WYDZIAŁ MECHANICZNY - studia zaoczne
Analiza Matematyczna
LISTA 0.
(Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Dwumian Newtona. Pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretacja geometryczna. Pojęcie funkcji. Dziedzina, zbiór wartości i miejsca zerowe. Niektóre własności funkcji.)
UWAGA - Na ćwiczeniach robimy przykłady z zadań: 3,4,8,10,13,19,20,21,22.
Reszta do samodzielnego rozwiązania.
1. Wykonać działania i uprościć wyrażenia:
√
8
! "
#
x
3 x
2 − 6 x
6 y
x
1
√
y
x − y
a)
+
−
;
b)
−
6
√
√
√
√
x 5 − √
− √
√
.
x− 9 x 3
x+3 x 2
(1 − 3 x)2
√
√
y − 6p x 3 y 2
xy − x 3 y
x − y
6 x
3 x 2 + 6 x y
√
√ 6
√
√ 4
√
√
√
√
2. Posługując się trójkątem Pascala obliczyć:
3 2+ 2
,
2+ 3
,
2+( 2) − 14 ,
3+( 2) − 16 .
√
12
3. Wyznaczyć współczynniki przy: x 0 , x 2 , x 5 , x 6 w rozwinięciu dwumianu 3 x+ 2
.
x
4. Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej rozwiązać następujące równania i nierów-ności: a) |x− 1 |=2 , b) | 2 x+1 | < 5 , d) |x− 5 | ¬ |x+2 |. Zbiór rozwiązań zaznaczyć na osi liczbowej.
5. Dana jest funkcja f ( x) = x+1 . Wyznaczyć: f (2 x) , f ( x ) , 2 f ( x) , f ( 1 ) , f ( x 2) , ( f ( x))2 , ( f ◦ f)( x) .
x− 1
2
x
6. Zbadać różnowartościowość i nieparzystość funkcji f ( x) =
x
i sporządzić jej wykres. Wyznaczyć i
1+ |x|
narysować funkcję odwrotną.
q
√
√
7. Zbadać parzystość i nieparzystość funkcji: a) f ( x) =
1 −x , b) f( x) = 1 + x + x 2
1
1+
−
− x + x 2.
x
√
8. Narysować wykresy funkcji: a) f ( x) = x− 2+ |x+2 |; b) f( x) = || 2 x+1 | − 2 |; c) f( x) = 2 x− x 2 − 6 x+9 .
9. Rozwiązać równania i nierówności: a) x 3 − 2 x 2+2 x− 1=0 , b) x 4+4 x 2 − 32 > 0 , c) x 4 − 2 x 3+2 x− 1=0.
10. Narysować wykresy funkcji f ( x) = x− 2 , f ( x) = 2 x− 1 . Wyznaczyć funkcje odwrotne i narysować ich wykresy.
x+1
x+3
√
1
1
11. Rozwiązać równania i nierówności: a) x− 3
2
4 = 1 ,
b) x 4 < x 3 , c) ( x
, d) ( x+2) − 32 =
.
8
− 1) − 34 = 18
4
12. Wykorzystując wykres funkcji f ( x) = 3 x sporządzić wykresy funkcji: a) f ( x) = 2 − 3 x− 1 , b) f( x)=2 − 3 |x|.
√
13. Wyznaczyć dziedzinę oraz miejsca zerowe funkcji: f ( x) =
23 x · 7 x− 2 − 4 x+1; g( x) = p4 − log2 ( x 2 − 1) 14. Niech a będzie dowolną liczbą dodatnią różną od 1. Zbadać parzystość, nieparzystość i monotoniczność i wyznaczyć funkcje odwrotne następujących funkcji: a) f ( x) = ax−a−x ; f ( x) = ax+ a−x .
2
2
2 log
3
15. Obliczyć: log √ 1 ; log
; log
1
3
2
;
22 log √ 2 .
2 2 8
9 tg π
3
2 3 · log3 4 · · · · · log127 128;
2
√
16. Wyznaczyć x, wiedząc, że: a) log x 3 = − 1; b) log √ x =
x = 3.
