę zewnętrzną µ

∗

.

Dowód Zanim przejdziemy do głównej części dowodu zauważmy, że warunek (car) jest

równoważny warunkowi

(CAR)

^

Z⊂X

µ

∗

(Z) ­ µ

∗

(Z ∩ A) + µ

∗

(Z \ A).

Istotnie, ponieważ

Z = (Z ∩ A) ∪ (Z \ A),

więc wykorzystując Twierdzenie 3.1 (iii) dostajemy

µ

∗

(Z) = µ

∗

((Z ∩ A

|

{z

}

A

1

) ∪ (Z \ A

|

{z

}

A

2

)) ¬ µ

∗

(Z ∩ A

|

{z

}

A

1

) + µ

∗

(Z \ A

|

{z

}

A

2

),

2

przy każdym Z ⊂ X. Otrzymana nierówność pokazuje, że warunek (car) jest równy wa-

runkowi (CAR).

(i) Aby pokazać, że M jest σ-ciałem musimy wykazać, że warunki (i), (ii) i (iii) Definicji

2.2 zachodzą.

Biorąc dowolny zbiór Z ⊂ X dostajemy

µ

∗

(Z) = µ

∗

(Z ∩ X) = µ

∗

(Z ∩ (∅ ∪ ∅

0

)) =

= µ

∗

(Z ∩ ∅) + µ

∗

(Z ∩ ∅

0

) = µ

∗

(Z ∩ ∅) + µ

∗

(Z \ ∅).

A zatem

µ

∗

(Z) = µ

∗

(Z ∩ ∅) + µ

∗

(Z \ ∅),

tj. ∅ ∈ M i warunek (i) Definicji 2.2 zachodzi.

Załóżmy teraz, że A ∈ M. Biorąc dowolny zbiór Z ⊂ X dostajemy

µ

∗

(Z) = µ

∗

(Z ∩ (A ∪ A

0

)) = µ

∗

(Z ∩ A) + µ

∗

(Z ∩ A

0

) =

= µ

∗

(Z ∩ A) + µ

∗

(Z ∩ (X \ A)) = µ

∗

(Z ∩ (A

0

)

0

) + µ

∗

(Z ∩ (X \ A)) =

= µ

∗

(Z \ (X \ A)) + µ

∗

(Z ∩ (X \ A)) = µ

∗

(Z ∩ (X \ A)) + µ

∗

(Z \ (X \ A)),

tj.

µ

∗

(Z) = µ

∗

(Z ∩ (X \ A)) + µ

∗

(Z \ (X \ A)),

a to oznacza, że zbiór X \ A spełnia warunek (car), czyli X \ A ∈ M (warunek (ii) Definicji

2.2 zachodzi).

Zostało pokazać, że biorąc dowolny ciąg zbiorów A

1

, A

2

, A

3

, . . . ∈ M również zbiór

∞

S

n=1

A

n

∈ M.

Dowód przeprowadzimy w czterech krokach.

1) Pokażemy najpierw, że zachodzi warunek

B

1

, B

2

∈ M ⇒ B

1

∪ B

2

∈ M.

Załóżmy zatem, że B

1

∈ M, tj. że

(*)

^

Z⊂X

µ

∗

(Z) = µ

∗

(Z ∩ B

1

) + µ

∗

(Z \ B

1

)

3

i, że B

2

∈ M, tj. że

(**)

^

Z⊂X

µ

∗

(Z) = µ

∗

(Z ∩ B

2

) + µ

∗

(Z \ B

2

).

Przyjmując teraz we wzorze (**) za zbiór Z zbiór Z ∩B

1

i za zbiór Z zbiór Z \B

1

dostajemy

odpowiednio

µ

∗

(Z ∩ B

1

) = µ

∗

((Z ∩ B

1

) ∩ B

2

) + µ

∗

((Z ∩ B

1

) \ B

2

)

i

µ

∗

(Z \ B

1

) = µ

∗

((Z \ B

1

) ∩ B

2

) + µ

∗

((Z \ B

2

) \ B

2

).

