POLITECHNIKA WARSZAWSKA

Wydział samochodów i maszyn

roboczych

Przedmiot: Diagnostyka maszyn


Praca domowa numer 2

„Wykorzystanie zjawiska Dopplera w diagnostyce”




Arkadiusz Kubik gr. 1.2. mgr

Warszawa 2013

Wprowadzenie

Christian Andreas Doppler jako pierwszy w 1842 r. w swojej publikacji opisał

zaobserwowany efekt polegający na zmianie koloru światła pod wpływem ruchu w układzie
gwiazd podwójnych. Naukowe badanie efektu po raz pierwszy przeprowadził Christoph
Hendrik Diederik Buys Ballot w 1845 r. Poprosił on grupę muzyków (trębaczy), aby wsiedli do
pociągu i grali jeden ton. Słuchał go i zaobserwował, że dźwięk instrumentów staje się
wyższy, gdy pociąg zbliża się do niego. Gdy źródło muzyki się oddala, jego ton staje się niższy.
Zmiana wysokości dźwięku była dokładnie taka, jak obliczył uprzednio Doppler. Niezależnie
od niego podobny efekt został w 1848 r. zaobserwowany przez Armanda Fizeau dla fal
elektromagnetycznych.

Zjawisko Dopplera polega na zmianie częstotliwości fali odbijającej się od ruchomego

obiektu i wykorzystywane jest w diagnostyce, w laserowych pomiarach drgań. Jeżeli obiekt
zbliża się do źródła fali, częstotliwość fali odbitej rośnie, zaś gdy obiekt oddala się -
częstotliwość fali odbitej maleje. Zmiana częstotliwości fali odbitej jest zależna od prędkości
obiektu w kierunku rozchodzenia się fali. Efekt Dopplera występuje we wszelkiego rodzaju
zjawiskach falowych. Zmiana częstotliwości fali odbitej znana jest jako częstotliwość
Dopplera i opisana wzorem:

(1)

Gdzie: V

x

- prędkość ruchu obiektu odbijającego wiązkę o długości fali rzutowana na kierunek

propagacji fali x wynosi:

(2)

Θ jest kątem pomiędzy kierunkiem ruchu obiektu, a kierunkiem propagacji fali padającej.
Zależności te zilustrowano poniżej; częstotliwość fali padającej oznaczono jako

.

Rysunek 1.

Zjawisko Dopplera stanowi podstawę laserowych pomiarów drgań. Układy

pomiarowe umożliwiają pomiar częstotliwości Dopplera jako różnicy między częstotliwością
wiązki wysyłanej i odbitej, co z kolei przy znajomości długości fali światła lasera umożliwia
określenie chwilowej prędkości V przez przekształcenie wzoru (1).

Pomiar drgań skrętnych

Do pomiaru drgań skrętnych wykorzystuje się dwie równoległe wiązki laserowe.

Zasadę pomiarów można wyjaśnić na przykładzie przedstawiającym schematycznie działanie
układu optycznego laserowego przetwornika drgań skrętnych miernika typ 2523 produkcji
Bruel&Kjaer’a.

Na rysunku 2 widać przekrój poprzeczny elementu wirującego wokół osi z

prostopadłej do płaszczyzny rysunku ( ⃗ jest wektorem jednostkowym w kierunku osi z).
Dwie równoległe wiązki uzyskane przez rozdzielenie tego samego światła lasera oddalone od
siebie o odległość d padają na obracający się element w punktach A i B. Prędkości liniowe
punktów A, B skierowane są prostopadle do promieni obrotu

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ i wynoszą odpowiednio:

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (3)

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (4)

W powyższych równaniach

⃗⃗⃗ jest chwilową prędkością obrotową.

Rysunek nr 2

Wprowadzając jednostkowy wektor kierunku propagacji wiązek laserowych i prędkość osi
obrotu

⃗⃗ częstotliwości Dopplera dla promieni odbitych po przekształceniu (3) wyniosą

odpowiednio:

⃗ ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ (5)

⃗ ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ (6)

Odbite promienie padają na powierzchnię elementu światłoczułego modulując się
wzajemnie, co wywołuje zjawisko dudnienia o częstotliwości

:

⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ (7)

Zauważmy, że:

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (8)

Zaś

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (9)

Po oznaczeniu ⃗ jako jednostkowego wektora prostopadłego do

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ i leżącego w płaszczyźnie

prostopadłej do osi obrotu z, można w przypadku ogólnym, gdy kierunek padania wiązki jest
odchylony od przekroju prostopadłego do osi obrotu o kąt 90 , zależność (8) można więc
zapisać w postaci:

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗) ⃗⃗⃗ ⃗|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗| (10)

Podstawiając (10) do (7) otrzymamy:

|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗ ⃗ (11)

Ostatecznie po wprowadzeniu kąta między kierunkami wektorów jednostkowych ⃗ ⃗
częstotliwość dudnienia wynosi:

|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗| (12)

Gdy obie wiązki światła laserowego wyznaczają płaszczyznę prostopadłą do osi obrotu
elementu wirującego, wówczas

, zaś|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗| . W tych warunkach:

(13)

Z powyższych rozważań można wnioskować, że istnieje jednoznaczna zależność

wiążąca prędkość kątową z częstotliwością dudnienia powstałą wskutek nałożenia dwóch
wiązek odbitych od wirującego elementu. Laserowe mierniki drgań skrętnych bazują na tej
zależności, generując na wyjściu sygnał napięciowy proporcjonalny do chwilowej prędkości
obrotowej. Podczas pomiarów gdy wiązki padają na czoło wirującego czopa oraz przy
odchyleniu osi optycznej przetwornika od płaszczyzny prostopadłej do osi wirowania dla
określania amplitudy drgań skrętnych konieczne jest wprowadzanie poprawek wynikających
z (12). Tego typu efekty zilustrowano rysunkiem 3.

Rysunek nr 3

Praktycznie zatem wygodniej jest kierować wiązki promieni lasera na obwód

wirującego wału w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu - nie zachodzi wtedy konieczność
korygowania uzyskanych rezultatów pomiarowych.

Bez względu na jednak na sposób kierowania wiązki promieni lasera na obwód

wirującego wału można przeprowadzić tok obliczeń w oparciu o założenia dotyczące efektu
Dopplera.

Bibliografia:

1) http://www.if.pw.edu.pl/~mrow/doppler/

2)

http://vibrolab.simr.pw.edu.pl/lppwd04.pdf

3)

http://pl.wikipedia.org/wiki/Efekt_Dopplera