2
− 2; c) log √x 8 = 2; d) log 13
17. Wykorzystując wykres funkcji f ( x) = log 1 x sporządzić wykresy funkcji: a) f ( x) = 2 − log 1 |x − 3 |.
2
2
18. Rozwiązać równania i nierówności: a) log4 ( x 2 − 5) > 0 , b) log4 (log2 x)+log2 (log4 x) = 2 , c) log 1 |x − 1 | < 2 .
2
19. Narysować wykresy funkcji: f ( x) = sin x, f ( x) = sin x , f ( x) = sin ( x + π ) , f ( x) = cos x, f ( x) = cos 2 x, 2
4
f ( x) = 1 − sin 2 x; f( x) = 2 sin x 2 − 1 , f( x)=sin |x|; f( x)=sin |x − π 4 |, f( x)= | sin x+cos x|; .
20. Rozwiązać następujące równania i nierówności trygonometryczne: a) sin 2 x = sin x;
b) sin 2 x = cos x;
c) cos 2 x = sin ( x + π );
d) ctg 2 x = ctg ( x
);
2
− π 4
√
e) 2 cos2 x = 3 cos x + 2;
f) sin x + cos x 0;
g) sin x − cos x ¬ 1;
h) sin x − 3 cos x 0 .
21. Dla funkcji okresowej f ( x) = A sin( ωx + φ) , stałą A nazywamy amplitudą, ω - częstotliwością a φ - fazą początkową. Wyznaczyć te trzy stałe dla funkcji
√
a) f ( x) = 4 sin (3 x+ π );
b) f ( x) =
3 sin 2 x
+2 cos x .
3
− cos 2 x;
c) f ( x) = 2 sin x 2
2
22. Obliczyć:
√
a) arc tg − 1
√
;
b) arc tg ( − 3);
c) sin(arc sin 1);
d) sin(arc cos 1);
e) sin(arc cos 0);
3
√
f) arc sin sin π ;
g) arc cos sin 17 π ;
h) arc tg ctg π ;
i) arc sin
;
j) arc sin 3 ;
3
3
3
− 12
2
√
k) arc cos − 3 ;
l) arc cos sin 5 π ;
m) arc tg(
;
o) arc ctg sin 5 π .
2
3
− 1);
n) arc ctg 1
√ 3
2
Analiza Matematyczna
LISTA 1.
(Koniec listy 0. Ciągi liczbowe. Granica funkcji w punkcie. Asymptoty wykresu funkcji.) 1. Zbadać monotonoczność i ograniczoność ciągów:
√
n 3
n 3
n − 1
a) an =
n 2 + 2 − n; b) an =
;
c) an =
;
d) an = 3 n + ( − 2) n;
e) an = √
,
n!
2 n
n 2 + 1
1
1
1
1
1
2
3
n
e) dn =
+
+
+ . . . +
;
f) d
+
+
+ . . . +
.
41 + 1
42 + 2
43 + 3
4 n +
n =
n
21 + 1
22 + 2
23 + 3
2 n + n
2. Korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic oraz z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć podane granice:
√
√
√
a) lim (2 n 2 − n 2 + 2 n + 5) :
b) lim (2 n − 4 n 2 + n) :
c) lim ( n 2 − n 4 + 2 n + 5) :
n→∞
n→∞
n→∞
2 n + ( − 1) n
2 n 3 + sin2 n
√
d) lim
;
e) lim √
√
;
f) lim n n 3 + n 2 + 2;
n→∞
3 n + 2
n→∞
3 n 3 − n 6 + 5 n 3
n→∞
3. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć podane granice:
√ ! − 2 n
2 n + 1 3 n− 1
1 3 n− 2
n
sqrtn
n − n
a) lim
;
b) lim
1 +
;
c) lim
; ;
d) lim
√
.