Uwzględniając powyższe związki w (*), korzystając z równości

Z ∩ (B

1

∪ B

2

) = (Z ∩ B

1

∩ B

2

) ∪ (Z ∩ B

1

∩ B

0

2

) ∪ (Z ∩ B

0

1

∩ B

2

)

oraz z Twierdzenia 3.1 (iii) dostajemy

µ

∗

(Z) = µ

∗

(Z ∩ B

1

) + µ

∗

(Z \ B

1

) =

= µ

∗

((Z ∩ B

1

) ∩ B

2

) + µ

∗

((Z ∩ B

1

) \ B

2

) + µ

∗

((Z \ B

1

) ∩ B

2

) + µ

∗

((Z \ B

1

) \ B

2

) =

= µ

∗

(Z ∩ B

1

∩ B

2

) + µ

∗

(Z ∩ B

1

∩ B

0

2

) + µ

∗

(Z ∩ B

0

1

∩ B

2

) + µ

∗

(Z ∩ B

0

1

∩ B

0

2

) ­

­ µ

∗

(Z ∩ (B

1

∪ B

2

)) + µ

∗

(Z \ (B

1

∪ B

2

)),

tj.

µ

∗

(Z) ­ µ

∗

(Z ∩ (B

1

∪ B

2

)) + µ

∗

(Z \ (B

1

∪ B

2

)),

co pokazuje, że zbiór B

1

∪ B

2

spełnia warunek (CAR) i tym samym, że B

1

∪ B

2

∈ M.

Stosując teraz zasadę indukcji matematycznej łatwo pokazać, że dla dowolnego m ∈ N

(∆)

B

1

, B

2

, . . . , B

m

∈ M ⇒

m

[

n=1

B

n

∈ M.

2) Pokażemy też, że jeśli zbiory B

1

, B

2

, . . . , B

m

∈ M i B

i

∩ B

j

= ∅, i, j = 1, 2, . . . , m,

i 6= j, to

(∆∆)

^

Z⊂X

µ

∗

Z ∩

m

[

n=1

B

n

!

=

m

X

n=1

µ

∗

(Z ∩ B

n

) .

4

Dowód jest przez indukcję względem m. Dla m = 1 warunek (∆∆) oczywiście zachodzi.

Załóżmy zatem prawdziwość warunku dla m − 1, gdzie m ­ 2. Przyjmując w warunku

(car) za zbiór B zbiór B

m

i za zbiór Z zbiór Z ∩

m

S

n=1

B

n

otrzymujemy

µ

∗

Z ∩

m

[

n=1

B

n

!

= µ

∗

Z ∩

m

[

n=1

B

n

!

∩ B

m

!

+ µ

∗

Z ∩

m

[

n=1

B

n

!

\ B

m

!

=

= µ

∗

(Z ∩ B

m

) + µ

∗

Z ∩

m−1

[

n=1

B

n

!

= µ

∗

(Z ∩ B

m

) +

m−1

X

n=1

µ

∗

(Z ∩ B

n

) =

m

X

n=1

µ

∗

(Z ∩ B

n

),

tj.

µ

∗

Z ∩

m

[

n=1

B

n

!

=

m

X

n=1

µ

∗

(Z ∩ B

n

),

co pokazuje, że warunek (∆∆) zachodzi.

3) Weźmy dowolny ciąg zborów B

1

, B

2

, B

3

, . . . ∈ M parami rozłącznych. Biorąc dowol-

ny zbiór Z ⊂ X oraz korzystając z (∆) i (∆∆) dostajemy

µ

∗

(Z) = µ

∗

Z ∩

m

[

n=1

B

n

!

+ µ ∗

Z \

m

[

n=1

B

n

!

=

=

m

X

n=1

µ

∗

(Z ∩ B

n

) + µ

∗

Z \

m

[

n=1

B

n

!

.

Biorąc teraz pod uwagę nierówność

µ

∗

Z \

∞

[

n=1

B

n

!

¬ µ

∗

Z \

m

[

n=1

B

n

!

,

(zob. Twierdzenie 3.1 (iv)) dostajemy

µ

∗

(Z) ­

m

X

n=1

µ

∗

(Z ∩ B

n

) + µ

∗

Z \

∞

[

n=1

B

n

!

.

Przykładając do obu stron powyższej nierówności granicę przy n → ∞ otrzymujemy

µ

∗

(Z) ­

∞

X

n=1

µ

∗

(Z ∩ B

n

) + µ

∗

Z \

∞

[

n=1

B

n

!

.

A ponieważ na mocy Twierdzenia 3.1 (ii)

∞

X

n=1

µ

∗

(Z ∩ B

n

) ­ µ

∗

∞

[

n=1

(Z ∩ B

n

)

!

= µ

∗

Z ∩

∞

[

n=1

B

n

!