n→∞
2 n − 3
n→∞
2 n
n→∞
n + 1
n→∞
n +
n
4. Zbadać istnienie następujących granic funkcji:
x
|x − 1 | 3
sin x
a) lim
;
b) lim x sin x;
c) lim
;
d) lim
1 ;
e) lim
.
x→ 2 4 − x 2
x→∞
x→ 1 x 3 − x 2
cos x
x→ π
x→ 0 |x|
2
5. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic obliczyć podane granice:
√
√
√
x 6 − 1
1 + x − 1 − x
x − 2 − 2
√
a) lim
;
b) lim
;
c) lim
;
d) lim
x 2 + 1 + x ;
x→ 1 1 − x 2
x→ 0
2 x
x→ 6
x − 6
x→−∞
√
sin2 x
√
√
2 x + 3 x
1 + x 2
e) lim
;
f) lim
1 + x 2 − x 2 − 1;
g) lim
;
h) lim √
;
x→ 0 1 − cos x
x→∞
x→∞ 3 x + 1
x→∞ 3 1 − x 3
6. Korzystając z twierdzenia o dwu lub trzech funkcjach uzasadnić podane równości: 2+sin x
2
a) lim sin x = 0; ;
b) lim
x+sin
x
x sin 1 = 0; ;
c) lim
= 0;
d) lim e
= 0 .
x→∞
x
x→ 0
x
x→∞
x 2
x→−∞
7. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć podane granice: cos 5 x
e 3 x − 1
ln (1 + cos x)
cos 3 x − cos 7 x
a) lim
;
b) lim
;
c) lim
;
d) lim
;
x→ π cos 3 x
x→ 0 sin 2 x
x→ π
x − π
x→ 0
x 2
2
2
2
8. Wyznaczyć asymptoty pionowe i ukośne wykresów podanych funkcji:
√
x 2 + 2 x − 3
1 − x 2
1
a) f ( x) =
;
b) f ( x) =
;
c) g( x) = x − sin 1 ;
d) f ( x) =
.
x 2 − 4
x
x
ex − 1
9. Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki: f ( x)
a) lim f ( x) = 0 , lim f ( x) = 3 , lim
= 2;
x→−∞
x→ 1
x→∞
x
b) lim p( x) = ∞, lim p( x) = 0 , funkcja p jest okresowa i ma okres T = 3; x→ 1
x→ 2
c) lim q( x) = 4 , lim q( x) = ∞, funkcja q jest nieparzysta; x→−∞
x→ 1
Na rysunkach wskazać fragmenty wykresów spełniające poszczególne warunki.
Analiza Matematyczna
LISTA 2.
(Ciągłość funkcji. Podstawowe własności funkcji ciągłych.) 1. Określić rodzaje nieciągłości podanych funkcji we wskazanych punktach: (
x arctg 1
dla
x 6= 0 ,
a) f ( x) = sgn x( x − 1) , ; b) g( x) =
x
x
π
0 = 0;
dla
x = 0 ,
2
x 0 = 1;
x 0 = 0;
2. Wyznaczyć parametr a, tak, by funkcja
(
x 2 + 2 x − a
dla
x < 0
f ( x) =
√x 2 − 6 x + 9 + 2 a dla x 0
była ciągła na całej prostej. Narysować wykres otrzymanej funkcji.
3. Dobrać parametry a, b ∈ IR tak, aby podane funkcje były ciągłe we wskazanych punktach:
(
( x − 1)3 dla x ¬ 0 ,
bx
dla
x < π,
a) f ( x) =
sin x
;
b) h( x) =
ax + b
dla
0 < x < 1 ,
dla
x π,
√
ax
x
dla
x 1 ,
x 0 = π;
x 1 = 0; i x 2 = 1;
(
bx + 3
dla
x < 1 ,
(
x
dla
|x| ¬ 1 ,
c) g( x) =
d) p( x) =
2 x 2 + x + a
dla
x 1 ,
x 2 + ax + b
dla
|x| > 1 ,
x 0 = 1;
Narysować wykresy otrzymanych funkcji.
4. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach:
√
a) 1 = sin x + x, 0 , π ;
b) arctg x = 1 ,
1
√ ,
3 ;
c) ln x + 2 x = 1 ,
1 , 1
2
2
x 2
3
2
d) 3 x + x = 3 , (0 , 1) ;
e) x 100 + x − 1 = 0 ,
1 , 1 ;
f) x 2 x = 1 , (0 ,
2
∞) .
Wyznaczyć rozwiązanie równania c) z dokładnością 0 . 125 .
5. Korzystając z twierdzenia Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich przez funkcję ciągłą uzasadnić następujące stwierdzenia:
a) jeżeli samochód wyruszył z Wrocławia o godz. 8:00 i jadąc ze zmienną szybkością dotarł do Warszawy o godz. 12:00, a następnego dnia o godzinie 8:00 wyruszył z powrotem i jadąc po tej samej drodze wrócił
do Wrocławia o godz. 12:00, to jest takie miejsce na tej drodze, w którym był o tej samej godzinie zarówno jadąc do Warszawy jak i wracając z powrotem;
b) jeżeli zegar o północy spó«niał się o 5 min., a po nakręceniu, następnego dnia o północy spieszył się o 10
min., to w pewnej chwili wskazywał właściwy czas;
Analiza Matematyczna
LISTA 3.
(Pojęcie pochodnej i jej interpretacja geometryczna. Podstawowe własności funkcji różniczkowal-nych. Zastosowania rachunku różniczkowego)
1. Korzystając z definicji sprawdzić, czy podane funkcje mają pochodne we wskazanych punktach: ( x 2 dla x ¬ 1 ,
a) f ( x) = 1
√ ,
x
√
,
x
3 x
0 6= 0;
b) f ( x) = |x 5 |, x 0 = 0; c) h( x) =
x dla x > 1 ,
0 = 1 .
2. Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji w dowolnym punkcie x 0 : a) f ( x) = xn;
b) g( x) = sin x;
c) h( x) = 1 , x 6= 0; d) p( x) = ax.
x
3. Znaleźć parametry a, b, c, dla których podane funkcje mają pochodne na IR :
(
− 1
dla x < 0 ,
aex + b dla x ¬ 0 ,
a) f ( x) =
b) g( x) =
a sin x+ b cos x+ c dla 0 ¬ x ¬ π, 2 −x
dla x > 0;
1
dla x > π.
Narysować wykresy otrzymanych funkcji.
4. Korzystając z reguł obliczania pochodnych obliczyć pochodne podanych funkcji: a) y = tg x;
b) y = ctg x;
c) y = ax;
d) y = arc tg x ;
x+1
√
x
e) y = x x;
f) y = (sin x) x;
g) y = x sin x;
h) y = 1 + 1
.
x
5. Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne, obliczyć pochodne funkcji: a) y = sin ( f ( x) g( x)); b) y = ( f ( x)) g( x);
c) y = tg f( x) ;
d) y = f ( x) arctg g( x) .
g( x)
6. Napisac równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
√
√
√
a) f ( x) = 2 x , ( 2 , f ( 2)); b) f ( x) = x x, ( e, f ( e)) ; c) f ( x) = arctg x 2 , (0 , f (0)) ; 1+ x 2
d) f ( x) = ex , (1 , f (1)) ;
e) f ( x) = ln x , ( e, f ( e)); f) f ( x) = arctg 1 −x , (1 , f (1)) .
x+1
x
1+ x
7. Wyznaczyć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy podanych funkcji:
√
a) f ( x) = x 2, g( x) = 3 x, x > 0; b) f ( x) = 4 − x, g( x) = 4 − x 2 , x > 0; c) f( x) = 2 x i g( x) = 4 x− 1; 2
8. Dla jakich wartości parametru a ∈ IR , wykresy funkcji y = eax, y = e−x przetną się pod kątem prostym?
√
9. Napisać wzór Taylora dla funkcji f ( x) = e x w punkcie x 0 = 1 z resztą R 3 . Oszacować przybliżenie tej funkcji wielomianem Taylora stopnia 2 dla x ∈ (0 , 9; 1 , 1) .