,

5

więc ostatecznie dostajemy

^

Z⊂X

µ

∗

(Z) ­ µ

∗

Z ∩

∞

[

n=1

B

n

!

+ µ

∗

Z \

∞

[

n=1

B

n

!

,

tj. zbiór

∞

S

n=1

B

n

spełnia warunek (CAR) i tym samym

∞

S

n=1

B

n

∈ M.

4) Rozważmy w końcu dowolny ciąg zbiorów A

1

, A

2

, A

3

, . . . ∈ M. Połóżmy

B

1

= A

1

, B

n

= A

n

\ (A

1

∪ A

2

∪ . . . ∪ A

m−1

), m = 2, 3, 4, . . . .

Łatwo teraz zauważyć, że dla wszystkich n ∈ N, zbiory B

n

są w M, są parami rozłączne i

ponadto

∞

[

n=1

B

n

=

∞

[

n=1

A

n

.

Na mocy wyników uzyskanych w 3) dostajemy zatem

∞

[

n=1

B

n

∈ M,

a stąd

∞

[

n=1

A

n

∈ M,

tj. M jest σ-ciałem.

(ii) Weźmy teraz dowolny zbiór A ⊂ X i załóżmy, że µ

∗

(A) = 0. Korzystając z mono-

toniczności miary zewnętrznej (zob. Twierdzenie 3.1 (iv)) i biorąc dowolnym zbiór Z ⊂ X

dostajemy

µ

∗

(Z) ­ µ

∗

(Z \ A) + µ

∗

(A) ­ µ

∗

(Z \ A) + µ

∗

(Z ∩ A),

co pokazuje, że zbiór A spełnia warunek (CAR) i tym samym, że A ∈ M.

(iii) Musimy na koniec wykazać, że µ = µ

∗

|M jest miarą. Oczywiście µ(∅) = µ

∗

(∅) = 0.

Weźmy teraz dowolny ciąg zbiorów A

1

, A

2

, A

3

, . . . ∈ M parami rozłącznych.

Korzystając z Twierdzenia 3.1 (ii) otrzymujemy

(

)

µ

∞

[

n=1

A

n

!

= µ

∗

∞

[

n=1

A

n

!

¬

∞

X

n=1

µ

∗

(A

n

) =

∞

X

n=1

µ(A

n

).

6

Wykorzystując monotoniczność miary zewnętrznej (zobacz Twierdzenie 3.1 (iv)) oraz

kładąc w warunku (∆∆) Z = X dla n = 1, 2, 3, . . . otrzymujemy

µ

∗

∞

[

n=1

A

n

!

­ µ

∗

m

[

n=1

A

n

!

= µ

∗

X ∩

m

[

n=1

A

n

!

=

=

m

X

n=1

µ

∗

(X ∩ A

n

) =

m

X

n=1

µ

∗

(A

n

),

tj.

µ

∗

∞

[

n=1

A

n

!

­

m

X

n=1

µ

∗

(A

n

).

Przykładając do obu stron powyższej nierówności granicę przy n → ∞ dostajemy

µ

∗

∞

[

n=1

A

n

!

­

∞

X

n=1

µ

∗

(A

n

),

skąd

(

 )

µ

∞

[

n=1

A

n

!

­

∞

X

n=1

µ(A

n

).

Z (

) i ( ) dostajemy

µ(

∞

[

n=1

A

n

) =

∞

X

n=1

µ(A

n

),

tj. µ jest miarą.

Jeśli teraz założymy, że µ(A) = 0 i weźmiemy dowolny zbiór B ⊂ A, to

0 ¬ µ

∗

(B) ¬ µ

∗

(A) = µ(A) = 0,

skąd µ

∗

(B) = 0 i na mocy (ii) dostajemy, że B ∈ M. Funkcja µ jest miarą zupełną.



Uwaga 3.1 (równoważna definicji miary zewnętrznej) Funkcję µ

∗

przyporządkowu-

jącą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę µ

∗

(A) ∈ [0, +∞] (a więc określoną

na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X) nazywamy miarą zewnętrzną jeśli:

(i) µ

∗

(∅) = 0,

(ii)

V

A,B⊂X

(A ⊂ B ⇒ µ

∗

(A) ¬ µ

∗

(B)),

(iii)

V

A

1

,A

2

,A

3

,...⊂X

µ

∗

(

∞

S

n=1

A

n

) ¬

∞

P

n=1

µ

∗

(A

n

).

7