√
10. Obliczyć ln (0 , 9) oraz 3 0 . 99 z dokładnością 10 − 3.
11. Uzasadnić następujące tożsamości:
√
a)a) arcsin x + arccos x = π
dla każdego x,
1
2
∈ [ − 1 , 1] .
b) sin(arccos x) =
− x 2 dla każdego x, ∈ ( − 1 , 1) .
12. Korzystając z twierdzenia Lagrange’a udowodnić następujące nierówności: a) | arctg x − arctg y| |x − y| dla dowolnych x, y ∈ IR .
b)
x
< ln ( x + 1) < x dla 0 < x, x+1
13. Wykorzystując regułę de l’Hospitala wyznaczyć następujące granice: a) lim arc sin 2 x ;
b) lim 2 x− 1 ;
c) lim e sin x− 1 ;
d) lim x− sin x e) lim x ln x .
x→ 0
x 3
x
x+ln x
x→ π
x→ 0
x 2
x 3
x→ 0+
x→∞
0
14. Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wykresy funkcji: a) f ( x) = xe−x 2;
b) f ( x) = x ;
c) f ( x) = x 3 ;
d) f ( x) = sin x
ln
− sin2 x.
x
x− 1
Analiza Matematyczna
LISTA 4.
(Całka nieoznaczona. Całka oznaczona i jej związek z całką nieoznaczoną.
Zastosowania całki oznaczonej.)
1. Wykorzystując definicję oraz podstawowe własności obliczyć następujące całki nieoznaczone:
√
a) R sinxdx;
b) R sin 2 xdx;
c) R
dx
√
;
d) R (3 · 2 x− 2 · 3 x) dx ; e) R 2 3 x− 3 x 2+7 .
1 −x 2
5 x
x 2
2. Wykorzystując metodę całkowania przez podstawienie obliczyć następujące całki nieoznaczone:
√
a) R xsin 3 x 2 + 1 dx;
b) R sin 5 x cos xdx;
c) R x 3 dx ;
d) R x 2 dx
√
;
e) R 3 2
1+
− 3 x 3 x 2 dx;
x 8
1 −x 6
√
f) R xsin 3 x 2 + 1 dx;
g) R cos 5 x sin 2 xdx;
c) R exdx ;
c) R
exdx
√
;
d) R 3 x 4 + 7 x 3 dx.
1+ e 2 x
1 −e 2 x
3. Wykorzystując metodę całkowania przez części obliczyć następujące całki nieoznaczone: a) R xsin 3 xdx;
b) R x 2 cos 2 xdx;
c) R x 2 e 3 xdx;
d) R xe− 3 xdx;
e) R x ln xdx;
√
√
f) R ln xdx;
g) R arc sin xdx;
h) R
x
dx;
i) R
x+1+2 dx;
i) R
1
cos2
− x 2 dx.
x
x− 1
4. Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:
a) y = x 2 − 6 x + 7 , y = 3 − x; b) xy 2 = 1 , xy 2 = 4 , y = 1 , y = 2; c) y = 2 x, x+ y = 1 , y = log2 x, y = 4 .
5. Obliczyć długość podanych krzywych:
√
√
√
a) y = x x dla 0 ¬ x ¬ 4
b) y = ln x dla
3 ¬ x ¬ 2 2;
c) y = ch x dla 0 ¬ x ¬ 1 .
6. Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót danej figury względem podanej osi.
a) T = {( x, y) : 0 ¬ x ¬ 3 , 0 ¬ y ¬
1
√
}, 0 x, b) T = {( x, y) : 0 ¬ x ¬ 3 , 0 ¬ y ¬
1
√
}, 0 x
9+ x 2
x(1+ln x
a) T = {( x, y) : 0 ¬ x ¬ e, 0 ¬ y ¬
1
√
}, 0 y, , b) T = {( x, y) : 0 ¬ x ¬ e, 0 ¬ y ¬
1
}. 0 y
9+ x 2
x 2(1+ln x